section 3: électrostatique

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Section 3: électrostatique

Exercice 1Imaginer deux masses de m = 1 kg dont = 0,01 % de la charge serait non compensée.Montrer qu’il faut les éloigner l’une de l’autre d’une distance de l’ordre de la distanceterre-lune pour qu’elles ne s’attirent ou ne se repoussent que de 10 N.Applications:

a. deux masses de H, de masse atomique M = 1 et numéro atomique z = 1b. deux masses de Cu, de masse atomique M = 63,5 et numéro atomique z = 29

Exercice 2Deux charges sont placées le long d’un axe x: q1 = 8q à l’origine et q2 = - 2q à x = L.a. En quel point de l’axe x peut-on placer un proton pour qu’il soit en équilibre.b. Cet équilibre est-il stable ou instable (cas unidimensionnel selon x) ?

Exercice 3Le champ électrique existant dans une région de l’espace est décrit en [V/m] par Ex =0, Ey = 1/y2 et Ez = 1/z3. Trouver la densité de charges (x) et calculer sa valeur en x =(0,1,2) [m].

Exercice 4Une charge électrique q est placée à chaque sommet d’un triangle équilatéral de côtéd.a. Pour chaque charge, calculer la force électrique et l’énergie potentielle résultant de

l’interaction avec les autres charges.b. Déterminer le champ et le potentiel électriques au centre du triangle.c. Calculer l’énergie interne du système.d. Déterminer le travail qu’il a fallu fournir pour réaliser cet arrangement de charges

en les amenant de l’infini; interpréter le signe du résultat.Application: q = 1 C, d = 10 cm.

Exercice 5Calculer le champ électrique sur l’axe z d’un disque non-conducteur de rayon R dontla face orientée selon l’axe z positif possède une distribution superficielle homogènede charges.

Exercice 6Trois charges ponctuelles identiques + q, chacune dem = 0,1 kg, sont suspendues à 3 fils; elles sont enéquilibre dans la position de la figure. Pour L = 30cm et = 45o, calculer la valeur de q.

LL

Electromagnétisme Polycopié 2016 Prof. J.-J. Meister

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Exercice 7Pour la disposition de charges donnée à la figure, cal-culer:a. le champ et le potentiel électrique au point A où se

trouve la charge q, b. l’énergie potentielle de la charge q résultant de son

interaction avec les autres charges,c. l’énergie interne du système,d. le travail qu’il a fallu fournir pour réaliser cet arrangement de charges en les ame-

nant de l’infini; interpréter le signe du résultat obtenu.Application: a = 0.2 cm, b = 0.4 cm et q = 6 C.

Exercice 8On considère une coquille demi-sphérique de rayon R portant une charge Q > 0 répar-tie uniformément sur la surface interne. Déterminer le champ électrique au centre dela base de la demi-sphère.

Exercice 9Un fil rigide uniformément chargé, decharge totale Q et longueur 2L, est placé lelong de l’axe d’un anneau uniformémentchargé, de rayon a et charge totale Q’: fi-gure. z0 est la distance entre le milieu du filet le centre de l’anneau.a. Calculer le champ électrique créé par

l’anneau en tout point z de son axe.b. Déterminer la force ressentie par le fil ri-gide.c. Traiter le cas particulier où z0 - L >> a.d. Montrer ensuite que cette force se réduit à la force de Coulomb entre 2 charges

ponctuelles si le fil est suffisamment éloigné de l’anneau.Hypothèse: les sections de l’anneau et du fil sont négligeables, i.e. les charges Q et Q’

ont une distribution linéique.

Exercice 10Etant donné la disposition de charges de la fi-gure, où q1 = 1,5.10-3 C, q2 = - 0,5.10-3 C, q3 =0,2.10-3 C, AC = 1,2 m et BC = 0,5 m, trouver:a. la force résultante sur la charge q3b. le champ électrique créé par les charges q1 et

q2 en C

q -2q

2q 3qb

a

A

z

z00

A C

B

q3

q2

q1


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Exercice 11Imaginer que l’on construit le cristal de NaCl de la fi-gure en amenant un ion après l’autre autour du ionNa central (les dimensions des ions ne sont pas res-pectées).a. Etablir une formule générale de l’énergie poten-

tielle d’un système quelconque de charges ponc-tuelles à partir de cet exemple.

b. En déduire la formule générale de l’énergie poten-tielle d’un cristal macroscopique de NaCl, puis ex-primer les trois premiers termes de cette fonction.

c. Si les forces électriques disparaissaient subitement,quelle serait l’énergie cinétique totale de tous les ions de ce cristal?

Exercice 12Une charge +q est placée à une distance a d’un plan conducteur maintenu au potentielzéro. On peut montrer que le champ électrique résultant, à la surface du conducteur,est le même que si l’on supprimait ce plan pour le remplacer par une charge -q placéeà une distance -a. Cette seconde charge est appelée charge image de la première.a. Montrer qu’en tout point du plan médiateur de la distance séparant les 2 charges i)

le potentiel est nul et ii) le champ électrique est normal au plan.b. Utiliser le résultats obtenus en (a) pour calculer la densité de charge sur le plan

conducteur. Montrer que cette densité est proportionnelle à 1/r3, où r est la distanced’un point du plan à la charge +q.

c. Vérifier que la charge induite sur tout le plan conducteur est bien -q.d. Dessiner quelques lignes de champ.e. Quels sont les indices obtenus qui indiquent que la solution obtenue est correcte ?

Exercice 13Une pièce de monnaie en argent (supposé pur) pèse 2,38 g. Pour chaque 1012 électronsprésents, combien doit-on en enlever pour que la pièce possède une charge de 1 C?

Exercice 14Est-ce que les charges positives cherchent à atteindre les régions de potentiel élevé oude potentiel faible ? Justifier votre réponse par une à deux phrases courtes et précises !

Exercice 15Déterminer le champ électrique produit par un fil rectiligne infiniment long, portantune charge par unité de longueur.

Exercice 16Montrer qu’il existe en physique des fluides des grandeurs analogues à E, V, équipo-tentielles et lignes de champ électrique.Remarque: cette analogie montre que les problèmes d’électrostatique dans le vide ontdes solutions analogues à celles d’écoulements irrotationnels de fluides incompres-sibles. Cela permet notamment l’utilisation de méthodes expérimentales d’électrosta-tique pour décrire des écoulements de fluides, et réciproquement.


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Exercice 17Calculer la force électrostatique entre un ion de sodium (Na+) et un ion de chlore (Cl-)dans un cristal de sel lorsqu’ils sont séparés de 2,82.10-10 m.

Exercice 18Une goutte d’huile de charge q, de rayon R = 2,76 m et dedensité = 920 kg/m3 est maintenue en équilibre sous l’effetde son poids et d’un champ électrique uniforme E = 1,65.106

N/C: figure.a. Calculer la valeur et le signe de la charge; exprimer le ré-

sultat en multiples de |e|.b. La goutte est exposée à une source radioactive émettant des électrons. Deux élec-

trons sont capturés par la goutte. Calculer l’accélération de la goutte en négligeantla viscosité.

Remarque: Millikan a réalisé l’expérience (a) pour démontrer la quantification de lacharge.

Exercice 19Un cylindre infiniment long de rayon R possède une densité de charge volumique positive. Calculer le champ et le potentiel électriques en tout point de l’espace, puistracer la courbe E(r).

Exercice 20Une petite sphère non-conductrice de masse m = 1 mg et decharge q = 2.10-8 C est attachée à l’extrémité d’un fil isolant sus-pendu à une plaque verticale isolante de très grandes dimensionsportant une charge uniforme par unité de surface s.Déterminer s si l’angle entre le fil et la plaque est de = 30o.

Exercice 21Deux sphères de dimension négligeable et de masse mportent chacune une même charge q. Elles sont atta-chées à deux fils de longueur L suspendus en unmême point: figure. Déterminer la valeur de la chargeq si l’on mesure une distance d entre les 2 sphèreslorsque l’équilibre est atteint. Application: m = 2 g, L =1 m, d = 15 cm.

Exercice 22Calculer le champ et le potentiel électriques créés par:a. une charge distribuée uniformément sur un plan,b. deux plans parallèles portant des densités de charge uniformes égales et de signe

opposé.

E

z

++++++++

m

q

mqd

L


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Exercice 23La loi de Gauss indique que le champ électrique est nul en tout point P intérieur d’unesphère creuse uniformément chargée. Montrer que ceci n’est vrai que parce que laforce coulombienne dépend exactement du carré de la distance.Indication: comparer le champ électrique en P créé par chacune des deux surfaces

chargées définies par un double cône issu de P et d’angle solide d.

Exercice 24Cinq charges négatives de même valeur sont placées sur un cercle de rayon R, à égaledistance l’une de l’autre. Calculer le champ électrique et le potentiel au centre ducercle.

Exercice 25Une petite sphère de masse 0,2 g pend par un fil entre deux plaques de grandes di-mensions, parallèles et verticales, produisant un champ électrique uniforme entreelles. La charge portée par la sphère est de 6.10-9 C. Quelle est la différence de poten-tiel entre les plaques distantes de 5 cm si le fil fait une angle de 10o avec la verticale.

Exercice 26En utilisant la loi de Gauss, calculer le champ électrique et le potentiel électrique crééspar une distribution sphérique homogène de charges, puis dessiner E et V.a. Considérer le cas d’une distribution surfacique des charges.b. Considérer le cas d’une distribution volumique des charges.

Exercice 27En utilisant les équations de Laplace et de Poisson, déterminer le potentiel et le champélectriques dans la région située entre deux plans parallèles chargés aux potentiels V1et V2 < V1 et distants de d,a. si la région est vide de charges,b. s’il existe une distribution uniforme de charges dans la région.

Exercice 28Déterminer le champ électrique sur l’axe z d’un anneau non-conducteur de rayon Rportant une charge totale q > 0 répartie uniformément, puis représenter graphique-ment le résultat obtenu.Hypothèse: la section de l’anneau est négligeable.Application: R = 10 cm et q = 75 C.


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Section 4: champs électriques et conducteurs

Exercice 29Une sphère métallique de rayon R1 est chargée à un potentiel V, puis déconnectée dela source. a. Cette sphère peut être considérée comme un condensateur dont la seconde élec-

trode est une sphère conductrice de rayon infini et dont le potentiel est nul. Montrerque l’énergie stockée dans la capacité C de la sphère est égale à l’énergie électrosta-tique totale emmagasinée dans le champ électrique environnant la sphère.

Deux hémisphères métalliques à paroi mince, de rayon R2, sont amenés de l’infini jus-qu’à ce qu’ils forment une coquille sphérique concentrique à la sphère et ne la tou-chant pas.Dans cette configuration, déterminer le potentiel de la sphère si*:b. la surface externe des hémisphères est mise à la terre,c. les hémisphères sont isolés,d. les hémisphères sont isolés, mais ont été auparavant momentanément reliés à la

sphère intérieure par un fil conducteur tenu avec une pince isolante.*Donner les réponses b., c. et d. en fonction du potentiel V de la sphère seule (questiona).

