“Selfish Traffic Allocation for Server Farms” (Czumaj et al.)

במסגרת הסמינר"נושאים חישוביים בתורת

"המשחקים

מציג - דודי דויטשר מרץ 2003

(אחד המחברים ,B. Vöcking כולל רעיונות ממצגת של)

מרץ 20032

המטרה

הרחבת ניתוחCoordination Ratioלפונקציות עלות כלליות יותר)לזרמי בקשות מורכבים יותר )אורכים אקראיים :מדד נוסףBicriteria Ratio -במקרה ש ,CR אינו

חסום

כללי

מרץ 20033

המודל, לא פורמלית

שרתים לא זהים; רוחב פס; פונקציות עלות מונוטוניותfb(λ)

זרמי מידע)מס' סופי או אינסופי של זרמים אגואיסטים )זרם=שחקןבכל אחד - אינסוף בקשות, הגעה פואסונית בקשות הומוגניות בכל זרם, או התפלגות אורכי בקשה

כללית, או אורך בקשות אינפיניטסימליהקצאה שלמה או חלקיתמקרה פרטי של ניתוב ברשתות

כללי

מרץ 20034

במילים אחרות

מודל א': מספר סופי של זרמים, השמה שלמהמודל ב': מספר סופי של זרמים, השמה חלקית ,מודל ג': אינסוף זרמים, בקשות אינפיניטסימליות

השמה שלמה

כללי

מרץ 20035

במילים אחרות

כללי

אינסוף שחקניםבקשות אינפיניטסימליות

Selfish Flowמספר סופי של שחקנים

השמה חלקית

השמה שלמה

מספר סופי של שחקנים

מרץ 20036

המדדים

Coordination RatioBicriteria Ratio

Min Max CostAverage Cost

כללי

מרץ 20037

שורות תחתונות

עבור הרבה משפחות שימושיות של פונקציות אינו חסוםCRעלות היחס

:אפילואם כל זרם הוא חלק קטנטן מהעומס הכולל )סך כל העומס קטן מכוח העיבוד של שרת )ממוצע

יחידאם לוקחים בחשבון רק אסטרטגיות טהורות

כללי

מרץ 20038

שורות תחתונות

,בנוסףm הוא לפחות BC אינו חסום, אזי CRאם היחס

ושתי התוצאות הלא נעימות נכונות גם במדדAverage-Cost

לעומת זאת, במקרה שבו אין לשרתים תור, כמותהמשימות שהם דוחים "מתנהגת טוב"

כללי

מרץ 20039

המודל של חוות שרתים

nזרמי בקשות, סטוכסטיים פואסונימופע בקשות ,ri)בקשות לשניה(

אורך בקשה – מתפלג כלליתDi )ביט לבקשה(

עבורm)שרתים )מכונות :מדיניות שירות זהה רוחב פס שונהbj)יכולת עיבוד, ביט לשניה(

פרק א' - הגדרות

מרץ 200310

הגדרות א'

הזרם )ביט לשניה(:משקל

השמות מטריצה שבה הוא כמה מזרםi מנותב לשרת j:השמה שלמה: או חלקית:נדרוש כמובן

על שרת:העומס

session length wrt i i ir E D

ijx

0,1ijx 0,1ijx

[ ]1ijj m

x

[ ]j i iji nw x

פרק א' - הגדרות

מרץ 200311

הגדרות ב'

עלות כפונקציה של העומס(עלותפונקציות( B ) תחום רוחבי פס אפשרי )כגון - משפחת פונקציות העלות של השרתים - הפונקציה הליניארית: עלות = עומס\רוחב פס

נניח מונוטוניותפונקציות מונוטוניות לא יורדות משפחה מונוטונית לא עולה: לכל עומס נתון, הגדלת רוחב פס לא

