Sadrµzaj

Uvod 1

1 Osnovna svojstva analitiµckih funkcija 2

2 Primjena svojstava analitiµcih funkcija na zadacima 6

Literatura 910

Analitiµcke funkcije

Dejan Milic

decembar, 2014

U V O D

Ovaj seminarski rad dio je predmeta Kompleksna analiza koji se izvodi na masterstudiju Filozofskog fakulteta u Zenici, odsjeka Matematika i informatika. U ovomseminarskom ce se govoriti o analitiµckim funkcijama. Seminarski je podijeljen na dvadijela. Prvi dio govori o nekim osnovim svojstvima analitiµckih funkcija dok drugi diodaje primjere kroz koje se vidi primjena osobina analitiµckih funkcija. Dakle cilj ovogseminarskog rada je upoznati µcitatelje sa analitiµckim funkcijama korak po korak ipokazati kako se koriste njene osobine u zadacima.

2

1 Osnovna svojstva analitiµckih funkcija

Neka je � C; f : ! C i de�nirajmo realne funkicije u i v sa:

f(z) = u(x; y) + iv(x; y); z = x+ iy 2 ; (1)

tj. u = Re f; v = Im f:U ovoj taµcki uvodimo pojam diferencijabilnosti za kompleksnufunkciju f kompleksne varijable i nalazimo na koji je naµcin taj pojam vezan uzdiferencijabilnost realnih funkcija u i v.

Podsjetimo se da za realnu funkciju u : ! R kaµzemo da je klase C1 naotvorenom skupu � R2, ako ona ima parcijalne derivacije @u

@xi @u@yu svakoj toµcki

skupa i ako su te dvije funkcije neprekidne na .U daljnjem cemo stalno pretpostavljati da je otvoren skup u C.

De�nicija 1.1 Kaµzemo da je funkcija f : ! C diferencijabilna u taµcki z0 otvorenogskupa � C; ako funkcija

z ! f(z)� f(z0)z � z0

de�nirana na skupuQnfz0g ima limes u taµcki z0. U tom sluµcaju taj se limes oznaµcavaf 0(z0) i zove derivacija funkcije f u taµcki z0: Dakle:

f 0(z0) = limz!z0

f(z)� f(z0)z � z0

Ako je f diferencijabilna u z0 ona je i neprekidna u z0:f se zove diferencijabilna (na) ako je ona diferencijabilna u svakoj toµcki z0 2 .U tom sluµcaju je z ! f 0(z)funkcija, f 0 : ! C:f 0 se zove derivacija od f .

De�nicija 1.2 Ako je funkcija f 0 neprekidna na ; f se zove analitiµcka funkcija na. U upotrebi su i nazivi: holomorfna funkcija i regularna funkcija.

Kao i kod funkcija iz R u R, tako se i ovdje uvode pojmovi druge, trece, ... , n-tederivacije od f i oznaµcavaju se f 0; f 00; :::; f (n): Dalje, kao i za funkcije iz R u R vaµzetvrdnje:

(�f + �g)0(z0) = �f 0(z0) + �g

0(z0)

(f � g)0(z0) = f 0(z0)g(z0) + f(z0)g0(z0) (2)

(f

g)0(z0) =

f 0(z0)g(z0)� f(z0)g0(z0)[g(z0)]2

3

s tim da su funkcije f; g : ! C diferencijabilne u z0 i da je u posljednjoj formulig(z0) 6= 0:

Skup svih funkcija f : ! C; koje su analitiµcke na ;oznaµcavat cemo sa A():Iz prethodnog slijedi da f; g 2 A() i �; � 2 C povlaµci �f + �g 2 A(): Dakle,A() je vektorski prostor nad poljem C kompleksnih brojeva.Nadalje, f; g 2 A()povlaµci f; g 2 A(); tako�er je f

ganalitiµcka na otvorenom skupu fz 2 : g(z 6= 0)g

Svaki polinom

z ! f(z) = a0 + a1z + :::+ anzn

(a0; a1; :::an 2 C) je analitiµcka funkcija na C i za svako z 2 C vrijedi:

f 0(z) = a1 + a2z + :::+ nanzn�1

Ako su f i g polinomi i fz1; :::; zmg skup svih nultoµcaka od g u C; racionalna funkcijafgje analitiµcka na skupu Cnfz1; :::; zmg:

Uspore�ivanje diferencijabilnosti i analitiµcnosti funkcije f sa svojstvima realnihfunkcija u = Re f i v = Im f nije tako jednostavno kako bi se moglo oµcekivati,a dano je ovim vaµznim teoremama.

