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Seminario de IngresoMatemática

www.frt.utn.edu.ar

UTNFACULTAD REGIONAL TUCUMÁN


Ing. Jaime Raúl SaavedraCoordinador Área Matemática

El presente material está dirigido a los alumnos aspi-

rantes a ingresar a la Facultad Regional Tucumán de

la Universidad Tecnológica Nacional y tiene como

objetivos fortalecer y aanzar conceptos estudiados

en la etapa anterior como también desarrollar habili-

dades para el cursado de las asignaturas del primer

nivel de los planes de estudio de las diferentes carreras

de Ingeniería que ofrece la Facultad.

COMISIÓN DE INGRESO

Introducción

Ÿ Clasicación de las expresiones algebraicas.

Ÿ Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio.

Ÿ Operaciones entre polinomios.

Ÿ Regla de Ruffini y Teorema del Resto.

Ÿ Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra.

Ÿ Factoreo.

Ÿ Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplicación.

Ÿ Trabajo Práctico N°2

Índice

Ÿ Números Naturales y Enteros. Propiedades.

Ÿ Números Racionales. Propiedades.

Ÿ Números Irracionales. Propiedades. Notación cientíca.

Ÿ Números Reales. Estructura algebraica.

Ÿ Números complejos. Estructura algebraica.

Ÿ Trabajo Práctico N° 1

UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS

2

4

6

6

14

16

1 - 24

UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

28

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30

32

34

36

38

41

25 - 48

Ÿ Figuras planas. Conceptos básicos.

Ÿ Polígonos. Conceptos y clasicación.

Ÿ Calculo del perímetro y el área de un polígono.

Ÿ Ángulos. Conceptos y clasicación.Sistemas de medición.

Ÿ Triángulos. Clasicación y propiedades.Mediatriz, bisectriz, altura y mediana.

Ÿ Cuadriláteros. Clasicación y propiedades.

Ÿ Circunferencia. Conceptos generales. Rectas Tangentes y secantes.

Ÿ Perímetro, área y longitud de los triángulos, cuadriláteros y circunferencia.

Ÿ Cuerpos geométricos. Clasicación. Cálculo del volumen.

Ÿ Razones trigonométricas.

Ÿ Resolución de Triángulos Rectángulos.

Ÿ Circunferencia trigonométrica.

Ÿ Relación entre ángulos de distintos cuadrantes.

Ÿ Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno.


UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA

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49 - 86

Índice

Ÿ Ecuación. Conceptos generales.Clasicación.

Ÿ Ecuaciones lineales. Conceptos generales. Aplicaciones.

Ÿ Ecuaciones cuadráticas. Conceptos generales.

Ÿ Distintas formas de resolver y expresar a la ecuación cuadrática.

Ÿ Naturaleza de las raíces. El discriminante.

Ÿ Aplicaciones de la ecuación cuadrática.

Ÿ Ecuaciones racionales. Conceptos generales.

Ÿ Ecuaciones Irracionales. Conceptos generales.

Ÿ Ecuaciones exponenciales. Conceptos generales.

Ÿ Ecuaciones logarítmicas. Conceptos generales.

Ÿ Ecuaciones trigonométricas. Conceptos generales.

Ÿ Inecuaciones. Conceptos generales.Resolución de inecuaciones lineales, fraccionarias y con valor absoluto. Aplicaciones.


UNIDAD 4: ECUACIONES

86

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92

93

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85 - 115

Ÿ Relaciones.

Ÿ Función. Conceptos Generales.

Ÿ Dominio, rango y gráca de las funciones.

Ÿ Clasicación de las funciones.

Ÿ Funciones polinómicas. Clasicación.

Ÿ Función Afín.

Ÿ Distintas formas de expresar la ecuación de la recta.

Ÿ Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Ÿ Función Cuadrática. Conceptos generales.

Ÿ Función Racional .Función Irracional. Conceptos generales.

Ÿ Funciones trascendentes. Clasicación.

Ÿ Función Exponencial. Función Logarítmica. Conceptos generales.

Ÿ Función por tramos. Representación gráca.


UNIDAD 5: FUNCIONES

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117 - 161

VISITA A LA WEB 165

BIBLIOGRAFÍA 166

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Ÿ Denir los conjuntos numéricos.

Ÿ Distinguir entre números racionales e irracionales, reales y complejos.

Ÿ Recordar la aritmética de los números reales y complejos.

Ÿ Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemáticas.

Unidad 1

Objetivos



UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS Matemática UTN - FRT

INTRODUCCIÓN

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el término “conjunto”, seguramente

nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada.

En matemática esta expresión no está para nada alejada de lo que entiendes por un conjunto, la

diferencia radica en que los conjuntos que trataremos son aquellos que están formados por números.

Los números son elementos fundamentales en el estudio de la matemática, ya que gracias a ellos se

pueden precisar o determinar exactamente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es

por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos es lo que haremos en esta unidad.

NÚMEROS NATURALES Los números naturales son los que normalmente ocupamos para

contar, se representan por el símbolo N. Sus elementos son:

N= 1, 2, 3, 4, . . .1

Este conjunto es “cerrado” para la suma y la multiplicación, es decir: paratodo par de números en N, su suma y su multiplicación también es un número natural. Este conjunto NO es “cerrado” para la resta y la división, ya que: paratodo par de números en N, su resta y división NO es necesariamente un número natural.

Los números naturales es un conjunto ordenado.

Se los representa en la recta numérica.

Si al conjunto de los números naturales le agregamos el 0

(cero), obtenemos el conjunto de los Números Cardinales;

este se representa por el símbolo N0, y sus elementos son:

N0= 0, 1, 2, 3, 4, . . .1 = N ∩ 0

Los números naturales también sirven para ordenar. Por ejemplo, decimos martes es el segundo día de la semana; 5 es el quinto número natural, etc.

Observa que …

1 + 5 = 6 ∈ N

4 x 7 = 28 ∈ N

2 – 2 = 0 ∉ N

3 – 8 = – 5 ∉ N

2 Seminario de Ingreso

UTN - FRT Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS ENTEROS Es el conjunto formado por los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo.

Z= −∞. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .∞= 00Z N Z N− −=

A diferencia de los números Naturales, este conjunto si es “cerrado” para la suma, la resta y la multiplicación; es decir: para todo par de números enteros, su suma, multiplicación y diferencia es siempre un número entero. Este conjunto no es cerrado para la división, y a que una

división entre dos números enteros no es necesariamente otro número

entero.

Ejemplos:

( )( )( )( )

2 2 2

3, 7 3 7 4

3, 7 3 7 10

3, 7 3 7 21x

Z implica Z

Z implica Z

Z implica Z

Z implica Z

− ∈ − − = ∈

− ∈ + − = − ∈

− ∈ − − = ∈

− ∈ − = − ∈

Su representación gráfica es,

Ejemplo: Ayer amaneció con una temperatura de 3°C bajo cero; hoy la temperatura aumento 5°C.

¿Cuál es la temperatura de hoy?

Solución

Piensa… ¿Cuántos enteros existen entre 3 y 11?, ¿Y entre – 4 y 5?

¿Qué podrías afirmar sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?

¿Cuántos enteros hay entre dos cualesquiera?

Se dice que un número a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que: a + b = 0 b es también conocido como − a.

Para cualquier número x existe un único que cumple que: x + (ese único) = x a ese número lo conocemos como neutro aditivo, (o también conocido como 0).

Seminario de Ingreso 3


NÚMEROS RACIONALES Al conjunto de los números racionales lo representamos por:

/ , , 0pQ p q Z qq

= ∈ ≠

Se cumple que para cada par de números racionales, la suma, resta, multiplicación y división (excepto

por cero), es siempre un número de Q, a este tipo de conjuntos se les conoce como CUERPO.

Piensa… ¿Existe un numero racional que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o

igual que todos los demás?

¿Qué podrías afirmar sobre la cantidad de racionales que existen entre dos de ellos?

¿Cuántos racionales hay entre dos cualesquiera?

Los números racionales pueden expresarse de diferentes formas.

Ejemplo: expresa de diferentes formas el número cinco cuartos.

Solución

5 5 15 125 1,25 1,250...4 4 12 100 DECIMAL

FRACCIONARIA

−= = = = =−

Observa que… 8 4

0 2 8 4 . 2 0⇒ = +

de modo que 4 divide a 8, o también, 8 es

divisible por 4.

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD

Si el resto de la división es, r = 0

Resulta a = b . q

Se dice entonces que, a divide b, o que b

es múltiplo de a, o que a es divisible b.

El resto de dividir dos números enteros puede

ser distinto de cero.

Ejemplo: divide 7 en 2.

7 2

1 37 2.3 1⇒ = + .

a b

r qa b q r⇒ = +

ALGORITMO DE LA DIVISION

Sean a, b ∈Z con a ≠ 0, si dividimos a en b,

entonces existen q y r también enteros

tales que:

a = b . q + r

El resto de una división nunca es negativo.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS



NÚMEROS IRRACIONALES Es el conjunto de todos los números que no pertenecen al conjunto de los racionales, es decir no se

pueden escribir como fracción ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relación. Una forma de

enunciar sus elementos es:

/I a a Q= ∉

Algunos elementos de éste conjunto son: , , 2eπ ,etc . . .

NÚMEROS REALES

Es el conjunto que resulta de la unión de todos los conjuntos que hemos visto, pero como te habrás

dado cuenta, en los números racionales están ya incluidos los naturales y los enteros, entonces podemos

decir que:

R Q I=

Ver diagrama de Venn del conjunto de los números R.

N Z Q R Q I⊂ ⊂ =

Observa que…

Entre el conjunto de los números racionales y el de los irracionales no existe ningún

elemento en común. Además, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse,

restarse, multiplicarse, o dividirse pueden obtener un número racional, como por

ejemplo; 2 12= , y 1 no es un numero irracional.

N Z Q I

R



El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le

corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único número real.

A esta recta la llamamos recta real.

No siempre somos capaces de representar exactamente un número real, sin embargo siempre es

posible obtener una representación aproximada de él a partir de su expresión decimal.

Ejemplo: representa los siguientes números reales

71,5 6 32

− − en la recta real.

• Propiedades

Al combinar los números reales utilizando las operaciones de suma y multiplicación, tenemos:

PROPIEDAD EJEMPLO

a b b a+ = + 7 + 3 = 3 + 7

. .a b b a= 4 . 5 = 5 . 4

( ) ( )a b c a b c+ + = + + (3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)

( . ). .( . )a b c a b c= (8 . 2) . 3 = 8 . (2 . 3)

.( )a b c ab ac+ = + ( ).b c a ab ac+ = +

2 . (1 + 4) = 2 . 1 + 2 . 4 (1 + 4) . 2 = 2 . 1 + 2 . 4

( 1).a a− = − (-1) . 3 = – 3

( )a a− − = – (– 5) = 5

( ). .( ) ( )a b a b ab− = − = − (- 4). 3 = 4. (- 3) = - (4. 3)

( ).( )a b ab− − = (-2) . (-8) = 2 . 8

( )a b a b− + = − − -(7 + 3) = -7 - 3

( )a b b a− − = − -(8 – 5) = 5 - 8

Observa que... No existe un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los demás. Además, entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales, e infinitos números irracionales.

-∞… -3 -2 -1 0 1 2 3 4… ∞

73 1,5 62

− −



• Orden operatorio Cuando trabajes con ejercicios de operaciones combinadas, es decir ejercicios que contengan sumas,

restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente que existen prioridades en el

desarrollo de éstas, esto es, hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el

resultado correcto. Este orden es el siguiente:

1. Potencias

2. Multiplicaciones y divisiones

3. Sumas y restas.

La presencia de paréntesis dentro de algún ejercicio, nos indicará que debemos realizar primero las

operaciones que están dentro de él.

Ejemplo: 6 + 4 · (14 − 22· 3) − 26 ÷ 2

Solución

Primero debemos resolver el paréntesis (la potencia, luego la

multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y la

división 26 ÷ 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas.

Entonces se vería algo así:

6 + 4 · (14 − 22· 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 4· 3) – 26 ÷ 2

= 6 + 4 · (14 − 12) – 26 ÷ 2

= 6 + 4 · (2) – 26 ÷ 2

= 6 + 8 – 26 ÷ 2

= 6 + 8 – 13

= 14 – 13

= 1


UTN - FRT Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS INTERVALOS Hemos visto el conjunto de los números reales R, lo podemos representar en una recta numérica. Por lo tanto cada segmento de ésta recta representa un subconjunto de R, cada uno de estos subconjuntos se denomina Intervalo. Existen distintos tipos de intervalos. Observa la siguiente tabla:

INTERVALO GRAFICA Intervalo abierto

(a, b) = x ∈ R / a < x a

(- ∞, a] = x ∈R / x ≤ a

(- ∞, a) = x ∈R / x < a

(- ∞, ∞) = R

VALOR ABSOLUTO Para cualquier número real a, el valor absoluto de a, denotado por |a|, es:

00

a si aa

a si a≥

= − <

Ejemplo:

a) |3| = 3 b) |- 3| = - (-3) = 3 c) |2 - π| = - (2 - π) = π - 2

0 a b

0 a b

0 a

0 a

0 a

0

0 a b

0 a b

0 a


Distancia entre puntos en la recta real

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta real es:

d(a, b) = |b – a|

Ejemplo: la distancia entre los números – 8 y 2 es:

D(-8, 2) = |- 8 – 2|= |-10|= 10

Gráficamente

POTENCIACIÓN

Definición

. . . ... .na a a a a= a∈ Z y n ∈N

a: base n: exponente

• Propiedades

Sean a, b ∈ R– 0 y n, m ∈ Z, entonces:

RADICACIÓN

Definición n a b= tal que bn = an ∈Z a, b ∈R

a: radicando n: índice de la raíz

La radicación de números entero

no siempre es un entero.

PROPIEDAD EJEMPLO

.m n m na a a += 3 2 3 2 52 .2 2 2+= =

:m n m na a a −= 5 2 5 2 36 : 6 6 6−= =

( . ) .n n na b a b= 2 2 2(3.4) 3 .4=

( : ) :n n na b a b= 3 3 3(3: 2) 3 : 2=

( ) .nm m na a= ( )23 3.2 62 2 2= =

0 1a = 05 1=

1a a= 18 8=

1nna

a− = 2

214

4− =

0 2 - 8

10

Signos de la radicación

i. N° positivo = N° positivo

ii. N° negativo = N° negativo

iii. N° positivo = N° positivo

iv. N° negativo = R

impar

impar

par

par R

→ =

→ − = −

→ =

∉ → − = ∉

3

3

4

27 3

8 2

16 2

9


UTN - FRT Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS • Propiedades

Sean a, b ∈ R y n, m ∈ N, entonces:

PROPIEDAD EJEMPLO

. .n n na b a b= 3 33 ( 8).27 8 . 27 ( 2).3 6− = − = − = −

: :n n na b a b= 4 4 4 381:16 81: 162

= =

.m m nn a a= 3 6729 729 3= =

( )mn m na a= ( )4

3 4 33 3=

1 1aa

− =

1 155

− =

1nna

a− =

2

21 13

93− = =

m

n mna a=

23 234 4=

• Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y mismo radicando.

• Operaciones

a) Suma o resta: solo puede efectuarse cuando los radicales son semejantes.

Ejemplo: 3 33 8 2 11 2a a a a a+ − = −

b) Producto o cociente: primero hay que reducirlo a índice

común.

Ejemplo: = 6 3 23.a b a b

c) Racionalización de denominador: se multiplica y divide por

una expresión adecuada, de manera que permita suprimir los radicales del denominador. Ejemplo:

1 1 . a ba b a b a b

a ba b

+=

− − +

+=

−

Evita cometer el siguiente

error:

a b+ = a b+

Ejemplo: ?

?

?

¡ !

9 16 9 16

25 3 4

5 7lo cual es INCORRECTO

+ = +

= +

=



NOTACIÓN CIENTÍFICA

Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Definición

N = a, bcd… x 10n

a: parte entera (solo una cifra, entre 1 y 9)

bcd… : parte decimal

10n: potencia entera de base 10

• Operaciones

a) Para las sumas y restas hay que preparar los sumandos de modo tal que tengan todos la misma

potencia de base 10 y así poder sacar factor común.

Ejemplo: 9 12 9 9 95,83.10 6,932.10 5,83.10 6932.10 6937,83.10+ = + =

b) Para productos y cocientes, se multiplican (dividen) las mantisas entre si y las potencias de base

10 se suman (restan). Ejemplo:

Ejemplo: 4 7 117,25.10 2,20.10 15,95.10× =

PRODUCTOS NOTABLES

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

DIFERENCIA DE CUADRADOS

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Si n es positivo, entonces N es grande.

Si n es negativo, entonces N es chico.



LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL

Definición n

blog a = n b = a con a, b > 0 y b 1⇔ ≠ a, es el argumento del logaritmo b, es la base del logaritmo n, valor del logaritmo.

• Propiedades

Nombre En símbolos

Logaritmo de un producto b b blog (x .y) = log x + log y

Logaritmo de un cociente b b blog (x :y) = log x - log y

Logaritmo de una potencia nb blog x = n . log x

Cambio de base. blog xlog x = a > 0 y a 1log b

a

a

∀ ≠

Logaritmo en base a de a. log a = 1a

Logaritmo de uno. log 1 = 0a

Si la base es el número neperiano “e”, entonces:

ln x = loge x→ logaritmo natural o neperiano



Unidad imaginaria 2j = -1 j = -1⇒

j0 = 1 j3 = - j j1 = j j4 = 1 j2 = -1 j5 = j vemos que cuando el exponente es ≥ 4, se repiten los valores de jn.

En general, cuando n ≥ 4, hacemos:

( )44 4 . . 1.qn q r q r r r rj j j j j j j j+= = = = =

Ejemplo: calcula j69 n = 69 ⇒69 : 4 = 17

y sobra 1 ⇒ r = 1 ⇒j69 = j1 = j

NÚMEROS COMPLEJOS

Definición Los números complejos se los puede escribir en su forma binómica como: Z =a + bj; donde a y b son

reales y “j” es la unidad imaginaria. A este conjunto se los representa mediante C.

Decimos también que “a” es la parte o componente real y “b” es la parte o componente imaginaria.

• Operaciones

OPERACIÓN EJEMPLO PASOS A SEGUIR

Suma

Z + Z1 2

(1 2 ) (2 4 )1 2 (1 2) (2 4) 3 6

Z Z j j

jj

+ = + + +

= + + +

= +

Se agrupan las componentes reales e

imaginarias entre si y luego se realiza la

suma.

Resta

Z - Z1 2

- (5 3 ) - (2 4 )1 2 (5 - 2) (3 - 4)

3

Z Z j j

jj

= + +

= +

= −

Se agrupan las componentes reales e

imaginarias entre si y luego se realiza la

resta.

Producto

Z . Z1 2

. (2 3 ) . (1 4 )1 22 2.1 2.4 3.1 3.4

(2 - 12) (8 3)-10 11

Z Z j j

j j jj

j

= + +

= + + +

= + +

= +

Se realiza la multiplicación de los

paréntesis como de costumbre, es decir,

término a término. Al final agrupas

componentes reales por un lado e

imaginarias por otro y efectúas las

operaciones de sumas o restas que

hayan quedado entre ellas.

Cociente

Z : Z1 2

( ) ( )( ) ( )

22

2 3 1 - 2 1 2 1 2 1 - 2

2 3 1 2

1 2 1 - 2

2 4 3 6 , 1 21 2 2 4

2 6( 1) 1 4( 1)

8 1-

5 5

:

2 65

j jZ Z

j j

j j

j j

j j jj

j j jj

j

j

+= ×

+

+ −=

+

− + −= = −

− + −

− − −=

− −

=

− +=

Multiplicamos y dividimos por el

conjugado del complejo divisor.

Realizamos los productos en numerador y

denominador, tal como se explicó

anteriormente. Notarás que el

denominador se reduce a un número real

(siempre). Distribuye respecto al

denominador común para visualizar

mejor las componentes del complejo.



• PropiedadesSea Z = a + bj un número complejo

PROPIEDAD EN SÍMBOLOS EJEMPLO

Conjugado de Z. Z a bj= − 2 3 2 3Sea Z j Z j= + ⇒ = −

Opuesto de Z. Z a bj− = − − 2 3 2 3Sea Z j Z j= + ⇒ − = − − Producto de un Z por su conjugado.

2 2.Z Z a b= + 2 22 3 . 2 3 4 9 13Sea Z j Z Z= + ⇒ = + = + =

Suma de un Z con su conjugado. 2Z Z a+ = 2 3 2.2 4Sea Z j Z Z= + ⇒ + = =

Resta de un Z con su conjugado. 2Z Z bj− = 2 3 2.3 6Sea Z j Z Z j j= + ⇒ − = =

Módulo de Z 2 2Z a b= + 2 22 3 2 3 13Sea Z j Z= + ⇒ = + =

• Representación gráfica

El conjunto numérico visto en esta unidad, queda definitivamente en este orden:

ImaginariosIrracionales

FraccionariosN° Complejos

Reales NaturalesRacionales

Enteros 0Enteros Negativos

EjeReal

Eje Imaginario

Zde conjugadobj - a =Z

bj a +=Z

Zde opuestobj - a- =Z-

|Z|

El módulo de un número

complejo es el módulo

del vector determinado

por el origen de

coordenadas y el punto

Z(a, b) llamado afijo del

complejo Z.



TRABAJO PRÁCTICO N° 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) Dado el conjunto 6 73, 1, , , 5, , 0.85, 4 , 62, 1.36 4

X e j = −

, encuentra:

a) X ∪ Q c) N ∪ I e) X ∪ I

b) X ∪ N d) X ∪Im f) X ∪ Z

2) Contesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

a) La diferencia entre dos números racionales es otro racional.

b) Existen infinitos números naturales entre 10 y 25.

c) Si a = 4 y b = 0, entonces a:b = 0

d) El cociente entre un número y su opuesto es igual a (-1).

e) Para todo a ∈ R, (a-1)-1= a

3) Elige la opción correcta

a) Si n es un número entero, entonces, ¿Cuál/es de las siguientes expresiones representa/n tres

números consecutivos?

i. 2n, 2n + 1, 2n +2 ii. 4n, 4n +2, 4n + 4 iii. 2n – 2, 2n – 1, 2n

OPCIONES iii i y ii i y iii ii y iii TODAS

b) Si a ∈N y b ∈Z, entonces el conjunto más pequeño al que pertenece ab

es:

OPCIONES R I Z Q N

c) ¿Qué número dividido por 5p

da como resultado 5p .

OPCIONES 2

5p

5p 5

p

2

5p

1

4) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, hallar a y b.

5) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que llamamos b

y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número c y el resto 1. Luego

dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número a?


UTN - FRT Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 6) Razona si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas poniendo un contraejemplo en aquellas

que sean falsas.

a) Hay números enteros que no son racionales

b) Hay números reales que no son racionales

c) Un número real es racional o irracional

d) Todo número decimal es real

e) Todo número decimal se puede escribir en forma de fracción

f) Todo número decimal periódico se puede escribir en forma de fracción

g) Un número irracional es real

h) Hay números racionales que no son reales

i) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales

j) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten

k) Algunos números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten

7) Realiza las siguientes operaciones sobre el conjunto de los números reales.

a) (3 8) [5 ( 2)]− + − − d) 3 1 5 1:4 2 3 6

+ −

b) 5 [6 2 (1 8) 3 6] 5− − − − − + + e) 2

4 6 2 3 512 . .2 : (2 .2 .2)2

−− −

c) 2 2 4 3 510 2 1 23 3 5 5 2

− − + ⋅ − − + − ⋅ −

f) 1 13 25 6

− + −

8) Escribe un número que cumpla con las condiciones dadas:

a) Decimal periódico puro que al redondear a la milésima da 3,677

b) Decimal periódico mixto que al truncar a la centésima da 8,97

c) Irracional que al redondear a la diezmilésima de 5,0023

9)

a) ¿De qué número es 150 la sexta parte? b) ¿De qué número es 900 el 51%?

10) Expresa en forma de fracción los siguientes números:

a) 3,666… d) 4,33333… c) 12,1333…

b) 3,0002222… e) 3,3332323232… f) 105,330202…

11) Desarrolla las potencias

a) ( )21p − b) 2 2( )q p+ c) 2 3( 1)q −

d) ( )22 33x z y+ e) 3 33( )y x− f) 11 33(2 )z y x− +



12) Expresa estos radicales como potencia.

a) =3 27 c) − =3 125

b) =8 64 d) =4 1000

13) Expresa los radicales dados como potencia de exponente racional y resuelve:

a) =3 97 b) =413 c) a aa

=3

d) =3 1210 e) =4 815 f)

−

−=

2

3 5

17 .7

7

14) Efectúa las siguientes operaciones:

a) 32 8− b) 5 18 32 2 72− + c) 64 3 43 3 . 3 : 3

d) ( )25 . 3 e) 3 102 75 2 : 2 . 2 f) 3 33 24 375+

15) Racionaliza el denominador

a) 3. 53

b) 2 12 1+

−c)

83 5−

d) 4 54 5+

+ e)

−

+

p mp m

f) x yx y−

+

16) Desarrolla y expresa el resultado usando exponentes racionales.

a) 33 4

5 2

x xx

−

c)35. 9

27 . 125

b) 1x x y− d) ( )6

3

2 . 2

16

17) Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a) 21 ( 3) 1 32,16 .

