SEMINARIO DE OPTIMIZACIÓN EN FERROCARRILES

PROYECTO ARRIVAL

Transportation Planning Models

Prof. Dr. Gilbert Laporte

Canada Research Chair of Distribution Management,

HEC, Canadá

Localización Robusta de Infraestructuras Lineales de Sistemas de Transporte

Prof. Dr. Ricardo García Ródenas

Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla la Mancha

Dicho seminario tendrá lugar el 23 de abril de 2007 a las 12:15 en el Seminario del Departamento de Matemática Aplicada II. Grupo de Investigación en Localización FQM-241. Partially supported by the Future and Emerging Technologies Unito f EC (IST priority-6th FP), Under contract no. FP6-021235-2 (Project ARRIVAL).

Localización robusta de infraestructuras lineales

de sistemas de transporte

Escuela Superior de Informática de Ciudad RealUniversidad de Castilla-La Mancha

Ricardo.Garcia@uclm.es

MAT

VII Congreso de Ingeniería del Transporte. Ciudad Real, del 14 al 16 de junio de 2006

Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha

• Red de Ciudad Real (Arcos de la Ronda):Modelos y Algoritmos para

sistemas de Transporte

VII Congreso de Ingeniería del Transporte. Ciudad Real, del 14 al 16 de junio de 2006

Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha

http://www.inf-cr.uclm.es/www/Ricardo.Garcia/

Índice

Problema

Modelización

Algoritmos

Problema

Localización de una autovíaLocalización de una red ferroviaria (metro)

red física flota

horarios

estratégica

operacional

definición de líneas frecuenciastáctica

Diseño de una red ferroviaria

red física flota

horarios

estratégica

operacional

definición de líneas frecuenciastáctica

Lines C and K use Intercity trains (IC) with anaverage speed of 76 km/h. Line E uses an Inter Re-gional train (IR) with an average speed of 65 km/hand line M uses a Local train (L) with an averagespeed 51 km/h [9].

All tracks are double tracks, except betweenLanden and Sint-Truiden, and between Sint-Truiden and Alken, which are single tracks. Thismeans that, in any direction, there can be onlyone train at any time. In the station of Sint-Truiden two trains travelling in opposite directionscan cross one another.

The NMBS operates a cyclic timetable with astandard period of 60 minutes. This means thatthe timetable is repeated every hour. If it wereacceptable to create di!erent timetables for themorning or evening rush hours or for holidayperiods, it would open extra possibilities forimprovement. Yet NMBS considers a cyclic time-table necessary for clarity towards the passengers.Shires et al. [16] report on periodicity benefits ingeneral.

For some of the possible trips in this networkmore than one line is available. For instance be-tween Leuven and Aarschot one can take the Mor the E line. It is obvious that customers will bebetter-o! (see also [20]) if the trains of these linesare evenly spread over the period under consider-

ation. In our case, the considered period is 1 hourand, as a consequence, the time between the M andE trips should be approximately 30 minutes. If thelines are not evenly spread, the time between twopossible trips can reach up to 55 minutes.

Most of the trains stop in more stations thanthose mentioned in Fig. 1, but no connections takeplace in these stations and the number of tracksdoes not change either. Thus, these stations haveno real impact on the timetable problem and aretherefore omitted.

In order to minimise ‘‘a total generalised wait-ing cost’’ for the passengers, it is important toknow which connections are frequently used andmust be guaranteed, and which connections areunimportant. It appears that only in Leuven andHasselt connections are crucial. It is furthermoreunderstood that passengers always prefer a directtrip to a trip with one or more connections.

The important connections to be made in Has-selt and Leuven are

Hasselt: from train K1 to train C1: to go fromAlken to Aarschot;from train K1 to train C0: to go fromAlken to Liege;from train C0 to train K0: to go fromAarschot to Alken.

Heist-op-den-Berg

Aarschot

Hasselt

Leuven Landen Sint-Truiden

Alken

C0 Liège

GenkAntwerpen

Brussel

C1

M0M1 E1E0

K0

K1

Railway track

Train lineE1

Fig. 1. Railway network.

P. Vansteenwegen, D.Van Oudheusden / European Journal of Operational Research 173 (2006) 337–350 339

Diseño de una red ferroviaria

Diseño de una red de autovías localización preliminar

(alineaminetos horizontales)

trazado, señalización, etc

estratégica

operacional

alineamientos verticalestáctica

modelo de demanda(elección usuarios)

modelo de oferta(red de transporte)

Metodología de diseño

nive

linfe

rior

nive

lsu

perior

Modelización

nive

linfe

rior

Una línea/una red principal (a localizar)

Red de acceso a la nueva infraestructura

Red existente (alternativa)

Restricciones presupuestarias

Costes de transportes independientes del flujo

Evitación de obstáculos

MODELO DE OFERTA

Una línea Poligonal

Una red Unión de segmentos

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Caso Geométrico 2: Camino mínimo con dos segmentos

