semiconducteurs intrinseques · 2006. 8. 26. · - métal-isolant-semiconducteur c: techniques de...
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUESEmmanuel Rosencher
A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou
B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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( )kEcv
kr
Bande pleine Bande incomplète
Wolfgang Pauli
Remplissage des bandes: principe de Pauli
Question 1: Propriété des électrons suivant leur position dans la bande ?Question 2: Combien d’électrons dans les bandes à T non nulle ?
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Qu’est ce qu’une relation de dispersion ?
En théorie ondulatoire, relation qui lit la fréquence ω et le vecteur d’onde k
Ex: la lumière dans un matériau ( )ωω nck=
dkd
gv ω=vitesse de groupe
vitesse de phase ( )ωω
ϕ nc
kv ==
En physique quantique, relation qui lit l’énergie E et le vecteur d’onde k
( ) ( ) ( ) ( )ext1t
ext2ext kkMkkEkkE2
−−+== −hrh
rω
Près d’un extremum, concept de masse effective:
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Vitesse de groupe électronique
( ) ( ) ( ) ( )( ) dkerukatr tkrkikn
ωψ −∫= ,,
Chaque états propres de l ’Hamitonien d’énergie à une dépendance temporelle: ( )rkn,ψ ( )kEn
( ) ( )( )tirki
knkn
knEeerutr h
−= ,, ,ψ
Un paquet d’ondes électroniques d’une bande n se déplaçant dans le cristal s’écrit
Près de k0: ( ) ( )0dkd
0 kkk −+= ωωω
0k
0ωh
( )ka
( ) ( ) ( ) ( )( )dkerukatr
tkktrkikn
0dkd
0 −−−∫=
ωωψ ,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dkerukaetr
trkikn
tki dkd
00dkd ωω ω
ψ−−
∫= ,,
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Vitesse de groupe électronique
( ) ( ) ( ) ( )dkerukatr
trkikn dk
dωψ
−∫= ,,Seule la norme nous intéresse:
En ne prenant des photos que tous les t tels que atdkd =ω
( ) ( ) ( ) dkerukatr rkikn
', ', ∫=ψ
Le paquet d’onde électronique se déplace sans se déformer avec une vitesse de groupe: dkd
gv ω=
Ev k1
gr
hr ∇=Généralisation:
0k
0ωhEv k
1g
rh
r ∇=
trr dkdω−='Référentiel en mouvement:
( ) ( ) ( ) dketrukatr rkidkd
kn'
, ', ωψ +∫=
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Ev k1
gr
hr ∇=
εr
a/πa/π−
Dynamique des électrons dans les bandes: oscillations de Bloch
dtvFdE grr
−=Dans le cristal:
Énergie prise au champ électrique:
Dans la bande kdvkdEdE gk
rrhr
r −=∇−=
kF dtd r
hr
=
( ) tktk q0 εh−=En absence de collisions:
Oscillations de Bloch hπε
2aq
Blochf =
mV10m10a 69 /; ≈≈ − ε
Hz10f 13chocs ≈<<Hz10f 11
Bloch ≈
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Dynamique des électrons dans les bandes: masse effective
Dynamique du paquet d’ondes électronique dans le cristal:
( ) [ ] kEE dtd
kk1
k1
dtd
dtgvd r
rrh
rh
r∇∇=∇=
kF dtd r
hr
=
Le paquet d’électron possède une dynamique Newtonienne avec un tenseur de masse effective
[ ]EM kk112
rrh
∇∇=−
[ ]FEkk1
dtvd
2g rrr
h
r∇∇=
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kr
+kr
−
kr
+kr
−maxk
( ) 0EE2kvq2J0k
k0k
kq
kg =
∑ ∇+∑ ∇=∑−=>
−>
rr
rr
hrrrr
Dégénérescence de Krammers
( ) 0E2kvq2Jkk
kq
kg ≠
∑ ∇=∑−=
>−
maxr
rhr
rrr
Une bande pleine ne conduit pas
Une bande incomplète conduit
Conductivité et structure de bande
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ek
manquantélectronavecbande
k EEE −=∑ r
Notion de trou
0kbande
=∑r
ekr
tkr
e
manquantélectronavecbande
kkrr
−=∑
EEbande
k =∑
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Énergie des électrons
Électron manquant en ke Trou en kt = - ke
εedt
dke −=h εedtdkt +=h
Énergie des trous
( )kEe
Charge -e Charge + e
( )kEt−
( )eek1e
g kEv e∇=h
( ) egttk
1tg vkEv t =∇=
h
εevM egdt
de −= εevM t
gdtd
t +=
0Me < 0MM et >−=
∑ −−=occupék
ge
veJ ∑ +−=occupék
gt
veJ
Notion de trou
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Notion de trou
-
-
-
Énergie des électrons
Électron manquant en ke Trou en kt = - ke
εedt
dke −=h εedtdkt +=h
( )kEe
Charge -e Charge + e
( )kEt−
( )eek1e
g kEv e∇=h
( ) egttk
1tg vkEv t =∇=
h
εevM egdt
de −= εevM t
gdtd
t +=
0Me < 0MM et >−=
∑ −−=occupék
ge
veJ ∑ +−=occupék
gt
veJ Énergie des trous
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électrons
trous
εr
e+
e−
gv
gv
eJ
tJ
tetotal JJJ +=
Électrons et trous
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou
B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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Comment compter les électrons dans des systèmes discernables?