Exercice 30Deux plaques conductrices parallèles de surface A sont séparées d’une distance d etmaintenues à un potentiel de 0, respectivement V volts.Une troisième plaque de même surface, portant une charge totale Q, est placée entreles plaques, à mi-distance de chacune d’elles. Quel est le potentiel de cette troisièmeplaque ?

Exercice 31Un conducteur sphérique A contient 2 cavitéssphériques: figure. La charge totale du conduc-teur lui-même est nulle. On place une chargeponctuelle qb au centre d’une cavité et unecharge qc au centre de l’autre. Une charge qd estplacée à grande distance de l’ensemble. Quelleforce agit sur chacun des 4 objets ?

Exercice 32Déterminer la capacité de l’ensemble decondensateurs représenté ci-contre.Si la tension appliquée est de VAB = 120 V, trou-ver (a) la charge et (b) la différence de potentielde chaque condensateur ainsi que (c) l’énergiestockée dans ce circuit électrique.

r

qd

qb qc

A

BA

2F

1F

3F

18F

4F

5F

12F


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Exercice 33Quatre condensateurs sont branchés comme l’indiquela figure. On applique une différence de potentiel Ventre les points A et B et l’on branche un voltmètre Eentre les points C et D pour déterminer leur différencede potentiel. Montrer que le voltmètre indique zéro siC1/C2 = C3/C4. Ce dispositif représente un pont utili-sable pour mesurer la capacité d’un condensateur enfonction d’un condensateur étalon et du rapport de deux capacités.

Exercice 34Un condensateur plan est formé d’armatures rec-tangulaires de dimensions a · b séparées par del’air, dont l’une est fixe et l’autre se déplace sansfrottement sous l’action d’une masse M: figure.La poulie a une masse négligeable et le fil estinextensible.a. Calculer sa capacité en fonction de X = a-x et de C0, capacité du condensateur

lorsque x = 0.b. Donner l’expression de l’énergie potentielle totale du système en fonction de X

lorsque le condensateur possède une charge Q (interrupteur ouvert). Montrer qu’ilexiste une position d’équilibre de la masse M et la déterminer.

c. Montrer que la différence de potentiel aux bornes du condensateur à l’équilibre estindépendante de Q.

La charge Q étant égale à la charge Q0 pour laquelle X à l’équilibre vaut a, on fermel’interrupteur. L’armature se déplace alors avec un mouvement de translation uni-forme de vitesse v0.d. Trouver X(t), C(t), Q(t) et I(t) dans la résistance R supposée connue. e. Effectuer le bilan d’énergie entre les instants initial (x = 0) et final (x = a): calculer les

pertes par effet Joule, puis montrer qu’elles sont égales à la variation d’énergie dusystème.

Exercice 35Un long cylindre conducteur portant une charge totale +qest entouré d’un tube cylindrique conducteur de charge to-tale -2q: figure. Déterminer:a. le champ électrique à l’extérieur du tube,b. la distribution de la charge sur les surfaces extérieure et

intérieure du tube,c. le champ électrique dans la région comprise entre les 2 conducteurs.

Exercice 36Calculer la capacité équivalente entre les points a et b du cir-cuit de la figure.

E

C

A

C1 C2

C3 C4B

D

Ma

x R

+q

-2q

L

ba

4 F 7 F

5 F 6 F


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Exercice 37Trouver la charge de chaque condensateur de la figurelorsque (a) l’interrupteur S1 est fermé, puis (b) lorsque S2est également fermé.Application: C1 = 1 F, C2 = 2 F, C3 = 3 F et C4 = 4 F.

Exercice 38La force d’attraction entre les électrodes d’un condensateurplan chargé (et de tout condensateur) peut être calculée de 3manières.a. Ecrire l’expression conduisant au calcul de la force par la

loi de Coulomb (ne pas effectuer l’intégration).b. Calculer la force d’attraction à partir de la pression élec-

trostatique.c. Calculer la force d’attraction à partir du bilan d’énergie en imaginant qu’un étu-

diant en physique a changé l’état d’équilibre du condensateur en écartant les arma-tures d’une valeur supplémentaire dx. Traiter le cas (i) d’une charge constante et lecas (ii) d’une différence de potentiel V constante. Comparer et discuter les 2 résul-tats obtenus.

Hypothèses: la densité superficielle de charges sur chaque électrode est uniforme etidentique (1 = -2 = ) et les effets de bords sont négligeables.

Données: S: surface d’une électrode; d: distance entre électrodes; V: différence de po-tentiel.

Exercice 39a. Une plaque isolante de grandes di-

mensions et d’épaisseur e est placéeentre z = e/2: figure. Elle porte unedensité de charge donnée par (z) =Cz2; C est une constante. Calculer lechamp électrique et le potentiel entout z, puis esquisser le résultat.

b. Une seconde plaque identique est pla-cée parallèlement à la première, à unedistance D. Elle porte une même den-sité de charge, mais de signe opposé. Déterminer la différence de potentiel entre lescentres de chaque plaque.

c. On introduit entre les 2 plaques isolantes une troisième plaque conductrice d’épais-seur a < D, parallèlement aux deux autres. Que devient la différence de potentielentre les centres des deux premières plaques ?

Indication: fixer le potentiel nul en z = 0.

Exercice 40Un condensateur de 20 F est chargé sous une différence de potentiel de 1 kV. Les ar-matures du condensateur sont ensuite connectées à celles d’un condensateur nonchargé de 5 F.

C1

C4C2

C3

S2

S112 V

x

2

1n̂

(z)

z

(a)

D

-

e e

-

(b) (c)


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Calculer (a) la charge initiale du système, (b) la différence de potentiel finale entre lesarmatures de chaque condensateur, (c) l’énergie finale du système et (d) la perted’énergie résultant de la connexion des condensateurs et en expliquer la cause.

Exercice 41Une sphère conductrice a une charge Q. Montrer que l’énergie totale emmagasinéedans le champ environnant est égal à l’énergie stockée dans une capacité chargée C,où C correspond à la capacité de la sphère.Indication: la sphère peut être considérée comme un condensateur dont la secondeélectrode est une sphère conductrice de rayon infini et dont le potentiel est nul.

Exercice 42Une sphère métallique de rayon R1 = 0,1 m est chargée à un potentiel V = 600 V, puisdéconnectée de la source. Deux hémisphères métalliques à paroi mince, de rayon R2 =0,11 m, sont amenés de l’infini jusqu’à ce qu’ils forment une sphère concentrique à lapremière et ne la touchant pas. Quel est le potentiel de la sphère intérieure si:a. la surface externe des hémisphères est mise à la terre,b. les hémisphères sont isolés,c. les hémisphères sont isolés, mais ont été auparavant momentanément reliés à la

sphère intérieure par un fil conducteur tenu avec une pince isolante.

Exercice 43Une charge ponctuelle est placée au centre d’une sphère conductrice creuse. Subit-elleune force si une autre charge est placée à l’extérieur de la sphère ? Justifier votre ré-ponse par une à deux phrases courtes et précises !

Exercice 44Une charge négative q est placée à l’intérieur d’une sphèreconductrice creuse, électriquement neutre, au point défini àla figure.a. Déterminer les valeurs des charges induites sur les sur-

faces interne et externe de la sphère.b. Dessiner quelques lignes de champ à l’intérieur et à l’ex-

térieur de la sphère.

Exercice 45Un condensateur est formé d’armatures carrées de côté a, faisantun angle entre elles. La distance minimale entre armatures estL: figure.a. Si l’angle est petit, montrer que la capacité est donnée par:

b. Si l’on considère = 0, quelle doit être la nouvelle distance d entre armatures per-mettant d’obtenir la même densité d’énergie que celle obtenue dans le cas 0.Indication: pour 0, les armatures peuvent être décomposées en bandes de longueura et de largeur infinitésimale dans le plan de la figure.

R

R/2

q

L

aa

C0a2

L---------- 1

a2L-------–

=


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Exercice 46Considérer un condensateur cylindrique de longueur L, formé d’un cylindre intérieurde rayon R1 et d’un tube extérieur concentrique à paroi mince, de rayon R2. Les arma-tures sont à des potentiels V1 et V2 < V1 connus.a. Déterminer le champ électrique.b. Exprimer le champ électrique en fonction de la charge L par unité de longueur

portée par chaque armature.c. Déterminer la capacité de ce condensateur.d. Calculer la charge L par unité de longueur du condensateur.e. Calculer la charge par unité de surface sur les armatures 1 et 2.

Exercice 47a. Un conducteur A a localement

une densité surfacique . Détermi-ner la charge induite sur un élé-ment de surface d’un conducteurnon chargé B se trouvant à proxi-mité: figure.

b. Une charge ponctuelle +q est pla-cée à proximité d’un conducteursphérique non chargé selon lesconfigurations (i) et (ii) de la fi-gure.

b.i. Dessiner quelques lignes dechamp électrique sur la configu-ration (i), puis déterminer lacharge négative induite sur lasurface interne du conducteur sphérique.

b.ii. Dessiner quelques lignes de champ électrique sur la configuration (ii), puis déter-miner la charge négative induite sur la surface du conducteur sphérique.

Exercice 48Une sphère conductrice de rayon R porte en surface une charge totale Q uniformé-ment répartie. La sphère est coupée en 2 hémisphères maintenus en contact. Expliquerpourquoi les hémisphères vont se repousser, puis calculer la force agissant sur un hé-misphère.

Exercice 49Une sphère conductrice de rayon R porte en surface une charge totale Q uniformé-ment répartie. La sphère est coupée en 2 hémisphères maintenus en contact. Expliquerpourquoi les hémisphères vont se repousser, puis calculer la force agissant sur un hé-misphère.

(i) (ii)

+q +q

AB

(a)


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Section 5: champ électrique dans la matière diélectrique

Exercice 50Le dipôle électrique, constitué de deux charges ponctuelles qégales et opposées séparées par une très petite distance a,joue un rôle important en électromagnétisme: figure.a. Déterminer le potentiel électrique en un point B quel-

conque en introduisant le moment électrique dipolaire pdéfini par p = qa (l’origine du vecteur a est sur -q).

b. En déduire les composantes du champ électrique encoordonnées polaires.

c. Exprimer le champ électrique en fonction du vecteur uni-té êr et du moment dipolaire

Exercice 51Les élastomères diélectriques (ED) per-mettent de transformer de l’énergie mé-canique en énergie électrique, etréciproquement. Ils sont notamment uti-lisés en bionique (muscle artificiel, ...) eten robotique («sens» du toucher, ...).La structure de base d’un ED est schéma-tisée sur la figure; elle correspond à lastructure d’un condensateur dont les électrodes et le diélectriques sont déformables(jusqu’à 300 % linéaires actuellement). a. Déterminer la variation d’énergie électrostatique Ec d’un ED lorsque la charge,

l’épaisseur z et la surface S peuvent varier. Identifier ensuite les termes correspon-dant à la transformation d’énergie mécanique en électrique, ou réciproquement, ap-pelée travail W.

b. Lorsque la charge est maintenue constante, exprimer le travail en fonction de la sur-face S si l’on suppose que le volume de l’ED est constant. Montrer que si l’énergieélectrostatique Eci est connue dans une situation initiale, une mesure des surfacesinitiale et finale de l’ED permet de calculer l’énergie électrostatique finale Ecf. Endéduire le travail mécanique échangé.

c. Lorsque la charge est maintenue constante, exprimer la relation entre la variation detension aux bornes de l’ED et la variation de surface si l’on suppose que le volumede l’ED est constant. Pour une tension de départ de 10 V d’un ED de S =1 cm2,quelle est la variation de S qui provoque une baisse de tension de 2 V ?

