secundaria 2º bloque 4

BLOQUE 4

M. C. EscherThree intersecting planesXilografa, 1954

210

211

EJESAprendizajesesperados

Medida Proporcionalidady funciones

Anlisis yrepresentacin de datos

Sentido numrico ypensamiento algebraico

Forma, espacioy medida

Manejo de la informacin

Representa sucesiones de nmeros enteros a partir de una regla dada y viceversa.

Resuelve problemasque impliquen el uso deecuaciones de la forma:ax + b = cx + d, don-de los coeficientes son nmeros enteros, frac-cionarios o decimales, positivos y negativos.

Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraica-mente o mediante tablas y grficas.

Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

Construccin de sucesionesde nmeros enteros a partir delas reglas algebraicas que lasdefinen. Obtencin de la regla general (en lenguaje algebrai-co) de una sucesin con pro-gresin aritmtica de nmeros enteros.

Resolucin de problemas que impliquen el planteamiento y la resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con parntesis en uno o en ambos miembros de la ecuacin, utilizando coefi-cientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y nega-tivos.

Caracterizacin de ngu-los inscritos y centrales en un crculo, y anlisis de susrelaciones.

Anlisis de las caracte-rsticas de una grfica que represente una relacin de proporcionalidad en el pla-no cartesiano.

Anlisis de situaciones problemticas asociadas a fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas, en las que existe variacin lineal entre dos conjuntos de can-tidades.Representacin de la varia-cin mediante una tabla o una expresin algebraica de la forma: y = ax + b.

Resolucin de situacionesde medias ponderadas.

Patrones y ecuaciones

Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autnoma Comunicar informacin matemtica Validar procedimientos y resultados Manejar tcnicas eficientemente

CONTENIDO:

TEMA

212 Eje: Sentido numrico y pensamiento algebraico

Construccin de sucesiones

de nmeros en-teros a partir delas reglas alge-braicas que las

definen. Obten-cin de la regla general (en len-guaje algebraico) de una sucesin con progresin aritmtica de n-meros enteros.

Pat

rone

s y

ecua

cion

es

Eje: Sentido numrico y pensamiento algebraico212

Recordando lo que ya sabes...

Qu relacin encuentras entre el nmero de regletas que usaste para cada figura y la posicin de la figura dentro de la sucesin?

Cuntas regletas usaron?

Cuntas filas de regletas muestra la figura?

Si quisiramos tener slo 3 filas api-ladas, cuntas regletas usaran?

Y para 10 filas?

Podras establecer una regla que te diga la cantidad de regletas que usa-ras en la fila n de la sucesin?

Construyan ahora con regletas blancas la siguiente sucesin y traten de encontrar la regla que nos define el patrn:

En el curso anterior, pudimos analizar varias sucesiones de nmeros naturales, algunas las relacionamos con formas geomtricas, pudi-mos plantear tambin una regla para encontrar cualquier nmero dentro de la sucesin.

Junto con un compaero tomen sus regletas caf y colquenlas como se muestra en el siguiente esquema.

1 2 3

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2

Podras decir cuntas regletas necesitas para construir las figuras 10 y 14 de la sucesin?

Ahora construye la secuencia que correspondera a las otras tres reglas que te dimos, encuentra los primeros 6 trminos y adems encuentra el trmino 12 y 17 de cada una de ellas.

Fjate bien en las siguiente reglas y elige la que corresponde a la secuencia de regletas blancas que construiste.

1 n + 3 2 (n +2) +1 3 (3n + 2) +1 4 3n

Un pequeo submarino no tripulado que hace una investigacin en el fondo del mar baja a una razn de 45 metros cada minuto. Recordemos que las medidas bajo el nivel del mar se consideran negativas.Completa la tabla de acuerdo a la informacin que tienes:

Vamos a construir sucesiones:

Tiempo

Metros

1 minuto 2 minutos 3 minutos 4 minutos 5 minutos

Cmo obtienes el tercer trmino de la secuencia?

Cmo podras saber a qu profundidad se encuentra el submarino des-pus de 10 minutos de iniciado el descenso?

Cunto tiempo tardar en llegar a un naufragio que est a 200 metros de profundidad para tomar unas fotos?

Qu observas en la sucesin, va aumentando o disminuyendo?

Llamamos sucesin a la lista de nmeros que siguen una determinada regla para calcular el si-guiente trmino.

Por ejemplo, la sucesin: 3, 8, 18, 38, 78, _ _ _ sigue la siguiente regla: suma 1 al ltimo trmino de la sucesin y al resultado multiplcalo por dos.

Eje: Sentido numrico y pensamiento algebraico 213


ACTIVIDAD 3



Escribe la regla general que describe a esta sucesin:

Encuentras alguna constante?

Qu operacin haces con la constante, las sumas o la multiplicas?

A Alexis su pap le da $100 el lunes para sus gastos diarios. Gasta $26 promedio diario en transporte y almuerzo. Llena la siguiente tabla:

Da

Dinero

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

Le alcanza a Alexis el dinero que le da su pap los lunes para toda la se-mana?

Cuntos das puede Alexis cubrir sus gastos con ese dinero?

A partir de que da tiene que empezar a pedir prestado para poder cubrir sus gastos?

Cunto le tendra que dar a Alexis su pap para que le alcance para la semana?

Encuentra una regla general que describa la sucesin, y la constante que debes usar para que se cumpla.

