semejanza de triangulos cepreuni

8/4/2019 Semejanza de Triangulos CepreUni

1/21

ADMISIN 2010-I

SEMEJANZA DE TRINGULOS

1. DEFINICINDos tringulos se llaman semejantes cuando tienen sus ngulos

respectivamente congruentes y los lados homlogos proporcionales.Los lados homlogos son los opuestos a ngulos congruentes y la razn de

semejanza es la relacin entre dos lados homlogos.Dos tringulos semejantes ABC y A1 B1 C1 satisfacen condiciones siguientes:

A1

B1

C1

B

C

A

1 1 1A A , B B , C C

1 1 1 1 1 1

AB BC CAA B B C C A

= =

y los designaremos 1 1 1ABC A B C y en esta forma estn incluidas las cincocondiciones expresadas.

Teorema 1 (AA)Primer criterio.- Si dos tringulos tienen dos ngulos ordenadamentecongruentes, entonces son semejantes.

A1

B1

C1

B

C

A

1 1A A , C C 1 1 1ABC ~ A B C

CEPRE-UNI GEOMETRA - 1 -


2/21

ADMISIN 2010-I

Demostracin:Se traza MN // AC de manera tal que BM = A1B1.

En el 1 1 1MBN y A B C 1 1 1BMN BAC y BAC B A C

1 1 1BMN B A C ( )1 1 1MNB B A C Postulado de ALA

( )ABC ~ MBN Por ser MN // AC 1 1 1ABC ~ A B C

CorolarioDos ngulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo congruente

ACB DFE

ABC ~ DEF

Teorema 2 (LAL)Segundo criterio.- Dos tringulos son semejantes cuando tienen dos ladosproporcionales y congruentes el ngulo comprendido entre ellas.

1 1 1 1

AB BCA B B C

=

1B B

1 1 1ABC ~ A B C

B

C

A1

B1

C1

A

NM

B C E F

D

A

B

1

B1

1

A C

A C



3/21

ADMISIN 2010-I

Corolario.- Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen proporcionalessus catetos respectivamente.

B C E F

D

A

AB BC ABC ~ DEFDE EF

=

Teorema 3 (LLL)Tercer criterio.- Dos tringulos son semejantes cuando tienen proporcionales sustres lados.

1 1 11 1 1 1 1 1

AB BC AC ABC ~ A B CA B B C A C

= =

Teorema 4Dos tringulos issceles son semejantes si tienen proporcionales las bases y otrolado.

1 1 1ABC A B C son issceles( )1 1 1 1AB BC, A B B C

Si 1 1 1 1AB AC

A B A C= 1 1 1ABC ~ A B C

B

C

A1

B1

C1

A

B

C

A1

B1

C1

A



4/21

ADMISIN 2010-I

Teorema 5Todos los tringulos cuyos lados sean ordenadamente proporcionales a tresnmeros dados son semejantes entre s.

k+

1 1 1ABC ~ A B C

B

C

A1

B1

C1 nk mk

tk

t

n m

A



5/21

ADMISIN 2010-I

Relaciones Metricas en los TringulosPROYECCIN ORTOGONAL La proyeccin ortogonal de un punto sobre una recta , es el pie de laperpendicular (P) trazada por dicho punto a la recta. Esta perpendicular se denominaproyectante y la recta eje de proyeccin.

La proyeccin ortogonal de un segmento AB sobre una recta o eje deproyeccin es la parte del eje de proyeccin comprendida entre las proyecciones de losextremos de dicho segmento.Si el segmento es perpendicular a la recta, su proyeccin es un punto.

A

A

B

B

DC

C D

F

EF

E

L

M

M

Relaciones Metricas en el Tringulo Rectngulo

P

P

Punto exterior a la recta

A C

B

H

c

h

a

m n b



6/21

ADMISIN 2010-I

Teorema 1En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto delas longitudes de la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto sobre la hipotenusa.(La longitud de cada cateto es media proporcional entre la longitud de la hipotenusa y laproyeccin del cateto sobre ella).

