señales y amplificador diferencial
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Señales y Amplificador Diferencial.TRANSCRIPT
Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Profersor: Jorge Gavilán León
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CAPÍTULO 5
SEÑALES Y
OPERADOR
DIFERENCIAL
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SEÑALES VARIABLES EN EL TIEMPO
Hasta aquí hemos tratado sometidos a señales constantes en el tiempo y a
señales que varían en forma sinusoidal
Veremos ahora que sucede cuando una red que contiene resistencias
inductancias y capacidades es sometida a otro tipo de señales variables en
el tiempo
Recordemos las relaciones tensión-corriente de los elementos R, L, M y
C, para cualquier tipo de señal.
RESISTENCIA Ley de Ohm
INDUCTANCIA
)t(vGR
)t(v)t(i
)t(iR)t(v
dt
)t(diL)t(v
t
0
0Idt)t(vL
1)t(i
INDUCTANCIAS ACOPLADAS
dt
)t(diM
dt
)t(diL)t(v 21
11
dt
)t(diM
dt
)t(diL)t(v 12
22
CAPACIDAD
dt
)t(dvC)t(i
t
0
0Vdt)t(iC
1)t(v
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)t(vdt
)t(diL)t(vidt
C
1iR 0C
t
t0
Se hace conveniente, entonces, encontrar
notaciones y métodos que nos simplifiquen la
tarea de solucionar estas ecuaciones.
Luego, cualquiera sea el método que usemos para solucionar un circuito,
deberemos plantear y resolver sistemas de ecuaciones integro-
diferenciales (Ecuaciones de Equilibrio).
Por ejemplo
La ecuación integro-diferencíal
fundamental del circuito serie es:
Hemos establecido que en cada elemento pasivo existe una relación
tensión-corriente.
Por lo tanto, si una de estas señales (v(t) o i(t) es aplicada a un elemento, la
otra variable se puede considerar como RESPUESTA y su forma de onda
dependerá del tipo particular de señal aplicada y la relación v(t), i(t)
específica del elemento de que se trate.
Por esto, se hace necesario conocer las características y propiedades de las
señales de interés en teoría de redes eléctricas.
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SEÑALES Y FORMAS DE ONDA
SEÑAL:
“Expresión analítica de una variable función del tiempo”
En teoría de redes:
f(t) puede ser una tensión v(t) o una corriente i(t)
FORMA DE ONDA:
“Representación gráfica de una señal”
CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
En forma simplificada, las señales se pueden clasificar como se indica a
continuación:
A.- CONSTANTES: Amplitud independiente del tiempo
Periódicas
Semiperiódicas
B) VARIABLES
Pseudoperiódicas
Aperiódicas
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EJEMPLOS DE TIPOS DE SEÑALES
CONSTANTE PERIÓDICA PSEUDOPERIÓDICA
APERIÓDICA DISCRETA
D) DISCRETAS: Su amplitud está definida sólo para algunos instantes de
tiempo
SEÑALES APERIÓDICAS BÁSICA (Funciones singulares)
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: μ(t)
Definimos la función escalón unitario como una función del tiempo que es
nula para todos los valores de su argumentos que son menores que cero y
que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento.
La definición matemática concisa de la función forzada de escalón unitario
es:
0t1
0t0)t(u
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FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO DESPLAZADA : μ(t-t0)
La función escalón desplazada será:
Otros casos de la función desplazada:
La función escalón unitario es en sí misma adimensional. Si deseamos
representar una tensión, se requiere multiplicar u(t – t0) por alguna tensión
constante, como 5 V.
0
0
0tt1
tt0)tt(u
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De tal modo, v(t) = 5u(t - 0.2) V constituye una fuente de tensión ideal que
es cero antes de t = 0.2 seg. y una constante de 5V después de t = 0.2 seg.
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Modificar una señal
Ejemplo
La función pulso rectangular (Función Puerta)
Algunas funciones forzadas muy útiles se obtienen manipulando la función
forzada de escalón unitario.
