1

REDOVI ÈEKANJA � teorija i praktièna primena Slobodan Radièev, 87/07 Fakultet tehnièkih nauka, Departman za industrijsko in�enjerstvo i menad�ment, slobo665@gmail.com

Prof. dr Mila Stojakoviã Apstrakt Ovaj rad se fokusira na teoriju redova èekanja (Queuing theory) i njenom praktiènom

primenom, za koju je kori�ãen raèunarski program WinQSB 1.0 for Windows. Program WinQSB je razvio Yih-Long Chang, a objavila kompanija Wiley. U uvodnom delu rada je opisana osnova i problematika teorije redova èekanja. Akcenat rada je stavljen na pronala�enje optimalnog re�enja za broj uslu�nih mesta jednog

kompleksnog problema. Takoðe, kao uvod u re�avanje kompleksnog problema je dat

primer re�avanja jednog jednostavnog problema. Na kraju je prikazano kako je uz

pomoã adekvatnog softvera i adekvatnog hardwera za re�eavanje kompleksnih

problema potrebno samo nekoliko minuta. Kljuène reèi: Redovi èekanja, simulacija, optimalno re�enje

Novi Sad, jul 2009.

id39227808 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

Sadr�aj

Sadr�aj ..................................................................................................... 2

Teorija o èekanju u redovima ................................................................... 3

Notacije èekanja u redovima i jednostavan primer ................................... 5

Jednostavan M/M/1 primer ................................................................... 6

Br�i radnici ili vi�e radnika? .............................................................. 8

Pro�irenje primera: M/M/M1 i M/M/2 sa tro�kovima ...................... 10

Generalno èekanje u redovima ............................................................ 14

Zakljuèak ............................................................................................... 21

3

Teorija o èekanju u redovima1

Teorija o èekanju u redovima se bavi problemima èekanja u redu (ili èekanja).

Kao tipièni primeri mogu se navesti: Banke i supermarketi � èekanje na uslugu Kompjuteri �èekanje na odgovor Otkazivanja � èekanje da ne�to otka�e, tj.prestane da obavlja svoj posao, npr.

deo ma�ine Javni prevoz � èekanje voza ili autobusa

Kao �to nam je poznato, èekanje u redovima je uobièajeno svakodnevno iskustvo.

Redovi se stvaraju zato �to su izvori ogranièeni. Zapravo, ima ekonomskog smisla �to

redovi postoje. Na primer, koliko bi kasa u supermarketima bilo potrebno da bi se izbeglo èekanje u redovima? Koliko bi autobusa ili vozova bilo potrebno da bi se

izbegli i/ili eliminisali redovi? U dizajniranju sistema za èekanje moramo imati za cilj ravnote�u izmeðu

uslu�ivanja mu�terija (kratki redovi koji podrazumevaju puno uslu�nih radnika) i ekonomskih obzira (bez prevelikog broja uslu�nih radnika).

U su�tini, svi sistemi èekanja mogu se razlo�iti na individualne pod-sisteme koji se sastoje od entiteta koji èekaju na neku aktivnost. Uglavnom mo�emo govoriti o tom individualnom pod-sistemu kao o sistemu u kojem mu�terije èekaju na uslugu. Da

bismo analizirali taj pod-sistem potrebne su nam informacije u vezi sa: Procesom dolaska

o Naèin na koji mu�terije dolaze, npr. pojedinaèno ili u grupama (dolasci

u turama ili gomilama) o Naèin na koji se dolasci distribuiraju u toku vremena (npr.

najverovatnije vreme distribucije izmeðu sukcesicnih dolazaka

(distribucija vremena izmeðu dolazaka) o Postoji li konaèan broj mu�terija ili (efektivno) neogranièen broj

Najprostiji proces dolaska je onaj gde imamo potpuno regularne dolaske (npr. isti konstantni vremenski interval izmeðu sukcesivnih dolazaka). Poisonov tok

dolazaka odgovara nasumiènim dolascima. U Poisonovom toku sukcesivne

mu�terije dolaze u intervalima koji su nezavisno i eksponencijalno distribuirani. Posionov tok je bitan jer je prigodan matematièki model za

mnoge sisteme èekanja u stvarnom �ivotu i opisuje ga samo jedan parametar � proseèna stopa dolazaka. Ostali bitni procesi dolaska su ugovoreni dolasci;

dolasci u turama; i vremenski zavisne stope dolazaka (npr. stopa dolazaka varira u zavisnosti od doba dana).

