see colectanea de problemasresolvidos_2010 2011

Sistemas Elctricos e Electromecnicos

Colectnea de Problemas Resolvidos

2010

DEEC rea de Especializao em Energia

Gil Marques

Maria Jos Resende

Sistemas Elctricos e Electromecnicos - Problemas 2010

2


3

ndice

Problema N 1 Introduo aos Circuitos Resistivos .............................................................................. 5 Problema N 2 - Circuitos Resistivos ....................................................................................................... 8

Problema N 3 - Circuito RL srie (regime permanente) ....................................................................... 10

Problema N 4 Circuitos em AC - Regime Permanente Circuito RLC srie ................................. 12 Problema N 5 Circuitos em AC - Regime Permanente + Compensao F.P. .................................... 15 Problema N 6 Circuitos Trifsicos ..................................................................................................... 18 Problema N 7 Circuitos Trifsicos com C. Factor Potncia .............................................................. 20 Problema N 8 Circuito Magntico I ................................................................................................... 22 Problema N 9 Circuito Magntico II .................................................................................................. 24 Problema N 10 - Circuito Magntico Clculo de foras .................................................................... 27 Problema N 11 Clculo da Fora electromecnica numa armadura .................................................. 29 Problema N 12 Problema do conversor electromecnico rotativo elementar .................................... 33 Problema N 13 Circuito Magntico ................................................................................................... 36 Problema N 14 Transformador de distribuio monofsico .............................................................. 38 Problema N 15 - Mquinas Elctricas - Transformador ....................................................................... 43

Problema N 16 Determinao das caractersticas de uma mquina de induo a partir do circuito equivalente. ............................................................................................................................................. 45

Problema N 17 Funcionamento da Mquina de induo na zona de pequenos escorregamentos. .... 47 Problema N 18 Mquina de induo controlada com o mtodo u/f. ................................................... 49 Problema N 19 Mtodos de arranque da mquina Assncrona de rotor em gaiola ............................ 52 Problema N 20 O gerador de induo ................................................................................................ 54 Problema N 21 - Mquina de Induo ou Assncrona .......................................................................... 56

Problema N 22 Conversor de frequncia rotativo com duas mquinas sncronas ............................. 58 Problema N 23 Motor de Excitao em srie..................................................................................... 61 Problema N 24 - Maquina DC Veculo Elctrico .............................................................................. 63 Problema N 25 - Mquina de corrente contnua de Excitao Separada ............................................. 65

Problema N 26 - Mquina de Corrente Contnua de Excitao em Srie ............................................. 68

Problema N 27 Mquina de Corrente Contnua .................................................................................... 70


4


5

PROBLEMA N 1 INTRODUO AOS CIRCUITOS RESISTIVOS

Considere o circuito elctrico representado na figura. Os valores das fontes e resistncias encontram-se

representados na mesma figura.

Pretende-se resolver este circuito, isto , determinar os valores das as corrente tenses e potncias em todos

os elementos do circuito.

a) Estabelea as equaes resultantes da aplicao das leis dos ns necessrias para a resoluo

do circuito.

Apenas interessam os ns com mais do que dois ramos. Do n A tira-se:

321 iii

do n B tira-se:

132 iii

que equivalente obtida na aplicao ao n A o que ilustra que basta escrever N-1 equaes dos ns.

b) Estabelea as equaes resultantes da aplicao das leis das malhas.

Escolham-se as malhas segundo a figura:


6

Na malha 1 tem-se:

012 31 uu

Na malha 2 tem-se:

0823 uu

Se estas duas equaes forem verificadas, ento a equao que resulta da circulao da malha exterior

tambm ser verificada. Na realidade obter-se-ia:

0812 21 uu

Que resulta tambm da soma das duas equaes anteriores. Isto quer dizer que esta terceira equao

linearmente dependente das outras duas. Com efeito:

0)8()12( 2331 uuuu

c) Escreva as equaes dos elementos do circuito

Tem-se:

313

212

111

2

1

8

12

iRu

iRu

iRu

u

u

s

s

Com R1, R2 e R3 os valores indicados na figura

d) Resolva o circuito utilizando o mtodo das correntes fictcias.

Definam-se as malhas

Por inspeco, tem-se:

A)n no ns dos lei a escrever a equivale que (o 213

22

11

JJi

Ji

Ji

Circulando nas malhas e introduzindo ao mesmo tempo as leis dos elementos tem-se:

0)(8

0)(12

12322

21311

JJRJR

JJRJR

Colocando na forma matricial, obtm-se:


7

2

1

323

331.

8

12

J

J

RRR

RRR

Numericamente obtm-se:

2

1.

1210

1011

8

12

J

J

Resolvendo o sistema de equaes obtm-se como soluo:

1

2

2

1

J

J

Aplicando a relao entre as correntes de ramo e as correntes de malha, tem-se:

112

1

2

3

2

1

i

i

i

As tenses nos ramos ser:

ViRu

ViRu

ViRu

10110

212

221

333

222

111

e) Calcule as potncias em todos os ramos.

A tabela apresenta os valores das correntes, tenses e potncias.

Elementos I [A] U [V] P [W]

Us1 2 12 -24

Us2 1 8 8

R1 2 2 4

R2 1 2 2

R3 1 10 10

Pode verificar-se que a soma das potncias nula o que verifica o princpio de conservao de energia.

A fonte de 12V est a fornecer potncia ao circuito.

As resistncias esto a consumir potncia elctrica.

A fonte de 8V est a receber potncia do circuito.


8

PROBLEMA N 2 - CIRCUITOS RESISTIVOS

Considere o circuito representado na figura com os valores das fontes e resistncias indicados.

R1 R3

R2 R4VsJs

AJs 80,

521 ,R

102R

103R

204RVVs 12

a) Determine todas as correntes nos ramos e tenses nas fontes utilizando o mtodo das correntes

fictcias

Escolham-se as correntes de malha como se indica na figura. No necessrio escolher uma corrente de

malha no ramo da fonte de corrente pois esta corrente j conhecida neste ramo.

Circulando na malha 1, obtm-se:

021211 JJRJRVs

Circulando na malha 2, obtm-se:

02423212 sJJRJRJJR

Colocando na forma matricial, tem-se:

s

s

JR

V

J

J

RRRR

RRR

42

1

4322

221

Substituindo valores:

16

12

4010

105,12

2

1

J

J

Usando a matriz inversa tem-se:

16x0312,012x025,0

16x025,012x1,0

16

12

0312,0025,0

025,01,0

16

12

4010

105,121

2

1

J

J

2,0

8,0

2

1

J

J


9

b) Calcule as potncias em todos os elementos e verifique o princpio de conservao de energia.

O clculo das correntes e tenses nos elementos faz-se a partir do valor das correntes fictcias. Vamos arbitrar

as tenses como se representa na figura e as correntes no sentido do terminal + para o terminal -.

As correntes, tenses e potncias sero:

Elemento Corrente [A] Tenso [V] Potncia [W]

sV 801 , JIs 12sV 69,ssIV

1R 8011 , JI 2111 RIV 6111 ,IV

2R 1212 JJI 10222 IRV 1022 IV

3R 2023 , JI 2333 IRV 4033 ,IV

4R 6024 , sJJI 12444 IRV 2744 ,IV

sJ 80,sJ 124 VV sJ 69,sJ JV s

Verifica-se que, por coincidncia, ambas as fontes esto a fornecer ao circuito 9,6W.

Pelo princpio da conservao de energia,

DissipadaEnergiaFornecidaEnergia

2,74,0106,16,96,9

Processo simplificado

Aplicando a converso Norton-Thevenin, tem-se o circuito:

Cujas equaes so:

s

s

JR

V

J

J

RRRR

RRR

42

1

4322

221


10

PROBLEMA N 3 - CIRCUITO RL SRIE (REGIME PERMANENTE)

Determine a evoluo temporal em regime permanente das tenses e correntes em cada um dos elementos,

quando aplica uma fonte de tenso alternada sinusoidal de valor eficaz V230efE , zf H50 .

)sin(2)( tEte ef jo

ef eEE

jLR eZjZZZ LR

sendo 22 LR Z

961030050220

232

essubs.v alor Z

e

R

Larctan 78

20

10300502arctan

3

essubs.v alor

jef

jef

j

jef eIe

Z

E

eZ

eE

Z

EI

0

AeeI jj 7878essubs.v alor 4,296

230

jefR eIIU RR VeeUjj

R7878

essubs.v alor 484,220

9090 LLL jefj

efj

L eIeIeIjU

VeeU jjL1278903 2254,210300502valoressubs.

