INSTITUTO DE INVESTIGACIONES FILOSÓTICAS

CoI ec ci ón : F¡r,oeorÍl oo¡trr¡rrponÁN¡lürector: Dn. Lnón Ouvú

Se cre tar ia : Mrnr. Con'¡xr Ytua¡¡

BAS C. VAN F'RAASSEN

SEMANTICA FORMALY LÓGICATladucción al español de

J.A. Robles

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOIVIA DE MÉXICO

urÉxrco rgsz

Los estudios lógicos comprenden, hoy en día, tanto a la lógica propia-mente dicha como a la metalógica. A estas materias de estudio las dis-

tinguimos por sus propósitos; el propósito de la lógica propiamente dichaes desarrollar métodos para la evaluación lógica de los argumentosr y el

propósito de Ia metalógica es desarrollar métodos para la evaluación de

los métodos lógicos. Para cumplir con los propósitos de la lógica, ha si-

do fructífero proceder de manera sistemática, esto es, construir sistemas

axiomáticos formales de diversos tipos. Estos sistemas lógicos propor-cionan el objeto de estudio inmediato de la investigación metalógica.

A su vez, la metalógica puede dividirse aproximadamente en dos par-

tes, la teoría de Ia demostración y la semántica formal.z En la teorÍa de

la demostración, se tratan los sistemas lógicos como sistemas matemáti-cos abstraetos y las cuestiones consideradas se relacionan directamentecon el conjunto de axiomas y reglas específicos que se usan para formu-lar el sistema.f En la semántica formal, los sistemas ló$cos se estudiandesde el punto de vista de sus posibles interoretaciones, con referenciaespecial a su interpretación planeada,'§i la hay. Osto ha conducido a un¡nálisis profundo de la estructura del lenguaje, el que ha demostrado ser

lmportante para muchas discusiones filosóficas. Aun cuando no es posi-

ble llevar a cabo el análisis semántico de un sistema légico sin prestar laItención debitla a algunos resultados de teoría de Ia demostración, es

I Para una exposición de esta tesis acsrea de la lógica, véase P. F. Strawson. Antntrcductton to Logical ?heory (Londres: Methuen, 1952) [hav traduceión al es'prñol l.

2 La dlvtsión no es exacta; muchas cuestíones se han tratado desde ambos pun-tot dc vlsta y algunos métodos y resultados de teo¡ía de la demostració[ son indis'pannbler 6n semántlca,

3 El témino 'tteoría de la demostraeión" 1o introdujo Hilbertl para exámeneséo trebatos [eolentes, véase G. Kreisel, "Mathematical Logic", es Lectures onMadcrn Mothematlca, Vol. III. edltado por T.L. Saaty (Nueva Yorkr Wilev, 19§6)9p, tó-19ü.,v '¡A §u¡r¡ey of Proof Theory", ,Journal of Symbolic iogic, 83 (Sept.l06t), pp.82r-888.

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importante subrayar su independencia relativa. Esto en ningún lugar se

hace más claro que con rgspecto al problema de compacidad, un proble-ma central que se estudia en este libro, pues el procedimiento usual en

los textos de lógica es usar resultados de teoría de la demostración acer-

ca de un sistema para establecer cierto resultado semántico (la completudfuerte del sistema) y luego deducir la compacidad como corolario. Perola formulación del teorema de compacidad no comprende referencia al-guna al sistema lógico; sólo atañe al lenguaje que se discute. (Sucede

que el sistema en cuestión pertenece a ese lenguaje, pero, como enten-

demos estos términos, no hay ninguna conexión esencial entre un len-guaje dado y cualquier sistema axiomático.) En tales casos, patece im-portante inüentar dar una demostración puramente semántica sin apelar

a la teoría de la demostración.La pregunta, ¿qué lógica es la lógica correcta?, ha hecho surgir cierta

cantidad de alboroüo filosófico.a Esta pregunta no habría tenido senti-do antes de que se hubiesen ideado las lógicas alternativas, pero se hizoimportante con la llegada de las lógicas intuicionista, multivaluadas ycuántica. La pregunta tiene, claramente, un presupuesto -.que hay unaúnica lógica correcta-, mismo que necesita e§crutarse filosóficamente.El punto de vista semántico puede ayudarnos aquí aesclarecerel asunto.