מגדילה את העלות

:עלות ההשמה על השרת:נניח שהפונקציות פשוטות

B bF f b B 0 0R , N

1 1 , ... ,jj b j n njC f x x

jj b jC f w

פרק א' - הגדרות

מרץ 200312

המודל האגואיסטי ותורת המשחקים

כל זרם נשלט ע"י שחקן עצמאי) אסטרטגיות טהורות, מעורבות )סבירות

השמה חלקית≠ אסטרטגיה מעורבת במצב המעורב – עומס ועלות הם משתנים

מקריים :עלות לשחקן/זרם:מטרה – למזער את העלות הסוציאלית:נאש

1ij j ijc E C x

[ ]max jj m

C E C

0ij ij iqp c c

ijp

פרק א' - הגדרות

מרץ 200313

המדדים

יחס תיאום לצירוף ספציפי של שרתים וזרמיםמשפחת פונקציות עלותיחס תיאום ל:

מקסימום על פני כל הצירופים ="CR חסום" - חסום ע"י פונקציה של m

אםCR אינו חסום, נבדוק את BC:( λiפי כמה צריך להגדיל את כמות העבודה )העומס

OPTכך שהנאשים המקוריים אינם יקרים יותר מ החדש

עבור השמות שלמות נסמןCR להשמות חלקיות ,CR*

פרק א' - הגדרות

מרץ 200314

במילים אחרות

אינסוף שחקניםבקשות אינפיניטסימליות

Selfish Flowמספר סופי של שחקנים

השמה חלקית

השמה שלמה

מספר סופי של שחקניםCR

CR*

פרק א' - הגדרות

מרץ 200315

(Selfish Flow)מודל הזרימה

:המודלעולם של בקשות אינפיניטסימליותכל בקשה בפני עצמה – אגואיסטיות, לשרת הפחות עמוס

למה? קירוב למצב שבו כל שחקן שולט בחלק זניחשל כלל העומס )מכוניות בפקק, מנות באינטרנט(

/במודל זה אין משמעות לאבחנה השמה שלמהחלקית

:הגדרת נאש במצב כזה) לעומת(

יחס תיאום מוגדר באופן דומה

0ij j qx C C

פרק א' - הגדרות

0ij ij iqp c c

מרץ 200316

אינסוף שחקניםבקשות אינפיניטסימליות

Selfish Flowמספר סופי של שחקנים

השמה חלקית

השמה שלמה

מספר סופי של שחקנים

במילים אחרות

?זרמים בגודל זניח יחסית לסך העומס

פרק א' - הגדרות

מרץ 200317

מהקל לכבד - השמות חלקיות

CR* = 1מהגדרת נאש, כל השרתים עם עומס חיובי – עלותם זהה בגלל המונוטוניות, הקטנת כלל העלויות אפשרית רק ע"י

מגיע לאותה עלותOPTהקטנת העומס הכולל, ולכן המדדMinMaxלא מעניין" למקרה ההשמה החלקית" אגב, במדדAverage-Costהיחס לא חסום :

פרק ב' – פונקציות עלות מונוטוניות כלליות

fb=Average OPT

1w / λ

1

MinMax OPT; Nash

1עלות

עומס

1

1/21/4

Avg. Cost = ¾

=> CR*=4/3

w / λ

מרץ 200318

משפט מרכזי: השמות שלמות

:משפטCRחסום אם ורק אם

,כלומר – או"א לכל רוחב פס ובכל רמת עומסהכפלת עומס מגדילה עלות בפקטור קבוע לכל

היותר:)בפרט )אפילו עבור שרתים זהים

,עבור פונקציות עלות פולינומיותCRחסום ,עבור פונקציות עלות אקספוננציאליותCRאינו חסום

אםCR ב-פולינום חסום, זה ע"י m

פרק ב' – פונקציות עלות מונוטוניות כלליות

1 0 : (2 ) ( )b bb B f f

מרץ 200319

BCהשמות שלמות -

:אם משפטCR אינו חסום, אזי BC ≥ m

:מתברר כיהמשפטים לגבי השמות שלמות נכונים גם במדד

Average-Cost

פרק ב' – פונקציות עלות מונוטוניות כלליות

מרץ 200320

≠ Selfish Flowהשמה חלקית

אינטואיטיבית – הגדרת זרמים אפסילון-קטנים המשפט המרכזי תקף גם לזרמים כאלו, כלומר

CRחסום או"א הוא חסום כשהזרמים קטנים בפרט, בהינתןCR∞= גם ,CRε∞= מצד שני, בהשמות חלקיות תמידCR*=1