A evoluo temporal das grandezas ser, ento:

)78180

sin(4,22)(

tti

)78180

sin(482)(

ttuR

)12180

sin(2252)(

ttuL

)(te

i)(tuR

)(tuLR

L

20R

mH300L


11

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 90 180 270 360 450 540 630 720

[V]

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[A]e(t) uR(t) uL(t) i(t)

RU

I

LU

RU

78 E


12

PROBLEMA N 4 CIRCUITOS EM AC - REGIME PERMANENTE CIRCUITO RLC SRIE

Resoluo do circuito RLC em srie

Impedncia da resistncia RRZ

Impedncia da bobine L jZL

Impedncia do condensador C

1

jZC

Como estas 3 impedncias esto em srie LC

1R

jjZZZZ LCRT

C

1LR jZT

1 Caso 0C

1L

RTZ Circuito com carcter Resistivo

2 Caso 0C

1L

XR jZT

Circuito com carcter Indutivo

3 Caso 0C

1L

XR jZT

Circuito com carcter Capacitivo

Substituindo valores: V230efE , zf H50 , 20R , F300 C e mH300L

)(te

i)(tuR )(tuC

)(tuLL

R C

I

TZ

E

I

TZ

E

I

TZE


13

2

632

10300502

11030050220

Z

868420 22

7720

84arctan

R

C

1L

arctan

7786 jeZ A impedncia no uma grandeza sinusoidal

No faz sentido falar no seu valor eficaz nem na sua evoluo temporal!!!

Aee

e

Z

EI j

j

jef

ef77

77

0

7,286

230

VeeIU jjefefR7777 537,220R

VeeIjU jjefefL137790 2527,2LL

VeeIjU jjefefC1679077 287,2

C

1

C

1

I

TZ

ECURU

LUCU

LC UU

RU

13

13

13


14

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 90 180 270 360 450 540 630 720

[V]

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[A]e(t) uR(t) uC(t) uL(t) i(t)


15

PROBLEMA N 5 CIRCUITOS EM AC - REGIME PERMANENTE + COMPENSAO F.P.

Considere o seguinte circuito, alimentado a partir de uma rede de corrente alternada V230efE e

frequncia zf H50 . Considere: 5021 ,'RR , mH51 L , mH42 'L , mH50ML e

10ExtR .

Determine:

a) A impedncia equivalente do circuito, observada a partir dos terminais ab.

1Z a srie de '2R , '2L e ExtR :

'' 221 LjRRZ Ext 8,6

1 6,1026,15,10jejZ

2Z o paralelo de 1Z e ML :

2,552,634,86,107,15

6,107,15 6,388,690

8,690

12

122 je

ee

ee

ZLj

ZLjZ j

jj

jj

1R 'R 2

ExtR

1L 'L2

ML

a

b

a

b

1R 1L

ML 1Z

1R 1L

2Z

a

b


16

Finalmente, TZ a srie de 1R , 1L e 2Z :

211 ZLjRZT 4475,977,602,72,552,657,15,0 jejjj

b) a corrente fornecida pela fonte, bem como as potncias activa e reactiva.

Aee

e

Z

VI j

j

j

T

4444

0

6,2375,9

230

Potncia Complexa VAeeeIVS jjj 44440*

42856,23230

Potncia Activa WSP 805344cos4285Re

Potncia Reactiva VArSQ 771344sin4285Im

o valor da capacidade de um condensador , a colocar entrada do circuito, de modo a assegurar um factor de

potncia unitrio.

No problema tem-se: factor de potncia 72,044cos indutivo

e pretende-se que 1'cos 0' circuito com um carcter resistivo, globalmente, 0P e

0Q .

A potncia fornecida por um condensador com uma tenso cV aos seus terminais e que est a ser percorrido

por uma corrente cI , :

Sabendo que a impedncia do condensador C

jZc

1

Tem-se: 90j

cc

cc eVC

Z

VI

A potncia complexa ser ento: 902* jcccc eVCIVS

TZ

a

b

cI

cV


17

090cosRe 2 ccc VCSP

22 90sinIm cccc VCVCSQ o condensador fornece Q

O problema pretende que se dimensione C que fornea toda a energia reactiva que est a ser consumida pelo

circuito; dever ser ento:

QQc

37712 cVC

3771230502 2 C FC 227


18

PROBLEMA N 6 CIRCUITOS TRIFSICOS

Considere o circuito representado na figura

A fontes de tenso constituem um sistema simtrico e equilibrado de tenses de valor eficaz V400/230 e

frequncia zf H50 . O valor dos parmetros :

101R 62R 36,43R mHL 5,25 FC 354

a) Calcule as 3 correntes nas fases bem como a corrente de neutro.

01 230j

s eV 120

2 230j

s eV 2403 230

js eV

As impedncias de carga de cada fase so:

RZZ R 1 subs. valores 101Z

LR jZZZ LR 2 subs. valores 3

2 105,251006 jZ 6,522 10

jeZ

C

jZZZ CR

R3 subs. valores

63

1035410036,4

jZ 1,643 10

jeZ

1

11

Z

VI

s subs. valores Ae

eI j

j0

0

1 2310

230

2

22

Z

VI

s subs. valores Ae

e

eI j

j

j6,172

6,52

120

2 2310

230

3

33

Z

VI

s subs. valores Ae

e

eI j

j

j9,175

1,64

240

3 2310

230

A corrente de neutro ser:

321 IIIIN subs. valores 9,1756,1720 232323 jjjN eeeI

1692,244,48,22 jN ejI

b) Desenhe um diagrama vectorial representando as amplitudes complexas das tenses e das

correntes


19

c) Considere agora que todas as cargas so iguais da fase 2 (carga trifsica equilibrada). Calcule

as amplitudes complexas das correntes nas fases e no neutro. Desenhe o respectivo diagrama

vectorial

ZZZZ 3216,5210 je

Z

VI

s11 subs. valores Ae

e

eI j

j

j6,52

6,52

0

1 2310

230

Z

VI


e

eI j

j

j6,172

6,52

120

2 2310

230

Z

VI


e

eI j

j

j4,67

6,52

240

3 2310

230

A corrente de neutro ser:

321 IIIIN subs. valores 4,676,1726,52 232323 jjjN eeeI

0NI


20

PROBLEMA N 7 CIRCUITOS TRIFSICOS COM C. FACTOR POTNCIA

Considere um circuito trifsico simtrico ligado em tringulo, alimentado a partir da rede elctrica nacional

230/400V, 50Hz. Cada fase da carga pode ser representada pelo seguinte circuito elctrico:

R Z

RL

R = 2 L = 20 mH

a) Determine o valor da impedncia Z , de modo a que o valor da impedncia total em cada fase

seja 7ej50

;

903,6 jL eLjZ 2 RZR

6,08,19,16,6

6,12comparaleloem 18

72

90

1 jee

e

LjR

LRjZZZ j

j

j

RL

1ZZZZ Rtotal

6,08,1250sen750cos71 jjZZZZ Rtotal

8285,48,47,0 jejZ

b) Calcule o valor das correntes na linha e as potncias activa e reactiva fornecidas pela fonte

A577

400 5050

jjtotal

FaseFase e

eZ

VI

Como FaseLinha II 3 A7,98573 LinhaI

W9554350cos7,984003cos3 LinhaComp IVP

VAr3835250sin7,984003sin3 LinhaComp IVQ


21

c) Determine o valor dos condensadores, a colocar em paralelo com cada fase, de modo a

assegurar um factor de potncia de 0,85.

Na nova situao (com condensadores) o circuito consumir P e Q

e o factor de potncia 85,0'cos 8,31'

Ser ento 'PP e 'tan''sin'' PSQ

Pelo que: VAr253278,31tan95543' Q

A potncia reactiva fornecida pelos condensadores ser:

VAr130252532738352' QQQ

Por outro lado, 3 condensadores alimentados com uma tenso condV a uma frequncia , fornecem

23 condcond VCQ de potncia reactiva.

Dever ser ento: QQcond

Como os condensadores devero estar ligados em , ser V400condV

Tem-se ento: 130254005023 2 C

FC 16710167 6

Represente num diagrama vectorial as tenses e as correntes nas fases, antes e depois de compensar o factor

de potncia.

As componentes activas das correntes, antes e depois da compensao, so iguais

8,31cos'50cos 11 II

1V

1I

3V

2V

1'I

2I

3I

2'I

3'I

O

^

5011 IV

,'^

83111 IV

^^^

120313221 VVVVVV

^^^

120313221 IIIIII

''''''^^^

120313221 IIIIII

,831

50


22

PROBLEMA N 8 CIRCUITO MAGNTICO I

Considere o circuito magntico representado na figura.

Considere que o ferro tem permeabilidade relativa igual a

10000, que o entreferro de 1 mm e que a bobine de 400

espiras percorrida por uma corrente de 1 A.

A permeabilidade magntica do ar pode ser aproximada

do vazio.

10000rFe

mm1g

espiras400N

A1I

mHar /7

0 104

a) Determine os parmetros do esquema elctrico equivalente, calculando as reluctncias

magnticas.

