SEMINAR

Model bijelog patuljka

i numerički proračuni

Antonio Majdandžić

• Bijeli patuljak?

-Završni stadij života srednjih i manjih zvijezda (Sunce)

-To su hladni objekti (oko 0 K), sačinjeni od teških elemenata (Fe, C).

-Tipičan bijeli patuljak je mase pola Sunca, a tek malo veći od Zemlje.

• Imamo ravnotežu dvije sile.• Prva je gravitacija koja sažima zvijezdu.• Druga “sila” je Paulijev princip zabrane, koji ne

dozvoljava da se elektroni previše približe, jer onda oni popune sva stanja i više ih se ne može “nagurati”.

• Radi se ustvari o relativističkom Fermionskom plinu elektrona temperature T=0, i taj plin stvara tlak koji uravnotežuje gravitacijsku silu.

• Osnovne jednadžbe (malo teorije):

• Gravitacijska sila:

• Tlak elektronskog

plina

dmr

rGmFGrav 2

)(

)(2

xM

cm

d

dP

p

ee

3/1

0

x

)(4 2 rrdr

dm

• Iz ovih jednadžbi, dobijemo dvije vezane diferencijalne jednadžbe, koje nakon svođenja na bezdimenzionalni oblik glase:

Jednadžbe su po i . m

2)( r

m

rd

d

2r

rd

md

• Zadaci:

• 1)Napisati program koji će rješavati ovaj sustav diferencijalnih jednadžbi pomoću Runge Kutta 4. reda

• 2) Izračunati mase i radijuse zvijezda za raspon roc=10^-1 do 10^6

• 3) Provjeriti stabilnost rješenja s obzirom na korak h

• 4) Izračunati totalnu energiju elektrona (energ. mirovanja + kinetičku), i ukupnu gravitacijsku potenc. Energiju

• 5) Skalirati dobivenu vezu radijus-masa na slučaj kada je zvijezda od Fe i C.

• 6) Provjeriti kako se stvarne tri zvijezde (Sirius B, 40Eri B, Stein 2051 ) uklapaju u dobiveni graf

• 7) Zaključiti od čega su te tri zvijezde građene?

1.) Rješavanje diferencijalnih jednadžbi

• - Runge Kutta

• - Jedini parametar je gustoća tvari u središtu zvijezde (varira od 10^-1 do 10^6)

• -Kada gustoća u petlji padne ispod 0, tada se petlju prekidamo i smatramo da smo dišli do ruba zvijezde (na rubu je gustoća nula).

2.) Stabilnost rješenja

• Provjera stabilnosti za roc=1.0

h polumjer masa

0.1 2.40 0.71

0.01 2.49 0.71

0.001 2.49 0.71

gust. u centru polumjer Masa

0.1 3.76 0.28

1 2.49 0.71

10^1 1.58 1.30

10^2 0.95 1.74

10^3 0.53 1.93

10^4 0.28 2.00

10^5 0.14 2.01

10^6 0.07 2.02

3.) Rezultati za radijuse i mase za razne roc

• Masivniji patuljci imaju manji polumjer.

4.) Ukupna energija elektrona (mirov. + kin.)

i ukupna gravitacijska energija

Roc Energ. elektr. Grav. energ.

0.1 0.29 -0.02

1 0.80 -0.18

10^1 1.91 -1.01

10^2 4.16 -3.35

10^3 8.89 -8.38

10^4 19.05 -18.81

10^5 40.84 -40.90

10^6 87.24 -88.08

5.) Skaliranje i provjera na stvarnim zvijezdama

• Sirius B i Eri 5 su od ugljika (C)

• Stein 2051 je od željeza (Fe)