4 2 2 8 − + − − +

c) 1 22 2a

a a− −

2 3

2

1 3

1 6 5 2 12 . :700 105 7 4 7 2) :

1 1 1 1 0,035 102 . :3 2 3 4 59

b−

−

− − × −× −−

11 20,5 0,5 3 3) (9 9 ) ( 27) ( 8)d−

− + − + −


18) Expresa cada número en notación científica

a) 123,5248 x 105= …………………… d) 0,01245 x 109 = ……………………

b) 5437,65 x 108= …………………… e) 9877,3288 x 10-5 = ……………………

c) 1200000 = …………………… f) 0,00000000132 = ……………………

19) Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica (usa tu calculadora).

a) 8,05 x 107 + 3,16 x 107= …………………… c) 3,13 x 108 - 1,66 x 107 = ……………………

b) 3,11 x 104. 2,22 x 102= …………………… d) 9,14 x 1010: 3,07 x 106 = …………..………

20) Expresa mediante intervalos el conjunto de reales que cumplan:

a) Que sean menores que 75

b) Que sean mayores que –2

c) Que estén entre − 13

y 2 d) Que sean mayores o iguales que 0.

21) Expresa el conjunto solución de las operaciones entre intervalos. Luego, grafícalas.

a) 7 3x x< ≥ c) 3 5x x> − < − e) 23( , 0) (0, 2)o−

b) 1 2x y x≥ − < d) ( )2, 0,π − ∞ f) ) − 1 14 21, , 4

22) El número – 12 es menor que – 3, es decir: – 12 < – 3.

a) ¿es (– 12) . 5 menor que (– 3) . 5?

b) ¿es (– 12) . (– 4) menor que (– 3) . (– 4)?

23) Determina el conjunto de los números:

a) Naturales, que satisfacen 4x eπ− ≤ <

b) Enteros, que satisfacen 5 2 2 ( : 2,71...)e x e número e− ≤ ≤ =

24) Si a y b son reales positivos y además a 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) > 0a b b) >2b a c) >−1 0

a b

d) >+1 0

a be) + > 1a b


25) Desarrolla aplicando propiedades.

a) logax yz

b) 2

logaxy

c) 3

logax y

z

26) Escribe como un solo logaritmo

a) log 2 log xxyy

− =

b) 4

2 214 log log2

a b a ba a− − − =

c) ( )5 5 512 log log 2 log 73

x b x− + + =

27) Aplica la definición y/o propiedades para encontrar el valor de x tal que:

a) 3log x log 6 2log x= + d) ( ) ( )3log 25 x 3log 4 0x− − − =

b) ( )2 log x log 10 3x= − e) log 81 4x =−

c) 2 loglog xlog

xx

−= f) 4

9log 3 x=

28) Sabiendo que log 2 ≈ 0,3 y que log 3 ≈ 0,48, calcula aplicando propiedades:

a) log 0,02 d) 35log9

b) 52 2 2

1log 2 log 8 log4

+ + e) 4log 780 1,25+

c) 4

1log0,6

f) 4 3

3 100,125. 80log(3,2) .0,8

29) Dado, ( )23

a1log 3 22

a − = . Calcula: ( ) 34

alog 3 2a +

30) Halla el valor de x en: ( )

( )2

2

1 log 41

log 3 3

x

x x

+ −=

+ − −

31) Resuelve:

a) ( )2log 7 217 log 472 3x x− +

= b) x x x16 64

log 2 . log 2 log 2=


UTN - FRT Matemática UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 32) Calcula

a) j15 b) (-j)187 c) j7. j24 d) (-j)33 : j11

33) Halla el conjugado y el opuesto de cada uno de los siguientes números complejos.

a) 3 j− b) 2 2 j− − c) 7− d) 5 j

34) Dados los complejos: 1 25 7 3 2Z j y Z j= + =− + . Calcula:

a) 1 2Z Z+ c) 11 2Z Z −+ e) 2

2 1.Z Z

b) 1 2 1Z Z Z d) ( ) 1

1 2Z Z−

+ f) 1

2 12Z

Z Z−

35) Calcula m y n para que se verifique: ( )3 2 5 2 2 6m j nj j+ − − = −

36) Efectúa las siguientes operaciones:

a) 4 5

2j

j− +

− c) ( )51 2 j− e)

33 3 3

2 2j

+

b) 7 7

4j j

j

−− d) ( ) 23 j

−+

37) Grafica los complejos obtenidos en los aparatados a), c) y d) del ejercicio 32. También grafica los

conjugados y opuestos.

38) Halla x para que el cociente 2 jx j++

sea un numero complejo cuya representación gráfica este en la

bisectriz del primer y tercer cuadrante.

39) Calcula u de manera que 1u j

j+−

sea:

a) Igual (1 + 2j) b) Un número real c) Un imaginario puro

40) Dados los números complejos 2 m j− y 3 n j− , halla los valores que deben tener m y n para que el

producto de los complejos dados sea 8 4Z j= + . Luego, calcula el módulo de Z.

41) Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 1 6 j+ y que el cociente de los mismos es un

número imaginario puro. Además, la parte real de uno de los sumandos es la unidad negativa. En un

mismo sistema, grafica ambos complejos.



42) Representa en el plano complejo los conjuntos de números que cumplen las siguientes condiciones.

a) | | 5Z = b) Parte real de Z = 3− c) 1ZZ= −

d) . 4Z Z = e) Parte imaginaria de Z = 5 f) Z iZ=

Aplicaciones

43) Tenemos un tablero de ajedrez (64 casillas). Por cada casilla ponemos tantos granos

de arroz según el siguiente orden, en la primera casilla del tablero un grano de arroz;

en la segunda casilla, 2 granos de arroz; en la tercera, 4 granos; en la cuarta, 8 granos

y así sucesivamente por las demás casillas.

a) ¿cuántos granos pondremos en la última casilla del tablero? Y en la décimo quinta?

b) ¿cuántos granos habrá si sumamos las primeras 20 casillas del tablero?

44) Supongamos que en 1 kg de arroz hay 5.200 granos. Teniendo en cuenta lo

calculado en b), determina:

¿Cuántas bolsas de medio kg se podrían envasar?

¿Cuántos granos habrá en bolsas de 5 kg?

45) Un agricultor dispone de un campo de 100 hectáreas. Si sólo utiliza un cuarto

de ellas para plantar tomates. Calcula:

a) ¿cuántos m2 ha plantado?; b) ¿qué fracción de la parcela no ha

plantado?; c) ¿cuántos m2 quedan sin plantar?

46) Una bomba centrífuga vierte 10048 l/hora de agua en un depósito cilíndrico de 5 m de diámetro y

3,2 m de alto. Calcule qué altura habrá alcanzado el agua al cabo de 4 horas de funcionamiento y

cuántos litros de agua faltan para llenar totalmente el depósito.

47) En una escuela, el 33% de los alumnos estudia inglés y 13

francés. ¿Cuál es el idioma más elegido?

48) Al tostarse el café, este pierde aproximadamente un quinto de su peso. Si se tuesta 60 kg, ¿Cuánto

café quedará?



CIRCUITO SERIE RL

LZ R jX= +

Z: impedancia compleja. XL: reactancia inductiva medida en ohm, [Ω]. Se calcula: XL = ω.L ω: pulsación eléctrica, medida en ciclos por segundos, [c/s] Se calcula: ω = 2.π.f L: inductancia, se mide en henry, [Hy]. f: frecuencia de la red, medida en hertz, [Hz]. Módulo de la impedancia:

2 2LZ R X= + → [Ω]

Desfase entre tensión y corriente:

LXarctgR

ϕ =

49) El gas anhídrido carbónico se encuentra en la atmósfera en la proporción de 0,3 %. Si 1 litro pesa

1,96 g, ¿Cuánto pesará el anhídrido carbónico contenido en un salón de 10 metros de largo, 8

metros de ancho y 5 metros de alto?

50) La velocidad de la luz, en el vacío, es de 3x 105 km/s. ¿Cuántos centímetros recorre la luz en una

hora?¿y en un año? Expresa los resultados en notación científica.

51) Una determinada bacteria mide 3,0 x 10–6 m. ¿Cuántas bacterias colocadas en línea recta serían

necesarias para cubrir 1,2 x 102 cm de longitud?

52) El diámetro de la luna es de aprox. 3500 km. ¿Cuánto tiempo tardaría en

dar una vuelta completa alrededor de la misma, un satélite cuya órbita

se encuentra a 100 km de la superficie lunar, si su velocidad media es de

5 x 105 m/h?

53) Un circuito serie R-L se alimenta con una fuente de tensión

alterna V de 50 Hz de frecuencia.

a) Determina la impedancia compleja del circuito.

b) ¿cuál será el desfasaje entre la tensión y corriente del

circuito?¿Y el módulo de la impedancia?

R = 100 Ω

L = 0,1 Hy


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ÿ Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico y viceversa.

Ÿ Identicar a las expresiones algebraicas según sean racionales o irracionales,

enteras o fraccionarias.

Ÿ Adquirir habilidad en la operatoria con polinomios.

Ÿ Adquirir habilidad en el proceso de factorización de polinomios

Ÿ Simplicar y operar con expresiones algebraicas fraccionarias

Ÿ Modelar situaciones problemáticas con expresiones algebraicas

Unidad 2

Objetivos



UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT EXPRESIONES ALGEBRAICAS. EL LENGUAJE ALGEBRAICO El Álgebra es la rama de la Matemática que se basa en el empleo de números y letras para representar

relaciones aritméticas.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante operaciones

aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas.

Recuerda que…

Las expresiones algebraicas, o lenguaje algebraico, se utilizan para expresar

una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas.

En la siguiente tabla se recogen algunos ejemplos de traducción de expresiones en el lenguaje verbal al

algebraico:

Si mi edad es x

El doble de mi edad es 2x

La edad que tendré dentro de 5 años será x + 5

Si el número de mi casa es y Los números de las casas que están a la derecha y

la izquierda de la mía son

y + 2

y - 2

Si tengo z docenas de huevos

La mitad del número de docenas de huevos que

tengo será z/2

El número de huevos que tengo será 12 z

Si mi hermano mayor tiene x

años y yo tengo y años de edad El cantidad de años que me lleva mi hermano será x – y

Si tengo un cuadrado de lado L Su área vendrá dada por L2


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Expresa algebraicamente el área de un rectángulo de lados a y b.

Solución

Planteamos la situación:

xÁrea = lado ladoA a b= ×

Si a = 6 cm y b = 4 cm, el área es 6 × 4 = 24 cm2 .

Observa que hemos generalizado la expresión del cálculo del área de unrectángulo mediante letras.

Cada letra representa un lado.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado

que se obtiene cuando se sustituyen las letras de la expresión

por números.

Ejemplos:

1. Si x = 2, el valor numérico de 23 2 :x x es−

( ) ( )23 2 2 2 12 4 8− = − =

2. Si el lado (L) de un cuadrado es 3 cm, su área será: 23 3 9A L L cm= × = × =

3. Si x = – 2, el valor numérico de ( )222 : 2 2 2 . 4 8x es − = =

CONCEPTOS BÁSICOS

Término

Es cada sumando, o cada parte, en una expresión algebraica, separada por + o −.

Nota. Expresiones algebraicas que constan de un solo término se llaman monomios, con dos términos se llaman binomios, etc.

Coeficiente

Cada término consta de: un factor numérico y un factor literal. El factor numérico de un término se denomina coeficiente numérico o simplemente coeficiente.

Términos semejantes Son los términos que tienen el mismo factor literal (se diferencian sólo en su coeficiente numérico).

Es lo que hizo en el ejemplo del

área del rectángulo, primero se

asignó valores a las letras (lados

del rectángulo) y finalmente se

realizó el producto entre ellas

para calcular el valor del área.


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT

Ejemplo: sea la expresión 5xy2− 3xy + 2xy2– 7

⇒ el coeficiente numérico del término 5xy2es 5

los términos 5xy2y 2xy2son términos semejantes. (¿Por qué?)

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Entre las expresiones algebraicas podemos distinguir dos tipos: las RACIONALES y las IRRACIONALES.

Las expresiones algebraicas racionales son aquéllas en las que las operaciones que se realizan con sus

variables son sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potenciación con exponente entero. A su vez a

estas expresiones las podemos subdividir en dos grupos:

1) racionales enteras o polinomios que son las que combinan sus variables con las siguientes

operaciones: suma, resta, multiplicación y potencia con exponente natural o cero.

2) las racionales no enteras o fraccionarias cuyas variables están afectadas por las mismas

operaciones que la anterior solo que el exponente de la potenciación puede ser un número

entero.

Las expresiones algebraicas irracionales son las que combinan sus variables con todas las operaciones

antes mencionadas además de potencias con exponente fraccionario o raíces.

Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:

Enteras Racionales

Fraccionarias

Irracionales

Expresiones Algebraicas

Ejemplos de expresiones algebraicas:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA TIPO

4 3 23 2 5 8 1x x x x+ − + − Racional entera (polinomio)

4 2

32 2

4 18x x x

xx− +

−−+

Racional fraccionaria

25 3 32 1x x x−+ − + Irracional


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS

DEFINICIÓN

Es una expresión algebraica formada por sumas o restas demonomios no semejantes llamados términos.

Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:

P(x) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0

Donde

n∈Z, n ≥ 0 se llama grado del polinomio (es el mayor de los grados de los monomios que lo forman)

y se escribe n = gr P(x)

ai∈Rse denominan coeficientes del polinomio

an≠ 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente

Los términos del polinomio están ordenados en potencias decrecientes.

El polinomio es completo cuando existen todos los términos.

TIPOS DE POLINOMIOS Monomios: son los polinomios que tienen un solo término. Ejemplo: P(x) = 3x

Binomios: son los polinomios que tienen 2 términos. Ejemplo: P(x) = 2x2–5x

Trinomios: son los que tienen 3 términos. Ejemplo: P(x) = x3 – 3x2 + 1

Constantes: son los que tienen un solo término de grado cero, es de la forma 0( )P x a= . Ejemplo: P(x) = 8

Nulo: es el polinomio de la forma P(x) = 0.

Ejemplo: sea el polinomio P(x) = 2x3 + 4x – 5

• Los valores 2, 4 y -5; son los coeficientes del

polinomio.

• Los exponentes de las x, en este caso, son los

grados de los términos, entonces para P(x)

los grados son 3, 1 y 0 respectivamente.

El grado del polinomio, es el grado del

término de mayor grado, en este caso es 3.

• El polinomio es ordenado, pero incompleto,

ya que falta el término de grado 2.

FORMAS POLINÓMICA SEGÚN EL GRADO

1. Forma general de un polinomio de 1er Grado

( ) 0P x ax b a= + ≠

2. Forma general de un polinomio de 2do Grado

2( ) 0P x ax bx c a= + + ≠

3. Forma general de un polinomio de 3er Grado

3 2( ) 0P x ax bx cx d a= + + + ≠



VALOR NUMÉRICO DE P(x)

Es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letrasde la expresión por números. Recuerda que

en nuestro caso solo tendremos un tipo de letra porque trabajamos con una sola variable.

Ejemplo: calcula el valor que toma P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 1 cuando x = 1.

Solución

P(1) = (1)4 – 2(1)3 + 5(1) – 1

= 1 – 2.1 + 5.1 – 1

= 1 – 2 + 5 – 1

= 3

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS

• SUMA

Ejemplo: sumar P(x) = 3x2 + 2x + 1 y Q(x) = 4x + 3

Solución

Se puede proceder de la siguiente forma:

(3x2 + 2x + 1) + (4x +3) = 3x2 + (2x + 4x) + (1 + 3)

= 3x2 + (2 + 4)x + (1 + 3)

= 3x2 + 6x + 4

• RESTA O SUSTRACCIÓN

Ejemplo: Dados P(x) = 3x8 + x5 - 4x + 2 y

Q(x) = 2x8 - 2x5 + x3 - 2x + 4. Restar P(x) – Q(x).

Solución

Para realizar la resta, definimos el inverso aditivo de Q(x), como:

– Q(x) = - 2x8 + 2x5 - x3 + 2x – 4

Entonces la diferencia entre P(x) y Q(x) nos quedaría:

P(x) +( - Q(x)) = (3x8 + x5 - 4x + 2) + (- 2x8 + 2x5 - x3 + 2x – 4)

= (3x8 - 2x8) + (x5+ 2x5) – x3 + (- 4x + 2x) + (2 – 4)

= x8 + 3x5 – x3 – 2x – 2

SUMA DE POLINOMIOS

Al sumar dos polinomios en x,

obtenemos un polinomio en el

cual el coeficiente de cada

potencia de x es la suma de los

coeficientes de términos

semejantes.

RESTA DE POLINOMIOS

Una vez que se determina el

polinomio inverso aditivo

(también llamado polinomio

opuesto), la resta se efectúa

como la suma de polinomios.



• PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN

Ejemplo: efectúa el producto entre P(x) = 3x2 +2x - 5 y

Q(x) = 2x3 - 6x + 5

Solución

P(x) . Q(x) = (3x2 + 2x - 5) . (2x3 - 6x + 5)

= 6x5 – 18x3 + 15x2 + 4x4 - 12x2 +10x - 10x3 + 30x - 25

= 6x5 + 4x4 – 28x3 + 3x2 + 40x - 25

• COCIENTE O DIVISIÓN

Ejemplo: divide P(x) = 3x5 + 2x4 - 5x2 + 2 en Q(x) = 1 + x2 – 2x

Solución

Como el polinomio dividendo P(x) es incompleto, entonces

primero lo completamos; P(x) = 3x5 + 2x4 + 0x3 - 5x2 + 0x + 2

⇒ Luego, ordenamos el divisor Q(x) en potencias decrecientes,

resultando: Q(x) = x2 – 2x + 1

Ahora, efectuamos la división P(x) en Q(x)

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

3 2 0 5 0 2 2 1

3 6 3 3 8 13 138 3 58 16 8

13 13 013 26 13

13 13 213 26 13

13 11

x x x x x x x

x x x x x xx x xx x x

x x xx x x

x xx x

x

+ + − + + − +

− + − + + +

− −

− + −

− +

− + −

− +

− + −

−

Siendo: C(x) = 3x3+ 8x2+ 13x + 13 y R(x) = 13x - 11

Recuerda que debe cumplirse que: P(x) = Q(x).C(x) + R(x)

Hagamos entonces:

Q(x).C(x) = (x2 – 2x +1).(3x3 + 8x2 + 13x + 13)

= 3x5 + 8x4 + 13x3 + 13x2 – 6x4 –16x3 –26x2 –26x + 3x3 + 8x2 +13x + 13

= 3x5 + 2x4 – 5x2 – 13x + 13

A este resultado le sumamos R(x):

Q(x).C(x) + R(x) = (3x5 + 2x4 – 5x2 – 13x + 13) + (13x – 11)

= 3x5 + 2x4 – 5x2 + 2

Por lo tanto se cumple que: P(x) = (x2 – 2x +1).(3x3+ 8x2+ 13x + 13) + (13x – 11)

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Es el polinomio que resulta de

aplicar la propiedad distributiva

(del producto respecto de la

suma) y sumar.

DIVISION DE POLINOMIOS

Por analogía con la división

entera de números, la

división de polinomios se

define así:

Dados dos polinomios P(x) y

Q(x), donde el grado de P(x)

es mayor que el grado de

Q(x), se trata de determinar

otros dos polinomios C(x) y

R(x) tales que:

P(x) = Q(x).C(x) + R(x)

con la condición de que

Q(x)≠ 0.

IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS

Dos polinomios son

iguales cuando tienen

el mismo grado y los

coeficientes de los

términos semejantes son

iguales.



Cuando el resto del cociente entre dos números da cero decimos que el numerador es divisible por el

denominador, extendiendo esta definición para polinomios decimos que:

El cociente entre dos polinomios es EXACTO si el resto es cero.

O sea P(x) es divisible por Q(x) solo si P(x) = C(x). Q(x)

REGLA DE RUFFINI Cuando queremos dividir un polinomio por un binomio de la forma (x – a) donde a es una constante,

podemos usar la regla de Ruffini.

Su algoritmo es el siguiente:

Tomemos por ejemplo un P(x) = bx3 + cx2 + dx + e, al que queremos dividirlo por (x - a). Aplicamos la

regla de Ruffini y hacemos:

1) Completamos y ordenamos en potencias decrecientes al P(x) (si no lo estuviera)

2) Armamos una estructura con solo los coeficientes del P(x). (línea 1)

3) En línea 2, colocamos “a”.

4) En línea 3, inicialmente colocamos “b”.

5) Multiplicamos “b” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “c”.

6) Sumamos “c” con “b.a” para obtener U (línea 3).

7) Multiplicamos “U” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “d”.

8) Sumamos “d” con “U.a” para obtener V (línea 3).

9) Multiplicamos “V” por “a” y colocamos en línea 2, en la columna de “e”.

10) Finalmente, sumamos “e” con “V.a” para obtener W (línea 3).

11) Los valores b, U, V son los coeficientes del polinomio C(x) y W es el resto de la división.

3 2( ) ( )

. . .

.

1

23

. .

P x bx cx dx e y Q x x a

b c d e

a b a U a

línea

línealíne

V ab U V W

U c b a V d U

a

a W e V a

= + + + = −

= + = + = +

→

→

→

C(x) = bx2 + Ux + V → C(x) tiene un grado menor que P(x)

R(x) = W


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Dividir x3 – 8x + 5 por x – 3

Entonces, el dividendo ordenado y completo es: P(x) = x3 + 0x2 - 8x + 5

El divisor: Q(x) = x – 3 donde a = 3

1 0 8 53 3 9 3

1 3 1 8

−

Los valores obtenidos con este procedimiento son los coeficientes de los términos del polinomio

cociente (que es un grado menor que P(x)):

C(x) = x2 + 3x + 1

y el resto será: R(x) = 8

CERO DE UN POLINOMIO

Llamamos cero de un polinomio P(x), a un valor de la variable x para el cual P(x) = 0.

Sea el polinomio P(x), se dice que “a” es cero de )x(P ⇔ ( ) 0P a = Ejemplo: Sea P(x) = 3x3 – 6x2 + 5x – 2, investiga si x = 1 es un cero de P(x).

Entonces, P(1) = 3(1)3 – 6(1)2 + 5(1) – 2

= 3.1 – 6.1 + 5.1 – 2

= 3 – 6 + 5 – 2

= 0

Por lo tanto, x = 1 es cero de P(x).

TEOREMA DEL RESTO Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) particularizado para

x = b. Esto es: R = P (b)

Ejemplo: sea P(x) = x3 + 2x2 – 5, queremos determinar el resto de dividir a P(x) por (x + 1).

Aplicando el teorema del resto:

P(– 1) = (– 1)3 + 2(– 1)2 – 5

= – 1+ 2.1 – 5

= – 1+ 2 – 5

= – 4 → por lo tanto, el resto de la división es – 4.


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT Verifiquemos este resultado aplicando la regla de Ruffini:

1 2 0 51 1 1 1

1 1 1 4

−− − −

− −

TEOREMA DEL FACTOR Un polinomio P(x) tiene un factor (x – a) si y solo si P(a) = 0. Es decir a es un cero de P(x).

Si a es un cero de P(x), entonces P(x) es DIVISIBLE por (x – a).

Si un factor aparece “m” veces, entonces “a” es un cero de multiplicidad m.

Observación

Si (x – a) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que

P(x) = (x – a) . C(x)

Ejemplo: El P(x) = 3x3 – 6x2 + 5x – 2 tiene un cero en x = 1. Expresa a P(x) como producto de factores.

Aplicamos Ruffini para determinar al polinomio C(x) que multiplique al polinomio (x – 1) dado.

2

3 6 5 21 3 3 2

3 3 2 0 ( ) 3 3 2C x x x

− −−

− → = − +

Por último, el P(x) factoreado es: P(x) = (x – 1) (3x2 – 3x + 2)

→resto


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXTENSIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de P(x) en el binomio (ax + b) es: bR Pa

= −

.