Servisnim mehanizmom: o Opis izvora neophodnih za poèetak usluge o Koliko dugo traje obavljanje usluge (distribucija vremena usluge) o Broj dostupnog uslu�nog osoblja (u daljem tekstu:radnika) o Da li je osoblje u serijama (svaki radnik ima poseban red) ili u

paralelama (jedan red za sve radnike) o Da li je dozvoljeno preskakanje (radnik mo�e da zaustavi uslu�ivanje

mu�terije da bi se posvetio drugoj �hitnijoj� mu�teriji.

1 Kori�ãen materijal sa web sajta: http://people.brunel.ac.uk/

4

Uobièajena je pretpostavka da su vremena za izvr�enje usluge prema

mu�terijama nezavisna i da ne zavise od procesa dolaska. Jo� jedna ustaljena

pretpostavka o vremenima potrebnim za usluge je da se ona eksponencijalno distribuiraju.

Karakteristikama reda: o Kako, iz cele grupe mu�terija koje èekaju na uslugu, biramo sledeãu

koja ãe biti uslu�ena (npr. PDPI 2 (prvi doðe - prvi izaðe), takoðe

poznat i pod imenom PDPU3(prvi do�ao � prvi uslu�en);

PDPZ4(poslednji doðe � prvi ode); nasumièno) (to se èesto naziva i disciplinom reda)

o Da li imamo: Nepridru�ivanje (mu�terije odluèuju da se ne pridru�e redu

ukoliko je suvi�e dugaèak) Odustajanje (mu�terije napu�taju red ukoliko su èekale suvi�e

dugo na uslugu) Upadanje (mu�terije menjaju redove ukoliko smatraju da ãe na

taj naèin biti ranije uslu�eni) Red konaènog kapaciteta ili (efektivno) red neogranièenog

kapaciteta Promena u disciplini reda (pravilu na osnovu kog biramo koja mu�terija ãe

sledeãa biti uslu�ena) èesto mo�e da smanji zagu�enje. Uglavnom disciplina reda koja �bira mu�teriju sa najkraãim vremenom usluge� daje kao rezultat

najmanju vrednost za (proseèno) vreme koje mu�teija provede èekajuãi u redu. Tu treba primetiti da je od situacija kada se èeka u redu neodvojiva ideja o

nesigurnosti �to se tièe, na primer, vremena izmeðu dolazaka i vremena usluge. To

znaèi da su nam potrebne verovatnoãe i statistike da bi analizirali situacije sa

èekanjima u redu. �to se tièe analize èekanja u redovima, tipovi pitanja za koja smo zainteresovani uglavnom se tièu mera koje se primenjuju u radu sistema. U sklopu takvih pitanja

mogu se naãi i sledeãa: Koliko dugo mu�terija pretpostavlja da ãe èekati u redu pre nego je uslu�e, i

koliko dugo ãe morati da èeka pre nego se izvr�i usluga? Kolika je verovatnoãa da ãe mu�terija èekati du�e nego �to je predviðeni

vremenski interval, pre nego budu uslu�eni? Kolika je proseèna du�ina reda? Kolika je verovatnoãa da ãe red preãi odreðenu du�inu? Kakva je oèekivana iskori�ãenost radnika i oèekivani vremenski period tokom

kog èe biti potpuno okupiran (prisetite se da nas osoblje ko�ta novca tako da je

neophodno da ih dr�imo zauzetima). Zapravo, ako mo�emo da pripi�emo

tro�kove faktorima kao �to su vreme koje mu�terija provde èekajuãi i dokolica

osoblja, tada mo�emo da istra�imo kako da dizajniramo sistem sa minimalnim ukupnim tro�kovima.