O circuito elctrico equivalente :

Rarmadura

Rentreferro

Fmm

Rentreferro

Rncleo

As relutncias magnticas so:

1

47

3

Ae.Wb9947181042104

101

S

gR

arentreferro

1

474

2

Ae.Wb5968104210410

106

SR

arrFe

armarmadura

1

474

2

Ae.Wb17904104210410

1018

SR

arrFe

ncleoncleo

As relutncias magnticas devidas aos entreferros so cerca de 80 vezes superiores s dos troos em ferro,

mesmo sendo o percurso no entreferro 240 vezes inferior ao no ferro!!

A relutncia magntica total ser:

i

N

2 cm

1 mm

6 cm

4 cm

2 cm 2 cm 2 cm

2 cm


23

1Ae.Wb30801322 ncleoarmaduraentreferroTotal RRRR

b) Calcule a relao Total

entreferro

R

R2.

988,03080132

43698912

Total

entreferro

R

R

c) Calcule o fluxo e o campo de induo B

AeiNFmm 4001400

mWbWbR

Fmm

Total199,010199,0

3080132

400 3

TS

B 248,0108

10199,0

4

3

Se se tivesse desprezado a relutncia dos troos em ferro face relutncia dos entreferros, os valores seriam:

mWbWbR

Fmm

Total2,0102,0

1989436

400 3

TS

B 251,0108

102,0

4

3


24

PROBLEMA N 9 CIRCUITO MAGNTICO II

Considere o circuito magntico representado na figura.

espiras400N 10000rFe A1I

mHar /1047

0

Considere que o ferro tem permeabilidade relativa igual a

10000, que a bobine de 400 espiras percorrida por uma

corrente contnua de 1 A.

A permeabilidade magntica do ar pode ser aproximada

do vazio.

Considere duas situaes distintas: entreferro de 10 mm e

entreferro de 2 mm

a) Determine o modelo de circuito magntico, os respectivos parmetros e os valores dos fluxos e

campo de induo.

As diversas relutncias magnticas para mmg 2 so:

l [m] S [m2] R [Ae/Wb]

Rb 0,05 0,0008 4974

Rc1 0,07 0,0008 6963

Rc2 0,01 0,0008 995

Rar 0,002 0,0008 1989437

Do circuito magntico equivalente obtm-se:

2

1

2112

21

212112

222222

222222

carcbcarcb

carc

carccarcbcarcb

RRRRRRRR

RRR

RRRRRRRRRRR

Ni

Ni

Para mmg 2 resulta:

1 2


25

2

1

3006039998697

9986973006039

400

400

400

400

3006039998697

99869730060391

2

1

mWb1,021

mWbcentral 2,02

TS

Bar

ar 1245,0108

101,0

4

3

TS

Bcentral

centralcentral 1245,0

1016

102,0

4

3

Para mmg 10 resulta:

2

1

109637864977571

497757110963786

400

400

400

400

109727394980555

4980555109727391

2

1

mWb025,021

mWbcentral 05,02

TS

Bar

ar 03,0108

10025,0

4

3

TS

Bcentral

centralcentral 03,0

1016

1005,0

4

3


26

Mtodo alternativo: Este mtodo usa a simetria do circuito magntico para simplificar as equaes; o

esquema equivalente o representado na figura seguinte:

1122 cbcarcbcar RRRRRRRRNi

12 2222 cbcar RRRRNi

Substituindo valores para mmg 2 :

4016673400 mWbWb 1,01010 5

Substituindo valores para mmg 10 :

19932167400 mWbWb 02,0102 5

b) Repita a) desprezado as relutncias do ferro face s do ar.

Para mmg 2 resulta:

2

1

298415594718

9947182984155

400

400 mWb105,021

Para mmg 10 resulta:

2

1

109419024973592

497359210941902

400

400 mWb025,021


27

PROBLEMA N 10 - CIRCUITO MAGNTICO CLCULO DE FORAS

Considere o seguinte sistema electromagntico. Admita que no h disperso.

a

b

C

R1

10 cm

10 cmN1

N2

R2

c

d

1 mm

.2001 espN 11R FC 1 800Fer 2cm4S

.1002 espN 12R V10abV 17

0 10x4 Hm

Determine:

o valor da relutncia magntica do circuito magntico;

1WbAe

S

l

S

llR

ar

ar

arr

arFem

Fe

1647

3

47

32

WbAe10510410x4

102

10410x4800

10210104

mR

1WbAe

S

lR

ar

arm

os valores dos coeficientes de auto-induo das bobinas;

H008,0105

200

6

221

1

mR

NL H002,0

105

100

6

222

2

mR

NL

o valor da corrente solicitada fonte, quando a bobina 2 est em vazio e aos terminais ab aplicada

uma tenso alternada sinusoidal, com um valor eficaz de 10 V e uma frequncia de 50 Hz;

CjLjRZeq

1comparaleloem

721 3,3101,05021

jejjLjRZ

906

1833183310502

11 jc ej

jLjZ

72

1

1 3,3 j

c

ceq e

ZZ

ZZZ

O Condensador , praticamente, um circuito aberto


28

A3,33,3

10 7272

j

jeq

eeZ

VI

o valor mdio da fora a que fica sujeita a pea 2, nas condies da alnea anterior e para valores de

entreferro de 1 mm.

Para I = constante :

x

LiF

2

2

)(

21

1xR

NLL

m

S

xxRm

0

2)(

202

1

202

1

221

2

1

2 1

2222)(2)(

2 x

SN

i

x

S

dx

dN

i

xR

N

dx

dixL

dx

diF

m

N45

10

1

2

104104200

2

3)1(

23

472

2

mmxF


29

PROBLEMA N 11 CLCULO DA FORA ELECTROMECNICA NUMA ARMADURA

Considere o dispositivo do problema n8 redesenhado na figura

abaixo. A rea da seco recta igual a 8cm2.

A. Considere a armadura alinhada com o ncleo.

A1. Calcule a relutncia magntica do entreferro.

A

gRar

0

A

gRentref

0

2

A2. Determine uma expresso para o coeficiente de auto-induo

da bobina desprezando a disperso.

Por definio iL

Tem-se N

mR

iNN

mR

NL

2

Desprezando a contribuio do ferro no clculo da relutncia total

g

NA

R

NL

ar 22

20

2

A3. Calcule uma expresso para a fora electromecnica que se exerce na direco vertical, em funo

da corrente e da espessura do entreferro. Determine o valor desta fora considerando:

Espessura do entreferro igual a 2 mm e a corrente i=1A.

Espessura do entreferro igual a 10 mm e corrente i=1A.

Sendo a corrente imposta, a expresso da fora dever ser determinada atravs da co-energia magntica.

dx

dLiiL

xx

Wf mx

22'

2

1

2

1

dx

dLifx2

2

1

L em funo da espessura do entreferro x

NAxL

2)(

20

A fora ser dada por

xdx

dANixfx

1

4

1)( 20

2

2

20

2 1

4

1)(

xANixfx


30

2

2)( i

x

kxfx com

4

20ANk

Substituindo valores: 510021,4 k

para mx 3102 e Ai 1 Nfx 05,10

para mx 31010 e Ai 1 Nfx 40,0

A4. Considere agora que a corrente alternada sinusoidal de valor eficaz igual a 1A e de frequncia

igual a 50Hz.

Com a espessura do entreferro igual a 2 mm, calcule a expresso da fora que se exerce sobre a

armadura e o seu valor mdio. Compare com o resultado alcanado na alnea A3. Se a frequncia

passar para 400Hz, qual a influncia no valor mdio desta fora?

Sendo tIi sin2 )2cos(1sin2 2222 tItIi

pelo que ser: )2cos(1)( 22

tIx

kxfx

cujo valor mdio dado por: 22

)( Ix

kxfxav

A expresso do valor da fora mdia, em termos de valor eficaz, igual expresso da fora na situao de

corrente contnua.

No depende da frequncia, mas depende do valor do entreferro x .

A5. Considere que esta bobina se encontra alimentada com uma fonte de tenso sinusoidal de

frequncia igual a 50Hz e de valor eficaz igual a 60V. Calcule uma expresso para a fora

electromecnica que se exerce sobre a armadura. Despreze o valor da resistncia da bobina e

considere a espessura do entreferro igual a 2 mm. Se a frequncia passar para 400Hz, qual a influncia

no valor mdio desta fora?

Se a bobina se encontrar alimentada por uma fonte de tenso a fora ter de ser determinada atravs da

expresso da energia magntica:

)(2

1 2

xLxx

Wf mx

Sendo desprezvel a resistncia da bobine, tem-se: dtudtd

u

donde

tUtUu

cos2

sin2


31

A fora poder ser obtida atravs da expresso da energia magntica: )(2

1 2

xLWm

como j se tinha calculado x

NAxL

2)(

20 obtm-se:

20

22 2

2

1

)(2

1

AN

x

xLWm

pelo que a fora ser: 2

0

2'

ANx

Wf mx

Esta fora no depende da posio da armadura x .