Hypothèses: - l’ED est assimilable à un condensateur plan,- les pertes mécaniques et électriques sont négligeables.

Exercice 52Un condensateur est formé par deux cylindres coaxiaux de matériau conducteur, sé-parés par un troisième cylindre de matériau isolant et de même longueur L.a. En négligeant les effets de bords, déterminer le champ et le potentiel électriques,

puis calculer la capacité de ce condensateur.Supposez ensuite que le cylindre isolant ne soit pas complètement inséré entre les ar-matures et qu’une longueur z de diélectrique reste à l’extérieur. Ce condensateur est

B

a-q q

êr

r

z+ + + + + +

_ _ _ _ _ _

Q

S

S + dS _ _ _ _ _ _ _ _+ + + + + + + +

z+dz

Q+dQ


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alors chargé à V = 10 V, puis le générateur est déconnecté.b. Déterminer la capacité et l’énergie du condensateur ainsi formé, puis montrer

qu’une force agit sur le diélectrique. Calculer alors la grandeur et la direction decette force.

Application: armatures: R1 = 1 cm et R2 = 1,01 cm, L = 1 cm. Isolant: épaisseur R2-R1, r= 3.

Exercice 53Un condensateur plan est formé de deux armatures verti-cales carrées séparées par de l’air, de côté L et distantes deD. Il est partiellement immergé (hauteur h) dans un li-quide diélectrique (r) de densité l: figure. Lorsque ce condensateur est chargé, on observe une aug-mentation z du niveau du liquide entre les armatures. Dé-terminer z et estimer sa valeur si:a. Le condensateur est chargé avec une source qui dépose

une charge +Q et -Q sur les électrodes et qui est ensuite déconnectée. A l’équilibre(hauteur z atteinte), on mesure une différence de potentiel V entre les armatures.

b. Le condensateur est chargé par une source de tension constante V. Application: V = 2 kV; D = 2 mm; 0 = 8,85.10-12 F/m; r = 28; l = 0,8 g/cm3.Hypothèse: les effets de capillarité sont négligeables.

Exercice 54Les électrodes d’un condensateur plan ont une surface A et sont séparées par deuxcouches superposées d’isolants de constante diélectrique r1 et r2 et d’épaisseur d1 etd2. Déterminer la capacité de ce condensateur en remarquant que la surface séparantles diélectriques est une équipotentielle.

Exercice 55Une sphère conductrice, de rayon R1 et charge Q, est placée dans une coquille diélec-trique globalement neutre, de rayons R1 et R2 > R1 et de constante diélectrique = 0r.a. Calculer les champs D, E et P dans tout l’espace et tracer les graphes correspon-dants.b. En déduire le potentiel électrique dans tout l’espace, puis tracer V(r).c. Déterminer les capacités suivantes et commenter:

i) sphère conductrice,ii) si R1 = R2 = R,iii) si R2 infini,iv) si r infini.

Hypothèse: la polarisation est proportionnelle au champ E.

Exercice 56Un condensateur est fabriqué avec deux plaques métal-liques carrées de côté L, séparées d’une distance d. La moi-tié de l’espace est rempli de mica et l’autre d’huile: figure.Calculer la capacité de ce condensateur si L = 2 cm et d =0,75 mm.

z

h

L

dr1 = 6 r2 = 3


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Exercice 57En considérant une tranche de matière diélectrique d’épaisseur h et de surface S pla-cée perpendiculairement à un champ électrique E0, montrer que la densité de chargessuperficielle sur les faces polarisées de la tranche est égale à la polarisation.Ce résultat, obtenu pour une géométrie particulière, est valable dans le cas général. Ladensité surfacique de charges s d’une matière polarisée est égale à la composante dela polarisation P dans la direction de la normale à la surface du diélectrique: s = P· .

Exercice 58a. Déterminer le potentiel électrique V(A) produit par un fil de section dS et longueur

L uniformément polarisé; A étant un point quelconque extérieur au fil.b. Pouvez-vous obtenir ce même potentiel avec deux charges ponctuelles de charge

égale et opposée ?c. Retrouver l’expression du potentiel obtenue en A en utilisant les relations établies à

la section 5.6.1 du polycopié.

Exercice 59Déterminer le potentiel électrique créé en tout point x de l’espace parun quadrupôle linéaire formé de 3 charges ponctuelles séparées cha-cune d’une distance a << |x|: figure.Comparer le résultat avec la contribution quadrupolaire obtenue lorsde la généralisation du modèle dipolaire (section 5.4. du polycopié).

Exercice 60Un bâton isolant est électriquement neutre. Sa charge négative totale de -Q = -1 C estdistribuée uniformément sur sa longueur L = 1m. Sa charge positive est nulle à uneextrémité du bâton et sa densité augmente de façon linéaire depuis cette extrémité.Calculer le moment dipolaire p du bâton.

Exercice 61Une molécule isolée d’eau a un moment dipolairepermanent d’amplitude p: figure.a. Calculer le couple C subit par cette molécule pla-

cée dans un champ électrique E uniforme, orientésous un angle avec le moment dipolaire de lamolécule.

b. Déterminer le travail fourni par E lors de la rota-tion de la molécule de sa position initiale jusqu’àune orientation parallèle à E.

Application: p = 6,24.10-30Cm; E = 300 N/C; = 60o

Exercice 62On veut construire un condensateur plan en utilisant du caoutchouc comme diélec-trique (r = 3). Ce caoutchouc a et une rigidité diélectrique Emax. Le condensateur doitavoir une capacité C et doit être capable de supporter une différence de potentiel V.Quelle est la surface minimale que doivent avoir les armatures du condensateur ?Application: Emax de 20 MV/m; C = 0,15 F; V = 6 kV

n̂

q

q

-2q

z

105o

H

E0

p


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Exercice 63On introduit un diélectrique d’épaisseur b et de surface A au centre d’un condensa-teur plan d’épaisseur d et de surface A, préalablement chargé sous un potentiel V0.a. Calculer la capacité C0 et la charge libre Q0 sans diélectrique central.En présence du diélectrique central, déterminer:b. le champ électrique E0 dans un intervalle armature-diélectrique, c. le champ électrique E dans le diélectrique,d. la différence de potentiel entre les armatures,e. la capacité C du condensateur.

Exercice 64Une sphère métallique creuse chargée flotte sur de l’huile (isolant). La position de lasphère est-elle plus élevée, plus basse ou identique à celle d’une même sphère nonchargée ?

Exercice 65Un condensateur plan de capacité C, dont le diélectrique est du mica, est initialementchargé à un potentiel de Vi, puis isolé. Déterminer:a. le travail à fournir pour retirer la feuille de mica,b. le potentiel entre électrodes après avoir retiré le diélectrique.Application: C = 2 nF et Vi = 100 V.


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Section 6: courant électrique stationnaire

Exercice 66Un plongeur électrique de 420 W est placé dans un pot contenant 2,1 l d’eau à 18,5 oC.a. Quel est le temps nécessaire pour faire bouillir cette eau si seulement 77 % de l’éner-

gie consommée est absorbé par l’eau.b. Quel temps supplémentaire faut-il attendre pour que la moitié de l’eau s’évapore.

Exercice 67Un électrolyte homogène contient N espèces de ions de molarité mn [moles/litre], n =1, ...,N.a. Etablir la loi d’Ohm locale de cet électrolyte soumis à un champ électrique uniforme

dirigé selon x.b. En déduire ensuite la résistance de cet électrolyte lorsqu’il est placé dans un tube de

section A et de longueur L soumis à une différence de potentiel V entre ses extrémi-tés.

Indication: Déterminer d’abord la densité de courant Jn en introduisant la mobilité undes ions de l’espèce n, supposée connue, définie comme la vitesse limited’une mole de ions sous l’effet d’une force motrice unité et d’une force de ré-sistance visqueuse du milieu.

Exercice 68Les caractéristiques de 2 lampes sont 25 W, 6 V et 100 W, 12 V. Quelle lampe a le fila-ment de plus grande résistance électrique ?

Exercice 69ne électrode sphérique de rayon a est placéeau centre d’une cuvette hémisphérique par-faitement conductrice, remplie d’un liquidede conductivité : figure.Déterminer la résistance R du liquide entre lasphère et la cuvette.Hypothèse: les fils et l’électrode ont une résis-tance négligeable.

Exercice 70Déterminer la résistance ohmique du dispositif de lafigure, constitué de deux tubes cylindriquescoaxiaux en cuivre de longueur L, dont l’intervalleest rempli de graphite.Indication: Cu << C

Exercice 71Une grue électrique, alimentée par une batterie de 240 V, consomme un courant de 9A lorsqu’elle hisse une charge de 800 kg à la vitesse de 8 m/min. Calculer le rende-ment du moteur électrique.

V

I

I

L

I


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Exercice 72Deux cylindres de fer et de cuivre, de même longueur L = 80 cm et rayon r = 2 cm,sont joints bout à bout. Une différence de potentiel de 5 V est appliquée aux extrémi-tés de cet assemblage. Trouver a) la différence de potentiel entre les extrémités dechaque cylindre, b) la densité de courant et c) le champ électrique dans chaque cy-lindre.

Exercice 73Deux plaques métalliques de surface S et distantes de d sont soumises dans le vide àune différence de potentiel V. L’une des plaques, la cathode, est à Vc = 0 et émet desélectrons qui sont captés par l’anode. Le courant est supposé uniforme. Etablir l‘équa-tion différentielle du potentiel en fonction de la distance x à la cathode, puis détermi-ner la relation I(V): est-ce un dispositif ohmique ? On suppose que le champ électriqueest nul en x = 0.

Exercice 74Une centrale fournit de l’énergie électrique sous une tension de 60 KV, envoyée parune ligne aérienne aux clients qui consomment un courant total I. Si la tension peutêtre augmentée à 100 KV sans endommager les installations, déterminer a) l’énergiesupplémentaire qui peut être transmise et b) les pertes Joule supplémentaires.

Exercice 75Un générateur de courant continu est alimenté par la turbine d’une usine hydroélec-trique alimentée par une chute d’eau. La puissance mécanique est de 1500 CV et lerendement du générateur est de 80 %. Déterminer le courant délivré par le générateurà la tension de 2 KV.

