UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Suzana Vidi

SEGMENTIRANA REGRESIJA SA

PRIMENOM

- master rad -

Mentor:

prof. dr Zorana Luanin

Novi Sad, 2014.

i

Sadraj

Predgovor...................................................................................................................................... iii

1 Uvod ............................................................................................................................................ 1

2 Regresiona analiza ..................................................................................................................... 3

2.1 Linearna regresija .................................................................................................................. 3

2.2 Segmentirana regresija ........................................................................................................ 10

3 Ocenjivanje parametara segmentirane regresije .................................................................. 14

3.1 Metoda maksimalne verodostojnosti ................................................................................... 14

3.2 Viestruka taka promene ................................................................................................... 19

3.3 Testiranje hipoteze .............................................................................................................. 21

3.3.1 Fierov (Fisher) test ...................................................................................................... 22

3.3.2 Dejvisov (Davies) test .................................................................................................. 24

4 Detektovanje take promene ................................................................................................... 26

4.1 Test kolinika verodostojnosti (Q-test) ............................................................................... 27

4.2 varcov informacioni kriterijum ......................................................................................... 29

4.3 EL (empirical likelihood) metod ......................................................................................... 32

5 Asimptotsko ponaanje ............................................................................................................ 36

5.1 Konzistentnost i red konvergencije ..................................................................................... 39

5.2 Asimptotska raspodela ........................................................................................................ 45

6 Uspenost procenjivanja modela ............................................................................................ 49

6.1 Koeficijent determinacije .................................................................................................... 49

6.2 Otkrivanje uticajnih podataka ............................................................................................. 51

ii

7 Primena segmentirane regresije ............................................................................................. 52

7.1 Pojava Daunovog sindroma kod novoroenadi ................................................................. 53

7.2 Metaboliki procesi ............................................................................................................. 58

Zakljuak ..................................................................................................................................... 62

Dodatak ........................................................................................................................................ 63

Literatura..................................................................................................................................... 66

iii

Predgovor

Tema ovog master rada je iz oblasti ekonometrije. Ekonometrija kao nauka je veoma

znaajna, zbog toga to nalazi iroku primenu u stvarnom ivotu. To je relativno mlada nauka,

nastala 30-ih godina dvadesetog veka. Ekonometrija na specifian nain povezuje ekonomiju,

matematiku, statistiku i stvarne podatke.

Regresiona analiza je jedna od najee korienih alata u ekonometrijskom radu kako bi

se opisale veze meu pojavama. esto u regresionim modelima se pretpostavlja da regresiona

funkcija ima jedan parametarski oblik tokom celog domena nezavisne promenljive. Meutim, u

mnogim problemima je neophodno uzeti u obzir regresione modele koji imaju razliite analitike

forme u razliitim segmentima domena nezavisne promenljive. Vaan specijalan sluaj je

segmentirana regresija u kojoj je svaki segment regresione funkcije razliita funkcija. Jedna

klasa segmentiranog modela sastoji se od funkcija gde je svaki segment u formi linearnog

modela.

Tema ovog rada se odnosi upravo na ovaj regresioni model, model segmetirane

regresije. Model segmentirane regresije sa dva segmenta prvi je prouavao Kvant 1958. godine.

Vremenom sve vei broj naunika prouava ovaj model kako bi se poveala njegova efikasnost i

uinkovitost. Fokus ovog master rada je na primeni ovog modela na podatke dobijene prilikom

medicinskih istraivanja.

***

Ovom prilikom elela bih da se zahvalim svim profesorima i asistentima, sa kojima sam

saraivala tokom osnovnih i master akademskih studija.

Posebno bih se zahvalila svom profesoru i mentoru, dr Zorani Luanin, na svim

sugestijama i strunom usmeravanju pri izradi ovog master rada, kao i na veoma zanimljivim

predavanjima i prenetom znanju tokom studiranja.