O quadrado do fluxo ser dado por tU

2cos12

2

Substituindo a expresso do fluxo, tem-se: tU

ANfx

2cos1

12

20

Cujo valor mdio dado por:

2

20

1

U

ANfxav A fora depende agora da frequncia.

Aumentando a frequncia 8 vezes (400 Hz) a fora diminui 64 vezes.

Para os valores indicados, obtm-se:

Valor mdio da fora Nfxav 227

coeficiente de auto-induo HL 04,0 com mmx 2

reactncia 6,12LX

corrente AX

UI 7,4

B. O entreferro agora constante e igual a 2mm, mas a armadura

est desalinhada do ncleo segundo a direco longitudinal como

se mostra na figura.

B1. Calcule uma expresso para a fora segundo y em funo de

g e y . Comente o resultado.

Nesta situao uma das relutncias magnticas do entreferro vai variar

com y. A outra vai ficar constante.

CB

gRm

01

yCBg

Rm

0

2

O coeficiente de auto-induo ser dado por:

yCBg

CB

g

NygL

00

2

),(

dy

ygdLIfy

),(

2

1 2

x

y

g

B

C


32

C. O entreferro agora constante e igual a g mas a armadura est

desalinhada do ncleo segundo a direco transversal como se mostra na

figura.

Calcule uma expresso para a fora segundo a direco z considerando

que a bobina se encontra alimentada com uma fonte de corrente contnua

de amplitude igual a 1 A. Comente o resultado. Calcule o valor da fora

para g=1mm e I=1A.

Nesta situao ambas as relutncias magnticas vo variar com z.

zBCg

Rar

0

O coeficiente de auto-induo ser dado por: )(22

),( 0

22

zBCg

N

R

NzgL

ar

Daqui resulta a fora:

dz

dLIfz2

2

1

Cg

NIfz 0

22

22

1

Para mmg 1 e AI 1 obtm-se Nfz 1

B


33

PROBLEMA N 12 PROBLEMA DO CONVERSOR ELECTROMECNICO ROTATIVO ELEMENTAR

Considere um sistema electromagntico constitudo por duas bobinas como o indicado na figura

Fs

Fr

Os coeficientes de induo destas bobinas so:

Ls=1H, Lr=1H, Msr()=0,9cos().

a) Determine uma expresso para a co-energia magntica.

A expresso para a co-energia magntica toma a forma:

rsrrssrsm iMiiLiLiiW 22'

2

1

2

1),,(

Substituindo valores, tem-se:

cos9,02

1

2

1),,( 22' rsrsrsm iiiiiiW

b) Determine uma expresso para o binrio electromagntico.

O binrio pode ser obtido atravs da derivada da co-energia magntica. Obtm-se:

sin9,0

),,('

rsrsm

em iiiiW

M

c) Sabendo que as correntes so dadas por: is=10A, ir=10A, determine a expresso do binrio em

funo da posio .

Substituindo os valores das correntes, obtm-se: sin90sin9,0 rsem iiM


34

d) Calcule o binrio mximo.

O binrio mximo ser 90Nm obtendo-se para = -/2.

e) Determine a posio de equilbrio quando o binrio exterior aplicado for 45Nm. Analise a estabilidade

dos pontos encontrados

O movimento regido pela segunda lei de Newton. Para o movimento de rotao, na conveno motor, tem-

se:

extemm MM

dt

dI

O ponto de equilbrio obtm-se quando o binrio acelerador, dado pela diferena entre Mem e Mext se igualar a

zero, ou seja, quando Mem = Mext.

Desenhando ambos os binrios no mesmo grfico, o ponto de equilbrio obter-se- quando os grficos destes

se cruzarem. Obtm-se os pontos A e B. Para o ponto A tem-se =-/6. Para o ponto B tem-se =-+/6.

O ponto A constitui um ponto de equilbrio estvel. Com efeito, se houver uma perturbao no sistema e a

posio se deslocar para a direita, o binrio acelerador fica negativo acelerando o rotor no sentido negativo,

isto , no sentido de regressar ao ponto de equilbrio. O mesmo se passa para a deslocao esquerda. A

anlise est feita graficamente na figura onde as setas a preto indicam o binrio acelerador obtido depois da

perturbao e as setas a azul indicam o sentido de deslocamento do rotor. Pode verificar-se que para o ponto

A, depois da perturbao desaparecer, o sistema regressa ao ponto de equilbrio. Para o ponto B o sistema

afasta-se do ponto de equilbrio.

Mem

Mext

/6 -

A B


35

A figura ilustra o funcionamento do sistema nestas condies. Quando o binrio exterior aplicado for nulo, o

ponto de funcionamento ser dado por =0, isto , as duas bobinas esto alinhadas. O binrio

electromagntico ser nulo tambm. Quando se aplicar um binrio que faa rodar a pea mvel no sentido

negativo de , o rotor rodar para um novo ngulo negativo e surge um binrio electromagntico em

oposio que vai equilibrar o sistema. Obtm-se um ponto de equilbrio de modo que os dois binrios sejam

iguais e de sinais opostos. Estas duas situaes esto ilustradas nas figuras seguintes.

Fs

Fr

F

s

Fr

Posio de equilbrio com Mext=0 Posio de equilbrio com Mext>0

Uma vez que o binrio funo da posio, pode fazer-se uma analogia mecnica considerando que tudo se

passa como se existisse uma mola entre o estator e o rotor. Quanto maior for o binrio aplicado maior ser o

ngulo de equilbrio.

Mem

Mext

-/6 -

A B


36

PROBLEMA N 13 CIRCUITO MAGNTICO

Considere um circuito magntico em que a pea mvel se desloca perpendicularmente s linhas de

fora do campo. Admita para dimenses da figura os seguintes valores:

g=1 mm d=10 cm I=15 cm N=500 espiras

Determine, em funo da coordenada x:

a) a expresso da relutncia magntica do circuito;

ldS ld

S2

Para , 02

xd

ldS Para , 2

0d

x xdIxS )(

Ento xdIxS )( para 2

0d

x e )0()( SxS para 02

xd

Admitindo que Fe armagmag RR

1

2

3

227

3

0 1010

1061,10

10101015104

1022

WbAe

xxxS

gRR

armagmag

para 2

0d

x

x0x

2

dx

x0x

2

dx

d

I

g

I

g

I


37

b) a expresso do coeficiente de auto-induo da bobine;

admitindo linearidade magntica

Hx

g

xdlN

xR

NxL

mag

20

22

10106,232)(

)(

c) A expresso da co-energia magntica ou da energia magntica armazenada na bobine;

admitindo linearidade magntica

2

)(

1

2

1

,

xL

xfWmag

2)(2

1

,'

ixL

xifWmag

20

2

4i

g

xdlN

Jx

210102651

d) O valor e sentido da fora a que fica sujeita a pea mvel.

N

xdx

d

ig

xdlN

dx

d

Wdx

df mag

2651

10102651

4

'

2

202

Fora que tender a colocar a pea mvel por forma a que seja ldS . Note-se que o valor desta fora

independente de x.


38

PROBLEMA N 14 TRANSFORMADOR DE DISTRIBUIO MONOFSICO

Considere um transformador monofsico com as seguintes caractersticas nominais:

SN=100kVA 10kV/400V

No ensaio em curto-circuito, aplicando a tenso ao enrolamento de 10kV, obtiveram-se os seguintes

resultados:

U=500V I=10A P=1kW

No ensaio em vazio, aplicando a tenso aos terminais de 400V, obteve-se:

U=400V I=2,5A P=250W

NOTA: Os valores usados neste problema esto prximos dos valores encontrados nos transformadores de

distribuio trifsicos.

a) Calcule os valores das correntes nominais do transformador.

Pela definio de potncia nominal, tem-se:

NNNNN IUIUS 2211

donde:

AI N 1010000

1000001 AI N 250

400

1000002

b) Qual o valor da tenso de curto-circuito em percentagem?

A tenso de curto-circuito o valor da tenso a aplicar a um dos enrolamentos de modo a obter-se a

sua corrente nominal quando o outro enrolamento se encontrar em curto-circuito. Neste caso,

atendendo aos dados do enunciado, para o enrolamento de 10kV aplicou-se 500V para se obter 10A

que o valor da corrente nominal deste enrolamento. A tenso de curto-circuito ser igual a 500V. Em

percentagem da tenso nominal ser:

%510000

500ccU

que um valor vulgar para transformadores desta dimenso.

c) Qual o valor da corrente em vazio em percentagem?

A corrente em vazio foi medida no ensaio em vazio. Como esta medida foi efectuada no enrolamento

de 400V que tem uma corrente nominal de 250A, tem-se:

%1250

5,20 I


39

d) Determine os parmetros do circuito equivalente deste transformador reduzido ao

enrolamento de 10kV.