2Termin u engleskom jeziku je FIFO (first-in first-out) 3 FCFS (first-come first served) 4 LIFO (last-in first-out)

5

Postoje pitanja na koja je neophodno naãi odgovor da bi menad�ment mogao da oceni

alternative u poku�aju da kontroli�e/pobolj�a situaciju. Neki od problema koji su u

praksi èesto istra�ivani su: Da li vredi ulagati napor u smanjenje vremena uslu�ivanja? Koliki broj radnika na uslu�ivanju treba zaposliti? Da li bi trebalo uvesti neke prioritete za odreðene tipove mu�terija? Da li je prostor u kome mu�terije èekaju adekvatan?

Da bi se dobili odgovori na prethodno postavljena pitanja postoje dva osnovna pristupa:

Analitièke metode teorije èekanja (na osnovu formule); i Simulacija (na osnovu kompjutera).

Razlog za�to postoje dva pristupa(umesto samo jednog) je taj �to su analitièke metode

odgovarajuãe za relativno proste sisteme èekanja. Kompleksni sistemi èekanja se

skoro uvek analiziraju koristeãi simulaciju (vi�e tehnièki poznata kao simulacija

diskretnog dogaðaja). Prosti sistemi èekanja koji se mogu dotaãi pomoãu teorije èekanja u redovima u

su�tini: Sastoje se od samo jednog reda; povezani sistemi u kojima mu�trije prelaze iz

jednog reda u drugi ne mogu se razmotriti kroz teoriju èekanja. Imaju dobro definisane distribucije za procese dolaska i uslu�ivanja (npr.

standardne statistièke distribucije kao �to su Poisonova ili Normalna); sistemi

gde se te distribucije dobijaju iz posmatranih podataka, ili su vremenski zavisne, te�ko se analiziraju pomoãu teorije èekanja.

Prvi problem teorije èekanja u redovima je istra�io Erlang 1908.godine koji je posmatrao kolika kolièina telefonske razmene je neophodna da bi se odr�ala razumna

vrednost broja telefonskih poziva koji nisu dobijeni jer je razmena bila zauzeta (izgubljeni pozivi). U okviru deset godina razvio je (slo�enu) formulu za re�avanje

problema.

Notacije èekanja u redovima i jednostavan primer Uobièajeno je da se koriste sledeãi simboli:

Lamda kao proseèan broj dolazaka za odreðeni vremenski period,

npr.proseèna stopa dolazaka µ kao proseèan broj mu�terija uslu�enih u datom vremenskom periodu, npr.

proseèna stopa uslu�enih Posotji standardni notacioni sistem koji svrstava sisteme èekanja u redu pod

A/B/C/D/E, gde: A predstavlja verovatnoãu distribucije za proces dolaska B predstavlja verovetnoãu distribucije za proces uslu�ivanja C prdstavlja broj kanala(radnika) D predstavlja maksimalani dozvoljeni broj mu�terija u sistemu èekanja(onih

koje èekaju ili koje su bile uslu�ene)

6

E predstavlja ukupni maksimalni broj mu�terija Uobièajene opcije za A i B su:

M za Poisonovu distribuciju dolazaka (eksponencijalna distribucija izmeðu

dolazaka), ili eksponencijalna distribucija vremena kod uslu�ivanja D za determinisanu ili stalnu vrednost G za generalnu distribuciju (ali sa poznatim prosekom i varijacijama)

Ukoliko D i E nisu specifikovani, podrazumeva se da su neogranièeni. Na primer, sistem èekanja M/M/1, najprostiji sistem èekanja, ima Poisonovu

distribuciju dolazaka, eksponencijalnu vremensku distribuciju i jedan kanal (jednog uslu�nog radnika). Treba primetiti da prilikom kori�ãenja takvih notacija uvek se pretpostavlja da postoji samo jedan red (linija èekanja), i da se mu�terije kreãu iz tog jednog reda prema

radnicima.

Jednostavan M/M/1 primer Pretpostavimo da imamo jednog radnika na uslu�ivanju i da mu�terije pristi�u u

radnju po Poisonovoj distribuciji dolazaka po proseènoj stopi za koju je lamda=0,5 po

minutu, �to znaèi u proseku se jedna mu�terija pojavi svake 1/lamda=1/0,5=2 minuta.