Como vers, has trabajado con sucesiones que se construyen de diferente manera, en algunas sumas la constante y en otra la multiplicas.Ejemplo: la sucesin: 4, 7, 10, 13, 16, 19, es una sucesin aritmtica ya que la diferencia entre dos trminos consecutivos es 3, es decir a un trmino se le suma 3 para obtener el trmino anterior.

La sucesin 2, -6, 18, -54, 162, es una sucesin geomtrica ya que se re-quiere multiplicar cada trmino por -3 para obtener el trmino siguiente.

Una sucesin aritmti-ca es la lista de nmeros que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una diferencia constante.El primer trmino de la lista se denota por a1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n-simo trmino an de la sucesin usando la fr-mula:

an= a1 +d (n -1)

Una sucesin geom-trica es la lista de nme-ros que tienen la propie-dad que cualesquiera dos consecutivos tienen una razn constante. Es decir, si dividimos

para cualesquiera dos trminos consecutivos de la sucesin.

El primer trmino de la lista se denota por a1 y la razn constante por r. Podemos calcu-lar el n-simo trmino an de la sucesin usan-do la frmula:

an = (a1) (r n-1)

at + 1

at= r



Analiza las siguientes sucesiones para determinar si son geomtricas o aritmticas y encuentra la constante que se utiliza en cada una as como la regla general que la describe.

A trabajar...

SucesinGeomtrica o

aritmetica ConstanteRegla general

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

8, 6, 4, 2, 0, -2, -4

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

7, -14, 21, -28, 35, -42

2, 5, 8, 11,14, 17, 20

1.5, 0, -1.5, -3, -4.5, -6

-4, 1, 6, 11, 16, 21, 26

0, -25, -50, -75, -100



Ahora te vamos a dar la regla de varias sucesiones y t encuentra los ocho primeros trminos de cada una as como el trmino 15 y el 30:

Fcil o difcil?

Con un compaero inventa tres reglas y construyan las secuencias.Despus intercambia con otra pareja de compaeros sus secuencias, sin dar-les la regla y descubran las reglas. Comenten los resultados.

Regla Trmino 15 Trmino 30

n+5

4n

-5n

2n-15

-2n+8

6n+8

15n

-2n +1

-3n

-2n-2

n

n2

-4n-5

n-21

4n+5

Los ocho primeros trminos

TEMA

Resolucin de problemas que impliquen el

planteamiento y la resolucin de ecuaciones

de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con parntesis en uno o en

ambos miembros de la ecuacin, utilizando coefi-cientes enteros, fraccionarios o

decimales, posi-tivos y negativos.

CONTENIDO:

Pat

rone

s y

ecua

cion

es

La balanza de donJos Luis


Don Jos Luis tiene una tienda de abarrotes, y su hijo Santiago le es-condi las pesas de la balanza. Ahora se le ha complicado un poco las ventas porque le es difcil determinar el peso de las cosas.Lo que hace es colocar diferentes cosas en los platos de la balanza para tratar de encontrar su peso.Quiere saber el peso de una lata de tomate y se da cuenta de que la ba-lanza queda nivelada si coloca objetos de los que si conoce su peso para equilibrarla de la siguiente forma:

1 kg1 kg

1 kg

Tom

ate

3 kg 5 kg

Que te parece si utilizamos o tu tablero de positivos y negativos para representar cada uno de los platos de la balanza y representamos con re-gletas el problema de Jos Luis?

Representaremos el valor de lo que no conocemos con cualquier cosa. Puedes hacer regletas de algn color de papel que no tenga el tamao de ninguna de tus regletas.



Tomate

a

b b bv

Qu podemos hacer para encontrar el valor peso de la lata de tomate?

Analiza las siguientes preguntas y responde:

Qu pasa si paso las tres regletas blancas de un plato al otro?

Qu pasa si agrego 4 kilos a cada plato?

Qu pasa si le quito lo mismo a cada plato?

Qu pasa si paso algo del plato de la derecha al de la izquierda?

Qu es lo que pasa si sumo lo mismo a cada lado?

Qu pasa si quito a ambos lados algo pero diferente?

Qu tengo que hacer para que mi balanza se mantenga en equilibrio?

Lo que tenemos en los platos podemos representarlo con una expresin matemtica en la que el equilibrio lo representaremos como una igualdad.Lata de tomate + 3b= a + vSi te parece, para no tener que escribir lata de tomate cada vez que lo necesitemos lo representaremos como xEntonces la representacin matemtica de nuestro problema quedara

x + 3b = a + v

Cmo podemos encontrar ahora el peso de la lata de tomate?

Vamos a quitar ahora lo mismo a cada plato para que el equilibrio no se pierda.

=



=

x + 3b = a + v

Damos valor numrico a las regletas:

x + 3 = 5 + 3

=

Quito 3 de cada lado de mi balanza.

x + 3 - 3 = 5 + 3 - 3

=

x = 5

Ya tengo el peso de la lata de tomate !

b b bx

a v

a vv

b b bxv

x a

EL principio de la ba-lanza nos sirve para mantener el equilibro o balance en una ecua-cin. Toda operacin que se realiza en un lado de la igualdad, debe de realizarse tambin del otro lado para que sta se conserve.



A la representacin algebraica que acabas de construir se le llama ecuacin.

Una vez que tenemos representada y escrita la ecuacin podemos mani-pular y sustituir nuestras regletas para hacer que nos quede una regleta incgnita sola en un plato de la balanza y as conocer su valor.