O circuito equivalente de um transformador reduzido ao primrio representa-se como:

I1 Rcc

jXcc

U1

U'2

I'2

R1fe jX1m

U2

I2

A determinao dos parmetros deste circuito feita atravs dos ensaios em curto-circuito e em vazio.

Para o ensaio em curto-circuito, atendendo forma como foi feito, tem-se:

I1 Rcc

jXcc

U1

U'2

I'2

R1fe jX1m

I2

Como U2=0, tem-se U2=0, e o circuito fica:

I1 Rcc

jXcc

U1

I'2

R1fe jX1m

O ensaio em curto-circuito permite determinar o ramo Rcc +jXcc. Para isso recorre-se a uma

simplificao: a impedncia do ramo de magnetizao muito superior em valor hmico impedncia

do ramo de curto-circuito. Esta simplificao permite desprezar a corrente que circula no ramo de

magnetizao neste ensaio. Note-se que em vazio, tenso nominal, a corrente de magnetizao da

ordem de 1%. tenso reduzida de 5% ser ainda menor, pelo que esta simplificao se torna

perfeitamente admissvel. Assim o circuito ficar:

I1=10A R

ccjX

cc

U1=500V

P1=1000W

O valor da resistncia Rcc ser dada por:

1010

1000

22I

PRcc


40

O valor da impedncia ser:

5010

500

I

UZcc

A reactncia ser dada por:

491050 22ccX

Note-se que este ramo essencialmente indutivo. O termo indutivo Xcc quase igual ao mdulo da

impedncia Zcc.

Para o ensaio em vazio, tem-se:

I1=0 R

ccjX

cc

U1

U'2

I'2

R1fe jX1m

U2=400V

I2=2,5A

Aplicando ao secundrio uma tenso de 400V vai corresponder U2=10000V. corrente 2,5A vai

corresponder uma corrente de 0,1A dado que a razo de transformao U1/U2=25. O circuito ficar:

Rcc

jXcc

U'2=10000V

I'2=0,1A

R1fe jX1m

P=250W

Agora pode fazer-se uma outra simplificao: a queda de tenso no ramo de curto-circuito pode ser

desprezada face tenso aplicada. Note-se que esta queda de tenso ser aproximadamente igual a

500.1=5V que muito inferior a 10000V aplicados. Assim, tem-se o circuito:

U'2=10000V

I'2=0,1A

R1fe jX1m

P=250W

Pode determinar-se os parmetros a partir das potncias activa e reactiva. A potncia activa ser

representada na resistncia e a potncia reactiva na reactncia. Assim:

kP

UR fe 400

250

1000022

1

A potncia reactiva dada por:

var9682501,010000 2222 PSQ


41

kQ

UX m 103

968

1000022

1

Se, para a representao da magnetizao do transformador, em vez do circuito RL em paralelo se

tivesse utilizado o circuito RL srie, ter-se-ia:

kI

PRs 25

1,0

250

22

kI

UZs 100

1,0

10000

kRZX s 8,9622

e) Calcule o rendimento no ponto de carga nominal com factor de potncia unitrio. Considere

que a tenso do secundrio igual tenso nominal.

O rendimento igual potncia de sada a dividir pela potncia de entrada que igual potncia de

sada mais as perdas. Neste caso, para a potncia de sada igual potncia nominal, tem-se:

%77,981000250100000

100000

f) Determine a carga para a qual se obtm o rendimento mximo. Qual o valor do rendimento

correspondente.

A carga para a qual o rendimento mximo ser obtida quando as perdas no cobre forem iguais s

perdas no ferro. Assim, a corrente I2 correspondente ser determinada por:

0

2'2 PIRcc

donde:

2510

2502'2

I

donde AI 5'2 , o que corresponde a metade da carga nominal.

A esta carga correspondem das perdas no cobre. As perdas em vazio mantm-se em 250W. Assim o

rendimento ser:

%01,9925025050000

50000

que ligeiramente superior ao rendimento no ponto nominal. Conclui-se assim que o rendimento para cargas

superiores carga nominal uma funo aproximadamente constante, embora ligeiramente decrescente.


42

g) Determine o valor da regulao de tenso com carga nominal e factor de potncia cos=0,7

indutivo. Considere que a tenso no secundrio igual tenso nominal.

Com factor de potncia igual a cos=0,7 (sin=0,71) indutivo, o diagrama vectorial ser:

jXcc

I'2

U'2

Rcc

I'2

U1

I'2

A que corresponde o vector U1 igual a

VjjjXRU cccc 2721041871,07,010100001

Este vector tem um mdulo de U1=10421V. A regulao de tenso ser dada por:

%04,410421

1000010421Re

g


43

PROBLEMA N 15 - MQUINAS ELCTRICAS - TRANSFORMADOR

Uma caldeira elctrica monofsica apresenta uma potncia de 2 kW e tem uma tenso eficaz de alimentao

de 115 V. necessrio dimensionar um transformador monofsico, uma vez que a rede elctrica nacional,

230/400 V, 50 Hz, a nica fonte de alimentao disponvel.

a) Tendo disponvel as 3 fases da rede e o neutro, mostre, esquematicamente, como ligaria o

transformador rede;

Fase 1Fase 2Fase 3

Neutro

Transformador

Fase 1Fase 2Fase 3

Neutro

Transformador

b) Considerando como ideal o transformador necessrio, determine a sua relao de transformao e

as correntes eficazes do primrio e secundrio;

Ligao Fase-Neutro

VV N 2301 VV N 1152

2115

230

1

2

2

1 N

N

N

N

I

I

V

Vk

AIIV NNN 4,17102 23

22

AII

Ik N

N

N 7,82 11

2

Ligao Fase-Fase

VVV N 40023031

VV N 1152

5,3115

400k AI N 51 AI N 4,172

c) Sabendo que os dois enrolamentos so semelhantes e que apresentam iguais resistncias

121 rr , e iguais coeficientes de fugas, mH121 , determine a potncia activa absorvida

num ensaio em curto-circuito atravs do secundrio;

Ensaio cc efectuado atravs do secundrio


44

2r'1r '1X 2XNI2

ccV2 12r

25,0'2

11

k

rr

314,022 X

0785,0'2

11

k

XX

2eqZNI2

ccV2 172121 31,13925,025,1)'('

jeq ejXXjrrZ

VeeIZV jjNeqcc1717

222 8,224,17x31,1

WIVP Ncccc 38017cosx4,17x8,22cos222

Se o ensaio cc fosse efectuado atravs do primrio

'2r1r 1X '2XNI1

ccV1

11r

314,011 X

4' 222 krr 256,1'2

12 kXX

1721211 24,557,15)'('j

eq ejXXjrrZ

VeeIZV jjNeqcc1717

111 6,457,8x24,5

WIVP Ncccc 38017cosx7,8x6,45cos111

d) Determine o rendimento do transformador ideal e o rendimento do transformador real, isto ,

considerando as resistncias e as fugas referidas na alnea c).

%100ideal

WPP Nout 2000

WPPP perdasoutin 23803802000

%842380

2000

in

outreal

P

P


45

PROBLEMA N 16 DETERMINAO DAS CARACTERSTICAS DE UMA MQUINA DE INDUO A PARTIR DO CIRCUITO EQUIVALENTE.

Uma mquina assncrona de 400V, 50Hz, dois pares de plos, tem o circuito equivalente indicado na figura.

Sabe-se que o ponto nominal de funcionamento se obtm com a velocidade de N=1491rpm.

R1 jXcc

j(X1+Xm)

r1+rm

R2

R2s

1-sU1

I1 I2

8900

0180

,

,

m

m

X

r

31 1044,R

32 1081,R

310344,ccX

31 10122,mrr

31 109,911mXX

a) Determine o valor da corrente em vazio 0I

Em vazio tem-se 0'' 2 I pelo que ser:

mm XXjrrU

I

11

10

Aej

I j 68833

0 524510991110122

231 ,,,,

Corrente fortemente indutiva.

b) Para o ponto nominal obtenha: 2''I , 1I , cos , e o binrio

Velocidade de sincronismo rpmp

fNs 150060

Velocidade nominal rpmNn 1491

Escorregamento nominal %,60

s

nsn

N

NNs


46

Atravs do esquema equivalente obtm-se:

ccn

n

Xjs

RR

UI

2

1

12''

Ae

j

I jn48

33

3

2 758

103440060

10811044

231 ,

,,

,,

''

Atravs do esquema equivalente obtm-se: 021 III nn ''

AeeeI jjjn72568848

1 8395245758,,, ,

O factor de potncia ser: 90725 ,,coscos n

O rendimento :

n

n

in

outn

P

P

A potncia mecnica til sada da mquina : 222 ''1

3 nn

nout IR

s

sP

n

kWPnout

51475810810060

006013

23

,,

,

A potncia elctrica activa entrada da mquina : nnin IUP n cos113

kWPnin

524908392313 ,

%98

n

n

in

outn

P

P

O binrio til : 22213

nn

n

nout IR

s

sM

n''

ou n

outout

n

n

PM

NmM

nout3292

60

21491

105143

c) Determine as perdas em vazio, 0P , e no cobre em regime nominal, CnP

As perdas em vazio so as associadas ao ramo transversal.