Ejemplo: Halla el cociente y el resto de dividir P(x) = 6x4 + x3 – 19x2 + 14x -15 en (2x – 3)

Solución

Podemos hacerlo por dos formas:

1) hacemos: 2x – 3 = 0 ⇒32

x =

Luego, el resto será:

4 3 23 3 3 3 36. 19. 14. 152 2 2 2 2

81 27 96. 19. 21 1516 8 4

243 27 171 68 8 43

P = + − + −

= + − + −

= + − +

= − 2) Por Ruffini

− −

−

− − → = −

= + − +

32

3 2

6 1 19 14 159 15 6 12

6 10 4 8 3 3'( ) 6 10 4 8

RC x x x x

El cociente de la división será: ='( )( )2

C xC x

Es decir: = + − + = −3 2( ) 3 5 2 4 3C x x x x y R

Según su necesidad, ud elegirá la forma de resolver más conveniente. La 2° brinda

más información y también más trabajo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Un polinomio de grado n positivo tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las complejas.

Una consecuencia de este teorema es que un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

En los polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas vienen siempre de a pares, de allí que un

polinomio con coeficientes reales de grado impar siempre tienen por lo menos un cero real.


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas.

• Factor común. Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto

de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Ejemplo: factorizar P(x) = 6x2y2 - 3x2y + 9xy

Primero sacamos como factor común de cada término a 3xy, entonces,

P(x) = 6x2y2 - 3x2y + 9xy = 3xy. (2xy – x + 3)

• Factor común por grupos.

Algunas veces, aunque los términos de un polinomio no tengan un factor común monomial, es

posible agrupar términos de tal manera que cada grupo tenga un factor común.

Ejemplo: factorizar P(x) = 3x – 2ab + nx – 2bx + an + 3a Agrupamos así: P(x) = (3x + nx – 2bx) + (– 2ab + an + 3a)

P(x) = x (3 + n – 2b) + a (– 2b + n + 3)

P(x) = (x + a) (3 + n – 2b)

• Trinomio cuadrado perfecto.

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados de

algún valor y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo: P(x) = 25 x2 + 10xy2 + y4 es un trinomio cuadrado perfecto ya que:

25 x2 = (5x)2 y4 = (y2)2 10xy2 = 2 . (5.x).(y2)

Entonces el factoreo del trinomio dado es: P(x) = 25x2 + 10xy2 + y4 = (5x + y2)2

• Cuatrinomio cubo perfecto. Todo cuatrinomio de la forma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo: P(x) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 es un cuatrinomio cubo perfecto porque:

x3 = (x)3 6x2y = 3(x)22y

8y3 = (2y)3 12xy3 = 3(x)(2y)2

El polinomio queda factoreado de la siguiente manera:

P(x) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 = (x + 2y)3


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS • Suma de potencias de igual grado.

En general, la suma de dos potencias de igual grado de exponente impar, es igual al producto de

la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera suma por la segunda.

Ejemplo: (x3 + a3) = (x + a).(x2 – ax + a2)

• Diferencia de potencias de igual grado.

a) Cuando el exponente es par

Sea por ejemplo, factorear la siguiente expresion: x6 – a6

Puede factorearse de la siguientes formas:

i) Haciendo figurar la suma de las bases:

( )( )

6 6 5 4 2 3 3 2 4 3 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 3 5

: ( )

( )( )

x y x y x yx y x y x y x y


− + = − + − + −

− = + − + − + −

ii) Haciendo figurar la diferencia de las bases:

( )( )

6 6 5 4 2 3 3 2 4 3 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 3 5

: ( )

( )( )



− − = + + + + +

− = − + + + + +

iii) Por último

6 6 3 3 3 3( )( )x y x y x y− = − +

b) Cuando el exponente es impar

En general, la diferencia de dos potencias de igual grado de exponente impar, es igual al

producto de la diferencia de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera

diferencia por la segunda.

Ejemplo:

Sea por ejemplo, factorear la siguiente expresión: x5 – a5 5 5

5 5 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4

:( ): ( )

:( ) ( )( )

x a es divisible por x a y el cociente exacto esx a x a x ax a x a x a

Por consiguientex a x a x ax a x a x a

− −

− − = + + + +

− = − + + + +

• Diferencia de cuadrados

Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases de

dichos cuadrados.

Ejemplo: 2 2( )( )a b a b a b+ − = −



EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Expresión algebraica racional no entera o fraccionaria son aquellas expresadas como cociente de

polinomios ( )( )

P xQ x

, siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio constante (ni nulo) o

aquéllas en que las variables son bases de potencias de exponente negativo.

Ejemplos de expresiones fraccionarias son:

3 12 2

7 9 2 6 3 24 4 9 3 1

x y x xu x y y

−− −+

+ − + −

Ya que el denominador no puede ser cero las variables de los polinomios denominadores no pueden

tomar los valores que son ceros. Como una expresión racional es un cociente entre números reales, las

propiedades de fracciones también se cumplen en los casos de las expresiones algebraicas

fraccionarias.

• OPERACIONES

Producto

Para efectuarlo, usamos la siguiente propiedad de fracciones:

( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )

( )( ) ( )( )

P x R x P x R xQ x S x Q x S x

P xsi R x S x entonces podemos simplificar y nos quedaQ x

× =

=

Ejemplo:

2 2

2 25 4 12 9 5 (2 3)

(2 3)(2 3) (2 1)( 5)4 9 2 11 5( 5)

x x x x xx x x xx x x

x

− + + − +× = ×

− + − −− − +

−=

(2 3)(2 3)x x+ +

(2 3)(2 3)x x− + (2 1)( 5)x x− −

2 3 3 1(2 3)(2 1) 2 2

x para x yx x

+= ≠

− −

Cociente

Para efectuarlo, usamos la siguiente propiedad de fracciones:

( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )

P x R x P x S xQ x S x Q x R x

÷ =


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejemplo:

3 2 4 2 3 2 3 2 4

4 3 2 4 2 4 3 2 4

3 2 3 2 2 4

2 2 4 4 3

2 3 2 3

45 75 3 .5 228 8 2 .7 ( 3).5

2 .3 .52 .( 3).5 7

6 (2 .3.5 )

a b a b a b c dc d c d c d a b

a b c da bc d

bd a bc d

−÷ = ×

−

=−

=2 2 3 2 335 (2 .3.5 )ac a bc d−

26

35bdac

= −

Suma y Resta

Se resuelven aplicando las propiedades de las fracciones ya mencionadas cuando vimos los conjuntos numéricos.

( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( )

P x R x P x S x P x Q xQ x S x Q x S x

±± =

Ejemplo: efectúa 2 25 4 2

3 64 4 4 xx x x+ −

−− + +

Primero, debemos encontrar el mínimo común múltiplo del denominador.

Este será: mcm = 3.(x + 2)2.(x – 2)

2

2 2

2

2

2

2

2

2

5 4 2 5.3( 2) 4.3( 2) 2.( 2)( 2)( 2) 3( 2)( 2) 3( 2) ( 2)

15( 2) 12( 2) 2.( 4 4)3( 2) ( 2)

15 30 12 24 2 8 83( 2) ( 2)

2 19 23( 2) ( 2)

x x xx x xx x x

x x x xx x

x x x xx x

x xx x

+ + − − ++ − =

− + −+ + −

+ + − − + +=

+ −

+ + − − − −=

+ −

− + −=

+ −

Si una fracción tiene otra fracción en el numerador o denominador, o en ambos se llama

fracción compuesta, y si no, se denomina fracción simple.

Los métodos que se usan para SIMPLIFICAR expresiones fraccionarias compuestas son los

mismos que se usan en números fraccionarios. La multiplicación del numerador y

denominador por el MCD (mínimo común denominador) es el método más sencillo.


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT Ejemplo:dada la expresión, llevarla a su forma mas simple o reducida

− −−

− −

−− −

1 22 1

1 11 2

x xx x

x x

Vemos que se trata de una fracción compuesta. Sacamos MCD en el denominador y en el numerador.

( 1)( 1) ( 2)( 2)1 2

( 2)( 1)2 11 1 ( 2) ( 1)

1 2 ( 1)( 2)

( 1)( 1) ( 2)( 2)( 2)

x x x xx xx xx x

x xx x x x

x x x xx

− − − − −− −− − −− − =

− − −−

− − − −

− − − − −=

− ( 1)x −( 1)x −

×( 2)x −

2 2

2 2

( 2) ( 1)

( 2 1) ( 4 4)2 1

2 1 4 4( 1)

2 3( 1)2 3

x x

x x x xx x

x x x x

x

x

− − −

− + − − +=

− − +− + − + −

=−

−=

−=− +



TRABAJO PRÁCTICO N° 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1) Expresiones algebraicas. El lenguaje algebraico

La variable x representa un número natural. Expresa en función de él:

a) Su cuádruple.

b) El doble de su posterior.

c) La mitad de su anterior más cuatro unidades.

2) Expresa algebraicamente los siguientes enunciados:

a) Las dos terceras partes del cuadrado de un número.

b) El cuadrado del triple de un número.

c) El triple de un número menos tres.

d) El triple de un número, más tres.

3) Expresa algebraicamente

a) el área de la figura b) la diagonal de la figura

4) completa la siguiente tabla indicando el valor numérico de cada expresión.

1x = − 0x = 2x = 12

x =

2x x−

26

2xx −

( )10 5x x−

( )3 1 2x − +


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT 5) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas son polinomios?

a. a b+

12

c. x x+ − 21 213 5

b. x+2

2d. x +2 1

6) Describe los siguientes polinomios, indicando el número de términos que lo componen y cuáles son

los coeficientes y las partes literales de cada uno.

a) 3 2( ) 32 12A x x x= + b)B( ) 2 5 3 4x x x x= + − +

c) 3 3 5C( ) 3 4 6 40 10x x x x x= − + − + d) 2D( ) 6 3 5 8x x x x= + − −

7) Realiza la suma o resta de los siguientes polinomios:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 3a) 2 3 4 3 5 1 ) 5 3 2 2x x x x b m m m m m m+ + + + − + + + + −

( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 2c) 3 2 2 4 2 ) 2 2 2 3 2p p p p d y y y− + − − + + − − + −

8) Realiza los siguientes productos de polinomios:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 3a) 2 3 4 3 5 1 ) 5 3 2x x x x b m m m m m+ + × + − + + × −

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2c) 3 2 4 ) 2 2 2 3 2p p p d y y y− × − + − × + −

9) Realiza los siguientes cocientes entre polinomios:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 3 2 3a) 2 3 4 : 3 5 1 ) 4 3 : 2x x x x b m m m m m+ + + − + + −

( ) ( ) ( ) ( )4 2 3 2c) 16 1 ) 2 2 : 2 3 2p p d y y y− × + − + −

10) Sean los polinomios 3 2 3 2 3 2

1 2 3( ) 4 2 3 4 ( ) 3 4 2 1 ( ) 1P x x x x P x x x x P x x x= − + − = − + − + = − +

Calcula:

( )1 2 3 2 1 3 3 2 1) ) . ) :a P P P b P P P c P P P+ − + +

• En todos los casos, indica cual es el grado del polinomio obtenido.

11) Calcula el resto de las divisiones dadas siguiendo dos caminos; i) por división clásica, ii) aplicando el

teorema del resto.

a. (2x3 – 9x2 + 4x + 10) : (2x – 5) b. (x4– 2x3 – 2x2 – 3) : (x2 – 2x + 1)

c. (8x3 + 36x2 + 54x + 13) : (4x2 + 12x + 9) d. (32x5 – 1) : (2x – 1)


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12) Escribe un polinomio de grado 5 que sea divisible por 2 2x −

13) Escribe un polinomio de grado 6 cuyo resto en la división por 4 3x + sea 2 1x − .

14) Dados P(x) y Q(x), realiza la división P en Q; luego identifica a los polinomios cociente y resto y

expresa a P(x) como:

P(x) = C(x).Q(x) + R(x).

a. P(x) = 2x4 – 2x5 – 2x2 + 5x – 4 Q(x) = x3 - 2x + 4

b. P(x) = 5x3 – 3x2 + 4 Q(x) = 5x3 - 5x + 3

c. P(x) = 6x4 + 5x3 – 2x2 – x Q(x) = x - 3

15) Aplica la regla de Ruffini y calcula el cociente y resto de cada caso:

a. x x x x x − + − + −

4 3 213 7 12 4 :( 3)5

c. 4 2(5 3 2 6):( 2)x x x x− + + −

b. ( )x x x x − + + +

3 2 13 12 4 : 32

d. (x3 + 3x2 – 8x + 1): (x + 1)

16) Calcula el resto, aplicando el Teorema del Resto.

a. x x x− + −2(3 5 3):( 2) d. x x x + − −

5 23 4 3 :(1 )5

b. x x − +

61 3 :( 3)3

e. x x x x x− + + − −4 3 2(2 9 3 7 12):( 4)

c. + − −4( 3 1):( 0,1)x x x

17) Sean los siguientes polinomios,

P x ax bx c= − +2 5( ) 32

y Q x x bx= − −21 1( ) 52 2

Sabiendo que P(x) – Q(x) = ax x c− −2 34 82

. Calcula a, b y c.

18) Calcula el resto e indica a que conclusión llegas en cada caso:

a. (x4 + 2x3 + 3x – 6) : (x – 3) b.(x5 + 32) : (x + 3)

c. (-2x3 + 5x2 – 3x + 2) : (x – 1) d.(x6 – 64) : (x – 2)

19) Determina el valor de “k” para que la siguiente división sea exacta: 4 3 2 2 4( 4 ):( )x b x kb x b x b+ − + −


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT 20) Halla el valor de “m” si P(x) es divisible en Q(x). Sean 3( ) 2 1 ( ) ( 2)P x x mx y Q x x= + + = −

21) Para que valores “a” y “b” es divisible el polinomio P(x) en Q(x), si:

a) 4 3 2P(x) 3 ( ) ( 1) ( 1)x x bx ax b Q x x x= − + + + = − +

b) 3 2 2P(x) 73 102 ( ) 5 6ax bx x Q x x x= + − + = − +

22) Halla los ceros faltantes de los polinomios dados; luego, expresa a P(x) en forma de factores:

a. 3 2( ) 14 24 2P x x x x x es cero de P= + − − = −

b. 4 3 2( ) 3 3 11 6 2T x x x x x x es cero de P= + − − − =

23) Halla los ceros de los siguientes polinomios:

a. P(x) = 2x3 – x2 + 2x – 1 c. P x x x x= − + −3 21 11( ) 3 32 2

b. P(x) = x4 + x3 – 4x2 – 4xd. P x x x= + −4 2 7( ) 34

24) Factorea las siguientes expresiones algebraicas:

a) + −2 2 6 8 4 45 125 50a b b x ax b e) a m b m a n b n− − +2 2 2 2

b) a m abm a n abn+ − −2 21 1 2 23 3 3 3

f) 2 2( 2 ) ( 3 )x a x a+ − +

c) a a a− − +3 2 1 g) a x a x ax x− + −3 23 9 9 38 4 2

d) a a a x ax− − +4 2 34 4 h) x a x x y a y x y a x y+ + + − −7 3 4 3 2 3 2 5 3 22 2

25) Factorea los siguientes polinomios y calcula los ceros. Indica la multiplicidad de los ceros

a) 3 2( ) 2 4 8P x x x x= + − − b) 4( ) 81P x x= −

c) 5 3( )P x x x= − d) 5 4 3 2( ) 5 5 6 6P x x x x x x= − − + + −

e) ( ) ( )2 22( ) 9 3P x x x= − − + f) 4 2( ) 5 4P x x x= + +

g) 3( ) 3 2P x x x= − − h) 7 4 3( ) 16 16P x x x x= + − −

i) 5 4 3 2( ) 3 3P x x x x x= − + − j) 5 4( ) 2 2 1P x x x x= + − −

k) 2 4( ) 16 40 25P x x x= + + l) P(x) = 2x³ - x² + 2x - 1


UTN - FRT Matemática UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 26) Determine el polinomio de tercer grado cuyos ceros son 2, -1, 3 y el coeficiente del término cúbico

es 5.

27) Determine el polinomio de cuarto grado cuyos ceros son 1, 2 (doble), 5 y P(0) = 20. Expresa el

polinomio en su forma factoreada.

28) Diga si el número 2 es un cero del polinomio: x4 – 5x3 + 8x2 – 4x. ¿Cuál es su multiplicidad?. Expresa el

polinomio en su forma factoreada.

29) Encuentra el polinomio para cada caso (el coeficiente del término principal es uno en todos los

casos):

a) 1, 2, 4− b) 1, , 0,j j− −

c) 1, 1 j− + d) 1, 2 , 1j− −

30) Verifica si (2x – 1) es un factor del polinomio 4x3 – 31x + 15. Si es así, encuentre el otro factor y expresa

P(x) como producto de esos factores.

31) Determina a ∈R tal que los polinomios P x x a x= − +2( ) ( ) ( 1) y Q x x a x x= − + +4 2 2( ) 2 5 tengan al

menos una raíz en común.

32) Si el residuo de dividir el polinomio 5 3( ) 8P x ax bx c x= + + − entre (x + 3) es 6, determine, entonces,

el residuo de dividir P(x) entre (x – 3).

33) El polinomio P x x px q= + +3( ) tienes tres ceros tales que:

x1 = x2 x3 = x1 – 6 x1 + x2 + x3 = 0. Calcula p y q.

34) Sea 3( ) ( )P x a b x a= + − , determina los valores de a y b tal que al dividir P(x) en (x – 1) se obtenga

resto 4 y al dividir en (x + 1) la división sea exacta.

35) Determina C(x) y el resto.

a. + − −4( 3 1):(2 0,2)x x x b. (x3 + 3x2 – 8x + 1): (2x + 2)

c. (2x3 – 9x2 + 4x + 10) : (2x – 5) d. ( )3 2 14 : 3 13

x x x x + − + −


UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matemática UTN - FRT 36) Simplificar las siguientes expresiones algebraicas

a. 2 2 1

3x x

x− −−

b. 3 2 2 2 2 2

44 2 8

16y x x y y x x

xy x+ + +

−

c. 2 2

2 22x y

x xy y−

+ + d.

4

2 2(3 3).( 2 1)ax a

x x x−

+ + +

e. 2 6 9

3 3y y

my m y− +

− + − f.

2 2

3 2 26

6 9a ab b

a x a bx ab x− −

− +

37) Realiza las siguientes operaciones, simplificando los resultados cuando sea posible.

( )

2 4 2

2 4 3 4

22 2

2 2 2 3

1 6 2) ) :1 1 1

2 12 6 3 7 2 1 2 1 2 1) : ) :7 7 5 69 3 4 1 9

21) : )

1 11

x x x x xa bx x x x x

xx x x x x x x xc dx x xx x x x

xx x xe x x fxx x x

x

− + − − − −−

+ − + −

−+ + − + + + + + −− +− −

− ++ − − − −−



Aplicaciones

38) Encuentra las expresiones que representan el perímetro y la superficie de las siguientes figuras.

a) c)

b) d)

39) A partir de cubos de madera de 40 centímetros de arista se fabrican

piezas recortando un cubo dearista x en una esquina.

a) Escribe la expresión que permite calcular el volúmen de dichas

piezas.

b) Calcula el volúmen de la pieza para x = 5 cm.

c) ¿Cuál es la relación entre el volumen del bloque completo al

cubo recortado en la esquina?

40) Si dos resistencias eléctricas R1 y R2 son conectadas en paralelo, entonces la resistencia total RT será:

a) Encuentra la expresión de RT

b) Calcula RT si: i) R1 = 50Ω y R2 = 20Ω

ii)R1 = R2 = 100Ω

c) Elabora una conclusión respecto al valor que toma RT en función de los valores deR1y R2.

1 2

1 1 1TR R R= +


TRIGONOMETRÍA

Ÿ Reconocer guras planas y cuerpos geométricos y su uso en el mundo real.

Ÿ Calcular perímetro y área de guras planas

Ÿ Calcular volumen de cuerpos geométricos.

Ÿ Obtener las razones trigonométricas de un ángulo dado.

Ÿ Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, obtenerlas y

utilizarlas para resolver problemas.

Ÿ Aplicar las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

Ÿ Utilizar las razones trigonométricas conjuntamente con las identidades

trigonométricas cuando sea necesario.

Ÿ Resolver triángulos rectángulos en distintos problemas.

Ÿ Resolver triángulos oblicuángulos en distintos problemas.

Ÿ Aplicar los teoremas del seno y del coseno en la resolución de problemas de

triángulos cualesquiera a partir de determinados datos.

Unidad 3

Objetivos



UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT

FIGURAS PLANAS

La geometría plana estudia las figuras planas que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho.

Para comprender la geometría plana de manera más clara, es indispensable, comenzar por la

definición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.

CONCEPTOS BÁSICOS Para el estudio de la geometría, necesitamos conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano.

Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría.

Punto: es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es

decir, largo, ancho y altura nulos. Se representan por letras mayúsculas.

Recta: tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se

extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:

Semirrecta: la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin.

Segmento de recta: es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos dónde empieza

y donde termina por ende lo podemos medir.

Plano: tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede

pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA

POLÍGONO Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se

unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo se intersectan en sus

puntos extremos.

CLASIFICACIÓN

Según el numero de lados o angulos triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.

Polígono Polígono Regular: lados y ángulos iguales.

Según la igualdad de sus lados y ángulos Polígono Irregular: al menos un lado o un ángulo es distinto.

PARTES DE UN POLÍGONO Lados: son los segmentos que lo limitan.

Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos.

Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.

Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos.

Ángulo central: es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un

lado.

Apotema: es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a

dicho lado.

La cantidad de diagonales de un polígono se calcula como:( )3

2n n

Nd−

= n: número de lados


http://es.wikipedia.org/wiki/Apotema

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT PERÍMETRO DE UN POLÍGONO Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono ÁREA DE UN POLÍGONO Es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS Nombre Dibujo Perímetro Área

Triángulo

P = Suma de los lados

+ +P = b c d

b . a2

A =

( ) ( ) ( )p p- a p- b p- cA =

p = semiperímetro

Cuadrado

P = 4a 2A = a

Rectángulo

( )2 +P = b a A = a . b

Rombo

P = 4a D . d2

A =

Paralelogramo

( )2 +P = b c A = a . b

Trapecio

+ + +P =B b c d ( )+B b .a2

A =

Trapezoide

+ + +P = a b c d A = Suma de las áreas de los

dos triángulos

Polígono regular

P.a2

A =


ÁNGULOS Es una figura formada por dos semirrectas que se interceptan en un punto. Las semirrectas son los lados

del ángulo y el punto de intersección es su vértice.

La amplitud del giro de un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo se

llama grado.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

Nulo (0°)

Agudo (< 90°)

Recto (90°)

Obtuso (> 90°)

Llano (180°)

Giro completo (360°)

Cóncavo (> 180°)

Negativo (< 0°)

SEGÚN SU CARACTERÍSTICA

Ángulos complementarios

θ + β = 90°

Ángulos suplementarios

θ + β = 180°

SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos consecutivos

Lado común VB

Ángulos opuestos por el vértice

β = θ

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS Existen dos sistemas generalmente usados para medir los ángulos.

SISTEMA SEXAGESIMAL: en éste la unidad es el grado, el cual es igual al ángulo central que subtiende un

arco cuya longitud es igual a 1/360 de la longitud de la circunferencia. El grado se subdivide en 60

minutos y el minuto en 60 segundos.

En este sistema, un ángulo cualquiera se especifica colocando el valor del ángulo y agregando “ ° “ .

Por ejemplo: α = 48°; β = 14° 25’ 47’’. En las calculadoras, cuando queremos trabajar en grados

sexagesimales debemos elegir el modo adecuado que, normalmente

se denota por DEG.

SISTEMA CIRCULAR: en este sistema la unidad es el radián. Para

trabajar con las calculadoras, debemos elegir el modo adecuado

que, normalmente se denota por RAD.

Radian: Se llama así al ángulo central que abarca un arco de

circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.

1

r C AABradiánC A

AB C A

α α

=

⇒ = → =

=

En este sistema, un ángulo cualquiera se especifica colocando el valor

del ángulo y agregando (o no) la leyenda rad. Por ejemplo: α = 2 π rad

,o simplemente, α = 2 π.

SISTEMA CENTESIMAL O GRADIANES Es el resultado de dividir la circunferencia en 400 partes iguales.

En la calculadora lo identificamos como el modo Grad. Grad se puede prestar a confusión porque el

usuario de la calculadora puede pensar que la palabra Grad es por los “grados sexagesimales”, pero

no es así. No vamos a entrar a detallar mucho este sistema métrico, puesto que la verdad es que los

gradianes no se suelen utilizar en la actualidad salvo en algunos aspectos de la topografía.