En semántica formal manejamos una clase de estructuras llamadas

lenguajes (formales); se denomiuan lenguajes porque se cree que propor-cionan reconstrucciones racionales de (partes de) lbs lenguaJes naturalesy, efectivamente, reconstrucciones adecuadas con ¡erpecüo a ciertospropósitos. Se cónsidera que un sistema lógico es correcto para un leñ-guaje si proporciona un catálogo de inferencias válldas en tal lenguaje.Así que la pregunta "¿Cuál es la lógica correcta?" qulzár puede refor-mularse de la siguiente manera: suponiendo que el lenguqlo natural se

encuentra adecuadamente representado por cierto len¡Uale formal .L,

¿qué lógica es la correcta para tr, desde el punto de vlrta üomántico?Una de las tareas gue ahora tenemos es e¡clarecer noclono¡ tales co-

mo "inferencia válida en un lenguaje" y "coffocto pua un lenguaJe".

Éstas son preocupaciones básicas de la semántlca formrl. Pero sl la pre-

gunta arriba formulada tiene una respuesta coroetar p¡recorfa gue en

4 Véase. por ejemplo. P. Bank¡ (sprt.ntrmcnta un ploudónlrno), "On thePhüosophtcat l¡rterpretetlon of l,oflct An Ar{rtotallrn Dlrlolt¡crr, 8n Loglco"Pltlloeot¡tttcal §tudlce, odltado por A, Mbnno (Dordrgoht, llollnd¡¡ H,§ldel, 1962),pp. 1.14i E. Beth, '¡B¡nkr ¡b omnl n¡cvo ündlottut,r Cottatlbullottt tu l¡ttllc a¡tdMethodotogy ln Honot of

'1. M, Bochsnahl, adltrdo Dot A, Symlanlaoka (Arn¡tet

drm! Notth Hollrnd. 196ó)' pp.98.106i N. R.mhct. Mdñy.yolréd Lo¡1fu: (NuovaYo¡k: MoGr¡w-Hlü, 1969). or¡. 8.

PROPOSITO Y ESTRUCTURA DE LA TEORIA LOGICA

semántica formal debemos considera¡ sólo lenguajos.decierto tipo: aque-

llos que representan adeeuadamente a los lenguajes naturales.Pero el supuesto de que el lenguaje natural está representado adecua-

damente, como una totalidad y pam los propósitos pertinentes, por unúnico lenguaje formal conocido, no parece ser ya un supuesto plausible.

Este supuesto lo formularon claramente los filósofos del lenguaje ideal,desde Bertrand Russell, vía el primer Wittgenstein, hasta los positivistas

lógicos. Se creyó que el lenguaje natural tiene cierto esqueleto descubri-

ble que actualmente oscurecen sólo las vaguedades e id,iotismos que

sur$eron por boca del vulgo. En efecto, aparentemente se creyó que este

lenguaje ideal oculto tenía una adecuada reeonstrucción en PrincipiaMathematíca, la que sólo necesitaha pequeñas adieiones,,para.tomar en

consideración temas no matemáticos. El poeta T.S. Eliot nos informadel entusiasmo con que-los jóvenes filósofos recibieron esta idea:

Aquellos estudiantes de filosofía que no habían llegado a la filosofíapor las matemáticas, hicieron lo que pudieron (al menos en la univer-

sidad en la que yo estudié) para intentar convertirse en imitacionesde matemáticos; al menos, en la medida de familiarizarse con los

arreos de la lógica simbólica. (Recuerdo a un contemporáneo entu-

siasta que ideó una ética simbólica, para la que tuvo que inventar va-

rios símbolos que no se encontraban en Prinóipia Mathematica.)s

El entusiasmo aún puede encontrarse, aunque el paradigma del lenguaje

ldeal haya sufrido algo en las décadas intermedias.A la tesis del lenguaje ideal le podemos oponer la tesis del último

Wittgenstein de gue el lenguaje natlral -nos proporciona los recursos

para jugar una diversidad de juegos de lenguaje de estruetura div.ergcaLe.