Describe a continuacin los pasos a seguir para poder encontrar el valor de x en la ecuacin:

=x

x

R Vx

Paso 1

x x

2x - x + 4 = x - x + 6

En una ecuacin intervienen smbolos cuyos valores son conocidos y smbolos cuyos valores son desconocidos o incgnitas.Por ejemplo, la expresin:

x + x + 4 = x + 6

Tiene smbolos con valores conocidos como el 4 y el 6 y smbolos que se desconocen como x, y z que se llama incgnita.Representemos la ecuacin en tu tablero de positivos y negativos.

x + x + 4 = x + 6

2x + 4 = x + 6

=x

x

R Vx

Resolvamos la ecuacin:

Una ecuacin es una igualdad que contiene cantidades desconoci-das, por ejemplo:

x + 6 = 20

La incgnita es el smbolo literal cuyo valor se desconoce. Generalmente se de-notan a la incgnita usando las ltimas le-tras del alfabeto:

t, u,v, x, y, z.



Lo que acabamos de hacer es resolver la ecuacin. Cuando resolvemos una ecuacin intervienes operaciones en cierto orden para lograr despe-jar la incgnita.

Hagamos ejerciciosResuelve las siguientes ecuaciones representndolas primero con regle-tas en tu tablero, registra los pasos que vas haciendo en tu cuaderno de centmetro cuadrado escribiendo el proceso que haces en cada paso:

X+8=8+6

3+x+10= 22+3

1

2

=x R V

Paso 2

x + 4 = 6

=x R V

Paso 3

x + 4 - 4 = 6 - 4

R R

=x r

Paso 4

x = 2



En algunas ecuaciones te vas a encontrar parntesis, recuerdas tu jerarqua de operaciones? De acuerdo a la jerarqua debemos trabajar primero el parntesis y eliminarlo para poder trabajar despus con las dems operaciones.Por ejemplo: Resolvamos en tu tablero 4(x+1) = 20

Y si encuentro un parntesis?

X+2=19

3x + 5 = 2x + 9

2x +12= x - 12

4x + 2= 3x +8

7x +1= 4x +16

3

4

5

6

7

4 veces (x + 1 ) = 20=x

x

x

x NN

Representamos:

4 (x + 1 ) = 20

4x + 4 = 20

=

x

x

x

x NN

4x + 4 - 4 = 20 - 4RR R

Ahora s, ya no tenemos parntesis y podemos despejar la x como o habamos venido haciendo:



=

x

x

x

x NV

Buscamos una regleta que me divida al 16 en 4 partes iguales:

=4x4

164

=

x

x

x

x R Entonces: x = 4RRR

Resuelve ahora las siguientes ecuaciones. Recuerda que la incgnita puede estar representada por diferentes letras (x, y, z) pero el proceso para encontrar su valor es el mismo. Represntalas en tu tablero de regletas si es necesario y no olvides la jerarqua de operaciones:

3(x+2)= 30 +x

8+2(y-5)= 14

6(y-1)=7y-12

4(2x+6)= 96

5(x-4)=24

X+4(x-3)=28

25-(3x-5)= -60

5(x-3)+x=21

1

2

3

4

5

6

7

8

Para comprobar que el resultado que obtuviste al resolver una ecuacin, de-bes sustituir el valor encontrado en donde est la incgnita para verificar el resultado. Por ejemplo:

Resolver: 5 (x - 3 ) + x = 21

a Quitamos parntesis: 5x - 15 + x = 21

Hagamos ms ejercicios

Estn bien mis resultados?



b Sumamos los trminos semejantes: 6x - 15 = 21

c Sumamos 15 a cada miembro: 6x - 15 + 15 = 21 + 15

d Reducimos: 6x = 36

e Dividimos todo entre el mismo nmero: 6x6

366=

f Encontramos el valor de x: x = 6

Ahora comprobamos la ecuacin: 5 (x - 3 ) + x = 21

a Sustituimos x = 6 5 (6 - 3 ) + 6 = 21

b Reducimos el parntesis: 5 ( 3 ) + 6 = 21

c Quitamos el parntesis: 15 + 6 = 21

d Reducimos nuevamente: 21 = 21

Si se cumple la igualdad, el valor de x que obtuvimos es correcto.

Regrsate hasta el principio del tema y comprueba que todos los resulta-dos que habas obtenido fueron ciertos.

Y con las fracciones... qu hacemos?Cuando encontramos una ecuacin que tiene una fraccin, debemos de buscar la forma de eliminar los denominadores para poder resolverla.No olvides que la ecuacin es como una balanza en equilibrio y la nica forma de mantener el equilibrio es hacer exactamente lo mismo en ambos platos de la balanza.

Recuerda tambin que lo que necesitamos para resolverla es dejar a la incgnita sola en un miembro de la igualdad para que en el otro miembro nos quede su valor. Los pasos a seguir son diferentes dependiendo de la situacin pero las operaciones que podemos hacer a ambos miembros de la igualdad son suma, resta, multiplicacin, divisin y en su momento vers que tambin habr veces en que te convenga elevar a una cierta potencia e incluso sacar raz.Veamos un ejemplo:



Como vers no es tan complicado, slo hay que encontrar la operacin adecuada para cada caso.

En resumen:

Qu operacin debes hacer a ambos miembros de la igualdad si quie-res eliminar una cantidad que se est sumando?

Y para quitar una que se est restando?

Qu operacin debes realizar para eliminar una cantidad que est multiplicando a tu incgnita?

Y para eliminar una fraccin?

Ms ejerciciosResuelve ahora las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados:

Ecuacin:

a Podemos multiplicar ambos miembros por 5

x5 = 2

x55 ( ) = 5 ( 2 )

b Eliminamos parntesis: 5x5 = 10

c Simplificamos: x = 10

Comprobamos: x5 = 2

a Sustituimos x:105 = 2

b Resolvemos: 2 = 2

Tambin se pueden resolver con un producto cruzado o regla de tres que has venido manejando desde la primaria, recuerdas?