TkE
12 e
NN
∆−=
TkE
e1
1tot1 NN ∆−
+
=TkE
e1
1tot2 NN ∆+
+
=
Ntot : nombre de centres introduits dans le volume
Que dire dans un système condensée de particules indiscernables ?L. Boltzmann
1890
1
2E∆
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Comment compter les électrons dans des systèmes indiscernables?
0T ≠
FE 0T =
( )EfF
FE
E
21
( )kT
FEEe1
1F Ef −
+
=
E. Fermi P.Dirac
Question: Combien d’états accessibles aux électrons entre E et E + dE
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou
B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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Techniques de pseudo-quantification
Boite de potentiel infini
( ) ( ) ( ) ( )zksinyksinxksinz,y,x zyx∝Ψ
Potentiel infiniLa fonction d’onde s’annule
avec
Lx
maxmax,...,m0mavecmmk iiamiiLii === ππ
Condition aux limites périodique(Born-von Karman)
maxmaxiLii m,...,0,1...,,mmavecm2ki
−−== π
Lx
( ) ( )rLr rrr ΨΨ =+
=
z
y
x
LLL
Lavec
d’où
iimax a/Lm = où ia est la distance inter-atomique
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( )kEcv
( )kEvv
kr
Structure de bande (rappels)
( )kEcv
( )kEvv
krL
2m π
Born-von Karman
Pseudo-quantificationde l’énergie
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou
B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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Question 1: combien d’états peut-on mettre entre kdketkrrr
+
xk
xL2π
xdk
z2L
z
y2L
y
x2L
x
dkdN
dkdN
dkdN
z
y
x
π
π
π
=
=
=
338
Vzyx
3 kddNdNdNNdr
π==
( ) 38V
3kdN3dk
πρ === v
r
( )3
3
4V
kdNd2k
πρ =×== v
r
Dégénérescence de spinxL
2πyL
2π
Pour chaque , 2 spins kr
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dk
xk
yk
Question 2: combien d’états peut-on mettre entre dkketk +
( ) dkk4kNddN 2
dkketkentre
3 πρr
=∫∫∫==+
dkkdkk4dN 2V24V
23 πππ ==
( ) dkdNk ==ρOr, par définition
( ) 2V kk2π
ρ =
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Question 3: combien d’états peut-on mettre entre dEEetE +
On suppose la relation de dispersion ( )i
22
m2k
ii EkE h=−mi est la masse effective
valencedebandelapourvi
conductiondebandelapourci
=
=
( ) ( )dkkdEEdN ρρ ==Par définition de la densité d’états en énergie ( ) ( )dEdkkE ρρ =
( ) ( )im2V EEk2i
2−=
hπρ
i2i
EE1m2
21
dEdk
−=
h
( ) i2/3m2
2V EEE
2i
2−
=
hπρ
Reliquat de la pseudo-quantification
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Densité d’états 3D par unité de volume dans GaAs
( ) c2/3m2
21
c EEE2c
2−
=
hπρ
( ) EEE v23m2
21
v 2v
2 −
=
/
hπρ
0c m067.0m =
0v m64.0m =
31 cmeVen −−
E E
E
k
ρ
ρ
31eV
20 cmeVE10141 −−.