Exercice 76Le pont de Wheastone (figure) est un circuit utilisépour déterminer la valeur d’une résistance inconnueRx.a. Montrer que lorsque le courant est nul dans l’ampè-

remètre g, R1 peut être calculé si R2, R3 et R4 sontconnus.

b. En réglant la résistance R2 à 20 , l’ampèremètre in-dique un courant nul. Sachant que la batterie utilisée est de 4 V est les résistances R3= R4 = 10 , calculer la valeur d’une résistance Rx fabriquée avec du fil de Cu,lorsque la température du système est à 20 oC.

c. Après avoir remplacé l’ampèremètre par un voltmètre g dans le montage précé-dent, on chauffe la résistance Rx et l’on constate que le voltmètre indique une ten-sion de 1/30 V. Quelle est la température atteinte par Rx.

Exercice 77Calculer la température à laquelle un fil de cuivre a une résistance double de cellequ’il avait à 20 oC.

Exercice 78Une résistance en carbone a une section cylindrique de 5 mm2. Lorsqu’une tension de15 V est appliquée à ses extrémités, un courant de 4 mA est généré. Trouver la valeur

C

A

D

Rx R2

R3 R4g B


- 17 -

de la résistance et la longueur du cylindre.

Exercice 79La résistance électrique de plusieurs métaux est proportionnelle à la température. Unthermomètre résistif, qui utilise cette propriété, est réalisé en platine et a une résis-tance de 50 à 20 oC. Lorsqu’on le plonge dans de l’indium en fusion, sa résistanceaugmente jusqu’à 76,8 . Quel est le point de fusion de l’indium ?

Exercice 80Votre radio est restée “allumée” ce matin, lors de votre départ à 7 h. Combien decharges auront traversés les fils d’alimentation reliant les piles au circuit électroniquelorsque vous arriverez ce soir à 19 h. Votre radio porte les indications suivantes: 9 V et7,5 W.

Exercice 81Calculer le coût du chauffage électrique de 100 litres d’eau de 20 à 90 oC si les servicesélectriques vendent 20 centimes le kWh.

Exercice 82Trois ampoules électriques identiques de caractéristiques 60 W,120 V sont branchées à un générateur de tension continue de120 V selon le schéma de la figure (ce symbole d’une lampe estutilisé dans les schémas électriques). Déterminer:a. la puissance totale dissipée dans les 3 lampes,b. la tension aux bornes de chaque lampe.Hypothèse: la résistance ohmique des ampoules suit la loi d’Ohm.

Exercice 83Dans le circuit de la figure, déterminer les courants dansla résistance R1 = 8 et dans le condensateur, ainsi que latension aux bornes du condensateur. Ri = 1 , R2 = 3 etC = 20 F.

Exercice 84Le circuit de la figure est formé de 5 résistances de mêmevaleur R, fabriquées avec un fil métallique de section S =0,1 mm2, de longueur L = 1 cm et de résistivité = 0,5mm2/m.a. Calculer la résistance totale du circuit.b. Si V1 - V2 = 2 V, calculer V1 - V3. c. Quelle est la puissance dissipée dans le circuit pour V1 - V2 = 2 V.

Exercice 85Certaines anguilles (electrophorus) tuent leurs proies (poissons) par une déchargeélectrique. La tension électrique est obtenue par un arrangement en série de 5000 cel-lules spécialisées, placées le long de l’anguille. Chaque cellule peut être assimilée à ungénérateur de tension de force électromotrice égale à 0,15 V et de 0,25 de résistanceinterne.De façon à produire le courant nécessaire (~ 1 A) et à ne pas être tuée lors d’une at-

120 V

R1R2

Ri

12 VC

231


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taque, l’anguille dispose de 140 arrangements en parallèle de 5000 cellules.Déterminer (a) le courant traversant une proie idéale de longueur égale à celle du dis-positif de décharge, nageant parallèlement et très proche de l’anguille, et (b) la diffé-rence de potentiel appliquée aux extrémités du poisson. La résistance du poisson estestimée à 800 .

Exercice 86Dans le circuit de la figure, le courant débité parla batterie de résistance interne Ri a une intensitéI. P2 est la puissance dissipée dans R2.a. Déterminer la valeur affichée par le voltmètre.b. Calculer la valeur de la résistance R2. c. Calculer la valeur de la résistance R1. d. Calculer la charge sur les armatures du condensateur de capacité C.Application: Ri = 1 W; = 9V; I = 3A; P2 = 12 W; C = 20 F; = 9V.

Exercice 87Trois résistances égales sont branchées en série. La puissance totale dissipée est de 10watts lorsqu’une certaine différence de potentiel est appliquée aux bornes de l’en-semble. Quelle puissance serait dissipée si les trois résistances étaient branchées enparallèle aux bornes de la même différence de potentiel.

Exercice 88Dans le circuit de la figure, déterminer:a. le courant dans la batterie,b. la différence de potentiel entre sesbornes,c. le courant dans chaque conducteur

Exercice 89Déterminer la charge sur les armatures ducondensateur placé dans le circuit de la figure.

Exercice 90Un diélectrique non-parfait de perméabilité et conductivité est placé entre 2 co-quilles sphériques, concentriques et conductrices, de rayons r1 et r2 > r1. Au temps t =0, une charge totale Q0 > 0 est répartie uniformément sur la surface extérieure de lacoquille interne. Déterminer les pertes ohmiques dissipées dans le diélectrique.

R1 R2

VRi

C

12

6

4

22

8 5

20

9V, 1

10

5

30 V 20 F


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Section 7: magnétostatique

Exercice 91Déterminer la force verticale exercée par un champd’induction magnétique non-uniforme sur une spireindéformable parcourue par un courant I. Exprimer lerésultats en fonction du gradient vertical du champ,i.e. Bz/z.Hypothèse: B symétrique par rapport à l’axe z.

Exercice 92Un conducteur cylindrique de masse m et rayon Rpeut rouler sans glisser sur deux rails parallèles delongueur L séparés d’une distance d. Le conducteurest traversé par un courant I selon la direction indi-quée à la figure. Si le cylindre commence à rouler audébut des rails, à quelle vitesse les quittera-t-il ? Unchamp B uniforme existe dans la surface séparant lesrails; il est perpendiculaire au plan des rails et d’amplitude B.Indications:- le moment d’inertie d’un cylindre tournant autour de son axe vaut mR2/2,- le champ d’induction magnétique créé par I est négligeable.

Exercice 93Un fil flexible en cuivre, de longueur L et section S, est placé dansun champ d’induction magnétique uniforme B = Bêx: figure.Que subit ce fil lorsqu’un courant stationnaire I le parcourt selonla direction de l’axe z positif ?

Exercice 94Considérer le spectromètre de masse de la figure 61 du polycopié.a. Calculer la vitesse de sortie v de ions de masse m et de charge q.b. Identifier la trajectoire des ions.c. Calculer le rapport q/m en fonction des quantités mesurables V, B et R.d. Déterminer la masse d’un ion de charge q = 1,6.10-19C accéléré par un potentiel V =

1 kV, dévié par un champ B = 0,1 T et dont la trace sur la plaque photographique apermis de calculer r = 0,34 m. Identifier le matériau, supposé pur.

I

xy

zB

B

LI

y

z

L


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Exercice 95Un cadre conducteur carré indéformable, constitué de Nspires identiques parcourues par un courant I dans lesens ADCB, peut pivoter sans frottement autour de soncôté horizontal AB: figure. Il est soumis à son poids et àl’action d’un champ d’induction magnétique uniformevertical B = Bêz. M est la masse d’un côté du cadre de lon-gueur L.a. Déterminer l’énergie potentielle de pesanteur du cadre

en fonction de en fixant l’origine de l’énergie poten-tielle à = /2.

b. Déterminer l’énergie potentielle magnétique du cadre en fonction de c. Calculer le moment des forces magnétiques par rapport à l’axe de rotation du cadre.d. Quelle est la valeur de l’angle = e à laquelle le cadre est en équilibre.e. Quelle doit être l’amplitude du champ B pour que la position d’équilibre soit e=/6 si L = 10 cm; I = 0,1 A; M = 20 g et N = 200. Est-un équilibre stable ?

f. En supposant que la valeur e de la question (d) corresponde à une position d’équi-libre stable, trouver la période des petites oscillations du cadre autour de cette posi-tion.

Indications: moment d’inertie du cadre par rapport à l’axe AB: J = 5ML2/3.

Exercice 96Le conducteur de la figure, constitué de 2 longs segments recti-lignes et d’une boucle de rayon R = 0.1 m, est dans le plan de lafeuille. Déterminer l’amplitude et la direction du champ d’in-duction magnétique au centre de la boucle, sachant qu’un courant de 7 A circule dansle conducteur.

Exercice 97La figure illustre une vue de dessus d’un cyclotron ser-vant à accélérer des particules chargées. Cet appareil estutilisé en médecine et en physique nucléaire. Il est com-posé de 2 cavités en cuivre en forme de D (dee) séparéespar un espace de largeur d contenant la source S de par-ticules à accélérer. Les cavités sont reliées à un oscilla-teur permettant de générer un champ électrique àtravers d et de changer sa polarité à une fréquence f. Lecyclotron est plongé dans une champ d’induction ma-gnétique B perpendiculaire à son plan. Pour des parti-cules de charge q et de masse m, a. montrer que la trajectoire d’une particule est un demi-cercle dans un D,b. justifier la trajectoire d’une particule illustrée sur la figure en supposant que la di-

rection du champ électrique permet d’accélérer la particule lors de chaque passageentre les 2 D,

c. calculer la fréquence cyclotron f à laquelle le champ électrique doit changer de direc-tion,

d. calculer l’énergie cinétique d’une particule en A pour un D de rayon R.Application: protons; B = 1.5 T; R = 0.5 m.

A

B

C

D

IB

g

zy

x

I

Oscillateur

SA

B

B


- 21 -

Exercice 98Le galvanomètre de la figure est muni d’un res-sort exerçant un couple de rappel proportionnel àl’angle que fait l’aiguille avec le zéro de l’affi-chage.a. Calculer la déviation de l’aiguille en fonction

du diamètre a et de longueur b du rotor, sa-chant que l’aimant permanent fourni un champd’induction B perpendiculaire au rotor.

b. Comparer l’expression du couple avec celle dupolycopié (équation 136): C = IabBsin(ên,B);commenter.

c. En pratique, on place N boucles de courant pour avoir une plus grande sensibilité.Sachant que le B =1 T, calculer le courant correspondant à = 30o sachant que N =100, que la constante de rappel du ressort vaut 3.10-7 Nm/rad et que a = b = 1 cm.

Exercice 99Une bobine de Helmoltz est constituée de deux spires séparées d’une distance h etparcourues par un courant I.a. Déterminer le champ d’induction magnétique sur l’axe des spires en fonction de I, h

et de leur rayon a, puis en particulier au centre d’une spire lorsque h = a. b. Prouver que la variation spatiale de l’amplitude de B sur l’axe de la bobine, à mi-

distance entre les 2 spires, est minimisée si la distance entre les 2 bobines est égale àleur rayon.

Exercice 100Utiliser le principe de superposition pour déterminerle champ d’induction magnétique au centre du troudu conducteur cylindrique en cuivre de la figure, par-couru par un courant I.Discuter les cas particuliers b = 0 et d = 0.Indication: Considérer le trou comme la superpositiond’un cylindre plein parcouru par un courant dans unedirection et d’un cylindre de rayon b dans lequel cir-cule un courant dans la direction opposée, les densitésde courant étant identiques.