1X2 = 6

220X = 5

343 = 7

44x9 = 4



Ecuacin:

Sabemos que el denominador de un nmero entero es 1.

x7 = 3

x7

= 31

Resolvemos como productocruzado:

x7

= 31

1x = 7 (3)

x = 21

Hacemos productos cruzados:

No olvides poner parntesis:

Otro ejemplo: 7 - x3 =3 + x

7

7 - x3 =

3 + x7

3 (3 + x ) = 7 (7 - x )

Eliminamos parntesis: 9 + 3x = 49 - 7x

Sumamos 7x a ambos miembros: 9 + 3x + 7x = 49 - 7x + 7x

9 + 10x = 49

Restamos 9 a ambos miembros: 9 - 9 + 10x = 49 - 9

10x = 40

Dividimos todo entre 10: 10x10 =

4010

Reducimos: x = 4



Comprobamos: 7 - x3 =

3 + x7

Sustituimos el valor de x: 7 - 43 =

3 + 47

Reducimos: 33 =

33

Resolvemos: 1 = 1

Conforme vayas avanzando en el curso, las ecuaciones se harn ms compli-cadas per si t sigues los pasos que hasta ahora has ido descubriendo, no vas a tener problema.Recuerda siempre tu jerarqua de operaciones que te indica qu hacer prime-ro, y las operaciones inversas que te van ayudando a resolver una ecuacin.

Otra vez hagamos ejerciciosResuelve y comprueba:

19 - b

55 - b

2=

3y - 1

6- y + 6

8=

44x - 7

32 + x

2=

24 - x

27 + x

4=

En donde aplicar las ecuaciones?A nosotros nos interesa que todo lo que aprendas de matemticas tenga una aplicacin en tu vida cotidiana. Las ecuaciones pueden usarse para resolver problemas, pero una parte muy importante de la resolucin de dichos problemas es que te tomes el tiempo necesario para analizar y distinguir la informacin que es importante en el planteamiento que se te hace, as como identificar tus incgnitas y las operaciones que debes hacer para resolverlas.



Vamos a trabajar un poco con esto:

1 La edad de Paloma es 4 veces la de su sobrina Luna. Si se le quita la edad de Sebastin, que es de 16 aos, entonces queda el doble de la edad de Luna. Qu edad tiene Luna?

2 Ramn tiene un negocio de reparacin de ropa, en la que hacen do-bladillos, pegan botones, cambian cierres rotos, etc. Las ventas del mes de diciembre fueron tres veces mayores que las de noviembre, pero apenas la mitad de las ventas de enero. Si en total las ventas de los tres meses fue de $55 000. Cunto se vendi en cada mes?

3 Un rectngulo tiene un permetro de 72 cm. Si uno de sus lados mide x+5 y el otro mide x+1, cul es el valor de x?, cunto mide cada lado del rectngulo?, qu rea tiene el rectngulo?

4 Tenemos dos figuras cuyos permetros son iguales, calcula la medida del lado que desconocemos.

5 Si el rea de las siguientes figuras es de 64cm2, encuentra la altura del rectngulo.

6 Junto con un compaero inventa un problema en el que se tenga que establecer una ecuacin para su resolucin. Intercambia tu problema con otro equipo para que lo resuelvan y analicen si la redaccin fue correcta y pudieron expresar lo que queran.

8 cm 10 cm

2 cm

x

64 cm2

16 cm

x

TEMA

Caracterizacin de ngulos ins-

critos y centrales en un crculo, y anlisis de sus

relaciones.

CONTENIDO:

Med

ida

ngulo central e inscrito en la circunferencia

Eje: Forma, espacio y medida 229

1 En la figura 1 el arco AB mide 15o, por lo tanto el AOB mide 15o por ser un ngulo central. Este ngulo tiene su vrtice en el centro del crculo.

a Cuntos grados miden los siguientes ngulos?

Resuelve lo que se te pide.

AB

C

D

E

F

O

Fig. 1

AOC = BOC = BOD = AOD =

COD = COF = AOE = AOF =

Como ya hemos trabajado con el geoplano circular, sabemos que la circunferencia est repartida en 24 arcos de 15o cada uno, lo cual nos lleva a la conclusin de que el crculo de nuestro geoplano se compone de 24 ngulos centrales, haciendo un total de 360o.

ACTIVIDAD 1

Eje: Forma, espacio y medida230

Medida

a En la figura 2, traza los radios OH y OG y escribe las medidas de los siguien-tes ngulos:

GOH = GHO = HGO =

b En las figuras 3 y 4 traza los radios OC, OD, OE y OF, y escribe las me-didas de los ngulos:

C

O

D

Fig. 3

E

O

F

Fig. 4

2 En el crculo de la figura 2 traza los radios OA y OB.

a Considerando los lneas del AB, AO y OB como los lados de un trin-gulo Qu tipo de tringulo es?

b Cuntos grados mide el AOB?

c Cuntos grados suman los ngulos interiores de un tringulo?

d Si ya tienes el valor del AOB, Cuntos grados faltan para comple-tar los del tringulo AOB?

e En relacin a su longitud, cmo son los lados OA y OB del tringulo AOB?

f Cunto grados mide el OBA?

g Cunto mide el OAB?

h Por qu crees que los dos ngulos son iguales?