Se define un pulso de tensión rectangular como:
1
100
0
0
tt0
tttV
tt0
)tt(v
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Analicemos la diferencia de los dos escalones unitarios, u(t – t0) - u(t – t1).
Las dos funciones escalón se muestran en la figura a, su diferencia es un
pulso rectangular.
La fuente V0·u(t – t0) – V0·u(t – t1) que nos suministra la tensión deseada se
indica en la figura b
Ejemplo de aplicación
Si tenemos una fuente de tensión senoidal Vm sen ωt que se conecta de
manera repentina a una red en t = t0 , entonces una función forzada de
tensión apropiada sería v(t) = Vm · u(t – to) · sen ωt.
Si deseamos representar un estallido de energía del transmisor de un
automóvil controlado por radio que opera a 47 MHz (295 Mrad/s), se
podría desactivar la fuente senoidal de 1/10 μs después mediante una
segunda función forzada de escalón unitario.
El pulso de tensión es por tanto:
v(t) = Vm[u(t – t0) - u(t – t0 - 10-7
)] sen (295 x 1O6 t)
Esta función forzada se dibuja en la figura
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Función Rampa Unitaria
Su expresión analítica se puede escribir empleando la función escalón:
r(t) = t∙u(t)
Una función rampa desplazada será:
r(t – t0) = (t – to)∙u(t – t0)
Una función rampa de pendiente A, será
f(t) = A∙r(t) = A∙t∙u(t)
Función Rampa Unitaria
Una función rampa modificada, es
0tt
0t0)t(r 0
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LA FUNCIÓN IMPULSO: δ(t)
Consideremos una función rampa modificada, su derivada y el límite de
ésta cuando a → 0:
La función impulso unitario se define como una función δ(t), tal que:
A partir de esta definición se establecen las siguientes propiedades:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
0tpara;)t(
0tpara;0)t(
1dt)t(
0
01dt)t(dt)t(
0
00dt)t(dt)t(
)t()t(
0)t(t
0
0dt)t()t(f)0(fdt)t()t(f
a
adt)at()t(f)a(fdt)at()t(f
)at()a(f)at()t(f
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En 5, 6 y 7: f(t) es función continua en el intervalo (0-, 0+); (a-, a+) Relación entre u(t) y δ(t)
En esta figura se observa que cuando a → 0; fr(t) → u(t);
por lo tanto:
Además, si f(t) = u(t - a), entonces
La derivada de δ(t) se denomina “DOBLETE” y se denota por:
)t(dt
)t(du)t(f
'
r
0alim
)at(dt
)at(du)t(f
'
dt
)t(d)t(
'
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También se definen derivadas de orden superior, tales como: δ’’(t), δ
’’’(t) ,
etc.
INTEGRAL Y DERIVADA DE UNA SEÑAL QUE PRESENTA
DISCONTINUIDADES
………………………………………………………………………………………………
La expresión analítica de la señal discontinua se puede expresar en la forma:
f(t) = 1[u(t+1) – u(t – 1)] +2,5[u(t
– 1) – u(t – 3)] + -1[u(t –
3) – u(t – 5)]
La expresión analítica de la
integral es:
Señal discontinua
Su integral
Su derivada
)5t(u2)3t(u5)1t(u(2
)]5t(u)3t(u)[3t(
)]3t(u)1t(u)[1t(5,2)]1t(u)1t(u)[1t()t(ft
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Ejercicío: Demostrar
La expresión analítica de la derivada de la señal es:
f’(t) = δ(t + 1) +1,5δ(t – 1) – 3,5δ(t – 3) + δ(t – 5)
Ejercicío: Demostrar
NOTACIÓN OPERACIONAL DE LAS
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Ya vimos que cualquiera sea el método que usemos para solucionar un
circuito, deberemos plantear y resolver sistemas de ecuaciones integro-
diferenciales (Ecuaciones de Equilibrio).
