semana 15 de matematica unidad iii trigonometria versión pdf
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MATEMTICA
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR Curso de Nivelacin 2014
Universidad de El Salvador, Derechos Reservados
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Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE NIVELACIN PARA NUEVO INGRESO 2014
MATEMTICA
CURSO DE MATEMTICA EN LNEA
Contenido Unidad III: Trigonometra ............................................................................................................... 1
Razones trigonomtricas de un ngulo agudo ............................................................................ 1
Razones trigonomtricas del ngulo de 45 ................................................................................ 4
Razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60 ................................................................. 6
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1 Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE NIVELACIN PARA NUEVO INGRESO 2014
MATEMTICA
a
B
A Cb
c
Unidad III: Trigonometra
Se definirn las razones trigonomtricas de un ngulo agudo y se deducirn algunas identidades
trigonomtricas muy importantes en los estudios de ingeniera y arquitectura, poe acenr ultimo se
resolvern algunos tringulos.
Razones trigonomtricas de un ngulo agudo
En el tringulo rectngulo ABC
Se tiene:
1) a es el lado (cateto) opuesto al ngulo A o es el lado (cateto) adyacente al ngulo B.
2) b es el lado (cateto) adyacente al ngulo A o es el lado (cateto) opuesto al ngulo B.
3) c es el lado (hipotenusa) opuesto al lado ngulo C
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a
B
A C b
c
Adems se define:
a) Seno del ngulo A, denotado Sen(A), como la razn entre el lado opuesto al ngulo
A y la hipotenusa, o sea, Sen(A)=a/c
b) Coseno del ngulo A, denotado Cos(A), como la razn entre el lado adyacente al
ngulo A y la hipotenusa, es decir, Cos(A)=b/c
c) Tangente del ngulo A, denotado Tan(A), como la razn entre el lado opuesto al
ngulo A y el lado adyacente al ngulo A, es decir, Tan(A)=a/b
d) Cotangente del ngulo A, denotado Cot(A) como la razn entre el lado adyacente
al ngulo A y el lado opuesto al ngulo A, es decir, Cot(A)=b/a
e) Secante del ngulo A, denotado Sec(A), como la razn entre la hipotenusa y el
lado adyacente al ngulo A, es decir, Sec(A)=c/b
f) Cosecante del ngulo A, denotado Csc(A), como la razn entre la hipotenusa y el
lado opuesto al ngulo A, es decir, Csc(A)=c/a
Para el tringulo rectngulo ABC
Se tiene:
( ) , ( )
( ) , ( )
( ) , ( )
a cSen A Csc Ac a
b cCos A Sec Ac ba bTan A Cot Ab a
= =
= =
= =
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1
b
3
Tambin:
( ) ; ( )
( ) ; ( )
( ) ; ( )
b cSen B Csc Bc ba cCos B Sec Bc a
b aTan B Cot Ba b
= =
= =
= =
1Ejemplo. Dado ( ) , calcule las otras razones trigonometricas del ngulo 3
Sen =
Solucin:
( )
1( )3
opuesto aSenhipotenusa
Sen
=
=
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a
45
a
c
4pi
2 2 2 2 2 2
2 2
Aplicando el teorema de pitgoras se tiene:(1) (3) (3) (1)9 1 8 84(2) 4 2 2 2
1 3( ) , ( )3 12 2 3( ) , ( )
3 2 21 2 2( ) , ( )
12 2
b bb b bb b
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
+ = =
= = =
= = =
= =
= =
= =
Razones trigonomtricas del ngulo de 45
Se tiene un tringulo rectngulo issceles.
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2 2 2 2 2 2
2
Aplicando el teorema de pitgoras:
2 2
2 2
a a c a c c a
c a c a
+ = = =
= =
1(45 ) (45 )2 2
1(45 ) (45 )2 2
(45 ) (45 ) 1
2(45 ) (45 ) 2
2(45 ) (45 ) 2
(45 ) (45 ) 1
aSen Sena
aCos Cosa
aTan Tana
aCsc Csca
aSec Seca
aCot Cota
= =
= =
= =
= =
= =
=
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30
60
b
b a/2
a/2
a
Razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60
Se tiene el siguiente tringulo equiltero de lado a
b: altura o bisectriz o mediatriz
Aplicando el teorema de Pitgoras.
22 2 2 2 2
22 2 2 2 2
2
( )2 4
3 34 4 4
3 34 2
a ab a b a
ab a b a b a
a ab b
+ = + =
= = =
= =
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302 1(30 ) (30 )
23 32(30 ) (30 )
2
12(30 ) (30 )332
(30 ) (30 ) 22
2(30 ) (30 )332
32(30 ) (30 ) 32
aSen Sena
a
Cos Cosa
a
Tan Tana
aCsc Csca
aSec Seca
a
Cot Cota
=
= =
= =
= =
= =
= =
= =
60
3 32(60 ) (60 )2
12(60 ) (60 )2
32(60 ) (60 ) 32
2(60 ) (60 )332
(60 ) (60 ) 22
12(60 ) (60 )332
a
Sen Sena
a
Cos Cosa
a
Tan Tana
aCsc Csca
aSec Seca
a
Cot Cota
=
= =
= =
= =
= =
= =
= =