Takoe, zahvalila bih se lanovima komisije, dr Andreji Tepavevi i dr Dori Selei.

Veliku zahvalnost dugujem svojoj porodici, posebno majci Svetlani, za podrku i

razumevanje tokom celokupnog kolovanja.

Suzana Vidi

Master rad Segmentirana regresija sa primenom

1

1 Uvod

U zdravstvenim ustanovama se prikupljaju velike koliine podataka, smetenih u

istorijama bolesti, praenih dugi niz godina. Na ovakav nain uskladiteni podaci teko mogu

posluiti za predvianje ishoda bolesti ili ishoda leenja novih pacijenata. Kao kvalitetan i

savremen nain prikupljanja, analize podataka i interpretacije rezultata, nudi se primena

savremenih analitiko-statistikih metoda u svakodnevnom radu. Na osnovu istih mogu se

saznati uzrono-posledine veze, slinosti, razlike i zakonitosti, predikcija ishoda bolesti i

planiranje adekvatnog tretmana, a samim tim i mogunost pruanja kvalitetnijih usluga.

Kada se analizira uestalost pojave raka i stope smrtnosti, zdravstveni i medicinski

istraivai su posebno zainteresovani da znaju da li je bilo promena u trendu tokom vremena, i

ako je dolo do promena kada se to desilo. Ovakva pitanja igraju vanu ulogu u merenju

napretka u borbi protiv raka i uticaja intervencije na ishod bolesti. U statistikim terminima,

promena u trendu se moe definisati kao promena nagiba u regresiji. Segmentirana regresija se

moe smatrati kao veoma znaajan metod analize trendova i detektovanja take promene.

Model segmentirane regresije je model regresije, gde je veza izmeu zavisne i jedne ili

vie nezavisnih promenljivih linearna po delovima, sa takom promene. Drugim reima,

zavisnost moe biti predstavljena sa dve ili vie pravih linija pridruenih odgovarajuim

segmentima. U epidemolokim studijama, na primer, model segmentirane regresije se moe

koristiti kao prag model, gde se pretpostavlja da intervencija proizvodi efekat na zdravstveno

stanje samo nakon prelaska nekog (esto nepoznatog) praga. U medicini, na primer, moe da se

koristi za procenu efekata terapije. Pravilno upravljanje interakcijom lekova moe da sprei

neeljene dogaaje, a uspeh intervencije na osnovu promene u stopama kritinih interakcija

lekova se statistiki procenjuje upotrebom segmentirane regresije.

Na poetku rada ukratko definiemo okvir razmatranja koja slede. U drugom poglavlju su

predstavljeni osnovni pojmovi vezani za linearnu regresiju i formulisan je model segmentirane

regresije. U treem poglavlju, sledi teorija ocena, gde je prikazano ocenjivanje parametara i

testiranje hipoteza. Detaljno je objanjen metod maksimalne verodostojnosti za ocenjivanje

parametara, kao i testovi za postojanje take promene, Fierov, Studentov i Dejvisov test. U

etvrtom poglavlju su navedeni testovi koji detektuju taku promene. To su test kolinika

verodostojnosti, zatim varcov informacioni kriterijum i neparametarski EL (empirical

Master rad Segmentirana regresija sa primenom

2

likelihood) metod. U petom poglavlju, govori se o asimptotskom ponaanju parametara, tanije o

konzistentnosti, konvergenciji i asimptotskoj raspodeli. U estom poglavlju definie se

koeficijent determinacije koji slui za procenu uspenosti ocenjivanja modela. Ovo poglavlje

razmatra i uticaj autlajera. Poslednje poglavlje je posveeno primeni modela segmentirane

regresije. Navedeno je nekoliko primera, a detaljno su predstavljena dva primera sa stvarnim

podacima. Podaci su obraivani upotrebom softverskog programa R. U dodatku su prikazani

podaci korieni za kompjutersko izraunavanje kod primene modela.

Ma