Demostrar: bmc =2 AHB ABC

bc

cm = entonces bmc =2

BHC ABCba

an = entonces bna =2

Ademsnm

ac =

2

2

Teorema 2 En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa esigual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.(La longitud de la altura es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre lahipotenusa).Demostrar: mnh =2

ABH BHChn

mh = entonces mnh =2

Teorema 3 En todo tringulo rectngulo, el producto de las longitudes de sus catetos es igual al productode las longitudes de la hipotenusa la altura relativa a dicha hipotenusa.

Demostrar: bhac =

Por Teorema 1: AHB ABC

bc

ah = entonces bhac =

Corolario (Teorema de Pitgoras) En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de sus catetos.

Demostrar: 222 bca =+

Por Teorema 1: entoncesbna

bmc

==

2

2

bmbnca +=+ 22

222

bca =+



7/21

ADMISIN 2010-I

Corolario En todo tringulo rectngulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a lahipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de suscatetos.

Por Teorema 2 y 4: entonces2222

222

hbca

bca

==+

222

111hca

=+

Relac iones Mt r ic as en los Tr ingulos Obl ic ungulos

TEOREMA DE LAS PROYECCIONES

Primer Caso (Lado Opuesto a un ngulo agudo)En todo tringulo, el cuadrado de la longitud de un lado que es opone a un ngulo agudo, esigual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el dobleproducto de las longitudes de uno de ellos y la proyeccin del otro sobre aquel.

A

B

CH

c a

b

Demostrar: bmcba 2222 += AHB: h2 = c2 m2 ............. (1)

BHC: h = a (b m) ...... (2)

(1) = (2): c m = a b + 2bm m

Luego: bmcba 2222 += Segundo Caso (Lado opuesto a un ngulo obtuso)

En todo tringulo el cuadrado de la longitud del lado que se opone al ngulo obtuso es igual ala suma de los cuadrados del las longitudes del los otros dos lados ms el doble producto delas longitudes de uno de ellos y la proyeccin del otro sobre aquel.

m (b-m)



8/21

ADMISIN 2010-I

B

ac

Demostrar: bmcba 2222 ++=

AHB: h2 = c2 m2 .......... (1)

BHC: h2 = a (b + m) ...... (2)

(1) = (2): c m = a b 2bm m

Luego: bmcba 2222 ++=

Ley de CosenosEn todo tringulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados delas longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de dichoslados por el coseno de la medida del ngulo determinado por ellos.Se sabe: bmcba 2222 +=

Se sabe: a 2 = b2 + c2 2bm

Entonces: cos2222 cbcba +=

Teorema de Stewart (Teorema de la Ceviana)En todo tringulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados adyacentes a unaceviana interior multiplicados con las longitudes de los segmentos opuestos a dichos lados

A C

B

H

h a

m

c

b

A CH b

m

coscos cmcm

Si: ==



9/21

ADMISIN 2010-I

determinados por la ceviana en el lado al cual es relativa es igual al producto del cuadrado dela longitud de dicha ceviana con la longitud del lado al cual es relativa ms el producto de laslongitudes dicho lado con los segmentos determinados por la ceviana en este.

Demostrar bmnb xmanc +=+ 222 Acutngulo: ABD: c2 = x2 + m2 2 pm ...(1)

Obtusngulo: BDC: a2 = x2 + n2 + 2 pn ....(2)

(1) x n: c2n = x2n + m2n 2 pmn

(2) x m: a2m = x2m + n2m + 2 pmn

Sumando las dos ecuaciones: a2m + c2n = x2(m+n) + mn(m+n)

Luego : bmnb xmanc +=+ 222

Teorema de la MedianaEn todo tringulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al dobledel cuadrado de la longitud de la mediana relativa al tercer lado ms la mitad del cuadrado dela longitud de dicho tercer lado.

A C

B

x

ac

b

M2

b2

b

A

B

H

xa

m

c

b

D n



10/21

ADMISIN 2010-I

Demostrar:2

22222

b xac +=+

Se sabe por teorema de Stewart.

)2

2 b2(2x2

b)2c2a(

2

b

2

b

2

b b b2x

2

b2c2

b2a

+=+

+=+

Luego: 2

22

222 b

xac +=+

Teorema de la longitud de la Bisectriz InteriorEn todo tringulo el cuadrado de la longitud de una bisectriz interior es igual a la diferencia deproductos de las longitudes de los lados adyacentes y los segmentos determinados por dichabisectriz en el lado al cual es relativo.

