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Competencias Mo0vacin. Saberes previos.

Contenido de sesin

Prueba de hiptesis para el cociente de dos varianzas poblacionales. Pruebas de hiptesis para la diferencia de medias poblacionales con varianzas conocidas.

Ejercicios resueltos.

Cierre

Retroalimentacin. Autoevaluacin

Competencias Al termino de la sesin, el e s t u d i a n t e e s t a r e n capacidad de:

Realiza pruebas de hiptesis para el cociente de dos varianzas poblacionales en problemas contextualizados.

Realiza pruebas de hiptesis para la diferencia de medias poblacionales con varianzas conocidas en problemas.

Pruebas de hiptesis para la igualdad de varianzas poblacionales

Supuestos para realizar la prueba Poblaciones normales Muestras independientes

PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA

DERECHA

1. Hiptesis

2. Nivel de signicacin

3 . Estad s0co de Prueba

4. Valor cr0co

5. Decisin Rechazar H0

si:

22

211

22

210

:

:

HH

12,1122

21

= nnc FSSF

=1,,

,,1

:

nmmn F

F

Tambin

;1,1

1;1,1

21

21

>

nncal FF

Ejemplo 1

Oswaldo Clark acaba de adquirir dos fbricas de papel y est preocupado porque cree que 0enen una var iabi l idad signica0vamente diferente en sus producciones, an cuando las dos plantas producen aproximadamente la misma can0dad promedio de papel cada da. La siguiente informacin se obtuvo para ver si las preocupaciones del seor Clark son jus0cadas. Al nivel de signicacin del 5% las dos plantas revelan la misma variabilidad en su produccin?

Planta Tamao muestra VarianzaA 31 984 toneladas cuadradoB 26 1136 toneladas cuadrado

LO QUE ESCUCHO LO OLVIDO. LO QUE VEO LO RECUERDO. PERO LO QUE HAGO, LO ENTIENDO.

1.- Hiptesis nula: Hiptesis alterna

Preocupacin Sr. Clark no jus0cada Preocupacin Sr. Clark jus0cada

2.- = 0.05

3.- Estads0co de prueba

La variable de estudio produccin (X), y se distribuye como una normal.

4.- Valor cr0co

5.- Decisin

Decisin: A un nivel de signicacin del 5%, no existe suciente evidencia estads0ca para rechazar que la variabilidad de la produccin en ambas plantas son iguales; por lo tanto, la preocupacin del Sr. Clark no est jus0cada.

22

211

22

210 :: = HH

87.022

21 =SSFC

472.012.211

18.2

025.0;30;25975.0;25;30

025.0;25;30

===

=

FF

F0.87

.H rechaza se no ,18.2,472.087.0c Como

0

>

Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos 0endas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la 0enda B cree que sus ventas son ms consistentes. A con0nuacin se presenta el nmero de llantas PS214 que se vendieron en las l0mas 10 semanas en la 0enda A y durante las l0mas 11 semanas en la 0enda B.

Ejemplo 2

Tienda A 32 35 34 35 32 30 33 31 31 33Tienda B 39 38 40 42 45 44 35 32 36 38 37

Al nivel de signicancia de =0.05, son homogneas las varianzas de las ventas semanales.

Suponga que las ventas en cada 0enda se distribuye como una normal y que las muestras son independientes.

Pruebas de hiptesis para la diferencia de medias poblacionales

Supuestos para realizar la prueba Poblaciones normales Muestras independientes

Caso A: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas ( )conocidassony 2221

PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA

1. Planteamiento de hiptesis

0211

0210

:

:H

HH

2. Nivel de signicacin:

3. Estads0co de Prueba

)1,0()(

2

22

1

21

021 N

nn

xxZcal +

=

4. Valor crIco

5. Decisin

Rechazar H0 si: Zcal < Za

Rechazar H0 si: Zcal < Za/2 o Zcal > Z1-a/2

Rechazar H0 si: Zcal > Z1-a

Un estudio estads0co sobre el uso de cajeros autom0cos indica que el monto diario (en dlares) de los movimientos tanto para varones y mujeres 0enen distribucin normal con la misma media y con varianza respec0vas de 64 y 49 dlares2. Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creble. Para inves0gar ms al respecto, se seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 varones y 25 mujeres dando las medias respec0vas de 200 y 205 dlares. Al nivel de signicancia del 1%, se puede concluir que las medias en ambos grupos son diferentes?

Ejemplo 3

0:0:

211

210

=

HH

2. = 0.01

51.2

2519

2064

0)205200()(

2

22

1

21

021

=

+

=+

=

cal

cal

Znn

xxZ

1. Planteamiento de hiptesis

3. Estads0co de prueba

4. Valores cr0cos

Z0 = Z1-a/2 = 2.58 - Z0 = Za/2 = -2.58

5. Decisin

Como Zcal = -2.51 se encuentra en la regin de rechazo, entonces NO se rechaza H0, con un nivel de signicancia del 1%. Es decir, el movimiento diario en los cajeros autom0cos tanto para varones como mujeres es el mismo.