CoordenadasX UTM

Coo

rden

adas

Y U

TM

Autovía

Camino Óptimo

Origen!Destino

Límite Autovía

Acceso o Salida de Autovía

(a,b)

(c,d)

(a’,b’)

(c’,d’)

(x,y)

(x’,y’)d1

d2

d3

(a!, b!)(c!, d!) (a, b) (c, d)

(a!, b!) (c, d)

w v v > w(x!, y!) (x, y)

(a!, b!) (c, d)v = 110km/h w = 80km/h

w

v

Un patrón de movilidad sintetizado en una matriz O-D

Elección de la ruta (Primer principio de Wardrop)

Modelo logit

Elección de realizar o no el viaje (elasticidad de la demanda)

Elección del sistema de transporte (elección de modo)

nive

linfe

rior

MODELO DE DEMANDA

Localización de una línea

2.1. Formulacion matematica del modelo de localizacion de una autovıa 7

La vıa de transporte constara de n puntos p1, . . . , pn y se representara mediante seg-

mentos rectos entre dos puntos consecutivos pi pi+1. La Figura 3 representa la red real,

pero esta conduce a un grafo que determina los posibles movimientos entre los nodos de

la red. Desde cada centroide ci se podra acceder a todos los puntos p1 . . . pn. Los arcos de

autovıa seran de la forma (pi, pi+1) y los arcos de incorporacion a la autovıa seran de la

forma (ci, pj). El grafo resultante es el mostrado en la Figura 4.

Figura 3: Red real

Figura 4: Grafo del problema

Red física de transporte

Grafo de estrategia

C

ua

a

ua

ua, ub

! !Wg!

!{g!}!!W

m ! {a, b}

pmw (ua

!, ub!) =

exp!"("b + #ub

!)"

#m!!{b,a} exp

!"("m! + #um!

! )" ,

gm! = pm

w (ua!, ub

!)g!, m ! {a, b}

gm!

!(m)

"m = 0 # # +$

pbw(ua

!, ub!) =

$1 ua

! " ub! > 0

0 ua! " ub

! < 0

b

Zb =%

!

gb!

Modelo logit

Localización de una red

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Caso Geométrico 2: Camino mínimo con dos segmentos

CoordenadasX UTM

Coo

rden

adas

Y U

TM

Autovía

Camino Óptimo

Origen!Destino

Límite Autovía

Acceso o Salida de Autovía

(a,b)

(c,d)

(a’,b’)

(c’,d’)

(x,y)

(x’,y’)d1

d2

d3

(a!, b!)(c!, d!) (a, b) (c, d)

(a!, b!) (c, d)

w v v > w(x!, y!) (x, y)

(a!, b!) (c, d)v = 110km/h w = 80km/h

w

v

Red física de transporte

Autovía 1

Autovía 2

A1+

O

A1-

D

A2+ A2-

Localización de una red

Problemas de camínos mínimos en un grafo de estrategia

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Caso Geométrico 2: Camino mínimo con dos segmentos

CoordenadasX UTM

Coo

rden

adas

Y U

TM

Autovía

Camino Óptimo

Origen!Destino

Límite Autovía

Acceso o Salida de Autovía

(a,b)

(c,d)

(a’,b’)

(c’,d’)

(x,y)

(x’,y’)d1

d2

d3

(a!, b!)(c!, d!) (a, b) (c, d)

(a!, b!) (c, d)

w v v > w(x!, y!) (x, y)

(a!, b!) (c, d)v = 110km/h w = 80km/h

w

v

C

ua

a

ua

ua, ub

! !Wg!

!{g!}!!W

m ! {a, b}

pmw (ua

!, ub!) =

exp!"("b + #ub

!)"

#m!!{b,a} exp

!"("m! + #um!

! )" ,

gm! = pm

w (ua!, ub

!)g!, m ! {a, b}

gm!

!(m)

"m = 0 # # +$

pbw(ua

!, ub!) =

$1 ua

! " ub! > 0

0 ua! " ub

! < 0

b

Zb =%

!

gb!

Modelo logit

Sin incertidumbre (optimización de un criterio):

Maximización de la cobertura

Minimización de congestión red existente

Minimización del tiempo total de viaje en el sistema de transporte

nive

lsu

perior

METODOLOGÍA DE DISEÑO

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6

x 105

4.3

4.32

4.34

4.36

4.38

4.4

4.42

4.44

4.46

4.48

4.5x 10

6 Prueba 2 con los datos de Castilla La Mancha

CoordenadasX UTM

Coord

enadasY

UT

M

Toledo

Ciudad Real

(c,d)=Albacete

Guadalajara

Cuenca

(a,b)

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6

x 105

4.3

4.32

4.34

4.36

4.38

4.4

4.42

4.44

4.46

4.48

4.5x 10

6 Prueba1 con datos de Castilla La Mancha

CoordenadasX UTM

Co

ord

en

ad

asY

UT

M

Toledo

Ciudad Real

Guadalajara

Cuenca

Albacete

(a,b)