Teorem 1.1 Neka je � C otvoren skup, z0 = x0 + iy0 2 ; f : ! C; u =Re f; v = Im f:

I. Ako je f diferencijabilna u toµcki z0 onda su funkcije u i v diferencijabilne u toµcki(x0; y0) i njihove parcijalne derivacije u toj taµcki zadovoljavaju

@u

@x(x0; y0) =

@v

@y(x0; y0);

@u

@y(x0; y0) = �

@v

@x(x0; y0) (3)

U tom sluµcaju je :

f 0(z0) =@u

@x(x0; y0) + i

@v

@x(x0; y0) (4)

=@v

@y(x0; y0)� i

@u

@y(x0; y0)

II. Obrat. Ako su realne funkcije u i v na diferencijabilne u toµcki (x0; y0) iako njihove parcijalne derivacije u toj taµcki zadovoljavaju (3), onda je f = u + ivdiferencijabilna funkcija u toµcki z0 = x0 + iy0:

4

Teorem 1.2 Neka je � C; u = Re f; v = Im f:

I. Ako je f analitiµcka na ,onda su funkcije u i v klase C1 na i one na zadovol-javaju tzv. Cauchy-Riemannove parcijalne diferencijalne jednadµzbe:

@u

@x=@v

@y;@u

@y= �@v

@x(5)

U tom sluµcaju je :

f 0 =@u

@x+ i@v

@x=@v

@y� i@u@y

II. Obrat. Ako su realne funkcije u i v klase C1na i ako na one zadovoljavaju(5), onda je f = u+ iv analitiµcka funkcija na :

Dokaz teoreme 1: Prisjetimo se da se realna funkcija u dviju realnih varijabli zovediferencijabilna u taµcki (x0; y0); ako postoje realni brojevi A i B takvi da vrijedi:

lim(x;y)!(x0;y0)

u(x; y)� u(x0; y0)� A(x� x0)�B(y � y0)p(x� x0)2 �+(y � y0)2

= 0

tada je

A =@u

@x(x0; y0); B =

@u

@y(x0; y0)

Pretpostavimo najprije da je funkcija f diferencijabilna u taµcki z0 = x0 + iy0 istavimo f(z0) = C: Neka je C = A+ iB;A;B 2 R:Imamo za z = x+ iy����f(z)� f(z0)z � z0

� C���� = jf(z)� f(z0)� C(z � z0)j

jz � z0j

=ju(x; y) + iv(x; y)� u(x0;y0)� iv(x0; y0)� (A+ iB)(x+ iy � x0 � iy0)jp

(x� x0)2 + (y � y0)2

=

�����u(x; y)� u(x0;y0)� A(x� x0) +B(y � y0)p(x� x0)2 + (y � y0)2

+ iv(x; y)� v(x0; y0)�B(x� x0)� A(y � y0)p

(x� x0)2 + (y � y0)2

�����Buduci da je f(z0) = C imamo

5

limz!z0

����f(z)� f(z0)z � z0� C

���� = 0 (7)

Odavde i iz 6 slijedi da je

lim(x;y)!(x0;y0)

u(x; y)� u(x0; y0)� A(x� x0)�B(y � y0)p(x� x0)2 + (y � y0)2

= 0 (8)

lim(x;y)!(x0;y0)

u(x; y)� u(x0; y0)�B(x� x0)� A(y � y0)p(x� x0)2 + (y � y0)2

= 0 (9)

Prema tome funkcije u i v su diferencijabilne u taµcki (x0; y0) i vrijedi:

A =@u

@x(x0; y0) =

@v

@y(x0; y0); B = �

@u

@y(x0; y0) =

@v

@x(x0; y0) (10)

Uzmimo sada da su funkcije u i v diferencijabilne u taµcki (x0; y0) i da vrijedi(10).Tada je ispunjeno (8) i (9).Stavimo C = A + iB i z0 = x0 + iy0:Tada zaz = x+ iy vrijedi (6), pa pomocu (8) i (9) slijedi (7), odnosno

limz!z0

f(z)� f(z0)z � z0

= C

Dakle, funkcija f diferencijabilna je u taµcki z0 i vrijedi (3).