A B

O

G

H Fig. 2

3

Eje: Forma, espacio y medida 231

Medida

b Cuntos grados mide el AOB?

c Cuntos grados mide el BOD?

d Si el BOD mide 180o, entonces en funcin de la amplitud de sus lados, De qu ngulo se trata?

5 El AOB comparte el arco AB con el ADB, pero no tienen la misma medida en grados porque la amplitud de los ngulos es diferente. Para en-contrar el valor del ADB nos apoyaremos en el BOD que mide 180o por ser ngulo colineal.

a El AOB mide 30o ya que el arco AB tiene dos espacios de 15o cada uno. Sumando

AOB + AOD = 180o por ser ngulos suplementarios.

Sustituyendo valores: 30o + AOD = 180o

Despejando: AOD = 180o - 30o

AOD = 150o

b Como la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180o, al AOD hay que agregarle los valores de los ngulos OAD y ODA que suman entre los dos 30o.

A

B

C

D

O

Fig. 5

COD = OCD = ODC = EOF = OEF = OFE =

4 En la figura 5 tenemos ngulos centrales compartiendo el mismo arco con ngulos inscritos, los vrtices de estos ltimos hacen contacto con la circunferencia.

a Escribe si los ngulos son centrales o inscritos:

AOB es: ADC es: AOD es: AOC es: BDC es: BOC es:

Eje: Forma, espacio y medida232

Medida

c El tringulo AOD es issceles por tener dos lados iguales OA y OD, lo que significa que OAD = ODA, y que cada ngulo mide 15o. Por lo tanto el ADB mide 15o, o sea la mitad del ngulo central AOB.

d En la figura 6 podemos observar que el ODA = AOE, y que AOE = del AOB.

6 En la figura 6 el BOC y el BDC comparten el arco BC.

a Cuntos grados mide el arco BC?

b Cuntos grados mide el BOC?

c Cuntos grados mide el BOD?

d Por qu?

e Cuntos grados mide el COD?

f Cuntos grados mide el ODC?

g Cuntos grados mide el OCD?7 En la figura 7 hay varios ngulos inscritos compartiendo el arco

AF con el AOF.

Cuntos grados mide cada ngulo?

AOF = ABF = ACF = ADF = AEF =

D

A

B

CO

E

Fig. 6

F AO

ED C

B

Fig. 78 Trata de definir con tus propias palabras el procedimiento para

encontrar la medida de los ngulos inscritos.

En tu geoplano rectilneo coloca 2 ligas como se te indica e imagina que son los ejes de coordenadas de una grfica.

Cmo se le llama al eje vertical?

Con qu literal se representa normalmente?

Cmo se le llama al eje horizontal?

Con qu literal se representa?

Cmo se le llama al punto donde se intersectan los ejes de coordena-das?

Cmo se representa el punto de interseccin?

Localiza en tu geoplano los siguientes puntos:

( 0,1 )

( 2,0 )

( 4,3 )

( 1,3 )

( 2,4 )

( 1,0 )

( 0,2 )

( 2,2 )

( 3,3 )

( 3,1 )

TEMA

Anlisis de las caractersticas de una grfica que represente una relacin de proporcionali-

dad en el plano cartesiano.

CONTENIDO:

An

lisis

y r

epre

sent

aci

n de

dat

os

El plano cartesiano

Eje: Manejo de la informacin 233

Eje: Manejo de la informacin234

Proporcionalidad y funciones

Recuerdas qu nombre se le da a cada pareja de nmeros?

Qu representa el primer nmero en un par ordenado?

Qu representa el segundo nmero en un par ordenado?

Al conjunto de todas estas representaciones se le llama plano cartesiano.

El plano cartesiano est formado por el eje de las abscisas (que comn-mente se representa con x), el eje de las ordenadas (que se representa normalmente con y) y los pares ordenados (x,y), que nos permiten ubicar cada punto.

El plano cartesiano tiene 4 cuadrantes que se forman con la prolongacin de los ejes hacia abajo y hacia la izquierda del origen.Ya has trabajado con ellos en la primaria, recuerdas?

y

x

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante IVCuadrante III

Vamos a trabajar ahora en equipos de 4 compaeros.Cada uno va a ser un cuadrante del plano cartesiano y colocar las ligas de los ejes de coordenadas en la posicin correcta, con respecto al origen.

A continuacin te damos una lista de pares ordenados y ustedes tienen que decir a qu cuadrante corresponden y ubicarlos en sus geoplanos de acuerdo al cuadrante que cada uno represente.

( -1, 2 )

( -3, 4 )

( 1, -1 )

( 0, 0 )

( 4, -2 )

( 1, 1 )

( 3, 4 )

( 1, 2 )

( 2, -3 )

( 3, -2 )

( -1, -1 )

( 1, -2 )

( -4, -1 )

( -4, -2 )

( -1, 1 )

Plano cartesiano Siste-ma de coordenadas enel cual los ejes son mu-tuamente perpendicu-lares y ambos utilizan la misma unidad de medida.

El plano cartesiano uti-liza un sistema de co-ordenadas cartesianas (rectangulares) para de-terminar las coordena-das de los puntos.Al plano cartesiano tam-bin se le llama plano coordenado.

En el plano cartesiano podemos hacer grficas de funciones para poder observar e incluso pronosticar el comportamiento de un fenmeno de acuerdo al tipo de variacin que presente. Podemos ver si la variacin es proporcional, intervalos entre un punto y otro, y muchas cosas ms.

ACTIVIDAD 1



Ahora cada uno de ustedes, por turnos, seale un punto en su cuadrante y que sus compaeros de equipo digan el par ordenado al que pertene-ce.