Exercice 101Une boussole des tangentes est constituée d’une bobine circulairede N spires parcourues par un courant I. Elle est placée parallèle-ment aux lignes d’un champ d’induction magnétique extérieuruniforme B: figure. I étant connu, montrer que l’amplitude de Bpeut être déterminée en mesurant l’angle que fait une aiguille ai-mantée placée au centre de la bobine avec l’axe de la bobine.Remarque: en pratique, B est le champ d’induction magnétiqueterrestre.

Exercice 102Retrouver l’expression du champ d’induction magnétique créé par un fil rectiligne in-

N

S

I

0

b

a

d

B


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fini de rayon R, parcouru par un courant continu I, en utilisant les lois fondamentalesde la magnétostatique sous forme a) globale et b) locale.

Exercice 103L’expérience de Rowland (1878) a permis de montrer que le mouvement de chargesélectrostatiques crée un champ d’induction magnétique. En simplifiant, cette expé-rience utilise un disque isolant de rayon R et d’épaisseur négligeable dont une face estchargée par s, qui tourne autour de son axe z à vitesse angulaire constante . Trou-ver le champ d’induction magnétique sur l’axe z que Rowland a détecté en y plaçantune boussole.Application: R = 10 cm, charge totale de 20 C, = 12’000 t/min et z = 1 cm.

Exercice 104Un courant électrique de densité uniforme J = Jêx s’écoule dansune plaque conductrice de faible épaisseur e et de très grandesdimensions: figure 1.a. Montrer que la composante du champ d’induction magné-

tique tangentielle à la plaque et perpendiculaire à J est discon-tinue et déterminer les valeurs de Bz(y) et Bz(-y). Faitesensuite le parallèle avec un résultat semblable obtenu lors del’étude du champ électrique.

b. La figure 2 présente les lignes de B correspondant à lasuperposition du champ de la plaque décrit en (a) etd’un second champ uniforme. La densité des lignes estproportionnelle à l’amplitude du champ. Déterminer ladirection du champ uniforme dans les deux situations(i) et (ii).

c. Si l’on place une seconde plaque parallèle à la premièreet dans laquelle le même courant s’écoule dans la direc-tion -x, déterminer le champ B entre les plaques et à l’ex-térieur.

d. En utilisant les résultats obtenus lors du calcul de la pression électrostatique, confir-mer qu’une force agit sur une plaque parcourue par un courant (question a) lors-qu’elle est plongée dans un champ extérieur et montrer que sa valeur par unité desurface s’écrit:

[N/m2]

Bz est le champ résultant de toutes les sources, y compris la plaque.Quelle est la valeur et la direction de cette force dans le cas (c) de 2 plaques paral-

lèles.

Exercice 105Déterminer la force par unité de longueur existant entre deux longs conducteurs recti-lignes et parallèles, séparés par une distance a et traversés par des courants I1 et I2 cir-culant dans la même direction.

J x

z

y

(1)

J

(2.ii)yz(2.i)

F 120--------- Bz y 2 Bz y– 2– =


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Exercice 106Calculer le champ d’induction magnétique créé par lefil de la figure au point C.

Exercice 107Une boule de rayon R = 10 cm, portant une charge volumique = 10 C/m3, tourneuniformément autour de l’un de ses diamètres à la vitesse angulaire = 314 rad/s.Calculer le champ d’induction magnétique au centre O de la sphère.

Exercice 108On fabrique un solénoïde de 0,3 m de longueur avec du fil de cuivre de 1,63 mm dediamètre enroulé sur une forme cylindrique en carton de 6 cm de diamètre; il y a 5spires/cm.a. Si on relie ce solénoïde à un générateur de 24 V, calculer la valeur du champ d’in-

duction magnétique et la puissance dissipée.On utilise ce solénoïde pour créer un champ B très intense pendant un temps trèscourt en le reliant à une source de haute tension pour y faire passer un couranténorme.b. Montrer que chaque élément de fil subit une force radiale vers l’extérieur.c. Calculer le champ B maximum que l’on peut créer sans que le solénoïde éclate, sa-

chant que la charge de rupture du cuivre est de 2.108 N/m2.Indication: résistivité du cuivre: = 1,7.10-8 m.

Exercice 109Considérer un solénoïde de longueur L composé de N spires parcourues par un cou-rant I: figure 73 du polycopié.a. Calculer l’amplitude du champ B sur l’axe du solénoïde.b. Pour un très long solénoïde de petit diamètre, calculer à nouveau B sur l’axe pour:

i) un point P1 au centre et un point P2 à une extrémité du solénoïde en utilisant lerésultat de (a)

ii) le point P1 en utilisant la loi d’Ampère.

Exercice 110Une bobine plate est constituée de N spires circulaires parcourues par un courant I. Lerayon des spires varie entre R1 et R2.a. Calculer le champ d’induction magnétique produit au centre de la bobine.b. En supposant que R2 - R1 << R, avec R = (R1 + R2)/2, déterminer l’erreur commise

si l’on assimile la bobine à une seule spire de rayon R.Application numérique: N = 10; I = 1 A; R1 = 19 cm; R2 = 21 cm.

Exercice 111Une sphère de rayon R = 10 cm, portant une charge surfacique uniforme s = 0,1 C/m2, tourne autour de l’un de ses diamètres à vitesse angulaire constante = 314 rd/s.Calculer le champ d’induction magnétique qu’elle créée en son centre.

R

LL

C

I


- 24 -

Exercice 112Un bloc de métal de forme parallélépipédique se dé-place à vitesse v dans un champ magnétique H = B/0uniforme: figure.a. Quelle est l’amplitude du champ électrique dans lebloc ?b. Quelle est la densité volumique de charge dans lebloc ?c. Quelle est la densité surfacique ?

Exercice 113Trois conducteurs rectilignes coplanaires (plan yz), sépa-rés par une même distance d, sont parcourus par un cou-rant I circulant dans la même direction: figure.a. Déterminer les points de l’espace où le champ d’in-

duction magnétique résultant B est nul.b. Dessiner quelques lignes de B autour des conducteurs.c. Si le conducteur central est déplacé sans déformation

d’une très petite distance z0 << d alors que les 2 autresconducteurs sont maintenus immobiles, déterminer etanalyser le mouvement du conducteur central lorsqu’il est lâché à vitesse nulle.

d. Mêmes questions qu’en (c) si le conducteur central est déplacé d’une très petite dis-tance x0 perpendiculaire au plan contenant les conducteurs.

Exercice 114Une particule de charge q se déplace à vitesse v parallèlementà un très long fil traversé par un courant stationnaire I et por-tant une charge superficielle par unité de longueur s: figure.Quelle doit être la vitesse v de la particule pour qu’elle conti-nue à se déplacer parallèlement au fil, à une distance r du fil.Hypothèse: problème non-relativiste.

Exercice 115Un très long cylindre de rayon R est constitué d’une matière diélectrique polarisée defaçon permanente. En tout point du cylindre, la polarisation P est proportionnelle à lacoordonnée radiale, i.e. P = arêr, avec a > 0. Le cylindre tourne autour de son axe à unevitesse angulaire .a. Déterminer le champ électrique en un rayon r tel que r < R et r > R.b. Déterminer le champ d’induction magnétique en un rayon r < R et r > R.

abc

H

x

y

z

v

x

y

z

d

-d

I

I

I0

I

s

z

v

q0

r


- 25 -

Section 8: aimantation de la matière

Exercice 116Montrer que les composantes normale de B et tangentielle de H sont continues aupassage entre 2 matériaux magnétiques de perméabilité relative différente: figure 84du polycopié.Hypothèse: les 2 milieux magnétiques sont linéaires, i.e. M est proportionnelle à H.

Exercice 117a. Déterminer l’énergie d’un tout petit volume V de matière magnétique placé dans

un champ d’induction magnétique B créé par un électroaimant.En utilisant le dispositif expérimental schéma-tisé par la figure, on observe un changementde niveau du liquide dans le tube lorsque lecourant est enclenché dans l’électroaimant.b. Utiliser le résultat obtenu en (a) pour déter-

miner la pression magnétique provoquantle changement de niveau du liquide et iden-tifier les caractéristiques magnétiques du liquide.

Indication: le réservoir n’est pas soumis au champ B.

Exercice 118Un aimant de forme cylindrique, suspendu en son centre à unfil, est placé au centre d’une bobine de rayon R et de N spiresparcourues par un courant i: figure.Montrer que ce dispositif permet de mesurer le moment magné-tique m de l’aimant en observant son mouvement dans un planhorizontal, pour différentes valeurs du courant i. Exprimer men fonction des éléments connus du dispositif.Hypothèse: l’aimant est soumis à un champ d’induction magnétique uniforme.Indication: aimant de masse M, rayon a et longueur b.

Exercice 119Considérer un modèle d’atome d’hydrogène dans lequel l’électron tourne autour dunoyau à vitesse constante sur une orbite circulaire de rayon a.a. Exprimer le moment magnétique m de l’électron.b. Déterminer l’expression de la vitesse v de rotation de l’électron, puis calculer v si le

rayon de l’orbite, appelé rayon de Bohr, vaut 0,529 Å.c. L’atome est placé dans un champ d’induction magnétique B uniforme, dirigé anti-

parallèlement au moment magnétique de l’électron. Montrer que la vitesse de rota-tion v’ de l’électron a changé.

d. En supposant v’ - v petit, montrer que le champ B provoque un changement dumoment magnétique de l’électron et comparer la valeur m de ce changement avecl’équation 191 du polycopié.

N S

y

x


- 26 -

Exercice 120Un électroaimant a pour fonction de créer un champ d’in-duction magnétique B élevé dans un entrefer. Il est consti-tué d’une carcasse formée d’un matériau ferromagnétique(r >> 1) et d’un enroulement de N spires parcourues parun courant I: figure.Déterminer B dans l’entrefer de longueur L telle que r >>2r/L en supposant qu’il n’y a pas de champ de fuite(toutes les lignes de champ traversent l’entrefer) et que lasection S de l’électroaimant est constante, même dans l’entrefer.Comparer ensuite sa valeur avec le champ B du même solénoïde sans noyau etconclure.

Exercice 121Une lame magnétique à faces parallèles, constituée d’un matériaude perméabilité relative r, est placée dans un champ d’inductionmagnétique uniforme Ba connu: figure.Dans un système d’axes associé à la lame, l’expression de cechamp à l’extérieur de la lame est Ba = Boxêx + Boyêy.Calculer les champs B, H et M à l’intérieur du matériau en fonc-tion de Ba.Hypothèses: - B, H et M sont uniformes dans le matériau.

- L’aimantation du matériau est proportionnelle au champ H.

Exercice 122Une petite sphère de rayon a et perméabilité rela-tive r est placée à une distance x >> a d’un petitaimant de moment dipolaire m. La direction dem est selon la droite joignant l’aimant à la sphère:figure.Déterminer la force exercée par l’aimant sur la sphère.Hypothèse: la sphère acquiert une aimantation M proportionnelle au champ local.

