seminar in auctions & mechanism design
DESCRIPTION
Seminar in Auctions & Mechanism Design. Presentation by Ofir Yakovian Supervised by Amos Fiat. היום:. חזרה על הפרק הראשון של הסמינר 1. סוגי מכירות פומביות 2. Characterization of Equilibrium 3. Revenue Equivalence מכירות פומביות לא סימטריות עוגיות. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Seminar in Auctions & Mechanism Design
Presentation by Ofir YakovianSupervised by Amos Fiat
הסמינר של הראשון הפרק על חזרהפומביות. 1 מכירות סוגי
2 .Characterization of Equilibrium 3 .Revenue Equivalence
סימטריות לא פומביות מכירותעוגיות
:היום
.1English or Ascending Auction
. , יחיד פריט למכירה מועמד זה מסוג פומבית במכירה
, נסמנו נמוך התחלתי מחיר קובע המכירה שני. pמנהל יש עוד כלהמחיר את לשלם שמוכנים את, pמשתתפים מעלה . pהוא במעט
, ואז המחיר את לשלם שמוכן אחד אדם רק שנותר עד ממשיך הזה התהליך. האחרון המחיר את ומשלם בפריט זוכה אדם אותו
פומביות מכירות סוגי
הגדרה:
דומיננטית התועלת, אסטרטגיה את שממקסמת אסטרטגיה הנה. ינהגו המשתתפים שאר כיצד משנה לא במכירה משתתף כל של
Dominant Strategy
בעבור דומיננטית אסטרטגיה מהימכירה
מסוג AscendingפומביתAuction?
2 .Sealed-Bid First-Price Auction
. , יחיד פריט למכירה מועמד שוב זה מסוג פומבית במכירה
את סגורות במעטפות המכירה למנהל נותנים המשתתפים. הפריט על לשלם מעוניינים הם אותו הסכום
, כסף הרבה הכי ששם לסוכן הפריט את מעניק המכירה מנהל. ששם הסכום את משלם והוא
פומביות מכירות סוגי
בעבור דומיננטית אסטרטגיה מהימכירה
מסוג First-PriceפומביתAuction?
3 .Sealed-Bid Second-Price Auction
“- ג גם מוכר זה מסוג ” .Vickrey Auctionמכרז
- ב כמו בדיוק מנוהל שוב, First-Price Auction המכרז כלומרסגורות מעטפות , יש הרבה הכי לשלם שהסכים לזה הולך והפריט
. ביותר הגבוהה השנייה ההצעה את ישלם הוא כעת אמנם
פומביות מכירות סוגי
בעבור דומיננטית אסטרטגיה מהימכירה
מסוג Second-PriceפומביתAuction?
הגדרה:
הגון סוכן, מכרז לכל שבה פומבית מכירה ערכים , iהנו של סט ולכל - , ה הסוכן של התועלת המשתתפים שאר למקסימום iשל מגיעה
לפריט שלו האמיתי הערך .viבהימור
מסקנה:
,Second-Price Auctionמכרז הגון מכרז הנו. האמת את לומר היא בו דומיננטית ואסטרטגיה
Truthful Auction
•Allocation probabilities:
•Expected payments:
• ]
•Expected utility :- ה ) ערך iלסוכן משלם viבעל כשהוא (bלפריט
Definitions
. בהמשך תובהר הללו לסימונים המוטיבציה
סימונים
הגדרה:
נמצאות האסטרטגיה שפונקציות משקל- נאמר בשיווי
Bayes – Nash לכל מתקיים, viולכל iאם
אסטרטגיית, את להחליף משתלם לא אחד שלאף היא המשמעות אינטואיטיבית. , שלו התועלת את ימקסם פיה על הימור ולמעשה שלו ההימור
Bayes-Nash Equilibrium
משפט: -Aתהי , ה המשתתף של ערכו כאשר אחד מוצר של פומבית בלתי Viהמסומן iמכירה באופן נלקח
התפלגות מתוך האחרים במשתתפים -Fi תלוי ש. מניחים - Fiאנחנו ב ורציפה ממש עולה מונוטוניתוכן אזי, .כאשר
- אם א. משקל בשיווי סוכן , Bayes-Nashנמצאות לכל :iאז
.i- ב עולה מונוטונית הזכייה הסתברות.ii , כאשר של קמורה פונקציה היא התועלת
.iii , " כאשר הזכייה הסתברויות י ע נקבע המצופה התשלום
אם, ב. תנאים ) להפך מתקיימים שבעבורן אסטרטגיה פונקציות -)iהן תנאים( iiו( לחילופין או(i(- סוכן(, iiiו( לכל .v,wוערכים iאזי - , : משקל שיווי יש כלומר מתקיים
Characterization of Equilibrium