Describe brevemente cmo reconoces a qu cuadrante corresponde un par ordenado.

Cuadrante I:

Cuadrante II:

Cuadrante III:

Cuadrante IV:

En el siguiente plano cartesiano localiza los siguientespares ordenados:

y

x

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

A ( 3, 1 )

( 5, 3 )

( 3, 5 )

( 1, 3 )

B

C

D

Une con color negro los puntos ABCD para formar un cuadriltero.Con color rojo, traza una figura ABCD simtrica a ABCD respecto al eje vertical.Traza una figura A B C D simtrica a ABCD respecto al eje horizontal.Localiza los pares ordenados de cada punto:

A C DB

En un sistema de coor-denadas rectangulares, el plano queda dividido en 4 regiones. Cada una de esas regiones es un cuadrante.

ACTIVIDAD 2



A C

A C

A C DB

DB

DB

1 Doa Tere vive en el Distrito Federal y ltimamente a habido mucha escasez de agua.El gobierno del Distrito Federal le mand una notificacin de los das que recibir agua y las cantidades que sern suministradas.

Diego, su nieto, le hizo unas grficas de cunta agua tendra en la cisterna durante esos das. Diego tom en cuenta tambin la cantidad de agua que haba los das en que la cisterna no estaba vaca al iniciar el da.

Horas

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agu

a en

la c

iste

rna

(litr

os)

Lunes

Hagamos ejercicios



550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agu

a en

la c

iste

rna

(litr

os)

Horas

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agu

a en

la c

iste

rna

(litr

os)

Horas

Mircoles

Viernes



Durante cuntas horas se har el suministro de agua?

En qu da haba ms agua en la cisterna al iniciar el da?

La cantidad de agua que entra por hora depende de la presin con la que se bombea el suministro. En qu da de los que grafic Diego el agua tena ms presin?

En qu da el suministro de agua no fue constante? Por qu?

En qu das el suministro de agua y la cantidad de agua en la cisterna mantienen una relacin directamente proporcional?

Qu caractersticas tienen las grficas que mantienen una proporcin directa?

Construye una tabla que represente el suministro de agua y el tiempo de cada una de las grficas.

Indica qu tablas son directamente proporcionales y justifica tu respuesta.

Establece una expresin algebraica para las grficas que puedas.

Horas

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

Agu

a en

la c

iste

rna

(litr

os)

Sbado

TEMA

Anlisis de situaciones

problemticas asociadas a

fenmenos de la fsica, la biolo-

ga, la economa y otras discipli-nas, en las que existe variacin lineal entre dos conjuntos de cantidades.

Representacin de la variacin mediante una tabla o una ex-

presin algebrai-ca de la forma:

y = ax + b.

CONTENIDO:

Pro

porc

iona

lidad

y f

unci

ones

Aplicacin de lasecuaciones


En este tema veremos de qu forma se aplican las ecuaciones que estuviste trabajando en el tema anterior a problemas relacionados no slo con las matemticas, sino con otras materias.Por ejemplo: En economa y finanzas, se requiere de ecuaciones para cal-cular la conversin de monedas como dlares a pesos mexicanos y estos a su vez a euros, etc. Tambin usamos ecuaciones para calcular las tasas de inters y el rendimiento de una inversin de dinero en un banco.

En medicina, las ecuaciones son de suma importancia pues nos ayudan a calcular la dosis de medicamento que se debe de dar a un individuo de acuerdo a su peso y estatura, no podemos dar la misma dosis a un beb que a un nio de 8 aos o a un adulto.

Los veterinarios tambin necesitan calcular la cantidad de medicamento que le dan a un becerro o a un toro.En fsica la conversin de escalas de temperaturas, el movimiento de un cuerpo, la velocidad, la aceleracin, entre otras muchas cosas se calculan mediante ecuaciones.



Cmo se alarga un resorteEn la central de abastos, tienen un resorte para pesar los costales de na-ranjas.El resorte tiene 10 cm de longitud cuando no tiene peso, y por cada medio kilo que se le cuelga de peso se extiende un centmetroCompleta la siguiente tabla para que veas la relacin entre la longitud del resorte y el peso que se le cuelga.

Si el alargamiento mximo que aguanta el resorte es de 10 centmetros, cul es el peso mximo que se puede colgar?

Si aumentamos el peso que est colgado al doble, el alargamiento del resorte tambin es del doble?

Establece la ecuacin que te describe el problema.

Qu tan rpido viaja un automvilEn un viaje que hicieron Mariel y Ramn de Puebla a Oaxaca por carrete-ra hicieron un recorrido de 344 km. De Puebla a San Jos Miahuatln, el recorrido es de 152 km, mismos que pudieron recorrer a una velocidad constante de 110 km/h ya que salieron temprano de casa. Se detuvieron a desayunar y tardaron 35 minutos en el desayuno. Cuando retomaron la carretera ya haba ms trfico y viajaron a una velocidad constante de 95 km/h.

Establece la ecuacin que nos ayuda a encontrar el tiempo que tardaron de Puebla a San Jos y de San Jos a Oaxaca.

Peso Longitud total del resorte Cunto se alarga

0 10 centmetros 0

1/2 kg 11 centmetros 1

1 kg

2 kg

3 kg



Puedes calcular ambos tiempos con la misma ecuacin?

Por qu?

Calcula el tiempo parcial de cada recorrido, el tiempo total del viaje y a qu hora llegaron a Oaxaca si salieron de Puebla a las 6 de la maana.