2010 3 IrrP m

kWP 345245103213 230 ,,,

As perdas no cobre so as associadas aos enrolamentos quando percorridos pela corrente nominal.

22213 nCn IRRP ''

kWPCn 710758108110443 233 ,,,


47

PROBLEMA N 17 FUNCIONAMENTO DA MQUINA DE INDUO NA ZONA DE PEQUENOS ESCORREGAMENTOS.

Conhece-se o catlogo de um fabricante de motores elctricos de induo de rotor em curto-circuito. A tabela

apresenta as caractersticas de alguns destes motores.

PN Rendimento N

[rpm]

Factor

de

Potncia

I [A]

1,1 80,6 1430 0,78 2,5

2,2 86,4 1425 0,83 4,4

3 87,5 1430 0,83 6

4 89,3 1445 0,83 7,8

5,5 90,7 1465 0,85 10,3

7,5 91,7 1465 0,85 13,9

11 92,6 1470 0,8 21,4

15 92,9 1465 0,82 28,4

22 94,3 1475 0,84 40,1

Pretende-se escolher um motor para accionar uma grua, como se indica na figura.

Considere que o conjunto Tambor multiplicador de velocidade tem rendimento igual a 98%.

a) Calcule a potncia no veio do motor e escolha o motor mais apropriado.

A potncia na massa a ser iada determinada por:

WFvP 9800110008,9

No veio da mquina ser:

W 1000098,0

9800mP

Tendo em ateno a tabela, dever ser escolhido o motor de 11 kW.

b) Calcule a velocidade de rotao da mquina.

Tendo em considerao que a mquina estar um pouco abaixo da potncia nominal a sua velocidade de

rotao dever ser diferente da velocidade de rotao no ponto nominal, isto , 1470 rpm.


48

Dado que a velocidade de rotao no varia muito com a carga, a velocidade a calcular dever ser um pouco

superior a 1470 rpm, podemos considerar que a potncia proporcional ao binrio. Na zona de

escorregamentos baixos, pode considerar-se que a potncia funo linear com a diferena entre a

velocidade de sincronismo e a velocidade de rotao. Assim, a velocidade de escorregamento (Velocidade de

sincronismo velocidade de rotao) ser:

XkW

rpmkW

10

3011

A velocidade de escorregamento ser:

27,273011

10X

Ou seja

N=1500-27,27=1472,7 rpm

c) Calcule a velocidade de rotao da mquina quando elevar uma carga com metade da massa.

Nesta situao a potncia ser reduzida para metade.

XkW

rpmkW

5

3011

A nova velocidade de escorregamento ser:

63,133011

5X

A velocidade de rotao ser agora:

N=1500-13,63=1486,4 rpm


49

PROBLEMA N 18 MQUINA DE INDUO CONTROLADA COM O MTODO U/F.

Considere um motor elctrico de induo de 55kW, 400V, 50Hz, com dois pares de plos e os seguintes

parmetros do seu circuito equivalente em estrela:

mr 241 ; mr 272 ; mx 2201 ; mx 2002 ; 150FeR ; 6mX

A velocidade nominal da mquina 1485 rpm.

Esta mquina vai ser alimentada atravs de um conversor electrnico com a lei de regulao U/f = constante.

Faa as simplificaes que achar necessrias e verifique os erros cometidos.

a) Calcule o binrio mximo para 50Hz e para 25 Hz com U/f constante

O binrio mximo calculado em funo dos parmetros do circuito equivalente em ngulo.

Converso dos parmetros do ramo transversal:

mm jXrj

j

6150

6150

99,5

24,0

m

m

X

r

Parmetro a :

mX

xaa 11 0367,1 a

Parmetros do circuito equivalente para 50 Hz:

02449,0111 RraR 029,0' 222

2 RraR

443,022

1 cccc XxaxaX

2636,01 mrr 21,61 mXx

Binrio mximo:

22

11

21

2

3

ccXRR

pUMmax

Hzf 50 VU 2311 NmXRR

M

cc

1087

1002

23123

2211

2

max

Hzf 25 VU2

2311 Nm

XRR

M

cc

1028

22

1002

2

23123

22

11

2

max


50

0 500 1000 15000

200

400

600

800

1000

1200

N [rpm]

M [

Nm

]

Considere que o motor est a accionar uma carga cujo binrio constante e independente da

velocidade:

b) Para a carga referida anteriormente calcule: 0I , 2''I , 1I , efI1 , cos , emM , 2P , 1P e

mm XxjrrU

I

11

10 AejI

j 57,870 2,3712,3757,1

Velocidade de sincronismo rpmp

fNs 150060

Velocidade rpmN 1485

Escorregamento 01,0

s

s

N

NNs

ccXjs

RR

UI

2

1

12'' AejI

j 6,82 787,1116,77''

021 III '' AejIj 8,31

1 6,92497,78

85,030coscos

2223

''Is

RpMem

NmMem 33878

01,0

029,0

100

23 2

synemmemem sMMP 1 kWPem 5,522

50201,01338

cos111 3 IUP kWP 5,5485,06,9223131

1P

Pem %2,965,54

5,52


51

c) Considerando que o binrio de carga se mantm constante calcule a velocidade da mquina quando

alimentada a 25Hz.

se 2

5025

ff

2

5025

XX

como fU / constante 2

5025

UU

para escorregamentos pequenos (zona linear da caracterstica electromecnica) tem-se:

212

3U

R

spMem

22

21

2123

cc

em

Xs

RR

U

s

RpM

Ser ento:

Hzf 25 VU 5,1152

2311

105,31 mXx

2215,0ccX

Como o binrio exigido pela carga constante e independente da velocidade a equao em s a resolver, ser:

5025 emem MM 03

2 22

212

2122

12

50

R

M

URpRRsXRs

emcc

cujas solues so: 0204,01 s e 83,02 s

A soluo 2s corresponde ao funcionamento a escorregamento elevado, pelo que a soluo do problema :

0204,01 s rpmN rot 7,734750)0204,01(

Alternativamente, utilizando a expresso aproximada para escorregamentos pequenos (zona linear da

caracterstica electromecnica) tem-se:

212

3U

R

spMem

o valor 020,s rpmNrot 73575002,01


52

PROBLEMA N 19 MTODOS DE ARRANQUE DA MQUINA ASSNCRONA DE ROTOR EM GAIOLA

Considere uma mquina de induo de rotor em gaiola com as seguintes caractersticas: kWPN 55, ,

VUN 400 , Hzf 50 . Esta mquina est construda para funcionar em regime normal, ligada em

tringulo.

Sabe-se que no arranque directo absorve da rede 66A apresentando um 60,cos . Nesta situao tem um

tempo de arranque em vazio igual a 1,5 seg.

a) Qual a corrente e o tempo de arranque que se iro verificar se a mquina for ligada em estrela.

Do esquema equivalente obtm-se: FaseFase IsZU )(

No arranque 1s )()( 1ZsZ = constante

arranque em Y arrYF

c IZU

)(13

arranque em

arrFc

IZU )(1

Na fase arrYFarrF II 3

como: FL II 3

Na linha arrYLarrL II 3 AII arrYLarrYF 223

66

2FUM (para um mesmo valor de s ) YMM 3

Pelo que dever ser: arrYarr tt3

1 segtarrY 54513 ,,

b) Dimensione uma reactncia para colocar em srie de modo a reduzir a corrente de arranque

para 22A quando a mquina arranca em tringulo. Calcule a tenso aplicada mquina nos

instantes iniciais e estime o valor do tempo de arranque.

em AIarrL

66

A impedncia equivalente em estrela desta situao : 5366

3400,Z

Pretende-se que AIarrL

22

com introduo de uma reactncia em srie.

Ser ento:

ZjXZ 322

3400


53

ZjXZ 3

como 60,cos 80,sin

ZXZZ 38060 22 ,,

ZX 803609 ,, 57,X

A tenso aos terminais do motor ser: VVjXZ

ZV Smotor 77231

510

53

,

,

Como arrt

UM12

segtU

Ut UU 51351

77

23122

2

112

,,

c) A mquina vai ser posta em servio utilizando um transformador auxiliar. Determine o valor

nominal da tenso do secundrio deste transformador de modo a reduzir a corrente pedida

rede para 22A quando a mquina arranca em tringulo. Estime o tempo de arranque. Considere

o conceito de transformador ideal.