- - שכן משקל בשיווי מתעניינים כך כל אנחנו מדוע מסביר למעשה הזה המשפטהמון נותן הזכייה כוח הוא .להסתברויות
פי ) (, . על נקבעות התועלת שגם ומכאן ש הזה במובן כוח נותן הוא
, , " , שיווי יש ממש עולה מונוטונית וכן י ע נקבע ואכן במידה ההפוך בכיוון ' " בערך - ממוקסמת התועלת המשפט של ב חלק י עפ שכן משקל
מפונקציית , אחרת לפעול אחד לאף משתלם לא ולכן האמיתי. שלו האסטרטגיה
:1מסקנה
. אחד פריט של פומביות מכירות שתי הן כי נניח , זכייה כלל אותו את להן יש משקל שיווי במצב כי נניח
(Allocation Rule. ,)מתקיים כלומרשווה אזי, המכירה מנהל של הרווח .תוחלת
הסבר:
משתתף מתקיים ,iלכל וערך , התשלום שתוחלת נובע בפרט ומהמשפט מהנתון משקל שיווי יש שכן
( " המכירות בשתי זהה שהוא הזכייה כלל י עפ (.נקבעת
Corollary 1 - Revenue Equivalence
:2מסקנה
, - אותה מתוך באחרים תלוי בלתי באופן נלקח סוכן כל של שערכו נניחעולה . מונוטונית התפלגות
עם בודד פריט של כלשהי במכירה , nנתבונן הפריט כאשר משתתפים. ביותר הגבוהה ההצעה בעל למשתתף הולך
הינה כי , .BNEנניח בקטע עולה מונוטונית ובנוסף סימטריתאזי,
1 .2 .3 .
Corollary 2 – Symmetric Equilibrium
:3מסקנה
במכרז שאנו ממש, First Price Auctionנניח עולה מונוטונית כי ונניח, . אזי , סימטרי משקל שיווי ומגדירה בקטע
הסבר:
שהיא פומבית , First Price Auctionבמכירה התשלום תוחלת זה מסוגהנה שחקן כל ' של מס, .2וממסקנה הדרוש נובע
Corollary 3 – BNE in First Price Auction
... לא עוד
Asymmetric Bidding
. " - , ההתפלגות מאותה ת ב באופן ונלקח סימטרי היה עליו שדיברנו משקל שיווי כל כה עד? , המצב תמיד זהו האם לשאול טבעי
- " משקל, שיווי הנו ההתפלגות ומאותה ת ב מערכים שנלקח משקל שיווי כל האם כלומרסימטרי?
. , הפומבית המכירה בסוג תלויה התשובה מיד שנראה כפי
- ב, נתבונן נתון : Sotheby’s style English Auctionלמשל רגע בכל שבה פומבית מכירה זוהילהיות ) שמאותחל מחיר . 0יש כאשר(, נגמרת המכירה מעליו להעלות לבחור יכול סוכן וכל
, את שתבע מי במכירה מנצח זה ובמקרה יותר המחיר את להעלות מוכן לא אחד אף . , , הפריט את ולוקח אותו משלם ביותר הגבוה המחיר
Example
, תלוי בלתי באופן לקוחים שערכיהם הפומבית במכירה משתתפים שני שישנם נניחממש עולה ומונוטונית רציפה התפלגות .Fומאותה
משקל שיווי כעת , Bayes-Nashנראה . אסטרטגיות, שתי נראה כלומר סימטרי שאיננו:2ולשחקן 1לשחקן שונות שלהם, התועלת את שימקסמו
שחקן : 1אסטרטגיית
שחקן -1מבחינת . ב, המוצר את מעריך שהוא יודע הרי הוא זמן לבזבז מעוניין לא והוא הוא , . , . מבחינתו הנוכחי המחיר של ונשנות חוזרות בהעלאות טעם אין לכן יותר עליו ישלם לא
, שחקן יגיד במה תלות ללא בשבילו האופטימלי הערך את זה להגיד שעליו כלומר – 2כלמכירת זאת .First Price Auctionמבחינתו דבר לכל
, שחקן קודם שראינו :1ממה יציע
Example, Cont.
שחקן : 2אסטרטגיית
- 1שחקן . , עולה מונוטונית ש מכיוון עבורו האופטימלית ההצעה שהיא הצעתו את אמר. הופכית, פונקציה לה קיימת ממש
שחקן, שחקן 2לכן הצעת את לקחת ההופכית , 1יכול הפונקציה את עליה להפעיל שהיאמהו, . להסיק ובכך
, שחקן, שכן נגמרה הפומבית המכירה שחקן 2כעת בכמה !1יודע המוצר את מעריך
, : שחקן מבין אם הבא באופן יפעל , 2הוא לו אין ושמראש הפריט את בפחות מעריך שהוא . , שחקן זה במקרה לכן יזכה לא מקרה בכל הוא שכן להציע מה , 2בשביל ושחקן 1פורש
במחיר . מנצחשחקן, , אזי אם , 2אולם עליו זאת לעשות כדי אך הפומבית במכירה ינצח שהוא מבין
הפחות . לכל להציע
, ש ומכאן שלהם התועלת את שממקסמות אסטרטגיות שאיננו הראנו משקל שיווי מצאנו.סימטרי
Example, Cont.
