SEMEJANZA

4º ESO

SEMEJANZA Matemáticas

4º E.S.O Figuras semejantes

• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.

• Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

• Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

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4º E.S.O.Figuras semejantes: Planos

Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos

determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.

ML

M'L'es la razón de semejanza

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4º E.S.O.Teorema de Tales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande.

Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes

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4º E.S.O.Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

El cocientea b c

ka ' b ' c '

se llama razón de semejanza.

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4º E.S.O.Primer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A B

C

A' B'

C'

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por

tener un lado igual y los ángulos iguales.• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A = A‘ y B = B‘ C = C'

A' B'

C'

B''

C''

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4º E.S.O.Segundo criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por

tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

a ' b ' c '

a b c

A' B'

C'

B''

C''

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4º E.S.O.Tercer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por

tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

y A A' b' c'

b c

A' B'

C'

B''

C''

c

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4º E.S.O.Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

• Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

32 + 42 = 52

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4º E.S.O.Teorema del cateto

Cateto c Cateto b

c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na

b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma

En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

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4º E.S.O.Teorema de la altura

Los triángulos I y II son semejantes ya que:

Se deduce que: m h b

h n c h2 = mn

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Son ambos rectángulos

B B*

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4º E.S.O.Áreas de figuras semejantes

Cuadrado A Cuadrado B Cuadrado C

IA = 1pA= 4SA= 1

IB = 2pB = 8SB= 4

IC = 3pC = 12SC= 9

Comparamoslos cuadrados

Razón desemejanza

Razón deperímetros

Razón deáreas

B y A B

A

I 22 k

I 1 B

A

P 82 k

P 4

2B

A

S 44 k

S 1

C y A c

A

I 33 t

I 1 c

A

P 123 t

P 4

2c

A

S 99 t

S 1

C y B C

B

I 3s

I 2 C

B

P 12 3s

P 8 2

22C

B

S 9 3s

S 4 2

Esta presentación es una modificación de la publicada en la página:http://www.alcaste.com/departamentos/matematicas/presentaciones/semejanza.pps