Y en la medicina, qu podemoscalcular?Sabes cunta sangre tenemos en nuestro cuerpo? Crees que todos te-nemos la misma cantidad? Se calcula que un adulto sano tiene aproxima-damente un litro de sangre por cada 10 kg de masa.

Puedes establecer una ecuacin que nos ayude a calcular la cantidad de sangre que tiene cualquier persona adulta si conocemos su masa?

Cunta sangre tiene un hombre que tiene una masa de 68.2 Kg?

Puedes calcular cunta sangre tienes aproximadamente en tu cuerpo?

Los ingenieros civiles tambinusan ecuaciones

Se construy una presa con una capacidad de 150 000 000 000 m3. El ro que la alimenta tiene un caudal de aproximadamente unos 70 000 litros por minuto. Escribe una ecuacin que nos indique el llenado de la presa en funcin del tiempo considerando la presa vaca.

Si la presa tuviera 3 000 000 de litros de agua, cul sera la ecuacin que describe el llenado?

Cunto tiempo se tomar en ambos casos el llenado de la presa?

Como vers las ecuaciones tienen muchas aplicaciones en muchas mate-rias. Toma tu libro de fsica y busca al menos dos situaciones en las que se aplica una ecuacin para la resolucin del problema.


CONTENIDO:

TEMA

242

Resolucin de situaciones

de medias pon-deradas.

An

lisis

y r

epre

sent

aci

n de

dat

os

242

Todos cuentan igual?

1 En un elevador viajan 9 personas, cuyos pesos son 77, 85, 65, 75, 68, 77, 72, 68 y 43 kg respectivamente.

Puedes cul es el peso promedio de estas siete personas?

Qu te representa este promedio?

Cul es el proceso que seguiste para encontrar este promedio?

Resolvamos otro ejercicio, es importante que analices bien primero los da-tos que se te dan antes de resolverlo.

2 A un conjunto de 6 nmeros cuya media aritmtica es de 8.17 se le aa-den los nmeros 3.82 y 5.45.

Cul es la media del nuevo conjunto de nmeros?

Compara tus resultados con tus compaeros, analicen lo que hicieron para resolverlo. Si los resultados son diferentes, analicen los pasos que siguieron para encontrar en dnde est la diferencia en sus procesos.

E En temas anteriores ya has trabajado con el promedio o media arit-mtica. Recuerdas cmo resolvas problemas de este tipo?Veamos:


Anlisis y representacin de datos

Respondan las siguientes preguntas:

Cules son los datos del problema?

Tiene todos estos datos el mismo peso dentro de la resolucin del pro-blema? Por qu?

Qu propones para que se pueda nivelar la diferencia entre el peso de los datos dentro del problema?

Comenten entre ustedes y con su maestro, qu es lo que deben hacer para resolver el problema de manera correcta.

Lo que estamos haciendo es ponderar los datos para encontrar de forma correcta la media aritmtica.

Qu significa ponderar? Ponderar significa determinar el peso de algo, equilibrar. Es decir, ponderar implica dar a cada uno de los elementos del conjunto con el que se trabaja el peso o importancia que se requiere.

En el caso del ejercicio que acabas de resolver, lo que debes hacer es obte-ner una media ponderada.

La media ponderada se utiliza cuando no todos los elementos de los que se requiere encontrar la media aritmtica o promedio tienen la misma im-portancia.

Resolvamos otro ejercicio:

3 Dentro de un elevador van 10 personas. Seis de ellas son hombres y cuatro mujeres. El promedio de peso de los hombres es de 80 kg y el pro-medio de peso de las mujeres es de 50 kg.

Cul es el peso promedio de las 10 personas que van en el elevador? Justifica tu respuesta.

La media ponderada es una medida de tenden-cia central, que se de-termina en un conjunto de nmeros al resultado de multiplicar cada uno de los nmeros por un valor particular, consi-derado su peso. Con los resultados de cada uno de los datos, se obtiene la media aritmtica de todos los productos an-teriores.

Tienen los datos del problema el mismo peso en la solucin?

Todos los datos representan la misma contribucin al promedio gene-ral?

Crees que requieras aplicar una ponderacin para resolver el proble-ma?

Hagamos un anlisis:

Qu porcentaje de las personas que van en el elevador pesa 80 kg?

Qu porcentaje pesa 50 kg?

Si sumamos los porcentajes que obtuviste, tendremos el 100%, cierto?

Representa ahora los porcentajes en decimales:

Porcentaje de personas que pesan 80 kg = ____ % =_____

Porcentaje de personas que pesan 50 kg = ____ % =_____

Ahora multiplicamos estos porcentajes por el peso de las personas para obtener el promedio ponderado:

80kg (_____) + 50kg (_____) = ________

Este resultado es el promedio ponderado!

Coincide con el resultad que obtuvieron tus compaeros y t por el m-todo individual de cada uno?

Comparen resultados y compartan sus comentarios con su maestro.





Vamos a ejercitarnos ahora:

1 Una empresa tiene 80 empleados, de los cuales 65 ganan $10.00, x hora y 15 ganan $14.00 x hora Cual ser la ganancia promedio por hora de los empleados?

2 Las siguiente tabla muestra los 4 exmenes que presento un alumno en su curso de Historia. Cada examen tiene un peso diferente en la calificacin final. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes y las calificaciones que el alumno obtuvo:

Cul ser su calificacin promedio en el curso de historia?

3 Diego juego Hockey sobre pasto. En un partido el equipo gana 3 puntos por cada partido ganado, 2 puntos por cada partido empatado y 1 punto por cada partido perdido.