31eV
21 cmeVE10363 −−.
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou
B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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Question 4: Quelle relation entre le niveau de Fermi et la densité de porteurs dans chaque bande?
Particules à l’équilibre en interaction entre elles existence d’un niveau de Fermi
( ) ( )dEEEfn F ρ∫=
Probabilité d’occupation
Nombre d’états accessibles
( ) kTFEE
kTFEE
eEf
e1
1F
−
−−
+
≈= kTEE Fc >>−si
( ) dEeEEn kTFEE
2c
c2
2/1c
2/3m2
E 21
−−∞−
∫=hπ
semiconducteur non dégénéré
E
FE
cE
( )EfF
ρ
26/43
2/π
kTFEcE
eNn c
−−
=
( ) 2/32/3m2
41
c kTN2c
=
hπ
cNcE
FE
Tout se passe comme si:
Nc : densité effective d’états dans la bande de conduction
( )( ) ( )
∫ −
=
∞ − −+−
0
2/1c
2/3m2
21 dEeEEn kT
FEcEcEE
2c
2 hπ
( ) ∫
=
∞ −− −
0
u2/12/32/3m2
21 dueuekTn kT
FEcE
2c
2 hπ
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Dans la bande de valence…
E
FE
vE
( )Ef1 F−
probabilité de non occupationpar un électron-> occupation par un trou
Nombre d’états accessibles
( )( ) ( ) dEEEf1p vE
Fv
ρ∫ −=∞−
( ) kTFEE
kTFEE
kTFEE
e1Ef1
e1
1
e1
1F
−
−−−≈=−=−
++
( ) dEeEEp kTFEE
2cv
22/1
v2/3m2E
21
−−
∫=∞− hπ
kTFEvE
eNp v
−
=
( ) 2/32/3m2
41
v kTN2
v
=
hπ
Nv : densité effective d’états dans la bande de valence
semiconducteur non dégénéré
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E
kv
cE
vE
FE
vN
cN
E
FE
( )EfF
E
( )EfF
( )Ef1 F−
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Interprétation chimique
Cette équation est toujours vraie dès qu’il y a existence d’un niveau de Fermi c’est àdire tant qu’il y a équilibre thermique !!!
pnRGdt
pddt
nd ×−==Recombinaison 2 à 2Génération thermiquethermiquement activé
kT/ERG actepn −∝=
kTgE
eG−
∝
kT/Evc
geNNpn−
= vcg EEE −=avec le gap du matériau
kTFEcE
eNn c
−−= kT
FEvE
eNp v
−
=
R
cE
vE
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
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B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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kT2/Evci
geNNnpn−
===
Régime intrinsèque
Niveau de Fermi donné par : kTFEvE
kTFEcE
eNeN vc
−−
=−
c
vvc
N
N2
kT2
EEFi lnE += +
E
k
Le niveau de Fermi intrinsèque est quasiment au mi-gap !
cE
vE
FiE
Si pas d’impuretés: inpn ≡=
32/43
1.1 1018
4.0 1017
3.1 1019
2.5 1018
ρc
Electr.