To nagove�tava da vremena izmeðu dolazaka imaju eksponencijalnu distribuciju sa

proseènim vremenom izmeðu dolazaka od 2 minuta. Radnik ima eksponencijalno vreme uslu�ivanja sa proseènom stopom uslu�ivanja od 4 mu�terije po minutu,

odnosno, stopa uslu�ivanja je µ=4 mu�terije po minutu. Tako �to imamo Poisonovu

stopu dolazaka/vreme eksponencijalne usluge/jednog radnika, imamo i M/M/1 red u terminima standardne notacije. Mo�emo analizirati takvo èekanje koristeãi program WinQSB. Uno�ne informacije su prikazane ispod na slici 1 i tabeli 1.

Slika 1.

7

Tabela 2

A pri èemu bi izlazna informacija bila sledeãa (Tabela 2.):

Tabela 2. Prva linija izlazne informacije kazuje nam da rezultati potièu od formule. Za taj vrlo jednostavni sistem èekanja postoje taène formule koje nam pru�aju statistike iznad

svake pretpostavke da je sistem dostigao stanje mirovanja � odnosno, da je sistem bio kori�ãen dovoljno dugo da bi do�ao do neke uravnote�ene pozicije. Naravno, sistemi u stvarnom �ivotu te�ko da ikad dostignu takvo stanje mirovanja.

Jednostavno reèeno, �ivot prosto nije takav. Meðutim, uprkos tome, te jednostavne

8

formule èekanja u redu mogu nam pru�iti pogled u to kako bi sistem mogao vrlo brzo da poène da se pona�a. Raèunaru je trebao deliã sekunde da proizvede izlaznu

informaciju koju smo videli. Jedan faktor koji bi trebalo primetiti je intenzitet saobraãaja =(stopa dolaska)/Stopa

odlaska), gde je stopa dolaska=broj dolazaka po jedinici vremena , a stopa odlaska = broj odlazaka po jedinici vremena. Intenzitet saobraãaja je mera zagu�enja sistema.

Ukoliko je blizu nule, postoji vrlo malo èekanja u redovima i generalno, kako se

poveãava intenzitet saobraãaja (do blizu 1 ili èak i vi�e od 1), iznos èekanja se

poveãava. Za sistem koji smo prethodno naveli, pretpostavili smo da je stopa dolaska

0,5 a da je stopa odlaska 4, tako da je intenzitet saobraãaja 0,5/4 = 0,125.

Br�i radnici ili vi�e radnika? Razmotrite situaciju koju smo prethodno naveli � �ta biste vi�e voleli:

Jednog radnika koji radi duplo br�e, ili Dva radnika koji rade po originalnoj stopi?

Jednostavan odgovor je da to mo�emo analizirati uz pomoã raèunarskog programa. Za prvu situaciju jedan radnik koji radi dvostruko br�e od ostalih odgovara stopi usluga

od µ=8 mu�terija po minutu. Izlazna informacija za takvu situaciju prikazana je ispod u tabeli 3.

Tabela 3.

9

Za dva radnika koja rade po originalnoj stopi izlazna informacija je data dole (Tabela 4. i Tabela 5.). Treba obratiti pa�nju da je ta situacija M/M/2 sistem èekanja. Takoðe

treba primetiti da raèunarski program pretpostavlja da ta dva radnika dobijaju mu�terije iz istog reda (pre nego da svaki od njih ima svoj zaseban red).

Tabela 4.

Tabela 5. Uporedite dve izlazne informacije iznad � koju opciju preferirate? Neke navedene cifre su identiène. Izvlaèenjem cifara koje su razlièite dobijamo podatke koje si prikazani u Tabeli 6.:

10

Dvostruko br�i radnik Dva radnika, originalna

stopa Proseèno vreme u

sistemu(èekanje i

uslu�ivanje) 0,1333 0,2510

Proseèno vreme u redu 0,0083 0,0010 Verovatnoãa neophodnosti

èekanja u redu 6,25% 0,7353%

Tabela 6. Iz prilo�enog se mo�e videti da sa jednim radnikom koji radi dvostruko br�e mu�terije

u proseku manje provedu vremena u sistemu, ali moraju da èekaju du�e na uslugu i

takoðe postoji veãa verovatnoãa da ãe morati da èekaju u redu.