EQUIVALENCIA ENTRE SISTEMAS

180180 1 0 0175 1 57 29180

rad rad rad radπππ°

° = ° = = ° , ,



TRIÁNGULOS Un triángulo es una superficie plana delimitada por tres segmentos de recta.

Los elementos del triángulo son: tres vértices, tres lados y tres ángulos. La suma de la medida de los tres

ángulos internos es 180°.A cada ángulo interno del triángulo le corresponde un ángulo exterior. La

medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de la medida de los dos ángulos interiores no

adyacentes. La suma de la medida de los tres ángulos exteriores es 360°.

Clasificación

• SEGÚN SUS LADOS

Triángulo equilátero: tiene tres lados iguales y

sus ángulos internos miden 60°.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales; los

ángulos que se oponen a estos también son

iguales.

Triángulo escaleno: todos sus lados son distintos

al igual que todos sus ángulos internos.

• SEGÚN SUS ÁNGULOS

Triángulo Rectángulo: tiene un ángulo interior

recto (90°). A los dos lados que conforman el

ángulo recto se les denomina catetos y al otro

lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es

obtuso (mayor de 90°); los otros dos son

agudos (menor de 90°).

Triángulo acutángulo: sus ángulos interiores son

agudos; el triángulo equilátero es un caso

particular de triángulo acutángulo.


UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT Propiedades de los triángulos

Triángulos Equilátero Isósceles Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Podemos ver en el esquema las clasificaciones comentadas en el apartado anterior. Hagamos una

interpretación del mismo. Veamos:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, este triángulo es

simétrico respecto de su altura.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y diferentes.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos

lados iguales, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es

simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten

del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.



MEDIATRICES: Circuncentro, Circunferencia circunscrita

Llamamos Mediatriz de un triángulo a la recta perpendicular a uno

de sus lados y que pasa por su punto medio (por ejemplo, MBC).

Las tres Mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que

llamamos Circuncentro (O).

El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por sus

tres vértices a la que llamamos Circunferencia Circunscrita.

Como conclusión podemos afirmar que:

por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia.

La circunferencia será la Circunscrita al triángulo que forman.

BISECTRICES: Incentro, Circunferencia inscrita

Llamamos Bisectriz de un triángulo a semirecta que pasa por el

vértice y divide al ángulo en dos partes iguales.

Las Bisectrices de un triángulo se cortan en un punto que

llamamos Incentro.

El incentro es el centro de la circunferencia que, siendo interior al

triángulo, es tangente a sus tres lados, a la que

llamamos Circunferencia Inscrita.

ALTURAS: Ortocentro

Llamamos Altura de un triángulo al segmento perpendicular a uno

de los lados y que va desde éste hasta el vértice opuesto al mismo.

En un triángulo hay entonces, tres alturas.

El punto de corte de la Altura con el lado se llama Pie de la altura

(por ejemplo HC).

Según el contexto podemos hablar de base de un

triángulo refiriéndonos a uno de los lados sobre el que lo suponemos apoyado y altura del triángulo al

segmento determinado por el vértice opuesto a la base y el pie del segmento altura sobre él.

Hay que observar que, la altura de un triángulo puede caer fuera de la base correspondiente.

Se puede demostrar que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado Ortocentro.


http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temaba/app_ba3.html




Medianas: Baricentro

Llamamos Mediana de un triángulo al segmento determinado por un

vértice y el punto medio del lado opuesto. En un triángulo hay

entonces, tres medianas.

Las tres Medianas de un triángulo se cortan en un punto interior del

mismo que llamamos Baricentro (G).

Además, si X es cualquiera de los vértices, Mx el punto medio del lado

opuesto y G el Baricentro, se cumple que: 2 xX G GM= .

TRIÁNGULOS CONGRUENTES Dos triángulos son congruentes si tienen la misma y el mismo tamaño. Si dos triángulos son congruentes

sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. El símbolo de congruencia es ≅.

Para establecer que dos triángulos son congruentes se utilizan los siguientes criterios:

Criterio LAL. Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son

respectivamente iguales entonces los triángulos son congruentes.

Criterio ALA. Si dos triángulos tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a

él, entonces los dos triángulos son congruentes.

Criterio LLL. Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro

triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio Hipotenusa-Cateto. Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son

respectivamente iguales con la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los

triángulos rectángulos son congruentes.




SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Se llama proporción a la igualdad entre dos razones, por ejemploa cb d

= , donde a las cantidades a y c

se les conoce como antecedentes y a las cantidades a y d reciben el nombre de medios.

Una proporción continua es aquella en donde los medios son iguales y al medio común de esta

proporción se le conoce como media proporcional.

Si a los segmentos a y b les corresponden los segmentos a’ y b’ de manera que formen la proporción

a ab b

=''se dice que los cuatro segmentos son proporcionales.

Dos triángulos se dicen que son semejantes si sus ángulos son iguales y sus lados respectivos son

proporcionales. El símbolo de semejanza es ∼.

Si el ∆ABC ∼∆A1B1C1 entonces:

1 1 11 1 1 1 1 1

AB BC C AA A B B C C yA B B C C A

∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ = =

Para establecer que dos triángulos son semejantes se emplean los siguientes criterios:

Criterio AAA. Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivos iguales, entonces son semejantes.

Criterio LAL. Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales, los

dos triángulos son semejantes.

Criterio LLL. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los de otro,

entonces los dos triángulos son semejantes.



CUADRILÁTEROS

Definición y clasificación de cuadriláteros

Cuadrilátero.- Es cualquier polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican en:

Paralelogramo.- Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Trapecio.- Cuadrilátero que tiene dos, y solamente dos, lados opuestos paralelos. En particular un

trapecio cuyos lados NO paralelos son iguales recibe el nombre de trapecio isósceles.

Trapezoide.- Cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos.

PROPIEDADES DE LOS CUADRILATEROS

PARALELOGRAMOS

Tienen dos pares de lados paralelos

Los ángulos opuestos son iguales y los

consecutivos son suplementarios.

Los lados opuestos son iguales y paralelos.

Las diagonales determinan el punto medio de

las figuras.

TRAPECIOS

Tienen solo un par de lados paralelos

Tienen un par de lados paralelos llamados

bases.

Los ángulos opuestos de los lados no paralelos

son suplementarios.

TRAPEZOIDE

No tienen lados paralelos

No tienen lados paralelos.

En el caso de los romboides, los lados

consecutivos son iguales y las diagonales se

cortan en un punto medio.

paralelogramo cuadrado

rombo rectángulo

escaleno

isósceles recto

romboide trapezoide



Perímetro y área de paralelogramos Perímetro: se define de la misma forma que en cualquier otra figura plana: es la suma de las longitudes

de cada uno de sus lados. Para facilitar su cálculo siempre será bueno que recuerdes sus propiedades.

Área: se define como el producto de la base por la altura. La base puede ser cualquiera de sus lados y

la altura será el segmento trazado en forma perpendicular desde el lado opuesto a la base.

CIRCUNFERENCIA

Circunferencia. Lugar geométrico de todos los puntos en un mismo plano cuya distancia a un punto fijo

se mantiene constante. El punto fijo recibe el nombre de radio.

Círculo. Conjunto de puntos encerrados por la circunferencia.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos de la

circunferencia (DE).

Diámetro. Roda cuerda que pasa por el centro de

la circunferencia (DA). Es la mayor cuerda.

Radio. Segmento que une el centro de la

circunferencia con cualquiera de sus puntos (CB).

Arco. Porción de la circunferencia (AB).

Longitud de arco. Está determinado por:

L rα= .

Con α en radianes.



TANGENTES Y SECANTES A UNA CIRCUNFERENCIA Existen dos rectas especiales de la circunferencia: Las rectas tangente y secante a una circunferencia.

La secante a una circunferencia es cualquier recta que la

corta en dos puntos.

La tangente a una circunferencia es cualquier recta que

la toca en un punto y sólo uno.

Teoremas relativos a las tangentes

Teorema 1. Toda tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

Teorema 2. Una recta es tangente a una circunferencia si

es perpendicular a un radio en su extremo externo.

Teorema 3. Si una recta es perpendicular a la tangente en

el punto de tangencia, entonces pasa por el centro de la

circunferencia.

Teorema 4. La recta que une el centro de una

circunferencia con un punto exterior es

bisectriz del ángulo que forman las tangentes

trazadas desde ese punto a la circunferencia.



LONGITUD Y ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES

Nombre Dibujo Longitud Área

Circunferencia

2L Rπ=

Arco

L R

en radianes

α

α

=

Círculo

2A Rπ=

Sector circular

2

2 2R Long Arco RA

en radianes

α

α

×= =

.

Corona circular

( )2 2A R rπ= −

α

α



CUERPOS GEOMÉTRICOS Los cuerpos geométricos son figuras geométricas de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupan

un lugar en el espacio y en consecuencia tienen un volumen.

CLASIFICACION

POLIEDROS: Prismas y pirámides Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos.

Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, y el resto de sus caras son

paralelogramos. Las pirámides tienen base y el resto de las caras son triángulos.

CUERPOS REDONDOS Los cuerpos redondos son cuerpos que tienen superficies curvas.

cara basal

vértice

arista caralateral

cara basal

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Poliedros Todas sus caras son

planas

Cuerpos Redondos Tienen al menos una cara

curva



ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Figura Esquema Área Volumen

Cilindro

Lateral

2Total lateral

A 2 r h

A 2 r h 2 r

π

π π

=

= +

2V hrπ=

Esfera

2A 4 rπ=

34V

3rπ=

Cono

2

Total LateralA r + r gπ π=

2V

3r hπ

=

Cubo

2A 6

,

a

a lado de la cara cuadrada

= 3V a=

Prisma

A 2perímetro base h área base= × + × V área base h= ×

Pirámide

.A2

perímetro base ap lat área base×= + V

3área base h×

=



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Consideremos el triángulo ACB rectángulo, la notación de sus partes se realiza de la siguiente manera:

Los ángulos con letras mayúsculas

Los lados con letras minúsculas correspondientes al lado opuesto.

Uno de los objetivos de la trigonometría es mostrar la dependencia existente entre los lados y los ángulos

de dicho triangulo y para este objeto se emplean las razones trigonométricas, las que definimos a

continuación:

cateto opuesto hipotenusasen A cosec hipotenusa cateto opuesto

a cAc a

= = = =

cateto adyacente hipotenusacos A sec hipotenusa cateto adyacente

b cAc b

= = = =

cateto opuesto cateto adyacentetg A cotg cateto adyacente cateto opuesto

a bAb a

= = = =

VALORES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Cuando un ángulo hace un recorrido de un giro completo, sus relaciones trigonométricas van tomando

valores diferentes.

1 1 1 cos 1sen A tg A− ≤ ≤ − ≤ ≤ −∞ ≤ ≤ ∞



TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras señala que una relación entre los lados del

triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos.

2 2 2c a b= +

ÁNGULO DE DEPRESIÓN - ELEVACIÓN Los conceptos de ángulos de depresión y de elevación son muy utilizados para resolver problemas de la

vida cotidiana y que involucran triángulos rectángulos.

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razón

trigonométrica

1°

cuadrante

2°

cuadrante

3°

cuadrante

4°

cuadrante

seno

cosecante + + - - coseno

secante + - - + tangente

cotangente + - + -



VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL PRIMER CUADRANTE

0° 30° 45° 60° 90°

seno 0 12

22

32 1

coseno 1 32

22

12 0

tangente 0 33 1 3 ∞

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidad trigonométricaes una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se verifica

para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo.

FÓRMULAS DE LOS RECIPROCOS

1sen xcosec x

=1cos x

sec x=

1tg xcotg x

=

1cosec xsen x

=1sec x

cos x=

xtg xcotg

1=

FÓRMULAS DEL COCIENTE

sen x = tg xcos x

cos x cotgxsen x

=

FÓRMULAS DE LOS CUADRADOS O PITAGÓRICAS

2 2sen x cos x 1+ = 2 2sec x 1 tg x= + 2 2cosec x 1 cotg x= +



No.Como ya dijimos, la primera se satisface para cualquier valor del ángulo considerado; mientras que

la segunda, se satisface para determinado valor o valores del ángulo. Las igualdades trigonométricas se

trataran más adelante como ecuaciones trigonométricas.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Se considera una circunferencia C con centro en el

origen de coordenadas y radio 1, llamada

circunferencia goniométrica. En la misma se

pueden representar mediante segmentos, las

razones trigonométricas de ángulos.

Los segmentos representativos de las razones

trigonométricas en la circunferencia goniométrica,

reciben el nombre de líneas goniométricas.

RAZONES DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Recordemos que dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.

90 90A B B A+ = ° ⇒ = ° −

( )

( )

sen = cos B = cos 90

cos = sen B = sen 90

A A

A A

° −

° −

RAZONES DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Sean dos ángulos A y B suplementarios (que suman 180°) sus razones trigonométricas seno y coseno

serán:

180 180A B B A+ = ° ⇒ = ° − ⇒ ( )

( )

sen = sen B = sen 180

cos = cos B = cos 180

A A

A A

° −

− − ° −

senα

tgα

cosα


IDENTIDAD E IGUALDAD TRIGONOMÉTRICA, ¿ES LO MISMO?

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT REGLAS GENERALES PARA REDUCIR CUALQUIER ÁNGULO AL 1° CUADRANTE

Cuando un ángulo sea de 180 A° ± o de 360 A° ± , sus razones son numéricamente iguales, es

decir, en valor absoluto, a las razones del mismo nombre de A (A es un ángulo del 1° cuadrante).

Cuando el ángulo sea de 90 A° ± o de 270 A° ± , sus funciones son numéricamente iguales a las

cofunciones del mismo nombre de A. Recordemos que cofunciones se refiere a ángulos

complementarios (ej, sen A = cos (90° - A) o tg A = cotg (90° - A) o sec A = cosec (90° - A)).

En todos los casos, el signo del resultado es el que corresponde a la razón buscada en el cuadrante en

que se encuentra.

Ejemplo: reduce tg 977° al 1° cuadrante.

Solución

El ángulo dado da más de un giro, quitémosle giros hasta que quede

dentro de los primeros 360°.

Obtenemos que: 977° es equivalente a 257°. Este último es un ángulo del 3°

cuadrante.

tg 977° = tg 257°

la tangente en el 3° cuadrante es positiva. Aplicando la regla de

conversión, tenemos:

tg 977° = tg 257° = tg (180 + 77°) = tg 77°



TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

• Suma ángulos interiores: 180°

TEOREMA DEL SENO

a b c sen sen β senγα

= =

TEOREMA DEL COSENO

dados lados los entre ocomprendid ángulo

triángulo del lados dosDatos

α= + −2 2 2 a b c 2 b. c. cos

β−+= cos c. a. 2 2c 2a2b

γ−+= cos b. a. 2 2b 2a2c

• Superficie del triángulo

Fórmula de Herón

c)-(p . b)-(p . a)-(p p. Sup =

2

c b ap ++=

La fórmula de Herón, descubierta

por Herón de Alejandría, relaciona

el área de un triángulo en términos

de las longitudes de sus

lados a, b y c.



TRABAJO PRÁCTICO N° 3 TRIGONOMETRÍA

UN POCO DE GEOMETRÍA

1) Los siguientes ángulos están dados en radianes. Exprésalos en el sistema sexagesimal.

a) 3π

b) 75π

c) 16,

d) 1

6π +

e) 43π

f) 6 28,

2) Expresa en radianes a los siguientes ángulos.

a) 22° b) 45 6°, c) 125 23 19° ' ''

d) 720° e) 100 28°, f) 78 15 42° ' ''

3) Dada la figura, calcula en ángulo α.

252035

γβθ

= °= °= °

4) Determinar el área de los triángulos cuyos lados son: a) 4, 5, 6. b) 5, 6, 7.

5) Sabiendo que el área de un triángulo es 154

y que la medida de sus lados es 1 y 2. Calcula la

longitud del tercer lado. ¿Qué tipo de triangulo se obtiene?

6) Calcula la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura8 cm.

7) Calcula la altura del triángulo equilátero y la diagonal del cuadrado.



8) Calcula el área para las siguientes situaciones:

a) Un cuadrado de diagonal 50 .

b) Un rectángulo de base 7 m y perímetro 24 m.

c) Un triángulo equilátero de lado 6 m.

9) Determina el área de las siguientes figuras:

a)

b)

c)

d)

10) Calcula el área con los siguientes datos:

a) Una circunferencia de 6 cm de radio. Hallar también su longitud.

b) Un sector circular de 120 º de amplitud y 20 cm de radio.

c) Un círculo de 4 m de diámetro. Luego calcula su longitud.

d) Un sector circular en un círculo de 8 m de diámetro, con una abertura de 60º.

11) Halla el área de la circunferencia circunscrita a un rectángulo de lados 15 y

20 cm.

12) Calcula el área de la figura.


UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT 13) Realiza los siguientes cálculos.

a) Calcula el área de la figura.

b) Dado el cuadrado de la figura, calcula el

área sombreada.

c) El lado del cuadrado es 5 cm. Calcular el

área y el perímetro de la región sombreada.

d) Calcula el área de región sombreada,

sabiendo que los segmentos OC y AC miden

2 m.

e) Si ABCD es un rectángulo de área 36 cm2;

calcula el área de región sombreada.



14) Para hacer un lazo, se necesitan 40 cm de cinta. ¿Cuántos lazos se pueden hacer con un rollo de 12

metros de cinta?

15) La Iuz de un puente forma un arco de 66°, correspondiente a una

cuerda de 34 m. Calcula el radio de dicho arco.

16) Una prueba ciclista consiste en dar 12 vueltas a un circuito circular de

15,8 km de longitud. Si un corredor ya ha dado tres vueltas y media,

¿qué distancia le queda por recorrer?

17) Un auto en una pista circular recorre un ángulo de 135° y barre una longitud de arco de 54π. Halla:

a) Hallar el radio de la pista circular.

b) Hallar el área del sector circular recorrida.

18) El péndulo de un reloj al balancearse describe un ángulo de 20° y una longitud de arco de 3π. ¿Cuál

es la longitud del péndulo?

19) Se desea recortar un espejo de forma circular de radio 50 cm a partir de un

cuadrado ¿Cuál es el área del menor cuadrado?

20) Hay que embaldosar una habitación de 5 metros de largo por 3,36 m de

ancho. ¿Cuántas baldosas de 80 centímetros cuadrados de superficie se

necesitan?

21) Calcula el volúmen de los siguientes cuerpos:

a) Un cubo de 9 m de arista. Hallar también su área.

b) Un prisma triangular regular recto de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura. Calcula también su

área.

c) Un cilindro recto de 3 cm de radio y 10 cm de altura. Luego calcula su área.

d) Un cono recto de altura 4 cm y radio de la base 3 cm. Luego calcula su área.

e) Una pirámide recta de 15 m de altura cuya base es un cuadrado de 10 m de lado. Halla

también su área.


UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT Dadas las figuras, calcula los volúmenes y las áreas:

a) b) c)

22) Calcula el área y el volumen para cada de cuerpo de la figura.

a) b)

23) Halla el volumen de un cubo de Rubik de 8 cm de arista. Halla también el de

una de sus piezas.

24) Calcula el volumen y la superficie de la Tierra (considerada esférica), teniendo en cuenta que su

radio medio es de aproximadamente 6378 km.

25) Hallar el volumen de la pirámide de Keops, sabiendo que su altura actual es de aprox. 230,4 m y el

cuadrilátero que forma su base tiene 137 m de lado.



26) A un paciente se le aplica un suero intravenoso tal que cae una gota cada minuto. Si suponemos

que el recipiente es un cilindro recto de 4 cm de radio y 14 de altura, y la gota es aproximadamente

una esfera de 1 mm de diámetro. ¿Cuánto durará el suero?.

27) En una naranja de 10 cm de diámetro, ¿qué superficie de cáscara le corresponde a cada uno de

sus 12 gajos?

28) Una fábrica construye latas de conserva de forma cilíndrica, cuya base tiene un diámetro de 16 cm

y una altura de 20 cm. Calcula la cantidad de lámina de hojalata necesaria para fabricar una lata.

29) Para abastecer de agua algunas zonas de África,

una empresa dona depósitos como el de la figura.

Calcula el volumen de cada depósito.


TRABAJEMOS CON TRIGONOMETRÍA

30) Teniendo en cuenta el triángulo de la figura, calcula las razones trigonométricas para:

a) los ángulos A y B de un triángulo rectángulo ABC donde a = 8 y b = 15.

b) el ángulo B, sabiendo que cos B = 0,6.

c) Los ángulos A y B, sabiendo que tg B = 1,3.

31) Determina las medidas de los lados y ángulos faltantes (ten en cuenta el triángulo de ejercicio 30)):

a) A = 60° 25’ a = 120

b) b = 25 c = 34

c) B = 37° 45’ c = 12

d) a = 15 b = 18

e) c = 7 a = 12

32) Desde un punto situado a 200 m, medidos sobre el pie de una horizontal, del pie de una torre, se

observa que el ángulo de la cúspide es de 60°. Calcula la altura de la torre.

33) Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación a sus

extremos superiores son 30° y 60°, respectivamente. Demuestra que la altura de una de las dos torres

es el triple de la otra.

34) Dos boyas son observadas en dirección sur desde lo alto de un acantilado cuya parte superior esta

312 m sobre el nivel del mar. Calcula la distancia entre las boyas si sus ángulos de depresión medidos

desde la punta del acantilado son 46° 18’ y 27° 15’.

35) Para las siguientes proposiciones, indique a que cuadrante pertenece el ángulo θ:

a. tgθ> 0 y senθ< 0

b. tgθ y cosθ tienen el mismo signo

c. senθ y cosθ tienen el mismo signo

d. senθ y tgθ tienen signos opuestos

e. cosθ> 0 y tgθ< 0

f. Todas las funciones trigonométricas tienen el mismo signo


TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

36) Dado el triángulo de la figura; determina para cada caso el valor de la relación trigonométrica

pedida.

a) Si2

2sen β = , entonces cosα =?

b) Si 5

12tg β = , siendo β un ángulo agudo, entonces cosβ =?

c) Si12

sen α = , entonces cotgsα =?

d) Si35

sen β = , siendo α un ángulo agudo, entonces, ¿cuánto vale la

expresión tgα – cosα?

37) En la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?

) 2

4 5) cos5

) 1

i tg

ii sen

iii tg tg

α

α α

α β

=

+ =

+ =

38)

a) Si el ángulo ABC mide 30º, ¿Cuál es la medida del ángulo

ACD?

b) De acuerdo al triángulo rectángulo de la figura, ¿Cuánto

mide el ángulo x?


UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA Matemática UTN - FRT 39) Dada la siguiente figura, calcule los segmentos AD, AC, BC y BD.

40) Determina RQ, MQ y el área del triángulo MNP, sabiendo que RN = 36,4 m y θ = 20°.

(considera RQ = QP).

APLICACIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

41) Una escalera de 8,2 m está apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 6m. a)

realiza un esquema de la situación; b)¿qué ángulo forma con el suelo?

42) Un árbol de 10m de altura proyecta su sombra sobre el suelo cuando los rayos del sol forman con la

horizontal un ángulo de 15º. a) realiza un esquema de la situación; b) halla la longitud de la sombra.

43) Una persona se encuentra al pie de un árbol disfrutando de la sombra que este produce. Si los rayos

del sol inciden sobre el árbol de 30 m altura formando un ángulo de 25° con el suelo. a) esquematiza

la situación; b) ¿Cuánto debería desplazarse esta persona para salir totalmente de la zona de

sombra?

44) Un observador situado a 12 m por encima del suelo divisa un objeto (sobre el suelo) con ángulo de

53 grados. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está

directamente bajo el observador?

M

N

R

Q P α θ

Datos

α = 60° θ = 53° AB = 18m

α

θ

A

B

D

C



45) Considerando a la tierra como una superficie esférica con radio ecuatorial de 6378 km; se solicita

que calcules:

a) distancia BC del plano del trópico de cáncer al plano del ecuador, sabiendo que los trópicos

están a 23° 27’ del ecuador.

b) el radio DC, de los trópicos y cuál es la longitud de la circunferencia correspondiente.

c) la longitud (en km) de un arco comprendido entre dos puntos situados sobre el paralelo 48°50’,

si la diferencia de longitudes es de 15°.

d) la distancia que hay que recorrer sobre el paralelo de 40° para que el arco correspondiente

sea de 10°.

46) Queremos conocer el ancho de un río, para lo cual nos situamos justo en

una de las orillas y dirigimos la visual a un poste que se encuentra en la

otra orilla obteniendo un ángulo de 53º. Al alejarnos de la orilla

perpendicularmente un total de 20m y al mirar de nuevo el poste, el

ángulo es ahora de 32º. ¿Cuánto mide el río de ancho?