Exercice 123Un long barreau cylindrique de sectionA d’une matière paramagnétique estsuspendu par un dynamomètre entreles pôles d’un électroaimant: figure.Le poids du barreau est mesuré par ledynamomètre avant d’enclencher lecourant dans l’électroaimant.Déterminer la force d’attraction subiepar le barreau, mesurée par le dynamomètre, lorsque le courant circule dans l’élec-troaimant.Hypothèse: le champ d’induction magnétique de l’électroaimant est uniforme entre les

faces de ses pôles et vaut Be.

r

entrefer

x

y Ba

x

dynamomètre


- 27 -

Exercice 124Un électroaimant permet de créer un champ d’induc-tion magnétique B élevé dans un entrefer. Il est consti-tué d’une carcasse formée d’un matériau ferro-magnétique (r) et d’un enroulement de N spires par-courues par un courant I: figure.Déterminer le champ B dans l’entrefer en supposantqu’il n’y a pas de champ de fuite (toutes les lignes dechamp traversent l’entrefer) et que la section S de l’élec-troaimant est constante, même dans l’entrefer.La longueur du chemin parcouru par B dans le matériau ferromagnétique vaut L.Hypothèse: r >> L/l.

Exercice 125La section 8.2 du polycopié, traitant du champ magnétique H dans la matière, aconduit à l’expression de la circulation de ce champ (équation 185):

et

En absence de courant libres Il, la circulation est nulle mais le champ H est en généralnon-nul !Vérifier cela en considérant un cylindre uniformément aimanté de longueur L, puisdiscuter le résultat en fonction de L.

Exercice 126Un «train» est construit avec 2aimants sphériques placés auxextrémités d’une pile. Le «rail»est constitué d’une bobine héli-coïdale de cuivre entourant letrain et en contact avec les ai-mants: figure. a. Expliquer pourquoi ce train

se déplace à l’intérieur du rail.b. Déterminer l’expression de la force motrice en fonction de la longueur L du train,

du moment magnétique m des aimants, du nombre N de spires du rail parcourues par un courant I et du rayon moyen R du rail.

Hypothèse: l’aimantation des aimants est uniforme.Indication: l’expression du champ d’induction magnétique d’un tel aimant sphériqueest celle d’un dipôle, comme le démontre la section 8.5.2 du polycopié.Remarque: ces trains sont souvent réalisés avec des aimants discoïdaux dont le champd’induction magnétique est semblable à celui des aimants sphériques, mais difficile àcalculer exactement.

Exercice 127L’énergie d’interaction entre une spire indéformable parcourue par un courantconstant et un champ d’induction magnétique B stationnaire dans lequel elle est pla-cée est donnée par Epot = -m·B, où m est le moment magnétique de la spire (section 7

lI

H dl Il= rot H Jl=

+m1 z

x

m2

L

R


- 28 -

du polycopié). Cette expression est générale et s’applique notamment à un dipôle ma-gnétique rigide.Considérer le mouvement général d’un dipôle magnétique m rigide (m constant)dans un B(x); montrer qu’il subit un couple C et une force F et déterminer l’expressionde ces deux grandeurs.


- 29 -

Section 9: induction électromagnétique

Exercice 128Dans le dispositif de la figure, une tige mince d’acierde longueur L et résistance électrique R glisse sansfrottement à vitesse v constante sur des railsconducteurs. Le dispositif est placé dans le champd’induction magnétique produit par le fil rectiligneparcouru par un courant continu I et distant de a dupremier rail: figure.a. Calculer la force électromotrice dans la tige.b. Déterminer le sens et la valeur du courant i circulant dans la tige.c. Quelle est la puissance thermique dégagée par la tige ?d. Déterminer le sens et l’amplitude de la force externe à appliquer par un homme

pour maintenir la vitesse constante.e. Calculer la puissance mécanique fournie par cet homme, puis comparer le résultat

avec (c).Hypothèses: la résistance des rails et l’inductance du circuit sont négligeables.

Exercice 129Deux longs fils conducteurs parallèles de rayon négli-geable, distants de 2a et situés dans le plan xy, sont par-courus par des courants continus I égaux, mais dedirection opposée: figure.a. Déterminer la direction et l’amplitude du champ d’in-

duction magnétique en tout point i) de l’axe z et ii) del’axe y positif.

Une spire carrée de côté 2e < 2a est placée dans un plan xy, en z = 0; ses côtés sont pa-rallèles aux axes x et y: figure. b. Déterminer le coefficient d’induction mutuelle entre les fils et la spire immobile

lorsqu’elle est placée entre les fils, avec son centre en O.La spire est ensuite déplacée à vitesse constante selon l’axe y. Lorsque son centre setrouve en y >> a:c. Déterminer la force électromotrice induite et le sens du courant dans la spire.d. Calculer l’amplitude et la direction de la force nécessaire pour déplacer la spire à

cette vitesse v constante.Indication: la spire est un conducteur ohmique de résistance connue R.

Exercice 130Un long solénoïde de rayon R possède n spires par unité de longueur. Un courantnon-stationnaire i(t) = I0cost parcourt les spires. Déterminer le champ électrique:a. à l’extérieur du solénoïde, à une distance r de son axe,b. à l’intérieur du solénoïde, à une distance r de son axe.c. Esquisser l’amplitude du champ électrique maximal en fonction de r.

xy

zv L

I

a

aa

xy

z

II

vO


- 30 -

Exercice 131Une barre de cuivre de longueur L tourne à vitesse angulaire constante dans une champ d’induction magnétique uni-forme perpendiculaire à son plan de rotation: figure. Déter-miner la fem induite entre les extrémités de la barre.Remarque: cette fem peut être mesurée en posant un railconducteur le long du cercle en pointillé et en reliant lesbornes d’un voltmètre au rail et au point O.

Exercice 132Un conducteur rectiligne horizontal AB peut tourner autourd’un axe vertical passant par son centre O. Il reste en contactau point A (pas en B) avec un conducteur circulaire de rayona. L’ensemble est placé dans un champ d’induction magné-tique B uniforme vertical dirigé vers le haut. On fait passerun courant dans le circuit au moyen du générateur de ten-sion U.a. Décrire ce qui se passe lorsqu’on ferme l’interrupteur du circuit.b. Ecrire l’équation différentielle du mouvement du conducteur AB.c. Calculer la vitesse angulaire limite prise par AB.d. Résoudre l’équation (b) et calculer la constante de temps avec laquelle la vitesse an-

gulaire limite est atteinte si le conducteur rectiligne est au repos lorsque l’on fermel’interrupteur.

Hypothèse: la résistance du conducteur circulaire, la résistance de AB, la self du circuitet les frottements mécaniques sont négligeables.

Rappel: Le moment d’inertie J d’un solide tournant à autour d’un axe fixe est relié àson moment cinétique L par: L = J.

Application: a = 10 cm, R = 2 , U= 3 V, B = 1 T, moment d’inertie de AB: J = 4.10-4

kgm2.

Exercice 133On place selon l’axe Oz un cylindre conducteur de rayon R et longueur L dans unchamp d’induction magnétique uniforme dépendant du temps: B = Bsin(t)êz. a. Déterminer la densité J de courants induits qui apparaissent dans le cylindre en né-

gligeant le champ BJ créé par ces courants de Foucault.b. Quelle est la puissance moyenne dissipée dans le cylindre?c. Calculer le temps minimum nécessaire pour fondre un cylindre de cuivre de R = 4

cm et m = 10 kg et température T = 20 oC si l’on dispose d’une source de champd’induction magnétique de 1 T à fréquence variable de 50 Hz à 50 kHz.

d. Exprimer le champ Bc créé au centre du cylindre par les courants de Foucault. Sousquelle condition ce champ peut-il être négligé ? Discuter les 2 cas limites: R << L etL << R.

O

O

A

B

B

U

R

i


- 31 -

Exercice 134Un cadre métallique carré de côté est lâché sans vitesse initialedans une région de l’espace (z < 0) où règne un champ d’induc-tion magnétique uniforme et stationnaire B = Bêy: figure. Aucours de sa chute, son plan coïncide avec la verticale. A t = 0, lecôté inférieur du cadre est à la cote z = 0.a. Trouver l’expression de la fem au cours du temps.b. Etablir l’équation du mouvement de translation du cadre au

cours de sa chute si la résistance du cadre vaut R et son inductance est négligeable.En déduire l’expression de la vitesse du cadre au cours du temps.

c. Etablir l’équation du mouvement de translation du cadre au cours de sa chute sil’inductance du cadre vaut L et sa résistance est négligeable. En déduire l’expres-sion de la vitesse du cadre au cours du temps.

Exercice 135Un anneau circulaire de rayon a, constitué d’un filconducteur de section S, est placé en position verticale(axe z) dans le champ magnétique terrestre Bt supposéhorizontal et dirigé selon x: figure.Il tourne autour d’un axe vertical passant par soncentre à une fréquence de . Une aiguille de boussoleest placée au centre de l’anneau, dans un plan horizon-tal. Elle s’oriente dans la direction nord (axe x > 0)lorsque l’anneau ne tourne pas. Lorsque l’anneautourne, on observe une déviation de l’aiguille d’un angle .a. Montrer que seule la composante selon y du champ B créé par l’anneau en son

centre est non-nulle sur une rotation complète de l’anneau.b. Déterminer la résistivité du fil de la spire.Indications: - La déviation de l’aiguille est due au champ B créé par l’anneau en son

centre, moyenné sur une rotation complète de l’anneau.- et

Exercice 136Un barreau métallique de longueur L, de masse m et derésistance électrique R glisse sans frottement sur un cir-cuit en «U» composé d’un fil de résistance négligeableposé sur un plan incliné. Ce système est placé dans unchamp d’induction magnétique uniforme B de directionverticale: figure. a. Déterminer et esquisser l’évolution temporelle de la vitesse du barreau en fonction

de la valeur v0 de sa vitesse initiale.b. Donner l’expression de la vitesse lorsque t tend vers l’infini.c. Justifier l’expression obtenue en (b) lorsque R est très grande ou très petite.

x

z

B

a b

cd

x

t

y

vue de dessus

anneau

Bt

ax 2cos xdx2--- 1

4a------ 2ax sin+= ax 2sin xd

x2--- 1

4a------ 2ax sin–=

L

v

B


- 32 -

Exercice 137Un circuit rectangulaire a·b indéformable de résistanceR est placé près d’un fil infiniment long parcouru parun courant I; x est la distance entre le fil et l’axe du cir-cuit: figure. Déterminer:a. le flux magnétique à travers la surface délimitée par

le circuit et l’inductance mutuelle en fonction de x,b. l’amplitude et le sens du courant i dans le circuit

lorsqu’il est éloigné du fil à vitesse constante v,c. l’amplitude et la direction de la force extérieure nécessaire au déplacement du cir-

cuit à vitesse constante v,d. l’expression du travail W de cette force* lorsque l’axe du circuit passe de la position

x1 à la position x2,e. l’énergie E perdue par effet Joule* lorsque le circuit s’est déplacé de x1 à x2.f. Comparer l’énergie obtenue en (e) avec le travail de la force calculé en (d).* Ne pas résoudre l’intégrale apparaissant dans le calcul de W et E.