Densité effective d’états(cm -3)
≈ 10-8
2.1 106
1.1 1010
6.1 1012
ni
Concentration intrinsèque (cm -3)
300 K
4. 1019
9.3 1018
1.7 1019
1.8 1018
ρv
trou
3 1061.40.131.30.190.133.2GaN
2.4 10130.530.0670.490.0740.0671.42GaAs
3. 10150.811.180.490.160.190.981.12Si
3.4 10160.180.220.280.0440.0821.640.67Ge
nimdtmdemhhmlhm transm longEg
trouElectr.trous mtelectron me
Concentration intrinsèque (cm -3)
600 K
masses effectives de
densité d'états
masses effectives de conduction
Gap (eV)
PARAMETRES DE QUELQUES SEMICONDUCTEURS
Ge pur conduit à 300 K GaN pur isolant à 600 K
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou
B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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HAMILTONIEN DE MASSE EFFECTIVE (1)
Énergies des états propres de l’équation de Schrödinger du semiconducteur:
( )rVH atm2p
00
2ˆˆ ˆ rr
+=
Hamiltonien décrivant l’interaction entre le cristal et l’éléctron:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rkErrVrH knnknat0m2
2pkn0
rrrrr rrr
r,,
ˆ,
ˆˆ Ψ=Ψ
+=Ψ
pour la bande de conduction
pour la bande de valence (mv <0)
( )c
22
m2k
cEkE h+=
( )vm22k2
vEkE h+=
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HAMILTONIEN DE MASSE EFFECTIVE (2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rkErrVrH knnknat0m2
2pkn0
rrrrr rrr
r,,
ˆ,
ˆˆ Ψ=Ψ
+=Ψ
( ) ( ) ( )rErrH knnm22k2
nknnm2
2pkn0
rrr rhrr
r,,
ˆ,
~~~~ Ψ
+=Ψ
=Ψ
L’Hamiltonien de masse effective consiste à approximer dans chaque bandel’Hamitonien du cristal par l’Hamiltonien de l’électron libre avec la masseeffective correspondante:
n
2
m2p
0Hˆ~ r
=cmm=
vmm=
pour la bande de conduction
pour la bande de valence
Toute l’interaction entre l’électron et le cristal est résumé dans mn
( ) rkikn er
rrr ∝Ψ ,
~
Fonction enveloppe
( ) ( ) ( )rrur knknknrrr rrr
,,,~Ψ=Ψ
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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES
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B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur
C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion
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AlGaAs AlGaAsGaAs
Niveau du vide
Affinité chimique de AlGaAsAffinité chimique de GaAs( )zVc
( )zVv
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HAMILTONIENS DE MASSE EFFECTIVE
( ) ( ) r.kik,ck,c eruk,cr
rrrr rrr ==Ψ( )
c
22
m2k
cc EkE h=−
Bande de conductionc
2
m2p
cH ˆ~ =
( ) ( ) r.kik,hhk,hh eruk,hhr
rrrr rrr ==Ψ( )
hh
22
m2k
hhv kEE h=−
Bande de trous lourdshh
2
m2p
hhH ˆ~ = ( )0mhh <
( ) ( ) r.kik,lhk,lh eruk,lhr
rrrr rrr ==Ψ( )
lh
22
m2k
lhv kEE h=−
Bande de trous légerslh
2
m2p
lhH ˆ~ = ( )0mlh <
k
cE
cm
hhm
lhm
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Mouvement parallèleMouvement perpendiculaire
HETEROSTRUCTURE
( ) ( )zVrV'H cristm2p
0
2++= r
On superpose un potentiel chimique V(z) à la structure de bande:
( ) ( ) ( ) ( )rErrzV rcm22
c2dz
2dcm2
2Ψ=Ψ∇−Ψ
+− ~~~
//hh
( ) ( ) ( ) ( )rErrzV rmhh22
v2dz
2dhhm22
Ψ=Ψ∇−Ψ
+− ~~~
//hh
( ) ( ) ( ) //.//,,,
rkinkcknc ezerur
rrrr rr =Ψ
( ) ( ) ( ) //.//,,,
rkinkhhknhh ezhhrur
rrrr rr =Ψ
( ) ( ) ( )zeezezV nnnc2dz
2dcm2
2=
+− havec
Fonctions enveloppes
( ) ( ) ( )zhhhhzhhzV nnnv2dz
2dhhm22
=
+− h
avec
Fonctions enveloppes
( )zVHeff
2
m2p
eff += ˆ'ˆ
42/43
FONCTION ENVELOPPE ET SOUS-BANDES
( ) ( ) ( ) //// r.kink,ck,n,c ezerur
rrrr rr =Ψ
Potentielcristallin
Potentielconfinant
Mouvement libreparallèle
( )c
2//
2
m2k
ncn eEkEhv
++=
( ) ( ) ( ) //// r.kink,hhk,n,hh ezhhrur
rrrr rr =Ψ
Potentielcristallin
Potentielconfinant
Mouvement libreparallèle
( )hh
2//
2
m2k
nvn hhEkHHhv
+−=
//// rike
( )zen
//k
2e
1e
sousbandes
43/43
E
k
1e2e
3e
1hh
2hh
E
E
ρ
ρ
2c /m hπ
2hh /m hπ