Admitindo que o transformador ideal e tem uma relao de transformao m , a tenso aplicada ao motor,

motorU , ser:

m

UU redemotor

Com base no esquema equivalente e para um mesmo valor de escorregamento tem-se motormotor IU ; se

a tenso foi reduzida de um factor m , o mesmo acontecer corrente.

m

II arrmotor

Com base no conceito de transformador ideal redemotor ImI ; a corrente pedida rede ser ento:

2m

II arrrede 3

22

662 rede

arr

I

Im 3m

Se VUrede 231 VU

U redemotor 1333

231

3

Como arrt

UM12

segtU

Ut UU 5451

133

23122

2

112

,,

motorIredeI

ZmotorUrede

U

jX

motorVSV Z


54

PROBLEMA N 20 O GERADOR DE INDUO

Uma mquina de induo representada pelo circuito equivalente por fase.

4,3m

1,8m

j55m

j0,65

22,75m

s

231V

I2"I

1

I0

Admita que a mquina tem dois pares de plos e que a frequncia igual a 50 Hz.

Para a velocidade de rotao de 1510 rpm calcule as seguintes grandezas: corrente em vazio, corrente

equivalente no rotor, corrente no estator, factor de potncia, potncia no elctrica estator, potncia mecnica

no veio, rendimento

Resoluo

Para a velocidade de 1510 rpm corresponde o escorregamento de:

0067,01500

15101500

s

Como o escorregamento negativo, a mquina encontra-se a funcionar como gerador.

a) A corrente em vazio ser dada por:

)(3553554,1265,00227,0

231 880 Aej

jI j

b) A corrente equivalente do rotor vale:

3,168''2 851173834

055,00067,0

0018,00043,0

231 jej

j

I

c) A corrente do estator ser:


55

28,147''201 976527821

jejIII

O diagrama vectorial das correntes ser:

I2"

I1

I0

U1

d) O factor de potncia ser:

84,0)28,147cos(cos

e) A potncia trocada pelo estator ser:

kWP 567cos97623131

f) A potncia mecnica no veio

kWIs

sRP 591

13 2''

222

g) O rendimento ser dado por:

%3,962

1 P

P


56

PROBLEMA N 21 - MQUINA DE INDUO OU ASSNCRONA

Um motor assncrono trifsico de 4 plos, apresenta os seguintes valores nominais:

kWPN 5 %4Ns %90N 85,0cos N

Estando o motor alimentado por uma rede trifsica 230/400 V a 50 Hz, determine:

a) Os valores da velocidade em vazio e em condies nominais

vazio rpmsradp

S 15001,1574

2002 10

nominal rpmsrads SNN 14407,1501,15704,0111

b) O valor do binrio desenvolvido, a sua velocidade de rotao e escorregamento, quando acciona

uma carga cujo binrio resistente varia linearmente com a velocidade de rotao, de acordo com a

expresso:

1012,0

)(carga

M

Binrio nominal do motor NmP

MN

NN 2,33

7,150

5000

Equao da recta do motor 8152,50

S

sN

NMM

No ponto de funcionamento ser: motorcarga MM

NmMM

rpmsrad

M

M

6,15

14687,153

8152,5

1012,0

cargamotor

1

motor

carga

O escorregamento correspondente a esta velocidade %1,21500

14681500

s

ss

)(carga M

motorM

NN M,


57

c) Sendo o binrio de arranque do motor, em ligao tringulo, de 20 Nm, justifique se o grupo

motor+carga poder arrancar estando o motor ligado em estrela.

NmMarr 20 NmM Yarr 7,63

20

NmMarr 101012,0

0carga

Como Yarrarr TM carga o grupo NO arranca

d) Para o ponto de funcionamento nominal, determine a amplitude complexa da corrente que o motor

solicita rede

WP

PN

NNabs 5555

9,0

5000

Independentemente do tipo de ligao do motor ( ou Y), tem-se sempre:

cos3 LinhaCompostaabs IVP

Em regime nominal ser:

85,040035555 LinhaI AILinha 4,9

Como 85,0cos e a mquina um circuito indutivo, 8,3185,0arccos

A amplitude complexa da corrente (valor eficaz) : AeIj

Linha8,314,9

A amplitude complexa da corrente (valor mximo) : AeIj

mxLinha8,314,92

)(carga M

motorM

NN M,


58

PROBLEMA N 22 CONVERSOR DE FREQUNCIA ROTATIVO COM DUAS MQUINAS SNCRONAS

Um laboratrio de ensaios de material para aeronutica dispe de um conversor de frequncia de Hz50 para

Hz400 . Este conversor constitudo por um motor sncrono com um par de plos ligado rede de 400V,

50 Hz e de um gerador sncrono de 8 pares de plos. Ambas as mquinas, ligadas pelo veio, rodam

velocidade de 3000 rpm. Esta velocidade imposta pelo nmero de pares de plos do motor ligado rede de

50 HZ. Ambas as mquinas tm a mesma potncia nominal, MW51, e a mesma reactncia sncrona

150,sX , sendo desprezvel a resistncia. O valor da tenso nominal V400 .

a) O gerador vai alimentar uma carga igual carga nominal com factor de potncia igual a

70,cos indutivo. A excitao foi regulada de modo a ter-se a tenso nominal aos terminais

do gerador.

Faa um diagrama vectorial que represente o gerador nesta situao e calcule o valor da fora

electromotriz em vazio.

O circuito equivalente, na conveno gerador o que se indica na figura seguinte.

jXs

Ef U

I

No regime de carga nominal AII N 2165

7,0cos indutivo 6,45

O Gerador vai fornecer P e Q . O diagrama vectorial em conveno GERADOR :

AeI j 6,452165 VejIjXUE jsf1,268,5153,227463

b) A excitao do motor foi regulada para que em regime de meia carga se tenha factor de

potncia unitrio.

Faa um diagrama vectorial que represente o motor a meia carga e calcule o valor da fora

electromotriz em vazio. Calcule a potncia mxima que o motor pode fornecer ao gerador com

esta corrente de excitao de modo a no perder o sincronismo.


59

A que corresponde o diagrama vectorial, tambm na conveno gerador

No regime de meia carga 2

NII

admitindo %100 AU

PI

N

NN 2165

3

4003

1051

3

6

,

AI 10832

2165

Atendendo ao diagrama vectorial, e utilizando o teorema de Pitgoras, tem-se:

VIXUE sf 4,281108315,03

400 22

22

sin3s

f

X

EUP com

22

maxP

2

MWP 3,1max

( O sinal negativo resulta de se ter um funcionamento motor em conveno gerador)

c) Mantendo a potncia no veio igual a meia carga, a excitao do motor agora ajustada de modo

que esta fornea rede uma potncia reactiva de 500kVAr. Calcule de novo a alnea anterior.

M

PmecP

Q

admitindo %100 cos3 IUPPmec

Por outro lado, sin3 IUQ

Usando conveno gerador, tem-se:

sin3

400310500

cos3

400310

2

5,1

3

6

I

I

3,146

1300 AI

o diagrama vectorial em conveno GERADOR :


60

U

Ef

jXsI

I

AeI j )3,146(1300

VejIjXUE jsf5,258,37521,162339

MWP 736,115,0

8,3753

400

3max

d) A excitao do motor agora ajustada de modo que este absorva da rede 500kVAr. Calcule de

novo a potncia mxima do motor.

Comparando com o caso anterior, a corrente e o ngulo so iguais em mdulo, apenas se tem o simtrico do

ngulo. Alterando o ngulo como anteriormente, tem-se a figura.

U

jXsI

Ef

I

AeI j )7,33180(1300

VejIjXUE jsf9,524,20321,16277,122

MWP 94,015,0

4,2033

400

3max

Da comparao entre c) e d) conclui-se que, se o motor fornecer potncia reactiva rede, a sua estabilidade

vem melhorada; estvel para uma maior gama de potncia fornecida.


61

PROBLEMA N 23 MOTOR DE EXCITAO EM SRIE

Um motor srie, com uma resistncia do induzido de 2,0ar e com uma resistncia do indutor srie de

1,0fr encontra-se alimentado sob uma tenso DC de V220 . A reaco do induzido desprezvel e o

circuito magntico no se encontra saturado.

velocidade de rpm1000 o motor absorve uma corrente de A50

Representao esquemtica da mquina srie

ra

E

LarfLf

Enrolamento de

Campo ou Excitao

Enrolamento do

Induzido

Representao esquemtica da mquina srie quando alimentada em DC

a) Qual o binrio electromagntico desenvolvido?

Como se desconhecem as perdas mecnicas ma MIE

Clculo de E

EIrU a VE 205

O binrio ser:

NmM 9,97

60

21000

50205

b) Qual ser a velocidade desta mquina se a corrente consumida passar para metade?

E

rpmN 1000

VU 220

aI 30,fa rrr


62

Numa mquina de corrente contnua NE

Na mquina srie e admitindo linearidade magntica, tambm se tem aI

Pelo que ser aINE

Clculo de 1E

11 EIrU a VE 5,212253,02201

Ser ento: 111 a

a

IN

IN

E

E rpmN 2073

25205

5,2125010001

c) Na situao da alnea b) determine qual o novo valor do binrio desenvolvido.