Demostrar: mnac x =2

Se sabe por teorema de Stewart:

a2m + c2n = x2b + bmn

a(am) + c(cn) = x2b + bmn (1)

Prop. Bisect. Interiores cn = am . (2)(2) en (1) a(cn) + c (am) = b (x2 + mn)

xa

c

Dm n

A

B

C



11/21

ADMISIN 2010-I

a (m + n) = b (x2 + mn)

ac (b) = b (x2 + mn)

Luego:mnac x =2

Teorema de la longitud de la Bisectriz ExteriorEn todo tringulo el cuadrado de la longitud de una bisectriz exterior (cuyos lados adyacentesa la bisectriz sean diferentes en longitud) es igual a la diferencia de productos de laslongitudes de los segmentos determinados por la bisectriz en el lado al cual es relativa y loslados adyacentes a dicha bisectriz.

A

ca

mnC

B

E

x

Demostrar acmn x =2

Se sabe por teorema de Stewart

c2n + x2 (m-n) = a2m + mn (m-n) ... (1)

Prop. Bisec. exteriores. cn = am ..... (2)

(2) en (1) (x2 - mn)(m n) = a2m c2n

(x2 - mn)(m n) = a(cn) c(am)

(x2 - mn)(m n) = -ac (m n)

Luego: acmn x =2

Teorema de HernEn todo tringulo, la longitud de una altura es igual al doble de la inversa de la longitud dellado al cual es relativa multiplicado con la raz cuadrada del producto del semipermetro de laregin limitada por dicho tringulo con la diferencia de dicho semipermetro y la longitud decada uno de sus lados.



12/21

ADMISIN 2010-I

A C

B

H

hc

b

a

m

Demostrar: ))()((2 c pb pa p pbh =

Donde:

P = semipermetro de la regin triangular ABC2

cba p

++=

AHB: h = c m ........... (1)

Teorema de la proyeccin en el ABC: a2 = b2 + c2 2mb

)2b

ac b(ch

)2(..........2b

ac bm

222

222

+=

+=

Reemplazando (2) en (1)

4b2 h2 = (2bc)2 (b2 + c2 a2) 2

4b2

h2

= (2bc + b2

+ c2

a2

) (2bc b2

c2

+ a2

)4b2 h2 = [(b + c)2 a2] [a2 (b c)2]

4b2 h2 = (b + c + a) (b + c a) (a + b c) (a b + c)

4b2 h2 = (2p) (2p 2a) (2p 2c) (2p 2b)

Luego: ))()((2

c pb pa p pb

h =

Teorema de Euler



13/21

ADMISIN 2010-I

En todo cuadriltero se cumple que la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a lasuma de los cuadrados de las diagonales ms el cudruplo del cuadrado del segmento queune los puntos medios de las diagonales.

D

A

B

C

d

a

b

c

x

P

Q

Demostrar: 2222222 4xACBDdc ba ++=+++

Aplicando el teorema de la mediana en:

)1(....2AC

2BP ba :ABC

2222

+=+

)2(....2

AC2DPdc :ADC

2222 +=+

)3(....2

BD2xDPBP :BPD

2222 +=+

Sumando las ecuaciones (1) y (2)

2222222 AC)DP2(BPdc ba ++=+++

22

22222 AC2

BD2x2dc ba +

+=+++

Luego: 2222222 4xACBDdc ba ++=+++

Ejercicios para clase:



14/21

ADMISIN 2010-I

Teorema de BoothEn todo tringulo se cumple que la suma de los cuadrados de las tres medianas es igual a trescuartos de la suma de los cuadrados de los tres lados.

)c b(a43

CR BQAP 222222 ++=++

TeoremaEn todo rectngulo se cumple que la suma de los cuadrados de las distancias de un puntocualquiera, hacia dos vrtices opuestos, son iguales.Si P es un punto cualquiera que puede encontrarse en el interior, exterior o en el mismorectngulo, entonces:

bQ CA

R P

B

ac

DA

CB

ad

P

b c

2222

d bca +=+



15/21

ADMISIN 2010-I

RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

eorema de las Cuerdas de una circunferencia pasa una cuerda, entonces el producto de

:

TSi por un punto del interiorlas longitudes de los dos segmentos determinados es una constante.