פרק ב' – פונקציות עלות מונוטוניות כלליות

מרץ 200321

מיני טקסונומיה של תורים ועלויות

:מודלים( שרת טוריM/G/1(b)*/ או מקבילי )(M/G/b(1))*/( שרת עם תור אינסופיM/G∞/*/ או עם מדיניות דחייה ,)

(M/G/*/0 או בעצם ,M/M/*/0):פונקציות עלות שונות

זמן המתנה בתור / זמן במערכתפרופורציית הבקשות שנדחו

פרק ג' – פונקציות עלות מתורת התורים

מרץ 200322

מערכות ללא דחייה )תור אינסופי(

:נכליל את שלל המקרים בדרישה

) ולכן עבור(

מתאים לשני סוגי הזמנים/*/∞M/Gולכל המערכות

מסקנה :CR*=1, CR ,אינו חסום BC ≥ mאפילו עבור זרמים קטנים

הוכחה ע"י שרתים זהים, וזרמים שסך משקלם פחותמרוחב הפס של שרת יחיד

lim ( )bbf

b λ

fb

( )bf

פרק ג' – פונקציות עלות מתורת התורים

b

מרץ 200323

מערכות ללא דחייה )תור אינסופי(

ההוכחה עבורBC השתמשה באסטרטגיות מעורבות

אפילו בהגבלה לאסטרטגיות טהורות, המצב לאטוב

למשל עבור זמן המתנה בתור במערכתM/M/1:

חסם )כמעט( הדוקגם הוכחה זו מסתמכת על עומס קטן מאוד

1/3( )BC m

מרץ 200324

שרת טורי, תעבורה הטרוגנית

נכליל לתעבורה הטרוגנית – ההתפלגויותDi שונות

נוסחת חינצ'ין-פולטשק: תוחלת זמן ההמתנהבתור היא

סיכום ליניארי של עומסים( סיכום ליניארי של שונותVariance)

[ ]

1

[ ]

( ,..., ) ( , )i ii n

b n b

i ii n

V xf x x f V

b b x

פרק ג' – פונקציות עלות מתורת התורים

מרץ 200325

שרת טורי, תעבורה הטרוגנית

>= מקרה פרטי: תעבורה הומוגניתλ=V( פונקצית עלות במשתנה יחידλ):מקיימתכבר ניתחנו מקרה זה

היחסים כאן יהיו גרועים לפחות באותה מידה :לכןCR* ≥ 1, CR ,אינו חסום BC ≥ m

)הערה להשמות חלקיות(

lim ( )bbf

פרק ג' – פונקציות עלות מתורת התורים

מרץ 200326

שרת מקבילי, ללא תור

כוח העיבוד מפוצל ביןbערוצים איטיים אין תור: דוחים משימות כאשרbכבר בטיפול אין הבדל בין תעבורה הומוגנית והטרוגנית נוסחת ההפסד של ארלנג: תוחלת פרופורציית

הבקשות שנדחו היא

0

!( )

!

b

b b k

k

bf

k

פרק ג' – פונקציות עלות מתורת התורים

מרץ 200327

שרת מקבילי, ללא תור

גם במקרה זהCR*=1 ,ובכל זאת, עבור השמות שלמותCR = ∞, BC

≥ m ומתחדד עם( בגלל השינוי החדb בסביבות )λ=b

:מצד שני, אם העומסים לא מאוד גדולים

(k)כמעט כרצוננו

אזי לכל זרם, ההפסד הצפוי חסום ע"י

3 logi

bw

k m

[ ] 2ii n

mbw

1 / 42k bm m

פרק ג' – פונקציות עלות מתורת התורים

מרץ 200328

לסיכום

– עבור משפחות שימושיות של פונקציות עלות אינו חסוםCRובפרט זמני המתנה בתור - היחס

אם היחסCR אינו חסום, אזי BC הוא לפחות m ,לעומת זאת, במקרה שבו אין לשרתים תור

פרופורציית המשימות שהם דוחים חסומה "טוב"