De�nicija 1.3 Neprazan otvoren skup � C zove se podruµcje, ako za bilo kojedvije taµcke a i b iz postoji konaµcno taµcaka a = z0; z1; :::; zn�1; zn = b; takvih daspojnice [z0; z1]; [z1; z2]; :::; [zn�1; zn] leµze u :Napomenimo da je za z0; z 2 C spojnica[z; z0] tih taµcaka segment na pravcu kroz te taµcke ome�en tim taµckama:

[z; z0] = f(1� t)z + tz0 : 0 � t � 1g

Svaki neprazan otvoren konveksan skup je podruµcje. Posebno je svaki krug K(z0; r)podruµcje.

De�nicija 1.4 Neka je � C podruµcje i f : ! C analitiµcka funkcija na sasvojstvom da je f 0(z) = 0 za svako z 2 : Tada je f konstanta.

6

2 Primjena svojstava analitiµcih funkcija na zadacima

Primjer 2.1 Odredi analitiµcku funkciju µciji je imaginarni dio v(x; y) = 1+x� 2xyuz uvjet da je u(0; 0) = 1

f(z) = u(x; y) + iv(x; y)

Kako je funkcija analitiµcka to imamo da vrijede K-R uslovi tj. imamo da je:

@u

@x=@v

@yi

@u

@y= �@v

@x

@u

@x=

@v

@y= �2x

@u

@y= �@v

@x= �(1� 2y) = 2y � 1

Dalje imamo da vrijedi:

u(x; y) =

Z@u

@xdx+ '(y)

u(x; y) =

Z�2xdx+ '(y)

u(x; y) = �2x2

2+ '(y)

u(x; y) = �x2 + '(y)

Potom vrijedi:

@u

@y= '0(y)

7

Na osnovu dobivenog imamo:

'0(y) = 2y � 1

'(y) =

Z(2y � 1)dy

'(y) = 2y2

2� y + C

'(y) = y2 � y + C

gdje je C proizvoljna konstanta.Njenu vrijednost cemo odrediti iz uvjeta:

u(0; 0) = 1

u(x; y) = �x2 + '(y)u(x; y) = �x2 + y2 � y + Cu(0; 0) = 0 + 0� 0 + C = 1

C = 1

u(x; y) = �x2 + y2 � y + 1

Sada na�a traµzena funkcija ima oblik:

f(z) = u(x; y) + iv(x; y)

f(z) = �x2 + y2 � y + 1 + i(1 + x� 2xy)f(z) = �x2 + y2 � y + 1 + i+ xi� 2xyif(z) = �(x2 � y2 + 2xyi) + i(x+ iy) + 1 + if(z) = �(x+ iy)2 + i(x+ iy) + 1 + if(z) = �z2 + iz + 1 + i

8

Primjer 2.2 Dokazati da funkcija f(z) = ez ima izvod u svakoj taµcki. Naci ga!

ez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + i sin y) = u+ iv

u(x; y) = ex cos y

v(x; y) = ex sin y

@u

@x= ex cos y

@v

@x= ex sin y

@u

@y= �ex sin y

@v

@y= ex cos y

Vidimo da su ispunjeni Chaushy-Riemannovi uslovi. Dalje vrijedi:

f 0(z) =@u

@x+ i@v

@x= ex cos y + iex sin y = ex(cos y + i sin y) = exeiy = ex+iy = ez

9

LITERATURA

References

[1] S. Kurepa, H. Kraljevic, Matematiµcka analiza 4/1 funkcija kompleksne prom-jenljive, Tehniµcka knjiga, Zagreb, 1986.

[2] B. Stankovic, Teorija funkcija kompleksne promjenljive, Nauµcna knjiga, Beograd,1972.

10