Se hace conveniente, entonces, encontrar notaciones y métodos que nos
simplifiquen la tarea de solucionar estas ecuaciones.
Uno de tales métodos, que nos permite plantear las ecuaciones de equilibrio
y transformarlas en ecuaciones algebraicas es el uso del los operadores
operacionales.
OPERADOR DERIVACIÓN (D) Sea f(t) una variable función del tiempo. Entonces:
………. etc. ……..
dt
)t(fd)t(fD
dt
)t(fd)t(fD
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OPERADOR INTEGRACIÓN (1/D = D-1
)
Relaciones tensión-corriente en forma operacional
Parámetros Operacionales
PARÁMETRO
Impedancia
Operacional
Admitancia
Operacional
t
0
1dt)t(f)t(fD)t(f
D
1
vGi
iRv
)0(ivLD
1i
LDiv
2212
2111
DiLMDiv
MDiDiLv
CDvi
)0(viCD
1v
CD G
MD LD R
M C L R
CD
1
LD
1
D
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IMPEDANCIA OPERACIONAL
EJEMPLO
Suponiendo condiciones iniciales
nulas, la ecuación integro-
diferencial de este circuito serie es:
Considerando parámetros operacionales
o bien
Donde Impedancia operacional
(1) La principal ventaja del empleo de los operadores D y D-1
, reside en
la simplicidad de escritura de las ecuaciones de equilibrio.
(2) Dentro de ciertas restricciones, los operadores D y D-1
pueden ser
tratados como entidades algebraicas. En la suma se cumplen las
propiedades conmutativa y asociativa. Lo mismo ocurre en la
multiplicación, en cuyo caso se agrega la propiedad distributiva.
Sin embargo, el operador D no es conmutativo respecto de una
función del tiempo:
5Dt = 5 ; tD5=0
(3) Empleando los conceptos de impedancia y admitancia operacional,
diversas redes pueden analizarse en forma simple, aplicando
conceptos similares a los empleados en las redes resistivas.
)t(vdt
diLidt
C
1iR
)t(vLDiiCD
1Ri
)t(viLDCD
1R
)t(vi)D(Z
LD
CD
1R)D(Z
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EJEMPLO
En la red de la figura se desea
establecer la ecuación diferencial
que permita calcular la corriente
i(t).
Sean :
Considerando Z1(D) y Z2(D) en paralelo, la impedancia equivalente que ve
la fuente es:
Por lo tanto, simbólicamente
de donde la ecuación diferencial, en forma operacional es:
Desarrollando esta ecuación
Multiplicando ambos miembros por D y ordenando, se obtiene la ecuación
diferencial para i(t):
OTRO EJEMPLO
Determinar la ecuación
diferencial para la corriente i2
Convirtiendo al dominio D
CD
1R)D(Z;LDR)D(Z 2211
)D(Z)D(Z
)D(Z)D(Z)D(Z
21
21
)t(v)D(Z)D(Z
)D(Z)D(Z
)D(Z
)t(v)t(i
21
21
)t(v)D(Z)D(Z)t(i)D(Z)D(Z 2121
)t(vCD
1LDRR)t(i
CD
1RLDR 2121
)t(vC
1DRRLD)t(i
C
RD
C
LRRLDR 21
2121
2
2
1∙D
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Aplicando la LKV
1∙D
Despejando i2
Reordenando
Luego, la ecuación diferencial para i2 es
………………………………………………………………………………………………..
UN ÚLTIMO EJEMPLO
Determinar la ecuación
diferencial para el voltaje v
Resultado:
f211 v)ii(Di2
0)ii(DDii3 1222
6D7D
Dvi
2
f
2
f2
2Dvi)6D7D(
dt
dvi6
dt
di7
dt
id f
22
2
2
2
TAREA. Desarrolle el problema
f
32v)1000D(v)101001D1001D(
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FIN
CAPÍTULO