(c,d)=

Con incertidumbre (diseño robusto):

Frente a parámetros (matriz O-D)

Entre etapas de planificación

nive

lsu

perior

METODOLOGÍA DE DISEÑO

Análisis de sensibilidad

impacto de los datos en las recomendaciones

Programación estocástica:

primera etapa-> x (variables de diseño)

experimento aleatorio->w (escenarios)

Segunda etapa-> y(w,x) (variables de control)

optimización del valor esperado en los escenarios

nive

lsu

perior

TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE

Optimización robusta

Mulvey, Vanderbei y Zenois (1994)-> optimización de la esperanza matemática +penalización de la infactibilidad

Bertsimas y Sim (2004)-> El precio de la robustez (mantener factible la solución con cierta probabilidad y cerca de la óptima cuando los datos varían)

Ben-Tal y Nemirovski (incertidumbre elipsoidal)

nive

lsu

perior

TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE

Optimización robusta (continuación)

minmax regret optimization->Averbakh, Kouvelis, Yu, Mozos-Mesa

Robustez absoluta (xa):

Desviación robusta (xd)

nive

lsu

perior

TRATAMIENTO DE LA INCERTIDUMBRE

maxs!S

f(xa, !s) = mınx

maxs!S

f(x, !s)

maxs!S

f(xa, !s) = mınx

maxs!S

f(x, !s)

maxs!S

(f(xd, !s)! f(x"s , !s)) =

mınx

maxs!S

(f(x, !s)! f(x"s , !s))

Ejemplo (beneficio)e1

(0.2)e2

(0.4)e3

(0.4)R1 10 0 0

R2 1 3 0

R3 0.5 0 3

R4 0.7 1.5 1.5

R1

R3R4R2

e3

e2e1

Ejemplo (beneficio)e1

(0.2)e2(0.4)

e3(0.4)

C1 C2 C3

R1 10 0 0 2 0 3

R2 1 3 0 1.4 0 9

R3 0.5 0 3 1.3 0 9.5

R4 0.7 1.5 1.5 1.34

0.7 9.3C1->Maximización de la esperanza matemáticaC2-> Robustez absoluta (ponerse en lo peor)C3->Desviación robusta (equivocarse en lo menor)

Robustez frente a la matriz O-D

Pr (R* sea mejor o igual que R)>=1/2

para toda R (red) posible

La red R* es robusta frente a la matriz O-D aleatoria sii satisface:

Ejemplo (beneficio)e1

(0.2)e2

(0.4)e3

(0.4) C1 C2

R1 10 0 0 0

R2 1 3 0 1 X

R3 0.5 0 3 0.5

R4 0.7 1.5 1.5 1.5

C1-> Bertsimas y Sim p=0.5 C2-> Mediana

Consideraciones: Emplea un método robusto al que no

influyen decisivamente outliers de la matriz O-D

No es un modelo de optimización

Los criterios clásicos sirven para definir el concepto sea mejor

Si la distribución de la matriz O-D es discreta se puede evaluar si una red es mejor que otra

AlgoritmosMÉTODOS EXACTOS (PRUEBAS CON GAMS)

modelo básico localización-enrutamiento de una poligonal en el plano->tamaño del problema (variables de flujo): cúbico en el número de centroides

Motivación de los algoritmos heurísticos

óptimos locales en los modelos sin incertidumbre

grandes dimensiones (mostrado en las pruebas exactas)

Estructura binivel

Nivel superior->localización de la red (R)

Nivel inferior-> simulación de la demanda en la red R (g)

el modelo robusto no es un modelo de optimización pero permite aplicar estrategias heuríticas basadas en saber si una solución es mejor que otra tipo SA, GA, etc.

Motivación de los algoritmos heurísticos (continuación)

Esquema algorítmico heurístico básico en el diseño robusto

1. Simula n escenarios (n matrices O-D y parámetros del modelo logit)

2. Genera R factible (algoritmos heurísticos clásicos)

3. Evalúa R en los n escenarios

4. Compara R con Ractual sobre los n escenarios.

Si R es mejor que Ractual,

Ractual<-R

5. Criterio de paro o ir a paso 2.

En estos momentos...red de autovías de Castilla-La Mancha

red de metro de Sevilla

Conclusiones

SEMINARIO DE OPTIMIZACIÓN EN FERROCARRILES

PROYECTO ARRIVAL

Transportation Planning Models

Prof. Dr. Gilbert Laporte

Canada Research Chair of Distribution Management,

HEC, Canadá

Localización Robusta de Infraestructuras Lineales de Sistemas de Transporte

Prof. Dr. Ricardo García Ródenas

Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla la Mancha

Dicho seminario tendrá lugar el 23 de abril de 2007 a las 12:15 en el Seminario del Departamento de Matemática Aplicada II. Grupo de Investigación en Localización FQM-241. Partially supported by the Future and Emerging Technologies Unito f EC (IST priority-6th FP), Under contract no. FP6-021235-2 (Project ARRIVAL).