Exercice 138Un très petit morceau de matériau magnétisé, de moment magné-tique m pointant dans la direction de l’axe z, se déplace selon cet axeà une vitesse constante v << c: figure.Un anneau conducteur de rayon a se trouve dans un plan xy, centrésur l’axe z, en z = 0. Identifier et déterminer la force influençant ledéplacement de la pièce magnétisée.Indications:- m est équivalent au moment magnétique d’une spire de rayon b

parcourue par un courant.- La distance z entre l’anneau et la pièce magnétisée est telle que z >> a et z >> b.- l’anneau, de résistance R, a une inductance propre négligeable.

Exercice 139Un anneau de cuivre de rayon a et section S tourne autour d’unaxe perpendiculaire à un champ d’induction magnétique uni-forme B: figure.Sa «fréquence» de rotation initiale est égale à 0. Calculer letemps nécessaire pour que la fréquence décroisse à 1/e de savaleur initiale en admettant que l’énergie est dissipée dans le cuivre sous forme depertes Joule.Indication: faire un bilan d’énergie et travailler avec l’énergie dissipée moyenne en

supposant que varie suffisamment lentement pour être considéréecomme constante sur une période.

Application: conductivité du cuivre = 5,8.107/m et B = 20 mT.

a

v

x

I

b axe ducircuit

zv

m

xy

B


- 33 -

Exercice 140Un bêtatron est un électro-aimant utilisé pour accélérer desélectrons (ou autres particules): figure. L’électron est injec-té dans un tube toroïdal dans lequel le vide a été effectué.Le champ d’induction magnétique créé par l’électro-ai-mant a une symétrie axiale et dépend du rayon r et dutemps: B(r,t) = B(r,t)êz. Ce champ est réglé de telle façonque l’électron injecté suive une trajectoire circulaire.a. Expliquer par une ou deux phrases comment l’électron

peut acquérir une trajectoire circulaire et gagner de l’énergie cinétique dans ce bê-tatron, en supposant que sa vitesse d’injection est nulle.

b. Déterminer l’expression du champ électrique en fonction de Bm, puis calculer lanorme de la quantité de mouvement de l’électron ainsi que sa dérivée par rapportau temps.

c. Calculer le rapport entre B(r) et Bm, quel que soit r, en utilisant les résultats de (b).d. Considérer un B oscillant à la fréquence angulaire , d’amplitude Bo. Identifier le

temps pendant lequel l’électron peut être accéléré, puis calculer l’énergie cinétiquemaximale.

Hypothèse: la vitesse d’injection des électrons est négligeable.Indication: On suppose connu le champ moyen Bm calculé sur la surface définie par

l’orbite de l’électron.Remarque: les électrons sont déviés en fin de trajectoire pour être dirigés vers unecible.

Exercice 141Les pales d’un hélicoptère effectuent 2 rotations par seconde. Si la composante verti-cale du champ d’induction magnétique terrestre est B, quelle est la fem induite entrel’extrémité d’une pale de L = 3m et l’axe du rotor.Application: survol de la ville de ?, latitude 48o50’ N et longitude 2o10’ E, B = 0,5.10-4 T.

Exercice 142Un cadre métallique rectangulaire (W x L) de résistance Rs’éloigne à vitesse constante d’un long fil rectiligne parcouru parun courant I. Le cadre et le fil sont dans un même plan.a. Déterminer l’amplitude et le sens du courant i induit dans le

cadre lorsque son côté le plus proche du fil se trouve à une dis-tance r.

b. La personne tirant le cadre doit-elle exercer une force pourmaintenir la vitesse constante si l’on néglige tout frottement ?Si oui, calculer son amplitude et sa direction.

Exercice 143Un courant I circule dans un long solénoïde de diamètre D et de N spires par centi-mètre. Un enroulement serré de n spires de diamètre d est placé en son centre. L’axede l’enroulement est confondu avec l’axe du solénoïde. Le courant I est annulé, puisinversé de façon continue pendant t. Déterminer la fem induite qui apparaît dansl’enroulement pendant que le courant varie. Application: I = 1,5 A; D = 3 cm; N = 200cm-1; n = 100; d = 2 cm; t = 0,05 s.

r

z

B

tubetoroïdal

S

N

v

W

L

I


- 34 -

Exercice 144On place une sphère conductrice de rayon R et résistivité dans un champ d’induc-tion magnétique uniforme dépendant du temps: B = Bsintêz. a. Déterminer la densité J de courants induits qui apparaissent dans la sphère en né-

gligeant le champ BJ créé par ces courants de Foucault.b. Quelle est la puissance moyenne dissipée dans la sphère.c. Calculer le temps minimum nécessaire pour fondre une sphère de cuivre de m = 10

kg et température T = 20 oC si l’on dispose d’une source de champ d’induction ma-gnétique de 1 T à fréquence variable de 50 Hz à 50 kHz.

d. Exprimer le champ BJ créé au centre de la sphère. Sous quelle condition ce champpeut-il être négligé ?

Exercice 145Deux inductances sont couplées magnétiquement selon la fi-gure.Déterminer l’inductance équivalente L de ce circuit si:a. B est relié à C, le courant I entrant en A et sortant en D,b. B et relié à D, le courant entrant en A et sortant en C.

Exercice 146La spire 1, de rayon R, est soumise à un mouvement vertical z(t) = a+ bsint: figure. Elle est plongée dans le champ d’induction ma-gnétique B créé par la spire 2 de rayon Ro parcourue par un courantstationnaire I; par symétrie, B = B(r,z) = Br(r,z)êr+ Bz(r,z)êz en coor-données cylindriques.a. En exprimant de deux façons différentes la tension induite dans

la spire 1, montrer que la composante radiale du champ B s’écrit:

, avec et S = R2 (1)

b. Déterminer le champ B sur l’axe z et calculer la tension induite dans la spire 1 ensupposant que sa section est très petite.

Exercice 147Un conducteur semi-circulaire effectue Ntours/min autour de son axe: figure. Unchamp d’induction magnétique B uniformeoccupe la partie inférieure du système.a. Calculer la valeur maximale de la fem in-

duite dans le conducteur.b. Quelle est la fem moyenne induite lors d’un

tour complet ?c. Quelles seront les réponses aux questions a) et b) si la zone où B existe est étendue à

une distance R au-dessus de l’axe ?d. Esquisser l’allure de la fem en fonction du temps pour B des questions a) et c).Application numérique: R = 0.25 m, B = 1.3 T, N = 120.

L1 L2

A

B

C

D

M

z

2

1

I

Br R z R2----

zBz–=

zBz 1

R2----------

zBz Sd

S=

R

B


- 35 -

Exercice 148Un train à moteur linéaire est en mouvement de translationuniforme à vitesse v =Vêx dans le plan horizontal Oxy. Sonmoteur est assimilé à un cadre conducteur carré de N spiresde côté b: figure. Ce cadre est soumis à l’action d’un champd’induction magnétique vertical, de la forme: B(x,t) =Bcos[(t-x/V0)]êz. Le moteur a une résistance électrique R et une inductance proprenégligeable; g = 1 - V/V0 0 est appelé facteur de glissement.Le centre du moteur se trouvant à l’abscisse Vt à l’instant t, a. Montrer que le flux de B à travers le cadre à l’instant t s’écrit sous la forme:

B = C1·sinC2·cos(gt); C1 et C2 étant des constantes.b. Déterminer la force électromotrice et le courant induits dans le cadre à l’instant t.c. Calculer la puissance P(t) des forces magnétiques qui s’exercent sur le cadre.d. Déterminer la puissance moyenne (temporelle) P et montrer que, suivant la valeur

de g, le cadre est freiné ou propulsé par ces forces.e. Calculer la puissance moyenne si N = 100; b = 0,3 m; B = 0,6 T; = 100 rad/s; R =

0,25 ;V0 = 60 m/s et g = 0,02.

Exercice 149Une spire rectangulaire conductrice est déplacée à traversune région où existe un champ d’induction magnétique don-né par B = B0(6-y, 0, 0): figure. Trouver la force électromotriceinduite dans la spire en fonction du temps si la figure indiquesa position à l’instant t = 0: a) si v = 6,5 m/s selon Oy, b) si laspire, au repos à l’instant t = 0, subit une accélération de 2 m/s2 selon Oy, c) mêmes questions pour un déplacement selonOz.Indication: B0 = 1T.

Exercice 150Déterminer l’inductance mutuelle des circuits dela figure obtenus en enroulant un fil conducteursur un tore magnétique de perméabilité r = 3.104.En déduire le coefficient de self-induction dechaque circuit. Ce tore permet d’amplifier lechamp d’induction magnétique et de canaliser leslignes de ce champ. Le dispositif ainsi obtenu estun transformateur.Application: N1 = 200 et N2 =100, diamètre moyen du tore 1 cm, section du tore S = 1cm2.

Exercice 151Le générateur unipolaire ou roue de Barlow est undisque de cuivre de rayon R tournant à vitesse angu-laire constante dans un champ B = Bêz stationnaireet uniforme: figure. L’expérience montre que le cir-cuit abcde, connecté à la roue par deux contacts glis-sants en a et c, est l’objet d’une tension induite: un

y

xz

vA

B C

D

0.2 m

0.5 m

y

x

z

v2(t)v1(t) N1 N2

a

c

B

b

e

d


- 36 -

courant y circule.a. Calculer cette tension induite .b. Pourquoi existe alors que la variation de flux est nulle dans le circuit ?

Exercice 152La répartition d’un courant alternatif dans un conducteur est modifiée par les cou-rants induits générés par le champ magnétique né du courant lui-même. En consé-quence, on observe une densité de courant plus importante dans la périphérie d’unconducteur massique qu’en son centre: effet de peau.a. Déterminer le champ magnétique traversant la petite

surface S = Ldr située en r dans une section longitu-dinale passant par l’axe d’un conducteur cylindriquede rayon R et d’axe z: figure.

b. Montrer qu’un courant induit circule sur le péri-mètre de cette petite surface Ldr et que sa directionimplique que E(r+dr) > E(r), ce qui explique que lecourant soit plus important en périphérie.

c. Etablir les deux relations suivantes:

et

d. En supposant un courant alternatif de pulsation , montrer que la distribution ra-diale du champ électrique E(r), identique à la distribution du courant, est décritepar:

, avec:

e. La résolution fait appel aux fonctions de Bessel. L’ex-périence montrant que le courant diminue lorsquel’on pénètre dans le conducteur, il est possible de dé-terminer une solution approchée en montrant que E/r << r2E/r2: figure.Démontrer cette relation, puis vérifier que la solutionapprochée s’écrit:

, avec

Le terme réel traduit l’effet de peau, i.e. la diminution du courant lorsque l’on pénètredans un conducteur: le courant circule principalement en périphérie lorsque sa fré-quence est élevée. La profondeur de pénétration = 1/est l’épaisseur sur laquelle lecourant est réduit d’une valeur 1/e de sa valeur à la surface.Le terme imaginaire indique que la phase de E varie en fonction de r.