Solucin

PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA DERECHA

1. Planteamiento de hiptesis

0211

0210

:

:H

HH

2. Nivel de signicacin:

3. Estads0co de Prueba

4. Valor crIco

5. Decisin

Rechazar H0 si:

Rechazar H0 si:

Rechazar H0 si:

Caso B: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales

),( 2221 igualesamenteestadsticsonperoconocensenoy

1 2 0

2 21 1 2 2

1 2 1 2

( )

( 1) ( 1) 1 12

cx xt

n S n Sn n n n

= + + +

;221 +< nncal tt2/1;221

2/;221

+

+

>

1;221 nncal tt

Ejemplo 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 1.77 1.69 1.9 1.87 1.4 1.4 2 2.9 2.5 1.9 B 1 1.3 1.47 1.6 0.96 1.14 1.65 1.76 1.69 1.65

El dueo de una panadera tradicional, est preocupado porque sospecha que uno de sus hornos est produciendo panes con mayor cantidad de ceniza. Con la finalidad de comparar la calidad de pan francs producido por dos hornos A y B, se han medido mediante anlisis en laboratorio el porcentaje de ceniza en 10 unidades de pan provenientes de cada uno de los hornos, si se demuestra que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en ms de 0.2%, entonces tendr que realizar un proceso de mantenimiento al horno afectado, detenindose su produccin. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Al nivel de significancia del 5%, Hay suficiente evidencia para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en ms de 0.2%?

Solucin

Prueba de igualdad de varianzas utilizando Minitab Test Method DF1 DF2 Sta0s0c P-Value F Test (normal) 9 9 2.37 0.214 Ho: La can0dad de ceniza producida por ambos hornos son homogneos. H1: La can0dad de ceniza producida por ambos hornos NO son homogneos. Como p-valor = 0.214 > = 0.05, entonces no se rechaza Ho. Es decir, la can0dad de ceniza en ambos hornos son homogneas.

Paso 1: H0: 1-2 0.2 H1: 1-2 >0.2

( )79.1

n1

n1

2nnS1)(nS1)(n

xxT

2121

222

211

021 =

+

+

+

=Cal

Paso 5: Como el Tcal = 1.79 > T0 = 1.734, se rechaza H0. Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadstica para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en ms de 0.2%. Por lo tanto, se tendr que realizar un proceso de mantenimiento al horno A.

Paso 2: = 0.05

Paso 3:

Pasos UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA

DERECHA

1. Planteamiento de hiptesis

0211

0210

:

:H

HH

2. Nivel de signicacin:

3. EstadsIco de Prueba

4. Valor crIco

5. Decisin

Rechazar H0 si: Tcal < tg,

Rechazar H0 si: Tcal < tg, /2 o Tcal > tg, 1-/2

Rechazar H0 si:

2

22

1

21

021 )(

nS

nSxxTcal+

= 2

1)/(

1)/(

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

++

+

+

=

nnS

nnS

nS

nS

g

Tcal > tg, 1-

Caso C: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes ),( 22

21 diferentesamenteestadsticsonperoconocensenoy

Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos 0endas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la 0enda B cree que sus ventas son ms consistentes. A con0nuacin se presenta el nmero de llantas PS214 que se vendieron en las l0mas 10 semanas en la 0enda A y durante las l0mas 11 semanas en la 0enda B.

Problema 5

Tienda A 32 35 34 35 32 30 33 31 31 33Tienda B 39 38 40 42 45 44 35 32 36 38 37

Est usted de acuerdo con el gerente de la 0enda B?

Suponga que las ventas en cada 0enda se distribuye como una normal. Al nivel de signicancia de =0.05

Prueba de Hiptesis para la igualdad de proporciones: 1 - 2 = 0

PASOS UNILATERAL A LA IZQUIERDA BILATERAL UNILATERAL A LA

DERECHA

1. Hiptesis

2. Nivel de significacin

3. Estadstico de Prueba

4. Valor crIco

5. Decisin

0211

0210

:H:H

=

0211

0210

:H:H

1 2 0

1 1 2 2

1 2

( )

(1 ) (1 )C

p p pZp p p pn n

= +

2/12/ >< ZZoZZ calcal > 1ZZcalZZcal

El jefe de calidad arma que la proporcin de unidades defectuosas del proveedor A es mayor que la del proveedor B en ms de 3%. Si dos muestras aleatorias independientes de 200 unidades del producto de cada proveedor han dado 30 y 17 unidades defectuosas respec0vamente para A y B , Esta usted de acuerdo con la armacin del jefe de calidad? Use un nivel de signicancia del 5%.

Ejemplo 6

1.- Hiptesis nula: Hiptesis alterna

El jefe de calidad 0ene la razn

2.- = 0.05

3.- Estads0co de prueba

4.- Valor cr0co 5.- Decisin

03.0:H03.0:H 211210 > El jefe de calidad no 0ene la razn

1.09

200

0.085)0.085(1

200

0.15)0.15(1

0.030.085)(0.15

Bn

)BP(1BP

An

)AP(1AP

0)BPA(PcalZ =

+

=

+

=

64.11 =Z Como zcal = 1.09 < z0 = 1.64, no se rechaza H0. Con un nivel de significancia del 5%, no existe evidencia estadstica que apoye la afirmacin del jefe de calidad.