1

111

m

aIEM

NmM 5,24

60

22073

255,2121

d) Determine o rendimento do motor nas duas situaes anteriores.

abs

til

P

P

aabs IUP

mtil MP

kWPabs 1150220

kWPtil 252,1060

210009,97

%2,93

kWPabs 5,5252201

kWPtil 319,560

220735,241

%7,961

O rendimento melhora na segunda situao porque so menores as perdas de Joule nos enrolamentos

2

aIr

e no se esto a considerar as perdas mecnicas.


63

PROBLEMA N 24 - MAQUINA DC VECULO ELCTRICO

Um veculo elctrico possui uma massa de 20 000 kg. Pretende-se acelerar este veculo com um valor

constante de 21,1 sm desde o arranque at uma velocidade constante de 120 sm . O veculo est equipado

com um motor de comutao (motor de corrente contnua excitao independente) atravs de uma caixa de

transmisso com uma relao de m1 por cada rad21 de rotao do motor. O motor est alimentado por uma

fonte de energia elctrica contnua de valor varivel e apresenta uma resistncia do induzido de 04,0 e

desenvolve um binrio de mN5,5 quando absorve uma corrente de A2 . Despreze perdas mecnicas e

magnticas. Recorde que vFMPmec e dimensione:

a) A potncia nominal do o motor

O motor dever ter, no mnimo, uma potncia nominal de:

kWWvamvFPmec 440000440201,100020

b) O valor do binrio desenvolvido e da corrente solicitada fonte, para atingir a acelerao desejada;

NmP

M mec 0481420

000440

aIkM ; na mquina de excitao independente aIM aI2

5,50481 AIa 381

c) Para alimentar o motor, dispe-se de duas fontes contnuas de valor varivel; uma pode fornecer at

600 V e outra 1200 V. Qual utilizaria?

aaIrkV

121325,5

38104,0600

srad

k

IrV aa equivalente a 11021

1213 smv

143025,5

38104,01200

srad

k

IrV aa equivalente a 15,2021

1430 smv

ou

NPkWP 6,228381600600 a tenso da fonte no permite uma transmisso de potncia suficiente para

alimentar o motor

NPkWP 2,45738112001200 Suficiente para alimentar o motor

d) Se utilizasse a fonte de 600 V, explique onde poderia actuar para que o veculo atingisse a

velocidade de 120 sm .


64

De acordo com

k

IrV aa dever-se-ia baixar o fluxo de excitao para poder atingir 1420 srad . Deveria

ser: 139,1420

38104,0600

ANmIrV

k aa

Nestas circunstncias deveria ter-se em ateno que a corrente do induzido seria muito superior.

e) Se arrancasse o motor com uma tenso de V400 qual seria a corrente de arranque? Qual seria o

procedimento mais correcto para o arranque?

No arranque tem-se 0 kEa e portanto ser: arranqueaIrV Ar

VI

aarranque 00010

04,0

400 .

O arranque do motor deveria ser efectuado elevando lentamente a tenso da fonte varivel para que a

corrente no atinja valores to elevados.


65

PROBLEMA N 25 - MQUINA DE CORRENTE CONTNUA DE EXCITAO SEPARADA

Uma mquina DC de 25 kW, funciona a uma velocidade constante de 3000 r.p.m., com uma corrente de

excitao constante Aiexc 10 . Nestas condies tem-se VEa 125 . A resistncia do induzido de

02,0 e a do indutor de 1 . Considere que as perdas de atrito so constantes e iguais a kW1 .

Determinar a corrente do induzido, a potncia, o rendimento, o binrio e o factor de carga, quando a tenso

aos terminais do induzido :

a) 128 V b) 124 V

a) VEVV aa 125128 A mquina est a funcionar como motor

AIEIRV aaaaa 15002,0

125128

Potncia absorvida pelo motor kWiVIVP excexcaaabs 3,191011501282

Perdas nos enrolamentos kWirIRp excexcaaenr 55,010115002,02222

Potncia electromagntica osenrolamentabsaaa pPkWIEP 75,18150125

Potncia til do motor kWpPPP atritoamectil 75,17175,18

Rendimento do motor %923,19

75,17

abs

til

P

P

Binrio electromagntico Nm

PM aem 7,59

60

30002

1075,18 3

VEa 125

rpmN 3000

VVa 128

aI 020,aR

1excr

Aiexc 10

excV


66

Binrio til Nm

PM tiltil 5,56

60

30002

1075,17 3

Factor de Carga %711025

1075,17..

3

3

N

til

P

Pcf

b) aE no se altera de (a) para (b) pois N e so constantes

VEVV a 125124 A mquina est a funcionar como gerador

AIVIRE aaaaa 5002,0

124125

Potncia til do gerador kWIVP aatil 2,650124

Perdas no enrolamento do induzido kWIRp aainduzidoenr 05,05002,022

Potncia electromagntica induzidoenrtilaaa pPkWIEP 25,650125

Potncia mecnica absorvida pelo gerador kWpPP atritoamec 25,7125,6

Potncia total absorvida pelo gerador

kWpPP indutorenrmecabs 35,71011025,723

VEa 125

rpmN 3000

VVa 124

aI 020,aR

1excr

Aiexc 10

excV


67

Rendimento do gerador %3,8435,7

2,6

abs

til

P

P

Binrio electromagntico Nm

PM aem 9,19

60

30002

1025,6 3

Binrio fornecido ao gerador Nm

PM mec 1,23

60

30002

1025,7 3

Factor de Carga %251025

102,6..

3

3

N

til

P

Pcf


68

PROBLEMA N 26 - MQUINA DE CORRENTE CONTNUA DE EXCITAO EM SRIE

Um motor SRIE roda a 1500 rpm e absorve uma corrente de 13,6 A sob 230 V. A resistncia do induzido

igual a 0,77 e a do indutor 1,06 .

a) Calcular a f.e.m. do motor

VEEIRV aaa 2056,1383,1230

b) Calcular o binrio til no veio

Como se desconhecem as perdas mecnicas,

kWIEPPP aamectil 27886,13205

Binrio Nm

PTT aatil 7,17

60

15002

2788

c) O motor ligado a uma fonte de 115 V. Calcular a sua velocidade para uma corrente de 13,6 A

aa EIRV NkIRV a

I no se alterou IRa no se alterou

Na mquina srie, I I no se alterou no se alterou

Das expresses anteriores conclui-se que NEIRV aa

aE

rpmN 1500

VV 230

I

83,1exca rRR


69

115

230

115

230

V

V

Va

Va

N

N

E

E

115

1500

6,1383,1115

205

VN rpmNV 660115

d) Calcular o binrio nas condies da alnea anterior

Genericamente tem-se:

aaaaa

tiltil

Ik

N

IkNIEP

PM

'

60

2

sendo 2

60'

kk

Na mquina de excitao srie e admitindo linearidade magntica,

I 2'' IkM

Como a corrente no se alterou da alnea (b) para a alnea (c), o binrio tambm no se alterar.


70

PROBLEMA N 27 MQUINA DE CORRENTE CONTNUA

Uma mquina de corrente contnua excitao independente caracterizada pelos seguintes valores:

kWPN 0,2 VVN 230 rpmNN 1500

0,2aR mHLa 19 AIN 10

a) Determine a velocidade do motor, quando no induzido aplicada uma tenso de 115 V e este acciona

uma carga com binrio constante e igual a metade do valor nominal.

ateindependenMquina

a EkE

Ainda no possvel calcular aE pois desconhece-se a corrente absorvida

ateindependenMquina

aaaaamec IMIk

IkIEPPM

Tem-se ento:

aNN IM

aN IM 2

VEEIRV aaaa 10552115

Nas condies nominais tem-se:

VEEIRV aNaNaNaN 210102230

Como aE , ser ento:

NaN NE

NEa

b) Qual o valor do binrio mximo que o motor pode desenvolver a 3000 r.p.m. e com a tenso nominal,

sem entrar em regime de sobrecarga?

AI

I aa 52

rpmN

N N 7502


71

Como velocidade de 3000rpm se est na zona de enfraquecimento de campo (3000rpm >> 1500 rpm) a

potncia mxima da mquina a sua potncia nominal. Para no entrar em sobrecarga dever ser

Nmx PP

NmP

M Nmx 4,6

60

30002

2000

c) Estime o valor mximo da corrente de arranque, admitindo que ao induzido aplicada a tenso

nominal.

No arranque tem-se 00 aEN

A corrente de arranque limitada apenas pela resistncia equivalente do induzido

AIR

VI a

a

Na 115arranquearranque

e) O valor da tenso a aplicar no induzido da mquina para que, em vazio, esta rode a 1000 rpm.

Em vazio 000 0 VEI aa

Viu-se anteriormente que, na mq. independente aE . Ser ento:

0 ________ 0

________

Na

NNaN

E

E

00 1371500

1000205VVEa

see colectanea de problemasresolvidos_2010 2011

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