Pro�irenje primera: M/M/M1 i M/M/2 sa tro�kovima Sada ãemo pro�iriti primere koji smo prethodno imali tako �to ãemo sada pomo�iti stopu dolaska mu�terija sa faktorom 6 (tj. mu�terije dolaze 6 puta br�e nego u

prethodnom primeru). Takoðe ãemo uneti kapacitet reda (prostor za èekanje) sa

vredno�ãu 2 � tj. ako su svi radnici okupirani i dve mu�terije èekaju, kada se nova

mu�terija pojavi, onda ãe oni otiãi � ta pojava je poznata kao nepridru�ivanje. Takoðe ãemo dodati podatak o tro�kovima koji se tièe radnika i mu�terija:

Svaki minut tokom koga je radnik besposlen ko�ta nas 0,5 evra Svaki minut tokom koga mu�terija èeka na radnika ko�ta nas 1 evro Svaka mu�terija koja se nije pridru�ila redu (ode a da nije uslu�ena), ko�ta nas

5 evra Paket ulaznih informacija je prikazan dole u tabeli 7.

Tabela 7.

11

Pri èemu bi izlazna informacija bila sledeãa (Tabela 8.):

Tabela 8. Obratite pa�nju da, kao �to navedene informacije pokazuju, to je M/M/1/3 sistem jer imamo jednog radnika a maksimalni broj mu�terija koji mo�e biti u sistemu (bilo da se uslu�uje ili ja na èekanju) je 3 (jedan se uslu�uje, dva èekaju). Kljuèna stvar je da, po�to smo ubacili podatke o tro�kovima, imamo cifru koja predstavlja ukupne tro�kove operacije tog sistema, tj. 3,0114 po minutu (u stanju

mirovanja). Pretpostavimo sada situaciju kada bismo imali dva radnika umesto jednog � da li bi tro�kovi bili manji ili veãi? Prost odgovor glasi da bi nam to mogao reãi program. To je M/M/2/4 sistem èekanja jer imamo dva radnika i ukupan broj mu�terija u sistemu

od 4 (dve se uslu�uju, dve èekaju u redu na uslugu). Takoðe program pretpostavlja da se ta dva radnika snabdevaju mu�terijama iz istog reda (pre nego da svaki od njih ima

svoj zaseban red). Paket ulaznih informacija je prikazan dole u tabeli 9.

12

Tabela 9. Pri èemu bi izlazna informacija bila sledeãa (Tabela 10.):

Tabela 10. Tako da mo�emo videti da postoji primetna u�teda tro�kova po minutu kada postoje

dva radnika umesto jednog. Zapravo, program mo�e automatski da izv�i analizu za nas da vidimo koliko tro�ak

varira u zavisnosti od broja radnika. To se mo�e videti dole na slici 2 i tabeli 11 i grafiku 1.

13

Slika 2.

Tabela 11.

Grafik 1.

14

Generalno èekanje u redovima Ekran prikazan dole (Slika 3. i Tabela 12.) pokazuje moguãe ulazne parametre u

paketu u sluèaju generalnog modela èekanja u redu (tj. da nije M/M/r sistem).

Slika 3.

Tabela 12.

15

Tu imamo i broj moguãih izbora za distribuciju vremena usluga i distribuciju vremena izmeðu dolazaka. U stvari, program prepoznaje nekih 15 razlièitih distribucija. Druge stavke koje su gore pomenute su:

Koeficijent pritiska usluge � pokazuje kako radnici ubrzaju uslu�ivanje kada je

sistem prometan, odnosno kada su svi radnici zauzeti, stopa usluge se poveãava. Ako je taj koeficijenat s i imamo r radnika sa stopom usluge µ

onda se stopa usluge menja iz µ u (n/r)sµ kada postoji n mu�terija u sistemu i

n≥r. Koeficijent obeshrabrenog dolaska � pokazuje kako je dolazak mu�terija

obeshrabren kada je sistem prometan,tj. Kada su svi radnici zauzeti stopa usluga se poveãava. Ako je taj koeficijent s i imamo r radnika sa stopom

dolaska lamda tada se stopa dolazaka menja iz lamde u (r/(n+1))slamda kada postoji n mu�terija u sistemu i n ≥r.