47) Calcula la altura de una chimenea sabiendo que la visual dirigida al

punto más alto por un observador de 1,80 m de altura, que se encuentra

a 48 m de distancia del pie de la chimenea, forma un ángulo de 36,67º

con la horizontal.



Trabajando con Triángulos Oblicuángulos 48) Con los datos dados en cada caso, determine los otros

elementos del triángulo oblicuángulo y complete la tabla. Si

no se puede determinar explique por qué.

49) La circunferencia de la figura tiene como centro el punto P; sobre ella se

ha trazado un triángulo con un ángulo de 80º, ¿Cuál es el valor del

ángulo y? ¿Cuánto vale el lado opuesto al ángulo de 80°?

50) Calcule el lado DB , sabiendo que este es perpendicular a AC .

15 20 ' 105 10 ' 80AC cmα β= ° = ° =

51) Dado el grafico, calcula el segmento AB sabiendo

que BD es una bisectriz por B y θ = 62,1°.

γ

β α

a

c

b



Aplicaciones de Triángulos Oblicuángulos

52) Halla la longitud del faro inclinado si se sabe que en el

triángulo ABC que se observa el lado “b” mide 9,9 m, los

ángulos A, B miden 42° y 53° respectivamente.

53) Halla la distancia que existe entre las personas.

54) Un topógrafo desea medir la altura del pico de la

montaña sobre el nivel del lago. Para esto toma las

medidas que aparecen en la figura. ¿A qué altura

está la cima con respecto al lago?. Justifica.

55) Un poste vertical situado sobre una pendiente que forma un ángulo de 7º con la horizontal, proyecta

hacia abajo de la pendiente una sombra de 36.3 m de longitud. Los rayos solares inciden sobre el

poste con un ángulo de 26º respecto de la horizontal. a) realiza un esquema de la situación; b)

calcula la longitud del poste.

56) A medida que un globo aerostático sube, su ángulo de elevación desde un punto P al

nivel del suelo y a 110 km del punto Q, que está directamente bajo el globo, cambia

de 19°20’ a 31°50’. ¿Cuánto sube el globo durante ese período?

57) Un barco detenido en una posición A ve la luz de un faro, ubicado en el mismo plano, con un

ángulo de elevación de 30°. Para acercarse al faro recorre una distancia de 300 m. Desde esa

nueva posición B, el ángulo de elevación al extremo superior del faro es de 40°.

a) Realiza un esquema de situación ; b) Calcule la altura del faro



c) Calcule la distancia desde la posición B a la base del faro.

58) Sobre un peñasco situado en la ribera de un rio se levanta una torre de 125m de altura. Desde el

extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de

28°40’ y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del mismo punto es de 18°20’. Encontrar:

a. El ancho del rio.

b. La altura del peñasco.

59) En el paralelogramo de la figura, el lado a mide 10 cm y el ángulo θ,

120°; además el área del mismo es de 433 cm2. Determina los

valores de: a) el lado b; b) la diagonal mayor.

60) En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 70 m, 80 m y 75

m. Determine la amplitud de los ángulos que determinan las esquinas

de la misma.

61) La estación de guardacostas A esta localizada a 193 km al oeste de la estación B. Un barco envía

una llamada de SOS desde el mar, y la reciben las dos estaciones. La llamada a la estación A indica

el que el barco está a 40° al noreste. La llamada a la estación B indica que el barco está a 30° al

noroeste. ¿A qué distancia de la estación A se encuentra el barco?

62) Desde lo alto de un faro, se observa dos barcos en direcciones opuestas con ángulo de depresión

de 16° y 37°. Si la altura del faro es de 21m.

a) Realiza un esquema de la situación

b) ¿Qué distancia separa a los barcos?

63) En un triángulo ABC se tiene que el ángulo A mide 80°. Se traza un segmento que une el vértice B

con un punto P del lado AC, tal que en el triángulo PBC, B mida 10°, además AB = PC.

64) La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 58 m de altura. Desde un

punto situado a 64 m de la base de la torre, se encuentra que el ángulo de

elevación a la parte más alta de la torre es de 60°.

a) Encuentra la altura de la torre.

b) ¿Cuánto se ha inclinado la torre desde su posición original?

65) Se desea calcular la distancia desde un punto A, hasta otro inaccesible desde el, identificado como

B. para calcular la distancia entre ellos, se utilizara el hecho de que A dista 150 m de otro punto C, y

este se encuentra a 200 m de B. además se sabe que ACB = 100°. Con los datos dados, calcula la

distancia entre los dos puntos aislados.

θ a

b


ECUACIONES

Ÿ Reconocer las ecuaciones algebraicas y trascendentes.

Ÿ Resolver ecuaciones, sobretodo las lineales y cuadráticas.

Ÿ Transformar situaciones en lenguaje coloquial al lenguaje algebraico.

Ÿ Aplicar las técnicas adecuadas para encontrar las soluciones de inecuaciones

lineales, fraccionarias y con valor absoluto.

Ÿ Utilizar los conocimientos en resoluciones de ecuaciones e inecuaciones para

resolver modelos de situaciones reales.


Unidad 4

Objetivos


UNIDAD 4: ECUACIONES Matemática UTN - FRT

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. A esas expresiones se les llama miembros

de la ecuación. El miembro del lado izquierdo de la igualdad se le llama primer miembro, mientras que el

que se encuentra en el lado derecho se llama segundo miembro. Segundo miembro

Primermiembro

3 5 8x x− = +

Ejemplos: 3 2 4 1x x− = + 2 5 2z − =32 4x

− =

CLASIFICACIÓN Hay dos tipos de ecuaciones con las que comúnmente se trabaja, uno son las llamadas ecuaciones

identidades y ecuaciones condicionales.

( )2 2 2

Con solo asignar valores a "a" y "b" y efectuar las operac

Identidades son aquellas que resultan válidas para todos los valores posibles de las letras que contienen.

Ejemplo: 2a b a ab b

Ecuaciones

⇒

+ = + +

ionesen cada miembro, se obtinene el mismo resultado; estamos anteuna identidad.

Condicionales son aquellas que están condicionadas⇒

Sin utilizar ningún método de solución, podemos deducir qu

a algún(os) valor(es)es decir, la igualdad se cumple sólo para ciertos valores de

la variable.Ejemplo: 2 1x + =

e elúnico valor que satisface la igualdad es x = 1, por lo tanto, la

ecuación es condicional.−

IMPORTANTE

Una Identidad es una igualdad algebraica, esto es, una igualdad en la que aparecen números y letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas.

Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las incógnitas y falsa para otros.

Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta, mientras que la ecuación no.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES

TIPOS DE ECUACIONES

SEGÚN SUS SOLUCIONESAtendiendo al número de soluciones que puede tener una ecuación, pueden darse los siguientes tipos:

Que no tenga solución: por ejemplo, x + 2 = x + 3. Como puedes observar, es evidente que no hay

ningún valor que sumado a 2 de lo mismo que sumado a 3.

Que tenga una o varias soluciones: por ejemplo, x + 2 = 3. Solo tiene una solución que es x = 1, ya

que es el único número que sumado a 2 nos da 3.

Que tenga infinitas soluciones: en este caso hay que distinguir varios tipos,

• Entre identidades: cualquier valor de las incógnitas es solución, por ejemplo: 2x + 2 = 2 (x + 1)

• Que no sea una identidad: por ejemplo, x + y = 5. Existen infinitos pares de números que suman

5. En estos casos se dice que la ecuación es indeterminada.

• Otros tipos de ecuaciones: tales como las trigonométricas que pueden tener infinitas

soluciones y no son ecuaciones indeterminadas.

SEGÚN SUS EXPRESIONES

Ecuaciones algebraicas

Polinómica: son aquellas en las que cada uno de sus miembros están formados por monomios

o polinomios; por ejemplo: x2 – x – 1 = 3x – 1.

Si el grado es 1, se dice que es una ecuación de primer grado. Por ejemplo: 4x – 5 = 3x

Si el grado es 2, se dice que es una ecuación de segundo grado. Por ejemplo: x2 – 1 = 3x

Racionales: cuando aparece el cociente de polinomios, por ejemplo:1 41

xx x+

=−

Irracionales: cuando las incógnitas forman parte de alguna raíz, por ejemplo: 1 3x x− = +

Ecuaciones trascendentes

Exponenciales: cuando las incógnitas forman parte de algún exponente, por ejemplo: 2x = 8

Logarítmicas: son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un

logaritmo, por ejemplo: log 2x = 5

Trigonométricas: son aquellas en las que aparecen una o más relaciones trigonométricas. En

estas, la incógnita es el ángulo común de las relaciones trigonométricas.

Por ejemplo: 3 sen x = 1



ECUACIONES LINEALES

DEFINICION Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las expresiones con una

incógnita de la forma:

0 , 0ax b a+ = ≠

Siendo a, b números reales.

En la ecuación lineal encontramos dos términos:

Término independiente

Término lineal

0a x b+ =

Las siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales:

a) 2 1 3 2x x+ = −

b) 1 0x − =

c) 1 15

x + =

d) 2 3x y+ =

** cuidado, si bien la ecuación del apartado d) es lineal, tiene dos incógnitas. En esta parte,

nosotros vamos a estudiar las que tienen sola una incógnita.

¿COMO SE RESUELVE LA ECUACION LINEAL? Primero diremos que este tipo de ecuaciones solo tiene una solución.

Para resolver las ecuaciones de este tipo debemos acomodar del lado izquierdo de la igualdad a los

términos en x y del otro lado, los términos independientes. Teniendo en cuenta:

Si un término esta de un lado de la igualdad, sumando o restando, pasa al otro lado de la

igualdad efectuando la operación contraria.

Cada lado de la igualdad debe quedar reducido a un solo término.

Si un número está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa hacia el otro dividiendo a todos

los términos de ese lado y conservando su signo.

• Si un número está dividiendo de un lado de la igualdad pasa hacia el otro multiplicando a

todos los términos de ese lado y conservando su signo.

• El resultado de una ecuación debe expresarse de la forma más simplificada posible.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación, 5x – 8 = x + 2

Solución

Pasamos del lado izquierdo los términos en x

y las constantes del otro: → 5 2 8x x− = +

Efectuamos las operaciones indicadas → 4 10x =

Por último, para despejar x vemos que

4 está multiplicando, entonces pasa

Dividiendo al otro lado de la igualdad → 10 54 2

x = =

La solución se puede comprobar reemplazando el valor encontrado en la ecuación original.

Ejemplo: resuelve, ( ) ( )3 3 1 4 9 5 0x x− + − =

Solución

Realizamos las operaciones previas 9 3 36 20 0x x− + − =

Términos en x por lado y constantes por el otro 9 20 3 36x x− = −

Realizando los cálculos en cada lado 11 33x− = −

Finalmente, despejamos x 33 311

x −= =−

Verificación

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

3 3 3 1 4 9 5 3 0

3 9 1 4 9 15 0

3 8 4 6 024 24 00 0 se verifica

− + − = − + − =

+ − =

− == →



Ejemplo: resuelve, 5 1 1

3 4x x− +

+ =

Solución

Realizamos la suma fraccionaria ( ) ( )4 5 3 1

112

x x− + +=

Reescribimos la igualdad de manera adecuada ( ) ( )4 5 3 1 1. 12x x− + + =

Realizamos las operaciones previas 4 20 3 3 12x x− + + =

Términos en x por lado y constantes por el otro 4 3 12 20 3x x+ = + −

Realizando los cálculos en cada lado 7 29x =

Finalmente, despejamos x 297

x =

Verificación

29 295 17 7 1

3 4

− ++ =

29 35 29 77 7 13 4

6 36 121 28168 756 1

5881 1 se verifica

− +

+ =

− + =

− +=

= →

Aplicaciones En esta parte haremos uso de las ecuaciones lineales para modelar y resolver situaciones problemáticas

de distintas áreas. Para resolver podemos seguir las siguientes pautas:

Lo principal, hacer una lectura de la situación problemática y entender lo que

sucede y se solicita

Hacer una traducción de lo expresado verbalmente al lenguaje simbólico

Formular un modelo matemático a través de la ecuación correspondiente

Resolver la ecuación y aplicar criterio para formular la respuesta.

Verificar resultado


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES Ejemplo: En la utilería de un club se guardan las pelotas en cajones. Si juntamos las

pelotas de cinco cajones con dos pelotas sueltas, tenemos el mismo número de

pelotas que si juntamos tres cajones con 20 pelotas sueltas. a) plantea la ecuación

que modela la situación; b) ¿cuántas pelotas se guardan en cada cajón?.

Solución

1) Determinamos cuántas incógnitas (datos a determinar) tiene el problema. Observamos que

es una sola incógnita, el número de pelotas que hay en cada cajón. Por tanto:

x = nº de incógnitas en cada bote

2) La condición que nos dan nos dice que el número de pelotas de cinco cajones con dos de ellas

sueltas es igual al número de pelotas de tres cajones con 20 de ellas sueltas, y su traducción al

lenguaje algebraico será la ecuación que modela nuestra situación problemática:

5x + 2 = 3x + 20

3) Ahora, resolvemos la ecuación planteada: 5x - 3x = 20 - 2 =>2x = 18 => x = 9

Por tanto la solución es: hay 9 pelotas en cada cajón.

4) Finalmente, verificamos el resultado encontrado:

5·9 + 2 = 3·9 + 20 => 45 + 2 = 27 + 20 => 47 = 47 (correcto)



ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa de la siguiente forma

2 0 , 0ax bx c a+ + = ≠

Siendo a, b, c números reales.

En la ecuación cuadrática encontramos tres términos:

Término lineal

2

Término Término cuadrático independiente

0a x b x c+ + =

Las siguientes son ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

• 22 0x =

• 2 1 0x − =

• 2 1 05

x x+ =

• 2 12 3 02

x x− + =

• 1 2 1

5 1x x+ =

+ −

SOLUCIONES O RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática la podemos calcular con la aplicación de la Fórmula

de Bhaskara.

2

1,2

2 2

1 2

42

4 42 2

b b acxa

b b ac b b acx xa a

− ± −=

− + − − − −= =

Ejemplo: resuelve la ecuación cuadrática 23 4 1 0x x+ + =

Se observa que: 3 4 1a b c= = = .

Aplicando Bhaskara:

2 1

1,2

2

4 2 14 4 4.3.1 4 4 6 3

2.3 6 4 2 16

xx

x

− + = = −− ± − − ± = = = − − = = −


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES NATURALEZA DE LAS RAÍCES De acuerdo a la fórmula de Bhaskara, es posible que las raíces sean números reales, pero también

podrían complejos. Para saber esa característica de las raíces analizamos radicando de la expresión de

Bhaskara, al cual se lo denomina discriminante.

DISCRIMINANTE

El discriminante de la ecuación cuadrática: 2 0ax bx c+ + = es el número:

∆ = b2 −4ac

Se presentan tres situaciones a analizar:

i. ∆>0, las dos raíces son números reales distintos.

ii. ∆ = 0, las dos raíces son reales e iguales

iii. ∆< 0, las dos raíces son números complejos.

Ejemplo: analiza el discriminante de la ecuación del ejemplo anterior.

Solución

El discriminante será: 2 24 4 4.3.1 16 12 4b ac∆ = − = − = − =

Por lo tanto: 4 0∆ = > → con este resultado aseguramos que las raíces de la ecuación serán reales

y distintas. Además no necesitamos resolver la ecuación para saber esta

característica.

COMPLETAR CUADRADOS (otra forma de resolver la ecuación cuadrática) Veamos el método directamente con un ejemplo.

Ejemplo: Sea la ecuación 23 4 1 0x x+ + = , resuelve aplicando el método completar cuadrado.

Solución 23 4 1 0x x+ + =

2 4 13 03 3

x x + + =

Al coeficiente del término lineal, 43

, lo dividimos en dos y a ese resultado lo elevamos al cuadrado, es

decir: 24 : 2

3

. A este último lo sumamos y restamos en la ecuación (para no alterar la igualdad).

Quedando: 2 2

2 4 4 4 1: 2 : 2 03 3 3 3

x x + + − + =


2 4 4 4 1 03 9 9 3

x x+ + − + =

22 1 03 9

x + − =

22 13 9

x + =

aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad, tenemos

22 13 3

x + =

recuerda que: 2x x=

2 13 3

x + = al quitar las barras de valor absoluto queda:

2 13 3

x + = ± tenemos dos soluciones

1 2

2 1 2 13 3 3 3

1 13

x x

x x

+ = + =−

= − = −

Ahora hagamos el camino inverso.

Conocidas las raíces de la ecuación, queremos reconstruirla. Entonces sean las raíces x1 y x2, podemos

escribir la ecuación cuadrática en forma factorizada:

( ) ( )1 2 0a x x x x− − =

Para visualizar mejor, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: reconstruye la ecuación cuadrática conocidas sus raíces x1 = 2 y x2 = -1. El coeficiente del

término principal vale 3.

Solución

( ) ( )( )2 2

3 2 1 0

3 2 0 3 3 6 0

x x

x x x x

− + =

− − = → − − =

Hasta ahora hemos mostrado la ecuación cuadrática completa, es decir, que tiene todos sus términos.

Pero, puede suceder que este en forma incompleta.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES FORMAS INCOMPLETAS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

2 0 , 0 0ax c a y b+ = ≠ =

Ejemplo: resuelve la ecuación 22 4 0x − =

Solución 2 2

1 22 4 2 2 2 2x x x x x= → = → = ± ⇒ = ∧ = −

2 0 , 0 0ax bx a y c+ = ≠ =

Ejemplo: resuelve la ecuación 22 4 0x x− =

Solución

( )1 2

2 2 0 2 0 2 00 2

x x x xx x

− = → = ∧ − =

= =

2 0 , 0 , 0 , 0ax a b c= ≠ = =

Ejemplo: resuelve la ecuación 22 0x =

Solución 2

1 20 0x x x= → = =

Veamos ahora un ejercicio de aplicación.

Ejemplo: halla dos números naturales consecutivos cuyo producto sea igual al cociente entre el

cuadrado del mayor y 1110

.

Solución

Sean estos números: x y x + 1.

Luego: ( ) ( )21. 1

1110

xx x

++ =

( ) ( )22

2 2

2 12

1,2

2

11 10 1

11 11 10 20 109 11 109 ( 9) 4.1.( 10) 9 121 29 10 0

2.1 2 9 11 12

x x x

x x x x

xx x x

x

+ = +

+ = + +

+ = =± − − − ± − − = → = = = − = = −

⇒los números deben ser naturales, por tanto, x = 10.

Con ello, los números buscados son: 10 y 11.


UNIDAD 4: ECUACIONES Matemática UTN - FRT Ejemplo: un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 de ancho está rodeado por un camino de ancho

uniforme. a) realiza un esquema de la situación: b) halla el ancho de dicho camino si se sabe que su

área es de 540 m2.

Solución

a)

a = 34 m b = 50 m

el camino que rodea al jardín es de ancho uniforme y mide e.

b) El área del camino uniforme podemos determinarla de la siguiente manera:

Área camino uniforme = área rectángulo más externo – área del jardín

( ) ( )mino uniforme 2 2caA b e a e ab= + + −

( )

2mino uniforme

2

2

2 2 4

4 2

4 168

caA ab be ae e ab

e a b e

e e

= + + + −

= + +

= +

Pero resulta que: Área camino uniforme = 540 m2

Entonces: 24 168 540e e+ =

2

2

4 168 540 042 135 0

e ee e

+ − =

+ − =

2 1

1,2

2

42 48 342 (42) 4.1.(135) 42 2304 22.1 2 42 48 45

2

ee

e

− + = =− ± + − ± = = = − − = = −

** Como el ancho del camino es una longitud, la solución será que el espesor es de 3 m.

a

b

e


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES ECUACIONES RACIONALES

Son aquellas que tienen la forma ( ) 0 ( ) 0( )

P x Q xQ x

= ∧ ≠ .

En donde P y Q son polinomios en la variable x.

Las raíces de estas ecuaciones serán los valores de “x” que anulan el polinomio P y no a Q.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones racionales

a) 1 2 0

1 1x x+ =

− +

Para resolver debo excluir x = – 1 y x = 1; porque son valores que anulan los denominadores de

las fracciones. Recuerda, para nosotros la división por cero no está definida. Entonces:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 0 11 1

1. 1 2 10

1 11 2 2 01 1

xx x

x xx x

x xx x

+ = ∧ ≠ ±− ++ + −

=− +

+ + −=

− +

3 1 0 13 1

13

x por ser xx

x

− = ≠ ±=

=

b) 21 2 0

1x x x+ =

− −

Debemos excluir: x = 0 y x = 1; son los valores que anulan los denominadores.

( )

( )

1 2 0 0 , 11 1

2 01

x xx x x

xx x

+ = ∧ ≠ ≠− −

+=

−

2 02

xx+ == −


UNIDAD 4: ECUACIONES Matemática UTN - FRT ECUACIONES IRRACIONALES Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el

signo radical.

Las siguientes son ecuaciones irracionales: 3 1 2x x+ = 29 2 2x x− = − +

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales.

a) 8 2x − =

Elevamos al cuadrado ambos miembros → ( )2 28 2x − =

Simplificamos exponente 2 y → 8 4x − =

Resultado de la ecuación → 12x =

Verificamos el resultado

(12) 8 2

4 2 2 2 se verifica

− =

= → = →

b) 3 3 1x x+ + =

Acomodamos y elevamos al cuadrado → ( ) ( )2 23 1 3x x+ = −

Desarrollamos las operaciones dadas → 23 1 6 9x x x+ = − +

Ordenando un poco → 2 9 8 0x x− + =

Resolvemos la ecuación cuadrática → 1 28 1x x= ∧ =

Verificamos los resultados → 12x =

8 3 3(8) 1 8

3 25 8 8 8

Para x

se verifica

= → + + =

+ = → = →

1 3 3(1) 1 1

3 4 1 5 1

Para x

no se verifica

= → + + =

+ = → ≠ →

Finalmente, la solución de la ecuación es: x = 8.

c) 22 6 9 0x x− − − =

( ) ( )2 22 9 2 6x x− = −

2 29 4 24 36x x x− = − +

23 24 45 0x x− + = 2

1 28 15 0 5 3x x x x− + = → = ∧ =

Ambos resultados verifican la ecuación de origen, por tanto, son soluciones de la misma.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver estas ecuaciones se aplican las propiedades de la potenciación.

Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones lineales

Ejemplo: resuelve 13 9x+ =

Solución

Descomponemos en factores de igual base → 1 23 3x+ =

Igualamos exponentes → 1 2x + =

Resultado de la ecuación → 1x =

Verificamos 1 1

2

3 93 9 9 9 : 1se verifica solución x

+ =

= → = → ⇒ =

Ejemplo: resuelve 1 12 2 2 7x x x− ++ + =

Solución

Descomponemos de manera adecuada → 2 2 2 2 72

xx x+ + =

Hacemos un cambio de variable, t = 2x → 2 72t t t+ + =

Realizando las operaciones → 7 7 22

t t= ⇒ =

Ahora, calculamos la variable original “x” → 2 2x t como t= → =

2 2 1x x⇒ = → =

Verificamos 1 1 1 1 12 2 2 7

1 2 4 7 7 7 : 1se verifica solución x

− ++ + =+ + = → = → ⇒ =

Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones cuadráticas

Ejemplo: resuelve 3 12 4 320 0x x+ ++ − =

Solución

( ) 13 22 2 2 320 0xx +

+ − =

( )3 2 22 2 2 2 320 0xx + − =

( )23 22 2 2 2 320 0x x+ − = →hacemos t = 2x

21 28 4 320 0 8 10t t t t+ − = ⇒ = ∧ = −


UNIDAD 4: ECUACIONES Matemática UTN - FRT Ahora, calculamos la variable original “x”

3

8 2 82 2 3

x

x

Para tx

= → =

= → =

( )10 2 10 sin 0x xPara t solución ya que a= − → = − → >

Verificamos 3 3 3 12 4 320 0+ ++ − =

64 256 320 0 0 0 : 3se verifica solución x+ − = → = → ⇒ =

Ecuaciones exponenciales con factores de distintas bases

Ejemplo: resuelve 13 7x+ =

Solución

Aplicamos logaritmo en ambos miembros → ( )x 1 log 3 log 7+ =

Operamos y resolvemos → log 7 1 0,77log 3

x x= − →

Luego, esta solución verifica la ecuación de partida, por tanto, es solución.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 4: ECUACIONES ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son aquellas en la que la incógnita (variable) se encuentra como argumento de un logaritmo.

Para resolver estas ecuaciones vamos a aplicar las propiedades del logaritmo como así también la

definición de logaritmo.