Si durante la temporada el equipo de Diego gan 8 partidos, empat 7 y per-di 5 partidos; Cul es el promedio ponderado de los puntos obtenidos en la temporada?

Hagamos ejercicios

Examen Pesos Calificacin

1 20% 9

6

10

8

40%

15%

25%

2

3

4

4 Una constructora le paga a sus empleados del turno 1 $25 x hora, a los del turno

2 $20 x hora y a los del turno 3 $30 x hora. Si hay 12 empleados en el turno 1, 16 en

el turno 2 y 12 en el turno 3. Cul es el salario medio ponderado por hora que se les

paga a los empleados en la constructora?

5 En un camin de pasajeros viajan 4 personas, 30 adultos y 10 nios. Si la edad promedio de los adultos de 40 aos y la de los nios es de 6 aos, cul es la edad promedio de las 40 personas que viajan en el autobs?

7 Para la calificacin final de matemticas, el maestro de Macarena les in-form que se considerarn los siguientes aspectos: examen individual, trabajo en equipo, participacin individual en clase, tareas completas, calificacin del cuaderno.

Macarena tiene un promedio de 8 en el examen individual y la calificacin del cuaderno y un promedio de 7 en los dems aspectos a considerar.

El maestro dice a Macarena que tiene un promedio de 7.4 y que en el redon-deo baja a 7 pero segn ella su promedio es de 7.5 y en el redondeo sube a 8.

Quin tiene la razn? Justifica tu respuesta.

Ahora vamos a trabajar en equipos de 4 5 compaeros. Cada equipo invente dos situaciones cuya resolucin requiera calcular un promedio ponderado. Expongan algunas de las situaciones que inventaron a los dems compaeros, resulvanlas de forma grupal y comenten sus resultados.



Sntesis Bloque 4 247

Sntesis

Sntesis:A continuacin te damos la sntesis para el bloque 4, para que recuerdes los conceptos ms importantes con los que trabajamos en este bloque. Es importante que los leas y los recuerdes pues los utilizars a lo largo de tu formacin secundaria.

Series y sucesiones:Llamamos sucesin a la lista de nmeros que siguen una determinada regla para calcular el siguiente trmino.

Por ejemplo, la sucesin: 3, 8, 18, 38, 78, _ _ _ sigue la siguiente regla: suma 1 al ltimo trmino de la sucesin y al resultado multiplcalo por dos.

Una sucesin puede ser geomtrica o aritmtica.La sucesin aritmtica es la lista de nmeros que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una diferencia constante.El primer trmino de la lista se denota por a

1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n-simo trmino an de la sucesin usando la frmula:

an = a1 +d (n -1)

Mientras que la sucesin geomtrica es la lista de nmeros que tienen la propiedad que cualesquiera dos consecutivos tienen una razn constante. Es decir, si dividimos

para cualesquiera dos trminos consecutivos de la sucesin.El primer trmino de la lista se denota por a

1 y la razn constante por r. Po-demos calcular el n-simo trmino an de la sucesin usando la frmula:

an = (a1) (r n-1)

Ecuaciones:En este bloque conociste el principio de la balanza que nos sirve para mantener el equilibro o balance en una ecuacin. Toda operacin que se realiza en un lado de la igualdad, debe de realizarse tambin del otro lado para que sta se conserve.Se conoce como ecuacin es una igualdad que contiene cantidades desco-nocidas, por ejemplo: x + 6 = 20

at + 1

at= r

Sntesis Bloque 4248

Sntesis

AB

O

ngulo central e inscrito en la circunferenciaEl ngulo central es el que est formado por dos radios

La media ponderada

El ngulo inscrito es aquel cuyo vrtice est sobre la circunferencia y cu-yos lados son cuerdas. La amplitud de un ngulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco de un ngulo central.

AD

C

B

O

A

B

O

A

B

O

La media ponderada es una medida de tendencia central, que se determi-na en un conjunto de nmeros al resultado de multiplicar cada uno de los nmeros por un valor particular, considerado su peso. Con los resultados de cada uno de los datos, se obtiene la media aritmtica de todos los productos anteriores.

Evaluacin Bloque 4

Evaluacin

1 Encuentra los primeros 6 trminos de las siguientes sucesiones:

Encierra la respuesta correcta.

a n-1

b 1/n

c (1/n)+1

d 1/(n+1)

Evaluacin

2 Calcular los ngulos que se te solicitan a partir de los datos registrados en la figura.

ngulo A________

ngulo B________

ngulo C________ A

C

D

130o

249

Evaluacin Bloque 4250

Evaluacin

3 En la secundaria regional se organiz un torneo de futbol. El grupo de 2C fue encomendado para un experimento. Ellos deben generar una ecuacin que determine el consumo del agua de sabor con los siguientes datos:

Elabora una ecuacin que te represente el consumo de agua.

4 En una tienda se venden durante una semana 30 paquetes de frijol de $23.00 el paquete, 50 paquetes de frijol de $18.00 el paquete y 20 paquetes de frijol de $20.00. Cul es el costo medio de los 100 paquetes?

Lts Personas(y) (x)

1/4

1/2

3/4

1

1 + 1/4

1

2

3

4

5

Evaluacin Bloque 4 251

Evaluacin

5 Ahora formen 6 equipos con los compaeros del saln y hagan un sorteo del los 6 apartados de este bloque.

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situacin didctica del apartado que les toc y resulvanlo. Mustrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solucin.

6 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de so-lucin que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compaeros de clase.

secundaria 2º bloque 4

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