Distribucija velièine gomile ili glavnine � mu�terije mogu doãi zajedno (u

gomilama, ili glavninama) i to pokazuje distribuciju velièine kod takvih

gomila.

Kao primer analize koja se mo�e uraditi kao primer problema navodimo sledeãe (Tabela 13.):

Tabela 13. Re�avanjem problema dobijamo (Slika 4.):

16

Slika 4.

Slika 4. prikazuje da ne postoji nijedna formula za evaluaciju situacije koju smo postavili. Mozemo probati da procenimo situaciju koristeãi pribli�nu formulu, ili

pomoãu Monte Karlo simulacije. Ukoliko odabaremo pribli�ni pristup dobijamo podatke prikazane u tabeli 14.:

Tabela 14. Problem je taj �to su ti pribli�ni rezultati èista besmislica (tj. nisu dobra pribli�na

vrednost). Na primer, proseèan iznos broja mu�terija u redu je -2,9813, verovatnoãa

17

da su svi radnici besposleni -320% itd. Dok u ovom konkretnom sluèaju je oèigledno

da pribli�nost ne va�i, za druge probleme mo�da nije tako oèigledno da sistem pribli�nih vrednosti ne vredi. Ako prihvatimo Monte Karlo simulaciju, dobiãemo ovakav ekran (Slika 5 i Slika 6..):

Slika 5.

Slika 6. Ono �to ãe se desiti ovde je to da ãe kompjuter konstruisati model sistema koji smo

specifikovali i interno generisati dolaske mu�terija, vremena usluga, itd. i skupiti

18

statistièke podatke o tome kako sistem funkcioni�e. Kao �to je specifikovano gore, to

ãe obavljati taj proces za 1000 vremenskih jedinica (u ovom sluèaju, sati). Fraza

�Monte Karlo� proizilazi iz dobro poznatog kockarskog grada na Mediteranu u

Monaku. Kao u ruletu, dobijamo nasumiène brojeve kao kad zavrtimo rulet, tako da u

Monte Krlo simulaciji koristimo nasumiène brojke koje je generisao kompjuter. Rezultati su prikazani ispod (Tabela 15.).

Tabela 15. Ti rezultati izgledaju mnogo razumniji nego oni koji su dobijeni metodom pribli�nih

vrednosti. Meðutim, jedan faktor koji bi trebalo razmotriti je vreme simulacije koje je

specifikovano � tu iznosi 1000 sati. Da bismo sakupili �to taènije informacije o

pona�anju sistema, mogli bismo po�eleti da simuliramo du�e vreme. Rezultati simulacije koja je i 10 i 100 puta du�a prikazana je u tabelama ispod (Tabela 16 i Tabela 17.).

19

Tabela 16.

20

Tabela 17. Kao �to je oèigledno, �to du�e simuliramo, sve vi�e imamo poverenja u

statistike/verovatnoãe koje smo dobili. Kao i ranije, mo�emo da istra�imo kako bi se sistem mogao pona�ati sa vi�e radnika.

Simuliranjem 1000 sati (da bi smanjili sveukupno pro�lo vreme koje se zahteva), i

posmatranjem samo sveukupnog tro�ka sistema po satu (stavka 22 u izlaznom

podatku iznad), dolazimo do sledeãih rezulatata (Tabela 18.):

21

Broj radnika Ukupni tro�ak sistema 1 4452 2 3314 3 2221 4 1614 5 1257 6 992 7 832 8 754 9 718

10 772 11 833 12 902

Tabela 18. Prema tome, broj radnika koji se povezuje sa minimalnim tro�kom sistema je 9.

Zakljuèak U radu je istaknuta prednost primene raèunarskog programa WinQBS u re�avanju konkretnih problema iz svakodnevnog �ivota. U radu je prikazano da se primenom WinQBS softwear mo�e doãi do optimalnog re�enja odnosno broja radnika koji ãe biti najefektivniji odnosno najekonomièniji za posmatrani posao. Upotrebom programa se elimini�e velika doza subjektivnosti u procesu iznala�enja

re�enja i dono�enja odluke, a kontinualnom pripremom bi se konstantno popravljale i unapreðivale performanse subjekata koji ih koriste.