Ejemplo: resuelve la ecuación ( )log 3 2x + =

Solución

Aplicamos definición de logaritmo → 210 3x= +

Resolvemos → 97x =

Verificamos

( )2

log 97 3 2

log 10 2 2 log 10 2 2 . 1 2 2 2 se verifica

+ =

= → = → = → = →

Ejemplo: resuelve la ecuación ( )log 3 1x + =

Solución

Por la forma de la ecuación, aplicaremos otra estrategia:

Reescribimos la ecuación → ( )log 3 log 10x + =

Aplicamos igualdad entre logaritmos → 3 10x + =

Resolvemos → 7x =

Verificamos

( )log 7 3 1log 10 1 1 1 se verifica

+ =

= → = →

Ejemplo: resuelve la ecuación ( )2 logx log 4 12x= +

Solución

Por el logaritmo de una potencia → ( )2logx log 4 12x= +

Por igualdad entre logaritmos → 2 4 12x x= +

Acomodando y resolvemos → 21 24 12 0 6 2x x x x− − = ⇒ = ∧ = −

Verificamos

( )( )

6 2 log 6 log 4 . 6 12

2 log 6 log 36 2 log 6 2 log 6

Para x

se verifica

= → = +

= → = →

( ) ( )2 2 log 2 log 4 . 2 12Para x = − → − = − + → el argumento del logaritmo no puede ser

negativo (por definición). Por tanto se

descarta esta solución.

Finalmente, la solución es: x = 6


UNIDAD 4: ECUACIONES Matemática UTN - FRT ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son aquellas en las que la incógnita o variable aparece afectada de alguna razón trigonométrica.

Para resolverlas es conveniente:

1. Expresar todas las razones que aparezcan en función de un mismo ángulo.

2. Buscar los ángulos comprendidos entre 0° y 360° (0 y 2π) que satisfagan la ecuación, que serán

las soluciones particulares.

3. Obtenemos todas las soluciones posibles en R, sumando a las soluciones particulares obtenidas

en 2., el termino k . 360° (o 2kπ), con k entero.

También se hará uso de las identidades trigonométricas y de la circunferencia trigonométrica.

Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en

radianes. Aunque también es cierto que hay ecuaciones trigonométricas que no tienen solución.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

a) Resuelve la ecuación 1cos2

x = − en [0, 2π] y en los R.

Solución

Por ser cos x < 0, x está en el 2° o 3 ° cuadrante.

Para un ángulo x del 1° cuadrante, tenemos que: 1cos

3 2π

=

Recordemos que:

Un ángulo del 2° cuadrante será: ( ) ( )cos cos 1x xπ − = −

Y un ángulo del 3° cuadrante ( ) ( )cos cos 2x xπ + = −

Entonces, si tomamos: x3π

=

De (1) y (2) sacamos las soluciones particulares:

1 22 4x x

3 3 3 3π ππ π π π= − = ∧ = + = →son las soluciones en [0, 2π].

Para obtener las soluciones en R, sumamos 2kπ a las soluciones x1 y x2, obteniendo las soluciones

generales:

2 4x 2 x 2 ,3 3

k k k enteroπ π π π= + ∧ = +

b) Resuelve la ecuación 3 2cossenx x= en [0, 2π] y en los R.

Solución

Como seno y coseno no se anulan simultáneamente, las soluciones “x” son tales que cos x ≠ 0, por lo

tanto podemos dividir la igualdad por cos x, con lo obtenemos:


3 2cossenx x=

cos3 2cos cossenx x

x x= → 2

3tg x =

Observamos que tg x > 0, entonces, x está en el 1° o 3 ° cuadrante.

Para un ángulo x del 1° cuadrante, tenemos que: 2 2tg x 33,693 3

x arctg= ⇒ = °

Recordemos que:

Para un ángulo del 3° cuadrante: ( )tg 180 x tg x° + =

Entonces, si tomamos: x 33,69= °

Las soluciones particulares son:

1 2x 33,69 x 33,69 180 213,69= ° ∧ = ° + ° = °→son las soluciones en [0, 2π].

Para obtener las soluciones en R, sumamos k 360° a las soluciones x1 y x2, obteniendo las soluciones

generales:

x 33,69 360 x 213,69 360 ,k k k entero= ° + ° ∧ = ° + °

c) Resuelve la ecuación 0tg x senx senx− = en [0, 2π] y en los R.

Solución

Acomodando la expresión, tenemos → ( )1 0senx tg x − =

Se presentan dos posibilidades → 0 1senx o tg x= =

Observamos que en [0, 2π] → 0 0,senx x π= ⇒ =

51 ,

4 4tg x x π π

= ⇒ =

Las soluciones generales seran:

5x 0 2 x 2 x 2 x 2 ,4 4

k k k k k enteroπ ππ π π π π= + ∧ = + ∧ = + ∧ = +


INECUACIONES

Dentro del mundo de la resolución de problemas te encontrarás en ocasiones en que la incógnita que deseas encontrar no tiene tantas restricciones que la hacen ser única para satisfacer alguna ecuación, existen casos en que la solución puede ser el conjunto completo de los números positivos por ejemplo, o todos los número mayores que 3, que por cierto en ambos casos la cantidad de soluciones son infinitas.

Inecuación

Es una desigualdad en donde algunos términos contienen no solo un coeficiente

numérico sino también una letra (variable o incógnita).

En álgebra, algunos problemas originan inecuaciones en lugar de ecuaciones.

En las inecuaciones no se usa el signo “=”, sino, se usa los signos de desigualdad: >, <, ≤o ≥.

Al resolver una inecuación, encontramos un conjunto solución.

Aquí tenemos un ejemplo de una inecuación:

4x + 7 ≤ 19

Sólo algunos valores de x satisfacen esa inecuación, por ejemplo:

x = 2 ⇒ 15 ≤ 19

x = 3 ⇒ 19 ≤ 19

Pero sí, por ejemplo, x = 5, la desigualdad no se cumple:

x = 5 ⇒ 27 ≤ 19

Comprueben ustedes que si x = 4 tampoco se cumple que 4x + 7 ≤ 19.

Resolver una inecuación quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen que la

desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una inecuación por lo general tiene

infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números

reales. La ilustración que sigue muestra cómo una inecuación difiere de su ecuación correspondiente:

La ecuación 4x + 7 = 19, tiene como solución x = 3 y la gráfica correspondiente

La inecuación 4x + 7 ≤ 19, tiene soluciones tales que x ≤ 3

Su grafica será:

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

Antes de comenzar a resolver, veamos algunos axiomas.

1) Tricotomía

Sean a, b ∈ R, entre ellos solo cumplen una y solo una de las siguientes afirmaciones:

a > b a = b a > b

2) Transitividad

Sean a, b y c ∈ R, tales que a 0 entonces siempre

a . c b .c.

En otras palabras, multiplicar una desigualdad por un número negativo cambiará la

dirección de la desigualdad.

INECUACIONES LINEALES

Ejemplo: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:

a) 5 7 12x + < → por el axioma 3, sumamos – 7 en ambos miembros

5 7 7 12 7x + − < −

5 5x < → por el axioma 4, multiplicamos por 15

en ambos miembros

1 15 . 5 .5 5

x < → por el axioma 4, multiplicamos por 15

en ambos miembros

1x < → solución de la inecuación ( ), 1S = −∞

Gráficamente, la solución será:

0 1

b) 3 2 7x− ≤ → por el axioma 3, sumamos – 3 en ambos miembros

3 2 3 7 3x− − ≤ −

2 4x− ≤ → por el axioma 4, multiplicamos por 12

−

en ambos miembros

1 12 . 4 .2 2

x − − ≤ −

→ al multiplicar por un valor negativo, se invierte el signo dedesigualdad

2x ≥ − → solución de la inecuación es: )2,S = − ∞

Gráficamente, la solución será:

INECUACIONES FRACCIONARIAS

Ejemplo: Resuelve las siguientes inecuaciones fraccionarias

a) 1 2xx−

> → por el axioma 3, sumamos – 2 en ambos miembros

1 2 2 2xx−

− > − → efectuamos las operaciones indicadas

1 0xx

− −> → por el axioma 4, multiplicamos por – 1 ambos miembros

1 0xx+

< → vemos que el cociente entre dos números debe ser negativo,

entonces, deben tener signo contrarios; por ello se presentan dos

posibilidades de solución.

1° posibilidad:

1 0 01

x xx+ > ∧ <> −

→ indica que se realizará “intersección” entre dos intervalos;

De aquí saldrá una solución parcial S1.

( ) ( ) ( )1 1, , 0 1, 0S = − ∞ −∞ = −

Gráficamente:

-2 0

– 1 0

1 0 01

x xx+ < ∧ >< −

→ De aquí saldrá una solución parcial S2.

( ) ( )2 , 1 0,S = −∞ − ∞ = ∅

Gráficamente:

Finalmente, la solución será: ( ) ( )1 2 1, 0 1, 0S S S= = − ∅ = −

b) 9 3x≥ → por el axioma 4, multiplicamos por x; teniendo en cuenta que x

Puede ser (+) o (-) pero nunca cero. Se presentan 2 posibilidades:

1° posibilidad:

0 9 33

Si x xx

> ∧ ≥≤


( ) ( (1 0, , 3 0, 3S = ∞ −∞ =

Gráficamente:

2° posibilidad:

0 9 33

Si x xx

< ∧ ≤≥


( ) )2 , 0 3,S = −∞ ∞ = ∅

Gráficamente:

Finalmente, la solución será: ( (1 2 0, 3 0, 3S S S= = ∅ =

– 1 0

0 3

0 3

– 1 0

0 3


2° posibilidad:

En general, para resolver inecuaciones con valor absoluto usamos la siguiente tabla:

CASO MODELO SOLUCIÓN 1 |a| b a <– b o a > b 4 |a| ≥ b a ≤– b o a ≥ b

Ejemplo: Resuelve la siguientes las inecuaciones con valor absoluto

a) 2 2 2x − ≤ → sumamos 2 en ambos miembros

2 2 2 2 2x − + ≤ + → realizamos las operaciones

2 4x ≤ → aplicamos en ambos miembros

2 2x ≤ → se observa, |x| = 2x

2x ≤ → usamos el caso 2 de la tabla

2 2x− ≤ ≤ → solución de la inecuación dad. 2, 2S = −

Gráficamente:

b) 4 1x− > → usamos el caso 3 de la tabla

1 4 1x− > − > → resolvemos como si fueran dos inecuaciones

1 4 4 1x o x− > − − > → “o” indica unión entre dos intervalos

5 3x o x> < → solución de la inecuación dad. ( ) ( ), 3 5,S = −∞ ∞

Gráficamente:

– 2 2

3 5


INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

4 1x− >

1 4 1x− > − > → sumamos – 4 en ambos miembros

1 4 4 4 1 4x− − > − − > −

5 3x− > − > − → multiplicamos por (– 1) en ambos miembros

5 3x< < → solución de la inecuación dad. ( ) ( ), 3 5,S = −∞ ∞

APLICACIONES Ejemplo: Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si las edades de ambas, suman menos de 86 años.

¿Cuál es la máxima edad que podría tener Lorena?

Solución

Edad de Andrea: A = x Edad de Lorena: L = x - 20

El planteo seria: 86A L+ <

20 862 106

53

x xx

x

+ − <<

<

Por lo tanto, las edades de Andrea y Lorena serían menores que 53 y 33 años.

Por ello, la máxima edad que podría tener Lorena es 32 años.


Otra forma de resolver, seria:


TRABAJO PRÁCTICO N° 4 ECUACIONES

1) Representa como expresión algebraica cada una de las siguientes expresiones.

a) El cuadrado de la suma de dos números.

b) Un quinto de un número más un medio.

c) El cuadrado de la tercera parte de la suma de dos números.

d) La mitad del cuadrado de la diferencia de dos números.

e) El cuadrado de un número más el doble producto de ese número por otro.

f) El producto de tres números consecutivos.

g) El quinto de la diferencia de un numero menos tres.

2) Despeja la variable indicada para cada caso:

a) La velocidad de un objeto bajo ciertas condiciones está dada por: 2 20 2v v ad= +

b) Donde v0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y del desplazamiento. Despeja a y d.

c) La expresión 1a r LS

rC−

=−

aparece en el estudio de las progresiones geométricas. Despeja r y L.

d) La ecuación para la velocidad de una partícula está dada por 0v v at= + . Despeja t y a.

e) La potencia de una resistencia eléctrica está dada por 2P i R= . Despeja R.

f) La relación entre la temperatura en °F y la temperatura en ° C es 9 325

F C= + . Despeja C.

g) El área de un cilindro está dada por ( )2A r r hπ= + . Despeja h y r.

h) La expresión que describe la dilatación de una varilla de metal cuando se calienta es

( )0 1L L tα= + .Despeja α.

3) Resuelve las siguientes ecuaciones lineales:

a) 3 2 5x x− = − b) ( )2 2 1 5 4x x x − − = − c) ( ) ( )3 6 3 4x x x− + − − = −

d) ( ) ( ) ( )1 1 4w w w w− + = −

e)

1 1 12 4 6

x x+ = f) 3 25 24 3

x x− = +

g) ( )1 2 42 23 3 3

t t t− + = + h) 3 127

4 4y

y y= −

+ + i)

3 2 4 135 3

w w− −+ =



Aplicaciones de Ecuaciones Lineales

4) La suma de dos números es 15 y el segundo número es tres menos que el primer número. ¿Cuáles son

los números?

5) Un terreno rectangular tiene un perímetro de 500 m. su longitud es 30 m mayor que el doble de su

ancho. Encuentra sus dimensiones.

6) Un número es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos números es 20. ¿Cuáles son esos números?

7) Determina un número cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 25

y 18

del mismo?.

8) Analiza el discriminante de las ecuaciones dadas e indica la naturaleza de las raíces.

a) 2 5 6 0x x− + = b) 2 23 4 28x x− = + c) ( ) ( )1 5 5 0x x+ − + =

d) 2 1 46

x −= e) ( )25 3 1x − + = f)

5 1 32 2x x− =

+ −

g) 6 4x x+ − =

9) Teniendo en cuenta las ecuaciones del ejercicio anterior, encuentra sus soluciones mediante;

a) Bhaskara; b) completando cuadrado.

10) Calcula el valor del discriminante y marca con una X el tipo de raíces de 2 0a x b x c+ + =

a b c ∆ = b2 – 4ac Raíces reales

iguales

Raíces reales

distintas

No tiene raíces

reales

1 4− 4−

1− 3− 4−

2− 2 2 1−

1 0 3−

3 6 3 3

11) Dada la ecuación ( )2 2 10 0x m x− + + = . Halla m para que tenga raíces iguales.



12) Halla p ∈ R de tal forma que una solución de la ecuación ( )2 22 7 2 1p x x p+ − − = sea x = – ½.

Luego, encuentra la solución faltante y expresa la ecuación en forma factorizada.

13) Considera la ecuación ( ) ( ) ( )2 23 2 6 4 0x m x m x m− + − + = , siendo m una constante real. Determina

m tal que x = – 2 sea solución de la ecuación. Luego, encuentra la solución faltante y expresa la

ecuación en forma factorizada.

14) Halla el valor de la constante k en cada ecuación, de manera que satisfaga la condición que se

indica. Luego verifica.

a) 22 4 0x kx− + = la suma de sus raíces es 5.

b) ( ) 22 5 2 0k x x k+ + + = el producto de sus raíces es 23

.

15) Determina todos los x que satisfacen la ecuación:2 23 6 2 4 0

3q q qx q x siendo q

x+ − + +

= ≠

Aplicaciones de Ecuaciones Cuadráticas

16) Juan tiene un perro, que actualmente tiene 12 años menos que él. Dentro de4 años, la edad de

Juan será el triple que la de su perro. a) plantea la situación; b) calcula las edades de Juan y su

perro?

17) El triplo de un número supera en 2 a su cuadrado. ¿Cuáles son los números que verifican esta

condición?

18) El cuadrado de un número menos su quíntuplo es igual a 6. ¿Cuál es el número natural que verifica

esta condición?

19) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es 10cm mayor que el perímetro de un

rectángulo de largo igual al lado del cuadrado y de ancho igual a 4cm?

20) En una cancha de tenis el largo, de 26m, excede en 2m al doble de su ancho. ¿Cuál es su ancho?

21) Una parte de un piso de madera tiene 450 cm2 de superficie. A su vez,

esta parte está formada por 6 piezas rectangulares idénticas

ubicadas como indica la figura. Calcula las dimensiones de cada

pieza si la razón entre su ancho y alto es 3.

x



22) Una fotografía de 27 × 35 cm se va a enmarcar. Para esto, se le colocará alrededor una banda de

papel especial para adornarla. El ancho del papel alrededor de la fotografía es constante.

a) ¿Cuál es la expresión que modela esta situación?

b) ¿Cuánto debe medir este ancho para que el aumento en el área total de la fotografía con su

marco de papel sea de 335 cm2 ?

23) Se dispone de un terreno rectangular donde se construye una piscina

tambien rectangular. La piscina esta rodeada por una vereda de

ancho 1,5m y es 10m mas larga que ancha. Halla:

a) La expresión que determina el área del terreno

b) La expresión que da el área del pasillo

Si el perímetro del terreno es de 264m, ¿cuáles son las dimensiones de la piscina?

24) Dos ciclistas A y B parten de un punto P al mismo tiempo y en direcciones que forman un ángulo

recto entre sí. El ciclista B se desplaza a 7 km/h más rápido que A. Después de 3 horas se encuentran

a 39 km de distancia uno del otro.

a) plantea expresión que modela la situación.

b) Determina la velocidad de cada ciclista.

25) Resuelve las siguientes ecuaciones racionales y verifica tus resultados:

a) 3 55 3

x xx x− −

=+ +

b) 28 1

55 4x

x x−

=− +

c) 12 1

x xx x

+ =− +

d) 3 2

8 4x x

x x−

=+

e) 3

216 12 6 82 4

x xx

−= +

− f) 1

2 1x x

x x+ =

− +

26) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales, luego verifica tus respuestas:

a) 30x x+ = b) 1 9x x+ = + c) 3 2x x x+ =

d) 2 1 4 6x x− + + = e) 3 2x x x− = f) 3 4 4 1x x x− + + = +

g) 9 15 6 2 3x x− = +


UNIDAD 4: ECUACIONES Matemática UTN - FRT 27) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y verifica tus resultados.

a) 3 27 1x− = b) 13 3 2x x−− = c) 1 14. 2 2 22

x x x+− + =

d) 6 1x xe e− − = − e) 1

24 1282

x

x

+

+= f) 3 3 22 0,5x x+=

g) 13 3 17. 33

x xx

x

−−

−

+= h) 163 3 0x xx x−+ − =

28) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas y verifica tus resultados.

a) log 3log 2x = b) 5log log 32 log2xx − = c)

32log log5 2

xx = − +

d) 23 3log log 6 0x x+ − = e) 3ln x ln 8x− = f) ( )22 2log 5 log 0x x− =

29) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en [0, 2π].

a) 1senx = b) 1cos 22

x = c) 2 2cos 1x sen x− =

d) tg 2 x 1 0− = e) 2 3 0senx sen x sen x+ + = f) 2 24 sec 7 3x tg x− =

30) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en R.

a) 3 0sen x senx+ =

b) 22 cos x 2 1 0senx senx− + =

31) Resuelve las siguientes inecuaciones. Luego grafica las soluciones.

a. 1 64

x +> e.

421x

<− i) + > −1 2 9x x

b. 4 1x x− < − f. + <2( 1) 1x j) >8 2x

c. − − −− >

−4 2 2 3

3 5 3x x

g.5

32

x −< k)

3 101 27

xx+

< <+

d. 4 2 11

xx

−− >

+ h. + ≥6 1x l) − > + −3(2 1) 4 5( 1)x x


Aplicaciones

32) Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además la sexta

parte del número natural siguiente es más que 6. ¿Cuál será la raíz cuadrada del número natural,

disminuido en 1?

33) ¿Entre qué medidas se debe aumentar el lado de un cuadrado que tiene por área 36 cm2 si se

quiere que la nueva superficie esté comprendida entre cuatro y nueve veces la inicial?

34) Las instrucciones en una caja de película indican que ésta debe almacenarse a

una temperatura entre 2°C y 34°C. ¿A qué rango en la escala Fahrenheit

corresponden estas temperaturas). Recuerda: ( )C F= −5 329

35) Un juego consiste en lanzar un dado x veces. Si la diferencia entre el máximo y el mínimo puntaje

que se puede obtener es mayor que x2+x. ¿Cuál es el máximo valor de x?

36) Un montañista puede caminar a una velocidad comprendida entre 4 y 6

km/h dependiendo de la mayor o menor dificultad del terreno. Averigua

entre qué valores oscila el tiempo que tardará en recorrer una senda de 25

km. (Ayuda: v = e/t; velocidad es igual espacio sobre tiempo)


FUNCIONES

Ÿ Analizar y comprender claramente el concepto de relación, dominio y rango.

Ÿ Identicar las 4 formas de denir una función, sus partes y su representación

gráca.

Ÿ Comprender el fundamento de las formas de clasicar las funciones, las

características de cada clase y sus aplicaciones.

Ÿ Resolver problemas sobre funciones.

Ÿ Resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando las distintas técnicas para tal n.

Ÿ Usar el software Geogebra como recurso de apoyo en el proceso de aprendizaje

y como herramienta para gestionar el autoaprendizaje delos alumnos.

Unidad 5

Objetivos



UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT RELACIONES Y FUNCIONES En matemática, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas

de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación.

RELACIÓN

Es un conjunto no vacío de pares ordenados de valores.

Ejemplo: el siguiente conjunto es una relación:

(1,2),(2,3),(1,5),(7,−1),(2,−1)

En cierta manera podemos imaginar a una relación como una forma de indicar cómo se relacionan dos

variables.

Ejemplo: en una lista de asistencia, la relación consistiría en asignar un número de la lista a cada

persona que se encuentra en esa lista.

N° Nombre

1 Aldana, Alfredo

2 Belmonte, Fernando

3 Brizuela, Mónica

4 Medina, José

5 Romano, Mirta

6 Torres, Jorge

7 Valdez, Ivana

8 Urueña, Victor


UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES FUNCIÓN

Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y rango, de tal manera que a cada elemento del

dominio le corresponda a lo más, un elemento del rango.

Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos un

número (Entrada) y esta máquina nos devuelve otro número único (Salida).

Fórmulas, gráfica cartesiana, enunciado coloquial y tablas con explicación son lenguajes

diferentes para expresar y estudiar una función. Cada una tiene sus ventajas y limitaciones.

Lo ideal sería obtener las cuatro formas, pero no siempre es fácil, ni siquiera posible.

Por ejemplo un electrocardiograma muestra la grafica de la variacion del ritmo cardíaco en el tiempo.

Es posible traducir esta gráfica a una tabla, pero no a una fórmula o expresión.


UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT NOTACIÓN FUNCIONAL

Cuando se refiere a una función f, X se refiere al dominio de la función, Y se refiere al rango, x ∈X es un

elemento del dominio, f(x) es la imagen que le corresponde al valor x mediante la función f.

El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función:

Diremos que “y” es la imagen de “x” a través de la función “f”. en símbolos: ( )y f x=

DOMINIO Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente “x”. En símbolos: Dom f.

RANGO Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente “y”, es decir es el conjunto

de las imágenes y = f(x). En símbolos: Rgo f.

Una forma de representar una función es utilizando un sistema de ejes coordenados cartesianos.

Eje de Abscisas: es el eje en donde se representa la variable

independiente. También se lo llama eje X o eje Horizontal.

Eje de Ordenadas: es el eje en donde se representa la variable

dependiente. También se lo llama eje Y o eje Vertical.

Por ejemplo, la representación de un punto P (x0, y0) en un sistema de

ejes coordenados indica que: la coordenada x0 se ubica sobre el eje

de abscisas y la y0 sobre el eje de ordenadas, la posición de P queda

determinada por las estas coordenadas, como muestra la gráfica.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: para cada valor

del dominio le corresponde a lo más un valor del rango.

Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.

Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Las siguientes son relaciones que no son funciones.

• x2 + y2= 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos

una circunferencia. Si “x” es elemento del dominio, y “y” es

elemento del rango, no se cumple que para todo elemento del

dominio haya a lo más un elemento del rango.

En este caso, para un valor que le damos a x0la relación nos

devuelve dos: y0y −y0 .

• y2 = x, porque cuando graficamos obtenemos una parábola

horizontal:

Ahora, para x =3, obtenemos dos valores, 3 y 3− .

Para diferenciar una función de una relación frecuentemente utilizamos el criterio de la recta vertical.

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una relación, ésta puede ser cortada en dos puntos,

entonces, la relación no es una función.

En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar las gráficas dadas en dos de sus

puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una función. Porque si fuera

una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo valor de y.