משפט:
מסוג פומבית במכירה משתתפים לקוחים, First-Price Auctionיהיו שערכיהם " סופי תומך בעלת עולה ומונוטונית רציפה התפלגות פונקציית מאותה ת ב באופן
.
משקל אין אזי, . Bayes-Nashשיווי סימטרי שאיננואסטרטגיה, פונקציית קיימת לא - כלומר ב ורציפה עולה שאיננה מונוטונית
סימטרית.
Symmetry in First-Price Auction
הוכחה:
ורציפה ממש עולה מונטונית אסטרטגיה פונקצית קיימת שאכן בשלילה נניח , . . לסתירה יוביל כמובן זה להתקיים שחייב להראות כעת נשאף סימטריה שאיננה
לכל ובו למצב אותנו יוביל לכל דומה תהליך - iשכן משקל, , שיווי יש אכן כלומר . בסתירה סימטרי
נסמן:
שחקנים של המבט -1מנקודת של Rהקבוע, 2ו המקסימלית ההצעה את מייצג. , מלבדם גבוה הכי הסכום את כלומר המתמודדים שאר כל
שחקנים, -1לכן לפחות 2ו להציע שעליהם .Rיודעים הפומבית במכירה לזכות כדי
Proof
למה:הוכחה:
" , , ובפרט ע חח שהיא ומכאן ממש עולה מונוטונית פונקציה הנה ההנחה מן , בנוסף . מהנתון הופכית פונקציה לה .קיימת
ונקבל : האגפים שני על נפעיל
ונקבל : האגפים שני על נפעיל
: " קיבלנו, כ בסה ולכן
Lemma 1
- ו, כיוון , כעת מאותה לקוחים המשתתפים כל שערכי וכיוון ממש עולה מונוטונית: מתקיים, ההתפלגות
>
- ( , סימון" קיבלנו כ (:*ובסה
- ש, שמכיוון נבחין -מ , כעת ש , מכיוון ולכן מונוטונית Pתקיים והיא הסתברות מידת הנה
- ( , סימון נקבל מאורעות של להכלה (:**ביחס
- ב, שאנחנו מכיוון " First-Price Auctionלבסוף ת, ב באופן לקוחים השחקנים שערכי ומכיווןהתפלגות אותה ,Fמתוך
=
. להוכיח שרצינו כפי
למה:הוכחה:
בלמה כמו שיקולים - 1מאותם ש, מהנתון :נובע ומכאן,
. להוכיח שרצינו כפי
Lemma 2
. להוכחה נחזור. , , כלומר סימטרי שאיננו משקל שיווי יש אכן השלילה מהנחת
: מתקיים, שעבורו קיים הכלליות הגבלת בלי .לפיכךנגדיר:
( ) - פונקציות של שמאל מצד ל ביותר הקרובה החיתוך נקודת וזוהיהאסטרטגיה.
. , ומתקיים רציפות הן שכן הזה המקסימום קיים בהכרח
... אפשריים מקרים לשני כעת נפרק
' מס - :1מקרה ש לכל .מתקיים
, מלמה כזה - 1במקרה ש נובע .לכל בהכרח,2מלמה . - , - לכן, ש מתקיים בהכרח ש מכיוון
. - ש, לבסוף מתקבל כלומרשחקן, אם במקום 2אולם יציע , יהמר תמיד הוא מונוטונית שכן ) 1משחקן יותראז
. ,) בהסתברות כן גם שינצח ומכאן ממש עולה! - - ל מ שלו התועלת את מעלה כמובן זה
שחקן, שלפיה שאיננה אסטרטגיה מצאנו , 2לפיכך ב וזאת שלו התועלת את סתירהמגדיל. משקל שיווי שיש לכך
Case 1
' מס - : 2מקרה ש כך קיים
בקטע, מעל תמיד נמצאת לא .כלומרנגדיר:
- ל ביותר הקרובה החיתוך נקודת .וזוהי ( האסטרטגיה( פונקציות של ימין מצד- , 2מלמה , - ו ש ומכיוון
. - , - ו ש מתקיים בהכרח
, - - ובנוסף , ממש עולות מונוטוניות פונקציות הן וכן ול ל חיתוך נקודות יותר אין שבקטע נבחין כעתמלמה , , , ומכאן מתקיים שבקטע ומכאן מתקיים שמתקיים .1בעבור
, מתקיים, שבקטע למעשה נובע כעת -
" ! סתירהב ל. מש
Case 2
סוף !