Si P es un punto del interior de la circunferencia se cumplir:

APD CPB PDPCPBPA =

Teorema de las Secantes na circunferencia pasa una secante, entonces el producto entre

i P es un punto del exterior de la circunferencia se cumplir:

PAC PBD

Si por un punto exterior de ulas longitudes del segmento secante y su parte externa a la circunferencia es constante.

S

PDPCPBPA =

P

B

D

A

C

A

B

DP

C



16/21

ADMISIN 2010-I

Teorema de la Tangenterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante,

i P es un punto del exterior de la circunferencia se cumplir

Si desde un punto del exteentonces el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto entre las longitudesdel segmento secante y su parte externa a la circunferencia.

S

APB APC PBxPC PA =2

RAYOS ISOGONALES

os rayos son isgonales con respecto a los lados de un ngulo con origen en el vrtice del

que el producto de dos lados es igual al producto de sus

Dngulo, cuando estando ambos en el interior o en el exterior, forman ngulos congruentes conlos lados del ngulo.

Teorema de las Isogonales En todo tringulo se cumpleisogonales, donde una de ellas est limitada por el tercer lado y la otra por la circunferenciacircunscrita al tringulo.

B

A

PC

O

A

M N

B



17/21

ADMISIN 2010-I

AMB BCN: BN BM BC BA =

OROLARIO: lo se cumple que el producto de dos lados es igual al producto entre la altura

ales; luego:

ANB MCB:

CEn todo tringurelativa al tercer lado y el dimetro de la circunferencia circunscrita.Se verifica que la altura BN y el dimetro BM son conjugadas isogon

Rhca 2=

A

B

MC

N

A

C

B

M

N

B

ch

a

R O

A

NC

M



18/21

ADMISIN 2010-I

Teorema de Ptolomeo: crito a una circunferencia, el producto de las diagonales de sus

Demostrar:

En todo cuadriltero insdiagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

B

A

D

C b

a

c

d

bd ac ACxBD +=

A

B

D

C

a

c

ac

a

aa

a

aa

aa a

a

aa

Sea: AC = y , BD = x

razamos BE, tal que:

mABE = mDBC =

i: AE = t EC = y t

ABE BCD:

EBC ABD:

Luego:

T

S

(1)......xtac

x

a

c

t ==

t)-x(yxt bdac :(2)(1)

(2)....t)x(y bd dx

+=++

== ty b

bd ac ACxBD +=



19/21

ADMISIN 2010-I

Teorema de Viette: inscrito en una circunferencia, la razn de sus diagonales es igual a la

Demostrar:

En todo cuadrilterorazn de las sumas de los productos de los lados que concurren en los extremos de cadadiagonal.

a

a

a

aa

a

aa

a

a

a

a

cd abbcad

BD AC

++

=

(1) Trazar la cuerda CD AE La medida de los arcos

y

Si:nces las cue as:

=++ ADmCDm BC m ABm

=++ EC m BC m ABm EAm

= EC m ADm

Ento rd d EC AD ==

En el cuadriltero ABCEeo:Por el teorema de Ptolom

))(( BE AC bcad =+

a

a

aa

a

a

a



20/21

ADMISIN 2010-I

(2) Trazar la cuerda AB DF La medida de los

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

arcos

y

nces las cue as:

=++ ADmCDm BC m ABm

=++ BF m DF mCDm BC m

Si:

= BF m ADm Ento rd d BF AD ==

En el cuadriltero BCDFeo:

Luego: .(1)

Dividiendo (1) con (2)

Por el teorema de Ptolom))(( CF BDcd ab =+

))(( BE AC bcad =+

))(( CF BDcd ab =+ ..(2)

))(())((

CF BD BE AC

cd abbcad

=++

= CF m BE mSi: , entonces BE=CF

Luego:cd abbc+ad

BD AC

+=



21/21

ADMISIN 2010-I

BIBLIOGRAFA

dwin E. Moise

etryichel Helfgott

a

illiam Bentontnica The thiteen books of Euclids elementns

eunin de Profesores

lavio Vega Villanueva

oward Eves

E

Elementary Geom MGeometra Plan WEnciclopeda Bri RCours de Geometrie

FGeometra 4 secundara HGeometra

semejanza de triangulos cepreuni

Documents