Recuerda que…

No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas las funciones

son relaciones.

Entonces, cuando desees verificar si una relación es o no una función, la

graficaremos y le aplicaremos el criterio de la recta vertical.

Ejemplo: Las siguientes expresiones son funciones.


UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT

a) ( )f x x= b) 2( ) 1f x x x= + −

c) 2 2 3( )

4x xf x

x+ −

=−

d) ( ) 3f x x= +

e) 2( )4

f xx

=−

f) ( )25( ) log 1f x x= −

g) 3( ) xf x e= h) ( ) 2f x sen x=

Las funciones se aplican muy frecuentemente en nuestra vida cotidiana.

Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo, el importe del envío depende del

peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en función del peso del

paquete. Si I es el importe que debemos pagar por un paquete de peso p, entonces, I = f (p).

Ejemplo: En el correo un paquete enviado a nivel nacional con un peso de p gramos cuesta I pesos, de

acuerdo a la siguiente tabla:

Peso (g) Importe ($) Peso (g) 900<p ≤1000

0 < p ≤ 100 12.50 500<p ≤600 43.50

100<p ≤200 19.00 600<p ≤700 49.35

200<p ≤300 25.25 700<p ≤800 55.20

300<p ≤400 31.50 800<p ≤900 61.00

400<p ≤500 37.50 900<p ≤1000 66.50

¿Representa esta relación entre las variables una función?

• Para verificar si se trata de una función debemos verificar que satisface la definición.

• Si a cada elemento del dominio (peso) le corresponde a lo más un elemento del rango (importe),

entonces sí se trata de una función.

• Ahora podemos convertir la pregunta a: ¿Existe un peso para el cual se asignen dos importes?

• Como para cada peso del paquete se le asigna un único importe, entonces sí se trata de una función.

• Ahora vamos a aplicar la regla de la recta vertical.

• Para eso, primero debemos graficar la función:

UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES

• ¿Puedes dibujar una recta vertical que corte en dos puntos a la gráfica de la función?

• Pues no, porque se trata de una función.

• Observa que la gráfica no está definida para p = 0, porque si no vas a enviar un paquete, no hay

necesidad de calcular el importe.

VALOR NUMÉRICO DE UNA FUNCIÓN Para evaluar el valor que toma la función para un valor x de su dominio, simplemente se sustituye el

valor de x donde aparece la variable en la expresión de la función, luego se realizan todos los cálculos

que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas es el valor que toma la función en ese

punto.

Ejemplo: la función f (x) = 3x evaluada en x = 2 es 32 = 9. Observa que solamente basta sustituir3 en lugar

de x. Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene la función en ese punto.

INTERSECCIÓN CON EL EJE X – RAÍZDE UNA FUNCIÓN La raíz de una función y = f(x) es un valor x0 que hace que f(x0 ) = 0.La raíz de la función también se

conoce como «cero» de la función.

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y Es el valor que se obtiene de “y” cuando x = 0, siempre que x = 0 pertenezca al dominio de la función. En símbolos: f(0) = cte.

p(g)



CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIÓN ALGEBRAICA Las funciones algebraicas son las funciones que pueden obtenerse a partir de operaciones algebraicas

(suma, resta, multiplicación, división, raíz) entre polinomios.

lgPolinómicas

Funciones A ebraicas RacionalesIrracionales

Ejemplo: las siguientes son funciones algebraicas

a) ( )f x x= b) 2( ) 1f x x x= + −

c) 2 2 3( )

4x xf x

x+ −

=−

d) ( ) 3f x x= +

e) 2( )

4f x

x=

− f) 3( ) 5 6f x x x= −

FUNCIÓN TRASCENDENTE Las funciones trascendentes son las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y las

trigonométricas inversas.

TrigonométricasFunciones Trascendentes Logarítmicas

Exponenciales

Ejemplo: las siguientes son funciones trascendentes

a) ( ) log 2f x x= + b) ( )f x senx=

c) 2( ) xf x e= d) ( )( ) lnf x x e= −


UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES FUNCIÓN POLINÓMICA

Una función es polinomial si se puede escribir de la forma:

y =anxn +an−1xn−1 +···+a2x2 +a1 x +a0

Donde los coeficientes an ,an−1 ,etc., son números reales y los exponentes n,n−1,etc.,

son números enteros no negativos.

El coeficiente an es el coeficiente principal y n es el grado de la función.

Ejemplo: las siguientes son funciones polinomiales.

Función polinomial Grado Coeficiente principal

y mx b= + 1 m

22

2xy x π= + + 2

12

3 2 5y x x x= + − + 3 1

( )115 3y x= + 11 requiere desarrollo

Dominio

Para cualquier función polinomial, el dominio siempre será elconjunto de los números reales. (Dom f = R)

Rango

No podemos decir lo mismo del rango de las funciones polinomiales. Ya que por lo general, el rango de

una función polinomial será un subconjunto de los reales. (Rgo f ⊆ R)

LA FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

FUNCIÓN AFÍN

Es la función polinomial de primer grado, tiene la forma:

y =a0 +a1x ,a0≠ 0

La gráfica de la función afín es una recta.


UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA Cuando definimos la ecuación de 1° grado utilizamos la forma: a x +b =0 ,a≠ 0

Si la convertimos en función obtenemos: y =m x +b

De acuerdo a la definición de función polinomial de primer grado, tenemos que:

a0 = b a1 = m

por la tanto, la expresión: Término independiente

Término lineal

y mx b= +

Se conoce como ecuación explícita de la recta.

Siendo “b” la ordenada al origen y “m” la pendiente de la recta.

ORDENADA AL ORIGEN

Es el valor donde la recta corta al eje Y. se la determina haciendo: f(0) = b.

PENDIENTE DE UNA RECTA Es el cociente entre la variación de la variable dependiente

(∆y) y la variación de la variable independiente (∆x) de

cualquier punto de la misma.

2 1

2 1

variación en yvariación en x

y y ymx x x

− ∆= = =

− ∆

La pendiente m de la recta nos dice cuánto debemos subir

(en la dirección del eje Y) por cada unidad que avancemos

hacia la derecha (en la dirección del eje X).

En otras palabras, la pendiente es una razón de cambio.

La interpretación geométrica de la pendiente, es que, es la inclinación o dirección de la recta.

El valor de la pendiente determina que una función a fin sea CRECIENTE, CONSTANTE o DECRECIENTE.

A las funciones afines que pasan por el origen de coordenadas (0, 0), se las llama FUNCIONES LINEALES.

m> 0 m< 0 m = 0

UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES Ejemplo: David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta $125. Escribe

una función que le ayude a calcular el importe “y” al comprar “x” litros de pintura.

Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función.

Solución

Sabemos que cada litro cuesta $125.

Si compra “x” litros, el importe “y” será de 125· x pesos.

La función es, entonces: y =125· x

En esta función b =0, y m =125, el precio de cada litro de pintura.

La interpretación de la pendiente, es que: nos indica el precio unitario de pintura, “Un litro de pintura

cuesta $125”.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFIN

Para graficar una función afín, consideramos la ecuación explícita de la recta, y mx b= + ; primero

marcamos la ordenada al origen (b) y a partir de ella representamos la pendiente de la recta (m).

Ejemplo: traza la gráfica de la recta, 1 23

y x= +

Procedemos de la manera indicada.

1) Ubicamos la ordenada al origen, en este caso b = 2.

2) A partir de esta, trazamos la pendiente. En nuestro caso, esta vale 13

; entonces, desde la posición

de b, me desplazo 3 unidades (variación en X) y de allí me elevo una unidad (variación en Y). Como

la pendiente de la recta es positiva, me elevo una unidad; de lo contrario, si esta fuera negativa,

hubiera descendido una unidad.



RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas sí y sólo sí sus pendientes son iguales.

Ejemplo: halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y es paralela a y = 5x + 1.

Solución

La ecuación de la recta buscada será: y = m x + b

Como esta es paralela a la recta dada, deberán tener

igual pendiente, entonces: m = 5

Como la recta pasa por el punto (2, 1), las coordenadas

de este verifican la ecuación de la recta:

1 5 . 2 9b b= + ⇒ = −

Finalmente, la recta buscada será:

5 9y x= −

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es – 1.

1 2 1 2. 1r r m m⊥ ⇔ = −

Ejemplo: halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (– 1, 3) y es perpendicular a y = – 2x + 4.

Solución

La ecuación de la recta buscada será: y = m x + b

Como esta es perpendicular a la recta dada, su pendiente será:

1. ( 2) 12

m m− = − ⇒ =

Como la recta pasa por el punto (– 1, 3), las coordenadas de

este verifican la ecuación de la recta:

1 73 . ( 1)2 2

b b= − + ⇒ =

Finalmente, la recta buscada será:

1 72 2

y x= +


r1 r2 ⇔ m1 = m2


OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA o FORMA IMPLÍCITA

0Ax By C+ + =

La pendiente de la recta está dada por

AmB

= −

ECUACIÓN CANÓNICA o SEGMENTARIA

1x ya b+ =

Los denominadores “a” y “b” representan

a la abscisa y a la ordenada al origen.

ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE

( )1 1y y a x x− = −

Es necesario conocer la pendiente de la

recta y un punto de paso de la misma,

P(x1, y1).

ECUACIÓN QUE PASA POR DOS PUNTOS

( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x

−− = −

−

En esta tenemos dos puntos de paso de

la recta, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se toma a

cualquiera de ellos como punto de paso;

la pendiente se calcula como

2 1

2 1

y yx x

−−

Ejemplo: Sea la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (– 1, 3). Exprésala en sus distintas formas.

Solución

a) Recta que pasa por dos puntos: ( )2 11 1

2 1

y yy y x xx x

−− = −

−

( ) ( )3 2 1 1 1 1 52 1 2 1 21 1 2 2 2 2 2

y x y x y x y x−− = − → − = − − → = − + + ⇒ = − +

− −

b) Forma general de la recta o implícita

Partiendo de:1 52 2

y x= − + → 5 2 5 0

2xy x y− +

= ⇒ + − =

c) Forma canónica o segmentaria

Partiendo de: 1 52 2

y x= − + → 5 2 2 5 2 1

52 2 5 5 2 2 5 52

x x x yy y+ = → + = ⇒ + =



SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Tiene la siguiente estructura:

ax by cdx ey f

+ =

+ =

Cada ecuación representa un recta, resolver el sistema implica encontrar la intersección de ambas

rectas (conjunto solución).

CALSIFICACIÓN

determinados: tienen única solucióncompatibles

indeterminados: tienen infinitas solucionesSistemas de Ecuaciones Lineales

incompatibles: no tienen solución

RESOLUCIÓN GRÁFICA

Sistema determinado Sistema indeterminado Sistema incompatible



Ejemplo: resuelve gráficamente el siguiente sistema 1

2 3 12x yx y

− + = −

+ =

Solución

Graficando las rectas encontramos que el sistema

tiene solución porque existe una intersección

entre las rectas que conforman el sistema.

En este caso, la solución es: x0 = 3 y0 = 4

que corresponden a las coordenadas del punto

P, el sistema es compatible determinado (única

solución).

RESOLUCIÓN ANALÍTICA Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos. La utilización de

uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.

Método de sustitución

Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra

ecuación.

Ejemplo: resuelve el sistema 1

2 3 12x yx y

− + = −

+ =

Solución

( )( )

( )( ) ( )

1 1

2 3 12 2

1 : 1

2 : 2 3 1 125 3 12

5 15 3

x y

x y

de y x

en x xx

x x

− + = −

+ == −

+ − =

− == → =

Luego, y será:

( )1 : 3 1 2en y y= − → =

** Resultado que se verifica con lo obtenido gráficamente en el ejemplo anterior.



Método de igualación

Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma variable y luego igualar las ecuaciones

obtenidas.


2 3 12x yx y

− + = −

+ =

Solución

( )( )

( ) ( )

( )

1 1

2 3 12 2

1 : 1 312 22 : y

3igualanado las ecuaciones obtenidas (para y):

12 213

3 3 12 25 15 3

x y

x y

de y xxen

xx

x xx x

− + = −

+ == −

−=

−− =

− = −= → =

Luego, y será:

( )3 : 3 1 2en y y= − → =

Método de reducción por sumas o restas

Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando ambos

miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o

restan ambas ecuaciones.


2 3 12x yx y

− + = −

+ =

Solución

( )( )

( ) ( )

1 1

2 3 12 2

vamos a igualar los coeficientes de x en ambas ecuaciones1 " 2 " y 2 "por 1" :

2 2 22 3 12

:5 10 2

x y

x y

multiplico la por la

x yx y

Ahora sumamos las ecuaciones miembro a miembroy y

− + = −

+ =

− + = −

+ =

= → =

Luego, x la obtenemos reemplazando en cualquiera de (1) o (2): x = 3

Igualando



Método del determinante

Se calcula el determinante del sistema, luego se arman y calculan los determinantes de las

variables:

( ) ( ). . Determinante del sistemaax by c a b

a e d bdx ey f d e

+ =⇒ ∆ = = − →

+ =

( ) ( ). .c b

c e f bf exx−∆

= = =∆ ∆ ∆

( ) ( ). .

a ca f d cd fyy

−∆= = =

∆ ∆ ∆

compatible - indeterminado: infinitas soluciones= 0

incompatible: sin solución

0 compatible - determinado única solución

⇒

∆ ≠ ⇒ →


2 3 12x yx y

− + = −

+ =

Solución

( ) ( )1 11 . 3 2.1 3 2 5

2 3−

∆ = = − − = − − = −

Como ∆≠ 0, el sistema tiene solución única.

1 112 3 3 12 15 3

5 5 5xx

−

∆ − − −= = = = =

∆ − − −

( )1 1

12 22 12 10 25 5 5

yy

− −− − −∆ −

= = = = =∆ − − −

Por lo tanto: x = 3 y = 2


UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

En la unidad 3 estudiamos las ecuaciones cuadráticas. Ahora vamos a estudiar la función cuadrática,

pero considerándola como un caso particular de la función polinomial.

FUNCIÓN CUADRÁTICA La función polinomial de grado dos:

y =a2x2 + a1 x + a0 ,a2≠ 0

a esta expresión también se la conoce como función cuadrática.

Su representación gráfica es una PARÁBOLA.

Cuando definimos la ecuación cuadrática utilizamos la forma: a x2 +b x +c =0 ,a≠ 0

Si la convertimos en función obtenemos: y =a x2 +b x +c

De acuerdo a la definición de función polinomial de segundo grado, tenemos que:

a0 = c a1 = b a2 =a

por la tanto, la expresión: Término Lineal

2

Término Términocuadrática independiente

y a x b x c= + +

Se conoce como ecuación general de la parábola.

Los nombres de cada término son importantes, porque la mayor parte de las explicaciones está basada

en estos términos y conceptos.

En matemática, como en cualquier otro lenguaje, las reglas y los nombres de cada una de sus partes es

muy importante.

Ejemplo: Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada una de las siguientes funciones

cuadráticas.

Función Término

2y a x b x c= + + cuadrático lineal independiente

22y x= 22 x 0 0

2 15 122

y x x= + − 25 x 12 x 12

−

2100

5xy x= + −

2

5x

x 100−

( ) ( )2 3 5y x x= − + 23 x x− 10−


UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES FORMA INCOMPLETA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

1) Funciones de la forma: 2y a x=

0 la parábola es "cóncava hacia arriba"0 la parábola es "cóncava hacia abajo"

0 1 la parábola se "ensancha"1 la parábola se "contrae"

aa

aa

> →> →< < →> →

2) Funciones de la forma: 2y x c= +

0 la parábola se desplaza hacia arriba0 la parábola se desplaza hacia abajo

cc> →> →

3) Funciones de la forma: 2y a x b x= +

tienen el mismo signo, la parábolase desplaza hacia la izquierda.Si a y b tienen distintos signos, la parábola

se desplaza hacia la derecha.Si a y b

UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Son válidos los criterios usados en la Unidad 2 para determinar los ceros de un polinomio, es decir, la

función cuadrática (de grados dos) tiene a lo sumo dos raíces.

Las raíces se determinan resolviendo la ecuación de 2° grado asociada a f(x), esto es f(x) = 0, entonces:

2 0 ec. de 2° gradoax bx c+ + = →

Para hallar sus soluciones, aplicamos la fórmula de Bhaskara:

2 2 2

1,2 1 24 4 4

2 2 2b b ac b b ac b b acx x x

a a a− ± − − + − − − −

= ⇒ = =

La interpretación geométrica de las raíces de la función cuadrática, es la

intersección de la gráfica de f con el eje X.

POSICIONES RELATIVAS RESPECTO DEL EJE DE LAS ABSCISAS (EJE X) Es importante saber la naturaleza de las raíces porque ello nos dirá si la gráfica de la función cuadrática

intersecta o no al eje X. Para ello, basta analizar un parámetro de la fórmula de Bhaskara, el

discriminante.

DISCRIMINANTE

El discriminante de la ecuación cuadrática: 2 0ax bx c+ + = es el número:

∆ = b2 −4ac

Esto nos origina tres casos para las raíces de una ecuación cuadrática:

i. ∆>0, las dos raíces son números reales distintos.

ii. ∆ = 0, las dos raíces son reales e iguales

iii. ∆< 0, las dos raíces son números complejos.

UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES Veamos gráficamente la interpretación de lo expresado:

El discriminante nos ayuda a conocer la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática sin

necesidad de

resolverla.Bastaconconocerelsignodeldiscriminanteparaconocereltipoderaícesquetienelaecuacióncuadr

áticaque estamos estudiando.

DOMINIO Como la función es polinómica o polinomial, entonces, su dominio es el conjunto de los reales: Dom f = R

RANGO El rango de la función cuadrática resultará ser un subconjunto del conjunto de los números reales.

El mismo dependerá de si la parábola es cóncava hacia arriba

o hacia abajo. Veamos:

Cóncava hacia arriba (a > 0): ),Rgo f k= ∞

Cóncava hacia abajo (a < 0): ( ,Rgo f k= −∞

Hay intersección con el eje X.

1 2x x≠ ambas reales.

Hay intersección con el eje X.

1 2x x= ambas reales.

No hay intersección con el eje X.

2 1x x= son complejas conjugadas.

UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Para realizar la gráfica de la función cuadrática (parábola) 2( )f x ax bx c= + + , debemos calcular los

elementos relevantes de la parábola y luego representarlos. Estos elementos son:

a) Raíces (o ceros)

Son los puntos de intersección de la gráfica con el eje X, vale decir cuando f(x) = 0.

⇒ 2 0 ec. de 2° gradoax bx c+ + = →

Para hallar sus soluciones, aplicamos la fórmula de Bhaskara:

2 2 2

1,2 1 24 4 4

2 2 2b b ac b b ac b b acx x x

a a a− ± − − + − − − −

= ⇒ = =

b) Vérticede la parábola

El vértice de la parábola es un punto que representa el máximo o mínimo valor que toma la función

cuadrática según sea cóncava hacia abajo o hacia arriba (a > 0 o a < 0).

Se representa como: ( ),V h k

La coordenada h se calcula: 2bha

= −

La coordenada k: ( ) ( ) ( )2k f h a h b h c= = + +

c) Ordenadaal origen

Este parámetro representa la intersección con el eje Y, corresponde al valor de “c”.

Lo determinamos haciendo: f(0) = c.

Ejemplo: representa gráficamente la función 2( ) 2 3f x x x= + − , luego indica concavidad, dominio y

rango de f.

Solución

Observamos que: a = 1 b = 2 c = – 3

Las raíces serán:

( ) ( ) ( ) ( )( )

12

1,2

2

2 4 122 2 4 1 3 2 4 12 2 4

2 1 2 22 4 32

x

x

x

− + = =− ± − − − ± + − ± = = = =

− − = = −

Las coordenadas del vértice sean:

La coordenada h se calcula: 2 1

2.1h = − = −


La coordenada k: ( ) ( ) ( )21 1 2 1 3 1 2 3 4k f= − = − + − − = − − = −

Por lo tanto el vértice será: ( )1, 4V − −

La ordenada al origen será: ( )0 3f = −

Finalmente, la gráfica de f será:

La parábola es “cóncava hacia arriba” ya que a > 0 (a = 1).

Dominio: Dom f R=

Rango: )4,Rgo f = − ∞

FORMA CANÓNICA DE LA PARÁBOLA Hasta ahora hemos trabajado con la forma general de la parábola (función cuadrática). Recordemos su

expresión: 2 0y ax bx c a= + + ≠

La forma canónica se la obtiene luego de completar cuadrado en la expresión anterior. obteniendo: 2

2 2

2 4

y ax bx c

b ba x ca a

= + +

= + − +

Expresamos h y k como: 2

2 4b bh k ca a

= − = −

Finalmente,

( )2y a x h k Ecuación Canónica de la Parábola= − + →


UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT FORMA FACTORIZADA DE LA PARÁBOLA Partiendo de la forma general de la parábola (función cuadrática):

2 0y ax bx c a= + + ≠

y conocidas sus raíces 1 2x y x , la expresión de la forma factorizada de la parábola será:

( ) ( )1 2y a x x x x Ecuación Factorizada de la Parábola= − − →

Ejemplo: Sea la función cuadrática 23 2 1y x x= + − , determina las formas canónica y factorizada de la

parábola.

Solución

Las raíces son: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

12

1,2

2

2 4 16 32 2 4 1 3 2 4 12 2 4

2 3 6 62 4 16

x

x

x

− + = =− ± − − − ± + − ± = = = =

− − = = −

Las coordenadas del vértice sean:

La coordenada h se calcula: ( )2 1

2. 3 3h = − = −

La coordenada k: 21 1 1 1 2 43 2 1 1

3 3 3 3 3 3k f = − = − + − − = − − = −

Por lo tanto el vértice será: 1 4,3 3

V − −

Finalmente:

Forma factorizada: ( )13 13

y x x = − +

Forma canónica: 21 43

3 3y x = + −

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UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES MÁXIMOS – MÍNIMOS – CRECIMIENTO y DECRECIMIENTO Veamos directamente un ejemplo de aplicación para aclarar estos conceptos.

Ejemplo: una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 24 m/s. La altura

(h, en metros) alcanzada por la pelota en función del tiempo (t, en segundos) está dada por la expresión: 2( ) 3 24h t t t= − +

Realizando la gráfica, y analizando la trayectoria que describe la pelota, podemos concluir:

el dominio más adecuado para la función, según la

interpretación del problema, es el conjunto de los reales

positivos, es decir: Dom h = [0, 8].

En este caso, el tiempo pertenece al dominio, por eso

que más allá de los 8 s no tiene sentido analizar a la

pelota.

La altura máxima alcanzada es de 48 m.

Alcanza la altura máxima a los 4 s de haber sido

lanzada.

El intervalo de tiempo en el cual la pelota asciende

(desde que es lanzada hasta el momento en que alcanza su altura máxima) es (0, 4); intervalo de

crecimiento.

El intervalo de tiempo en el cual pelota desciende (desde que alcanza la altura máxima hasta que

vuelve a tocar el suelo) es (4, 8); intervalo de decrecimiento.

En general, dada una función cuadrática 2 0y ax bx c a= + + ≠

Se verifica que:

1) Si a > 0, la función:

• Alcanza un mínimo en el vértice de la parábola

• Decrece en el intervalo (– ∞, h)

• Crece en el intervalo (h, ∞)

2) Si a < 0, la función:

• Alcanza un máximo en el vértice de la

parábola

• Crece en el intervalo (– ∞, h)

• Decrece en el intervalo (h, ∞)

UNIDAD 5: FUNCIONES Matemática UTN - FRT Ejemplo: Encuentra dos números tales que su suma sea 10 y su producto sea máximo.

Solución

Si consideramos solamente números enteros, tenemos un número infinito de pares de númerosque suman

10.

Por ejemplo, 12 y −2 son uno de esos pares.

Si x es uno de los dos números, el otro será 10 − x, porque al sumarlos obtenemos 10:x +(10− x)=10

El problema exige que el producto de los dos números sea máximo.

Para esto, vamos a definir la función: f(x) = x (10− x)=10 x − x2

Ahora el problema se convierte en encontrar el vértice de esta función cuadrática, porque en él está el

valor de x que hace que f tenga su máximo valor. O sea, vamos a calcular las coordenadas h y k del

vértice. Veamos:

, : 1 10 010 5 (5) 25

2.( 1)

Se observa en f que a b c

h k f

= − = =

⇒ = − = → = =−

Por lo tanto: si x =5, entonces, 10− x también vale 5.

Así que los dos números que sumados dan 10 y dan producto máximo son 5 y 5.


UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS

Este tipo de función responde a la forma ( )( )( )

P xf xQ x

= , donde P y Q son polinomios.

DOMINIO El dominio de una función racional es el conjunto de números reales excepto aquellos valores de x que

anula el denominador.