El lenguaje ordinario es, entonces, la colección de esos juegos que real-

menüe se juegair y se convierte en un propósito razonable proporcionar

reconstrucciones racionales para algunos de esos juegos. Así, diferentes

lenguajes formales pueden representat diferentes juegos de lenguaje y

dlferentes sistemas lógicos pueden especificar lai reglas válidas de infe-rsncia dentro de diferentes juegos de lenguaje.

El uso del término "juego" no debe considerarse que implica que las

ro¡las correctas de inferencia son arbitrarias. Desde el punto de vista se-

mántico, la lógica correcta es siempre algo derivado; se la encuentra al

5 T. g. EUot. Introducción a Leisure: The Basis of Cultureae .1. pieper; tlua.por A. Dn¡ (Nueva York: New American Librarv, 1963), p. 12.

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BAS C. VAN FRAASSEN

examinar relaeiones semánticas (definidas en térrninos de verdad, refe-rencia y demrás) entre enunciados. Así pues, si se entiende lo que losintuicionistas quieren decir con sus enunciados se verá, entonces, que lalógica intuicionista es la lógica corecta para su lenguaje.

Puesto que ahora hemos negado que hay una única lógica.correeta,debemos enfrenüarnos al cargo de un relativismo,que se destruye a.sími¡mo Pues, ¿gu-á s"istema lógico gobernará la evaluación de*lms$rgpropio razonamiento en la investigación semántica? Nuestra respuesta aesto es bastante directa: en metalógica usamos una parte del lenguajenatural que se conoce comúnmenüe como ,,castellano matemátieo,,, enla que describimos y discutimos sólo objetos ftatemáticos (esto es, deteoría de conjuntos). Cuando este lenguaje se entiende, se puede ver§ue¡.la lógica clásica (la teoría de funciones de verdad, cuantificadores eidentidad, tal como se enseña hoy en día en cursos de Iógica elemental)es la lógica correcta para ese-Ienguaje. Entender este lenguaje puede re-querir que entendamos nuestras creencias acerca de cómo son los conju{¡-tos y de qué conjuntos existen; y algunas de estas creencias son bastanteaudaces.ó Puede resultar que algunas de estas creencias sean insostenibles;esto es, pueden tener implicaciones que sean inconsistentes conforme anuestros propios patrones légicos. Pero, como una posibilidad abstracta,siernpre existe este peligro -ng podemos demostrar, sin circúlaridad, laconsistencia absoluta de nuestra propia lógica-, aunque no es necesarioaconsejar a alguien que viva peligrosamente; nosotros lo hacemos.

Entonces, para resumir, aceptamos la lógica clásica como correctadentro de cierto dominio (quizás bastante limitado); y el lenguaje quese u§& en este librci está dentro.de ese dominio. Pero usamos este Ienguajepara estüdiar y describir tanto nuest¡o propio lenguqie, como otroslen-§üájEs y otros sistemas lógicos; pues.nuestfo propósito es proporcionarun ryg.gqO-,de referencia para Ia evaluación de,sistemas lógicos en gene_r¿I,

clásicos y no clásicos.

6 Delibe¡adamente estárnos habrando de objetos matemáticos en el renguajedel platonismo ingenuoi se le pirle aI lector que no infiera que ésta es nuestra posi-ción en filc¡sofía clt¡ las rnalemáticas. Después de todo, cuqreuit,r filosofla de rasmatcmáticas debe darla ever¡tualmente sentido al lenguaje común de la humanidadmatemútica,

CAPÍTULO I

PRELIMINARESMATEMATICOS