INTERSECCION CON EL EJE Y La cual existe si x = 0 pertenece al dominio de la función. Cumplido lo anterior, la intersección con el eje Y

sería el punto (0, f(0)).

INTERSECCION CON EL EJE X (raíces o ceros de la función) Se obtienen haciendo f(x) = 0. Son los valores de x que pertenecen al dominio de f y que anulan la

función, es decir al polinomio numerador.

Ejemplo: Para las siguientes funciones, determina dominio e intersección con los ejes.

a) 3( )2

xf xx+

=−

2Dom f R= −

Intersección con el eje Y

La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto:

0 3 3(0)0 2 2

f += = −

− ⇒

30,2

P −

Intersección con el eje X

La condición es que y = 0, luego:

3 0 , 223 0 3

x xxx x

+= ≠

−+ = → = −

⇒ ( )3, 0Q −

Gráficamente

Calculo de las asíntotas

Asíntota vertical: son los valores de x que hacen cero al denominador pero “no” al denominador. En nuestro ejercicio, es x = 2. Decimos entonces: la recta x = 2 es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: dividimos numerador por denominador; si el cociente da una constante, k, decimos que la recta y = k es asíntota horizontal. En nuestro caso, y = 1 es asíntota horizontal. Si el resto de la división es < 0, f es creciente; de lo contrario, si es > 0, f será decreciente.


b) 25( )9

xf xx−

=−

2 29 0 9 3 3, 3x x x Dom f R− = → = → = ± ⇒ = − −


La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto:

20 5 5(0)

9(0) 9f −

= =−

⇒ 50,9

P


La condición es que y = 0, luego:

25 0 , 39

5 05

x xxxx

−= ≠ ±

−− ==

⇒ ( )5, 0Q

c) 3

48( )1

xf xx+

=+

Dom f R= ** es así ya que el denominador no se anula nunca.


La condición es que x = 0 pertenezca al dominio de f. Vemos que es así, por lo tanto: 3

4(0) 8(0) 2(0) 1

f += =

+ ⇒ ( )0, 8P


La condición es que y = 0, luego: 3

4

3

3

8 018 0

8 2

xxx

x x

+=

++ =

= − → = −

⇒ ( )2, 0Q −

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UTN - FRT Matemática UNIDAD 3: FUNCIONES FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial es de la forma: xy k a= , siendo “a” un número real positivo; y “k” real.

El dominio son todos los reales y el rango son los reales positivos.

Si a > 1 la función es creciente y si 0 < a < 1 es decreciente.

Intersecta al eje Y en (0, k).

El eje X es asíntota horizontal.

Gráficamente, tenemos:

Asíntota horizontal: y = 0 Asíntota horizontal: y = b

APLICACIONES La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento

(o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del

mismo.

A continuación se ven tres aplicaciones:

Crecimiento de poblaciones.

Interés del dinero acumulado.

Desintegración radioactiva.

Ejemplo: Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%. ¿Cuántos habitantes

habrá al cabo de 8 años?

Solución

El crecimiento poblacional viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones. Si inicialmente

partimos de una población P0, que tiene un índice de crecimiento i (considerado en tanto por 1), al cabo

de t años se habrá convertido en:

( )0 1 tP P i= +

Entonces: ( )8600 1 0 03 760,P = + =

Al cabo de 8 años, la población aumentara a 760 habitantes.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Es la función inversa de la exponencial y se denota de la siguiente manera:

0 10

( ) logaf x x con a y ax

= > ≠

>

El dominio son los reales positivos y el rango son todos los reales.

Si a > 1 la función es creciente y si 0 < a < 1 es decreciente.

Intersecta al eje X en (1,0).

El eje Y es asíntota vertical.

Gráficamente:

Si k < 0, la función decrece; sino crece. El valor de b produce un desplazamiento vertical

Ejemplo: encuentra las raíces de la función ( )5 1( ) logf x x= + . Luego indica dominio y rango.

Solución

Para intersectar el eje X, la condición es: y = 0

( )( )

0

5 1 0

1 0

10 1 0

loglog

x

x

x

x

+ =

+ =

= + ⇒ =

Para intersectar el eje Y, la condición es: x = 0

( )0 5 0 15 15 0 0

( ) loglog.

f

y

= +

== ⇒ =

Dominio

Hacemos cumplir la definición de logaritmo, es decir, argumento del logaritmo positivo, entonces:

( )

1 0

1 1,

x resolvemos la inecuación

x Dom f

+ >

>− → = − ∞

Rango: Rgo f = R

Cuando la función tiene la forma: ( )( ) logf x k x h= +

La recta x = - h será asíntota vertical. En nuestro ejemplo será, x = – 1.

ALGUNAS APLICACIONES La escala Richter que mide la intensidad de los terremotos.

La intensidad del sonido en belios o decibelios, o el mismo pentagrama.

El ph de una sustancia.

La magnitud de las estrellas.

FUNCIONES DEFINIDAS POR RAMAS Hemos estudiado funciones definidas por una sola expresión algebraica para todo su dominio, pero

también podemos encontrar una función definida por intervalos, (también llamadas funciones definidas

por ramas, por tramos, por partes, o por trozos).

Ejemplo: Representa la función, 6 3

( ) 2 3 11

x si xf x si x

x si x

+ ≤ −= − < ≤− >

Solución

Esta función tiene 3 ramas.

Cada rama se la puede considerar como si fuera una función y definida en su propio dominio. Veamos:

La rama superior: es una función afín, gráficamente será una recta y su dominio es (– ∞, – 3].

La rama del medio: es una función constante, gráficamente es una recta horizontal definida en (– 3, 1].

La última rama: es una función lineal, es una recta definida en (1,∞).

Para la gráfica de la función, todas las ramas se representan en un mismo sistema de ejes coordenados.

El dominio será: Dom f = R

Y el rango: Rgo f = (– ∞, 3].

Aplicaciones

Ejemplo: Una empresa de Aviación tiene la

siguiente política de tarifas: en su vuelo a Cancún,

los niños menores de 2 años no pagan; los niños

entre 2 y 8 años pagan el 60% del costo del boleto,

que es de $2.500 (vuelo sencillo) y a partir de 8

años, pagan el costo total del boleto. Escribe la

función que modela el costo del boleto en función

de la edad del pasajero; luego indica el dominio y

el rango de la función.

Solución

De acuerdo a la consigna, elaboramos la función correspondiente:

0 0 2(t) 1500 2 8 : cos ($)

2500 8 : ( )

si tC si t C to

si t t edad años

≤ <= ≤ < ≥

El dominio será: Dom C = [0, ∞)

Y el rango: Rgo C = 0, 1500, 2500


TRABAJO PRÁCTICO N° 5 FUNCIONES

1) Dadas las siguientes gráficas, identifica cuales corresponden a funciones. ¿Usas algún criterio para

ello? ¿Cuál?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) En cada uno de los casos calcula los valores solicitados a partir de f, x0 y c.

a) 0( ) 1 4 1f x x x c= − = = ⇒ 0 0( ) ? ( c) ?f x f x= + =

b) ( ) ( ) 0( ) 1 1 12 2f x x x x c= − + = = ⇒ 0 0 0( ) ? ( ) ? ( ) ?f x f x f x= − = − =

c) 20( ) 25 3 1f x x x c= − = = ⇒ 0 0 0( ) ? ( ) ? ( ) ?f x f x f x= − = − =

d) ( )3 0( ) 1 5 1f x x x c= − = = ⇒ 0 0 0( ) ? ( ) ? ( ) ?f x f x f x= − = − =



3) La siguiente gráfica da el peso P de una persona a la edad x.

Responde:

a) Estamos en presencia de una función? Justifique su respuesta y en caso afirmativo indique cuál

es la variable independiente y cuál la dependiente.

b) Cuál es el dominio y el rango?

c) ¿En qué periodos de tiempo la persona subió de peso? ¿cuánto aumentó en dichos periodos?

d) ¿En qué periodos de tiempo la persona bajo de peso? ¿cuánto bajó en dichos periodos?

e) ¿Hubo periodos donde la persona mantuvo su peso constante? Indique en cual/es

f) ¿Cuál fue el máximo peso alcanzado? A qué edad ocurrió?

Expresa verbalmente la interpretación de los puntos de coordenadas (50, 80) y (60, 80)

pertenecientes a la gráfica.

4) Para cada una de las siguientes funciones afines, indica ordenada al origen, pendiente, clasifícalas.

2) ( ) 3 ) ( ) 1 ) 2 3 1 0 ) 3 53

3) ( ) 3 ) 1 ) ( ) 2( 1) 5 ) ( ) 24 2

a f x x b f x x c x y d y x

x ye f x x f g f x x h f x

= − = + − + = = − +

= − = = − + =

5) Teniendo en cuenta las funciones del ejercicio 2, determinar las intersecciones con los ejes

coordenados.

6) Teniendo en cuenta las funciones del ejercicio 2, indica cuales funciones son crecientes y cuales

decrecientes. Luego grafica las crecientes.

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Peso

(kg)

Tiempo (años)



7) Dados los puntos (2, – 2) y (– 1, 4)

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.

b) Indica cual/es de los siguientes puntos pertenecen a dicha recta

i. (0, – 2) ii. (1, 0) iii. (– 1, – 1) iv. (3, – 4) v. 3 , 12

−

8) Para la ecuación de la recta determinada en el ejercicio 5, escribe en las formas:

a) canónica b) general

9) Dada la recta 1 13

y x= + ; halla y grafica la ecuación de una recta paralela a la dada y que pase

por (– 3, 2).

10) Dada la recta 2 3y x= − ; halla y grafica la ecuación de una recta perpendicular a la dada y que

pase por (– 3, – 1).

11) Para cada caso escribe la ecuación de la recta en su forma explícita, segmentaria y general.

a) b) c)

12) Graficá una recta,

a) que pase por (0, – 1), tenga pendiente 2 y dominio [– 3, ∞). ¿Cuál es el rango?

b) que pase por el origen de coordenadas, tenga pendiente – 3 y rango (– ∞, 6]. ¿Cuál es el

dominio?

c) que pase por (0, 2) y (9, 8) y tenga dominio [– 6, 12]. ¿Cuál es el rango?

13) Resuelve el sistema dado por dos métodos analíticos y verifica con el método gráfico.



a) 5 2 22 4 8

x yx y− =

+ =

b)

2 1 53 3

1 1 34 6 2

x y

x y

− = −− + =

14) Resuelve los sistemas dados aplicando el método más conveniente.

a) ( ) ( ) ( )

( )

2 5 1

2 15

x x y x xx yx y

− + = + − +

− = +

b) ( )

5 2 1 23 21 2 3 73

x y

y x

− − + =− + + =

15) La diferencia entre dos números es 3, y la suma entre el mayor de ellos y el doble del menor es 27.

¿Cuáles son los números?

16) En un trapecio isósceles la base mayor es el doble que la menor y su perímetro es de 42 cm. Si cada

uno de los lados iguales es 310

de la base mayor, ¿Cuánto mide la base del trapecio?

17) En un paralelogramo, la suma entre la mitad de uno de sus ángulos y la tercera parte de otro, no

opuesto con el primero, es igual a 79°. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos interiores del

paralelogramo?

APLICACIONES DE FUNCIONES DE PRIMER GRADO

18) Para cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra la función polinomial de primer grado que

modela la situación y grafícala. Indica para cada una su dominio, rango y su ordenada al origen.

Explica la interpretación de la pendiente de cada función de los ejercicios de acuerdo al contexto

del problema.

19) Un árbol crece a razón de 3,5 cm por mes. Si y representa la altura del árbol y x representa la edad

del árbol medida en meses, encuentra y = f (x).

20) Un disco de acetato gira a 35,2 revoluciones por minuto. Si n es el número de

revoluciones y t es el tiempo medido en segundos, determina n = f (t).

21) Una señal eléctrica oscila 50 veces por segundo en una línea de tensión. Si y es

el número de oscilaciones y t es el tiempo en segundos, determina y = f (t).



22) En un accidente automovilístico se dañó una tubería de agua potable, lo que ocasionó una fuga

que derrama 25,5 litros de agua por segundo. Escribe la función que describa el volumen de agua

(medida en litros) que se derrama en t minutos.

23) Una tienda de ropa ofrece un descuento del 25% en todos los precios por fin de temporada. Si p es

el precio con descuento y q era el precio original(sin descuento) de cada prenda, ¿qué función les

permite calcular los nuevos precios?

24) Una avioneta viaja a 250 kilómetros por hora. Escribe la función que

describe la relación entre la distancia D recorrida medida en metros con el

tiempo t medido en segundos.

25) ¿Qué relación existe entre una ecuación cuadrática y la función polinomial de segundo grado?

¿Cuáles la diferencia entre ambos objetos matemáticos?

26) Para las siguientes funciones polinomiales de grado dos, calcula sus raíces y vértice.

a) 2( ) 2f x x x= − b) 2( ) 4f x x x= − + −

c) 2( ) 10f x x x= + d) 21( ) 3 12

t x x x= − +

e) 2( ) 2 1g x x x= − + + f) 2( ) 3 1r x x= − −

g) 2h( ) 2 2 4x x x= − − h) 2 1( )3

g x x= +

27) Indica cuales de las funciones del ejercicio anterior intersectan al eje X y especifica en dónde.

28) Completa las siguientes oraciones correspondientes a la función, 23 2y x x= − + +

a) Los coeficientes de los términos de la función son: a = b = c =

b) El vértice de la parábola es el punto:

c) La ordenada al origen de la función es el punto:

d) Las raíces de la función son: x1= x2 =

e) Realiza la gráfica de la parábola y verifica tus respuestas.



29) Grafica las siguientes parábolas.

a) 23 12 12y x x= − + b) 2 52 42

y x x= + −

c) 21 7 52 2

y x x= − + − d) 21 3 114 2 4

y x x= − − +

30) Evalúa el valor del discriminante de la ecuación cuadrática asociada a 2( )f x ax bx c= + + ; luego

indica el tipo de raíces y los puntos en los que la parábola intersectara al eje X.

a b c ∆ Tipo de raíces Un punto Dos puntos Ningún punto

1 4− 4−

1− 3− 4−

2− 2 2 1−

1 0 3−

3 6 3 3

31) Calcula el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos raíces reales iguales y

escribe su expresión.

a) 2( ) 2f x x kx k= + + b) ( )2( ) 1f x x k x k= + − −

32) Expresa cada una de las siguientes funciones en la forma en que se solicita.

a) 2( ) 4 3f x x x= − + → en forma canónica es:

b) ( ) ( )1( ) 2 32

f x x x= − + − → en forma general es:

c) ( )2( ) 2 3 2f x x= − − → en forma general es:

d) 2( ) 2 3f x x x= − + + → en forma factorizada es:

33) Escribe las siguientes funciones en la forma más conveniente de acuerdo con los datos dados y

luego halla las expresiones generales (polinómica) de cada una.

a) El vértice es ( )3, 2− − y el coeficiente principal es – 2.

b) Las raíces son 1 4x = − y 2 2x = y el coeficiente principal es – 1.

c) El vértice es ( )3, 2− − y pasa por el punto ( )0, 1 .

d) Corta al eje X en ( )1, 0− y ( )4, 0 y pasa por el punto 54,6

− −

.



34) Determina la expresión general de la parábola para las siguientes graficas:

a) b)

35) Indica dominio y rango para las funciones determinadas en el ejercicio anterior. Luego exprésalas en

sus formas canónica y factorizada.

36) Halla en forma canónica, la función cuadrática que corta el eje X en 10 y tiene un máximo en (7, 8).

37) Sea ( ) ( )( ) 3 1f x x x k= − − − , la ecuación de una parábola cuyo vértice tiene abscisa igual a – 5.

Luego, calcula 13

f

.

38) Halla las rectas paralelas a la recta r: x + y – 2 = 0, que pasan por las raíces de 2( ) 2 3 2f x x x= − + + .

39) Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta r: 1 2 6 02

x y− − = , que pasa por el vértice de

2 2y x x= − + .

40) Encuentra analíticamente los puntos de intersección (si existen) entre las gráficas de ( ) 3 1f x x= + y

2( ) 2 7g x x x= − + + . Luego, grafica.

41) Encuentra analíticamente los puntos de intersección (si existen) entre las gráficas de 2( ) 2f x x x= − y

2( ) 4 8g x x x= − + . Luego, grafica.

42) Encuentra analíticamente los puntos de intersección (si existe) entre las gráficas de 22y x− = y

3 2y x= − . Luego, grafica.



Aplicaciones de la Función Cuadrática

43) Resuelve:

a) Según leyes físicas, para un auto que viaja sobre asfalto seco, la

función que ayuda en el cálculo de la distancia d que requiere para

frenar completamente en una ruta sin inclinación en función de la

velocidad v a la que inicia el frenado es:

2( ) 0,005 0,15 : en metros

v : en km/ hd v v v d= +

i. Grafica esta función usando el intervalo 0≤ v ≤100 con incrementos en v de 10 unidades.

ii. De acuerdo a la gráfica, ¿Qué distancia recorrerá un coche que empieza a frenar a los 20

km/h?

iii. ¿Qué distancia recorrerá un coche que empieza a frenar a los 40 km/h?

iv. ¿Qué distancia recorrerá un coche que empieza a frenar a los 60 km/h?

v. ¿Qué distancia requiere un coche que empieza a frenar a los 80 km/h?

vi. ¿Qué distancia requiere un coche que empieza a frenar a los 100 km/h?

b) Una hoja de papel tamaño carta tiene 29,7 cm de alto y 21 cm de ancho. A la hoja se le cortará el

doble en su largo que en su ancho (x cm). Encuentra la función que expresa el área de la hoja

recortada en función de x.

c) El jardín de una casa actualmente mide 12 m de largo por 5 de ancho. Él desea aumentar la misma

distancia x en ambas dimensiones para incrementar su área. Encuentra la función que expresa el

área final del jardín como una función de x.

44) Si la diferencia entre dos números es 6, ¿Cuáles deben ser los números para obtener el menor

producto?

45) Un ganadero debe cercar un terreno con los 40 metros de cerca que tiene para

encerrar su ganado. Él desea crear un rectángulo que tenga mayor superficie. ¿Qué

dimensiones debe tener el corral?

46) Calcula las dimensiones de un rectángulo, cuyo perímetro es de 50 cm, para que su área sea

máxima.



47) Las ganancias G de una empresa (en cientos de miles de pesos) a lo largo de un

período de tiempo está dada por la expresión:

( )26G(t) . t 5 305−

= − +

Siendo t el tiempo expresado en años.

• ¿En qué momento la empresa obtiene la máxima ganancia?

• ¿Cuál es la máxima ganancia?

• ¿En qué momento la empresa no tiene ganancias?

48) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función 2( ) 1000 2I z z z= − ,

donde z es la cantidad de zapatos que fabrica en el mes. Realiza el grafico de la función y

responde:

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿y 375 pares?

c) ¿A partir de que cantidad de pares comienza a tener pérdidas?

49) Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación20,0073 0,305 1,676y x x= − + + ; donde x es la distancia recorrida e yes la altura

(ambas en metros). ¿Qué tan largo es el tiro?

50) Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo

una trayectoria dada por la expresión 2 10 16y t t= − + − , donde “y” es la

distancia medida desde el nivel del agua (en metros) y “t” el tiempo

empleado en segundos.

a) Grafica la trayectoria que realiza el delfín e indica cuándo sale a la

superficie y cuándo vuelve a sumergirse. Justifica analíticamente.

b) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza en su salto? ¿en qué instante la logra?

51) En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos

de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de

haberlas dejado en la isla está dado por: 2(t) 22 112 ( 0)i t t t= − + + > . Calcula:

a) La cantidad de años en los cuales la población de iguana aumento.

b) ¿en qué momento la población de iguanas se extingue?



52) Para las funciones dadas, determina analíticamente el dominio. Luego, calcula sus asíntotas,

intersección con los ejes, grafícalas e indica el rango de la función.

53) Escribe la expresión de la función de la gráfica. Indica dominio y rango.

54) Para las funciones dadas, determina las intersecciones con los ejes, grafícalas e indica dominio y

rango. Finalmente, grafica con Geogreba en un mismo sistema de ejes coordenados. Verifica el

dominio indicado, determinándolo analíticamente.

55) Para las funciones dadas, determina las intersecciones con los ejes, grafícalas e indica dominio y

rango. Finalmente, grafica con Geogreba y comprueba tus resultados.


a) 2 4

3( )f xx

= x ++

b) 13( )f x

x= x −

−

c) 13( )

xf x

x= −

−d)

2 1

( )

xf x

x= −

e) 2( )

xf x

x

−=

+** Verifica con Geogebra tus resultados.

a) ( )f x = 2x b) f x = 3 2x −1+ 2( )

c) f x = 2x + 2( ) d) f x = 3 2x −1+ 4( )

a) ( )

xf x = e b) 2( )f x = ex −3

c) ( )f x = 5ex + 3 d)142( )

x

f x =


56) Escribe la expresión de la función exponencial de la gráfica. Luego,

determina analíticamente las intersecciones con los ejes, indica

dominio y rango de la función.

57) Para la función del ejercicio anterior, determina:

a) Una función desplazada 5 unidades por encima. Grafícala, indica dominio y rango.

b) Una función que este desplazada 3 unidades por debajo. Calcula las intersecciones con los ejes,

indica dominio y rango.

58) La población de una especie en extinción se reduce a la mitad cada año. Si al cabo de 9 años

quedan 12 ejemplares, ¿cuál era la población inicial?

59) Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de $50000, y tendrá un aumento

desueldo de 2% anual.

a) Halla la expresión analítica que nos de su sueldo anual en función del tiempo (en años).

b) ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de tres años?

60) Calcula las raíces de las funciones dadas. Luego grafícalas con Geogebra, e indica dominio y

rango. Verifica el dominio indicado, determinándolo analíticamente.

a)2 1( ) log

1xf xx+

=−

b) e2 1( ) log xf x

x+

= c) 52( ) log3

xf xx+

=−

61) Supongamos una población cuyo modelo de crecimiento está dado por 0 024 ,( ) tP t e= millones

de personas, a partir del año 2000. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población sea de 5

millones de habitantes?


62) Representa gráficamente las siguientes funciones definidas por ramas. Luego indica dominio y

rango.

a) 2 1 1( )

3 4 1x xf x

x x − ≤=

− > b) 2

3 1( ) 2 1 2

5 2

xf x x x

x x

< −

= + − < ≤− + >

63) Determina la expresión de la función dad gráficamente.

64) A fin de regular el consumo mensual, la compañía de distribución de

energía ha diseñado la siguiente tarifa por mes: los primeros 100 kWh se

pagarán $2 el kWh; para los siguientes 200 kWh costará $3 el kWh y $6

cada kWh de allí en adelante.

a) Expresa el valor de la tarifa en función del consumo mensual.

b) Grafica la función.

c) Calcula las tarifas para los siguientes consumos: 240 kWh, 450 kWh.

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VISITÁ LA WEB Para que realices prácticas y puedas evacuar dudas, aquí tienes algunos sitios que te serán de mucha

utilidad.

Números reales

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximacio

nes/indice.htm

Radicación

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Radicales/indice.htm

Potenciación

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Potencias_mac/potencias2.ht

m

Números complejos

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Forma_binomica/Representa

cion.htm

Trigonometría

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/trigonometria_ajms/trigonom

etria_1.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas_tria

ngulo_rectangulo/index_Ratrigo.htm

Funciones – Ecuaciones

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/estudio_de_funciones_eleme

ntales/pagina2.htm


http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm

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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Forma_binomica/Representacion.htm

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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/trigonometria_ajms/trigonometria_1.htmhttp:/recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas_triangulo_rectangulo/index_Ratrigo.htm




http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/estudio_de_funciones_elementales/pagina2.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/estudio_de_funciones_elementales/pagina2.htm

BIBLIOGRAFÍA Matemática UTN - FRT

BIBLIOGRAFÍA SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD UTN – FRT. Argentina 2014

CURSO INTRODUCTORIO – MATEMÁTICAS UTN – FRT. Argentina 1999

MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE

LA UNIVERSIDAD UNT–FACET. Argentina 2009

MATEMÁTICA 3– ACTIVA Arroyo, Bernio, D’albano. Editorial Puerto de Palos S.A. (1° ed. 2003). Argentina 2010.

MATEMÁTICA – BACHILLERATO 2 De Guzmán, M.

MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z

EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 EGB 3 – Editorial Estrada. Argentina

ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Sullivan, M. Pearson – Prentice Hall. 7° Edición. México 2006

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Baldor

MATEMÁTICA – POLIMODAL Altman, Comparatore, Kurzrok. Edit Longseller

MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA Stewart, J. Pearson. México 2010


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