Exercice 153La figure (1) ci-dessous schématise une arme (vue de dessus) permettant d’envoyerun projectile conducteur de masse m avec une très grande accélération. Le projectileest posé sur un support plan isolant, à la hauteur de l’axe reliant les deux cylindresconducteurs de rayon r séparés d’une distance w égale à la longueur du projectile. Le

drL

r

R

z

r

ELdr–=r

E 0 tH

=

r2

2

E 1r---

rE i0E–+ 0=

t i–

R

E(r)

r

E r E0e R r– – i R r– +=

02

--------------=


- 37 -

projectile est en contact électrique avec les cylindres. Les cylindres, supposés trèslongs, sont traversés par un courant I lors de la fermeture de l’interrupteur. Détermi-ner: a) la force accélérant le projectile dans l’arme et b) la vitesse v0 à laquelle le pro-jectile quitte l’arme au point B.La figure (2) illustre un moyen de défense (vu de dessus) qui freine le projectile dèsqu’il se pose sur les rails en C, grâce au champ d’induction magnétique B constant,perpendiculaire au plan des rails, existant entre C et D. Déterminer c) la décélérationet l’évolution de la vitesse du projectile entre C et D (vC = v0) et d) l’expression duchamp B(R,v0,m,L,w) nécessaire pour protéger la cible située en D en admettantqu’elle peut être touchée sans danger avec une vitesse de v0/100.Hypothèses: i. le champ magnétique B créé par le courant dans le projectile est négli-

geable;ii. les résistances électriques des circuits de l’arme et du système de dé-

fense sont constantes.Référence: A low voltage railgun, Starr S.O., Am. J. Physics, vol 81(1), 2013.

Exercice 154Une barre conductrice se déplace sans frottementsur deux rails parallèles en présence d’un champd’induction magnétique uniforme: figure.a. La barre est abandonnée avec une vitesse v0.

Trouver la vitesse en fonction du temps si R estla résistance du circuit abcd, supposéeconstante. En déduire l’évolution du courant et de la tension induite en fonction dutemps.

b. Une force F constante, dirigée vers la droite de la figure, est appliquée à la barre dudispositif initialement au repos. En supposant que l’inductance du circuit est négli-geable, calculer la vitesse de la barre en fonction du temps.

Exercice 155Deux rails parallèles, séparés d’une dis-tance d et de résistance électrique négli-geable, sont connectés par une résistanceR1: figure. Le circuit contient égalementdeux cylindres métalliques de résistanceR2 et R3 qui se déplacent à vitesseconstante v2 et v3. Sachant qu’un champ magnétique B est appliqué perpendiculaire-ment au plan des rails, déterminer l’amplitude et le sens du courant dans la résistanceR1.Application: d = 10 cm; R1 = 5 ; R2 = 10 ; R3 = 15 ; v2 = 4 m/s; v3 = 2 m/s; B = 0,01T.

IA B

C D

L

2L

Rarme vue de B

projectile

supportisolant

projectile

cylindreB

(1) (2)

B v

a

bc

d

v2 v3

R1 R3R2

B


- 38 -

Exercice 156Déterminer l’inductance résultante de n selfs connectées:a. en série,b. en parallèle.

Exercice 157Un cylindre ferromagnétique vertical de diamètre d comporte àsa base un enroulement de N1 spires traversées par un courant si-nusoïdal de valeur efficace I1. Un anneau en aluminium de dia-mètre moyen D et section S, pouvant glisser librement le long ducylindre, subit une force qui le maintient à une hauteur z et quel’on propose de calculer: figure.

a. Esquisser quelques lignes du champ d’induction magnétique etjustifier ainsi la première hypothèse.

b. Déterminer la tension induite 2 dans l’anneau ainsi que les in-ductances propres et mutuelles des 2 circuits.

c. Déterminer le courant i2 dans l’anneau.d. Calculer la force de sustentation de l’anneau, moyenne sur une période, lorsqu’il se

trouve en x = 0 et x = h.e. Calculer la hauteur ze d’équilibre de l’anneau.Hypothèses: - le champ d’induction magnétique B créé par la bobine est constant et

normal à tout élément de la surface du cylindre situé au-dessus de la bo-bine

- les pertes magnétiques dans le cylindre sont négligées,- l’inductance L2 de l’anneau est constante, indépendante de la hauteur z.

Indication: l’énergie magnétique de 2 circuits couplés, parcourus par des courants i1 eti2, est donnée par: .

Application: h = 25 cm, d = 5 cm, D = 7 cm, N1 = 800, L1 = 0,16 H, I1 = 4A, S = 100 mm2,f = 50 Hz.

Exercice 158Un frein électromagnétique à courants de Foucault estconstitué d’un disque, de conductivité et d’épaisseur h,qui tourne autour d’un axe passant par son centre. Unchamp d’induction magnétique, normal au plan dudisque, est appliqué sur une petite aire de côté a et b: fi-gure. Si cette aire est située à une distance r de l’axe, déter-miner l’expression approximative du couple qui tend àralentir le disque à l’instant où sa vitesse angulaire est .

h

0

zS

Em12---L1i1

2 12---L2i2

2 Mi1i2+ +=

ab

B


- 39 -

Exercice 159Une boucle rectangulaire a x b de N spirestourne à une vitesse angulaire = êzconstante dans un champ d’induction ma-gnétique uniforme B = Bêx: figure.a. Déterminer la force électromotrice et le

sens du courant induits dans la boucle.b. Calculer N pour produire max = 311 V

lorsque la boucle effectue 50 t/s dans un B de 0,5 T; a = 0.1 m et b = 0.05 m.

Exercice 160Deux rails, séparés d’une distance sont fixés verticale-ment sur une paroi. Une impédance Z est connectée entreles extrémités supérieures des rails. Le circuit est fermé parune tige métallique de masse m qui peut glisser sans frotte-ment sur les rails. Un champ d’induction magnétique B,uniforme et indépendant du temps, agit perpendiculaire-ment au plan formé par les rails (B sort du plan): figure.A l’instant t = 0, la tige est lâchée à vitesse nulle de la posi-tion z = 0.a. Décrire, sans calcul, ce qui va se passer dans le circuit

lorsque la tige se met en mouvement.b. Etablir, puis résoudre l’équation différentielle du mouvement z(t) de la tige si Z est

une inductance L. Identifier le type et les caractéristiques de son mouvement.c. Idem, si Z est un condensateur de capacité C.Hypothèse: la résistance ohmique des rails et de la tige est négligeable.

Exercice 161Un ingénieur choisit une ampoule à filament fonction-nant sous 220 V en la plaçant dans le circuit de la fi-gure !En supposant que l’interrupteur est fermé depuislongtemps et en utilisant les indications ci-dessous,a. Montrer que l’ampoule est éteinte et calculer le cou-

rant stationnaire I0 traversant la résistance RL de l’inductance L.b. Venez à l’aide de cet ingénieur (non diplômé de l’EPFL) en montrant que l’ampoule

s’allumera brièvement, malgré ce mauvais choix, lors de l’ouverture de l’interrup-teur A. Estimer le temps pendant lequel l’ampoule sera allumée.

Indications: = 10 V; RL = 1,2 Let ampoule de P = 25 W.

a bx

y

z

B

z

0

B

Z

L

RL

i A


- 40 -

Exercice 162Un fil de longueur a, dirigé selon l’axe y, est tra-versé par un champ d’induction magnétique B =Bêx créé par un aimant de section a·b: figure.La masse et la résistance électrique du fil par unitéde longueur sont respectivement et .Le fil est connecté à un second fil, conducteur par-fait de masse négligeable situé en dehors de B, demanière à former un circuit.Si le fil tombe sous l’effet de la gravité, quelle estla vitesse maximale qu’il peut atteindre dans lechamp B ?Hypothèse: B est constant dans la section des ai-mants et nul ailleurs.

Exercice 163Un circuit fermé a la forme d’une bobine circulairecomposée de N spires de rayon a. Cette bobine, de lon-gueur négligeable, est plongée dans un champ d’induc-tion magnétique uniforme B = Bêx. Elle tourne à vitesseangulaire constante autour de son diamètre parallèleà l’axe z: figure.Soit (t) = t l’angle entre le champ B et le plan de labobine.a. Déterminer l’amplitude et le sens du courant i(t) dans la bobine si l’inductance du

circuit vaut L et sa résistance est négligeable.b. En utilisant le résultat obtenu à la question (a), calculer le couple extérieur C =

C(a,N,B,L,) qu’il faut appliquer pour maintenir la rotation à vitesse angulaire constante de la bobine.

c. Si l’inductance du circuit vaut L et sa résistance vaut R, le courant dans la bobine en régime permanent s’écrit i(t) = Icos(t + ). Déterminer l’amplitude I et le dépha-sage .

d. En utilisant le résultat obtenu à la question (c), calculer le couple extérieur C(a,N,B,R,L,). qu’il faut appliquer pour maintenir la rotation à vitesse angulaire constante de la bobine.

e. Commenter l’effet de la résistance R sur le courant et le couple.Hypothèses: la rotation de la bobine a lieu sans frottement, les régimes transitoires et le

poids de la bobine sont négligés.

a

N

S

x

yz

b

x

y

z


- 41 -

Exercice 164Deux rails conducteurs verticaux, séparés d’une distance Lsont reliés à leur extrémité inférieure à une batterie de forceélectromotrice . Le circuit est fermé par une barre métal-lique de masse m pouvant glisser sans frottement sur lesrails et par un interrupteur. Un champ d’induction magné-tique B, uniforme et indépendant du temps, agit perpendi-culairement au plan formé par les rails (B entre dans leplan): figure.La barre est immobile à la position z = 0 lorsque l’interrup-teur est fermé (t = 0); un courant I, supposé constant, circulealors dans le circuit.a. Décrire, sans calcul, ce qui va se passer dans le circuit à t 0.b. Etablir et résoudre l’équation différentielle décrivant le mouvement de la barre.c. Calculer le travail effectué par la force magnétique entre z = 0 et z = h.Le déplacement de la barre implique une variation du flux magnétique dans le circuitet donc une force électromotrice (t) qui s’oppose à cette variation de flux.d. En maintenant l’hypothèse d’un courant constant I = (- )/(R + Ri), justifiée par

le fait que << , calculer l’énergie électrique fournie par lorsque la barre a at-teint z = h.

e. Comparer le résultat de (c) et (d) et discuter.f. La théorie de l’électromagnétisme établit que la force magnétique est passive: sec-

tion 7.1; comment justifier le travail non-nul calculé en (c) ?Hypothèse: les résistances ohmiques R du circuit et Ri de la batterie sont connues etconstantes.

z

0

B

L

h


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Section 10: circuits électriques en régime non-stationnaire

Exercice 165Dans le circuit ci-contre, l’interrupteur est d’abord fermé etle régime stationnaire est établi dans le circuit. L’interrup-teur est ensuite ouvert à l’instant t = 0.a. Déterminer la tension vL0 aux bornes de la self juste

après t = 0.b. Calculer et esquisser l’évolution du courant dans R1 et

dans R2, avant et juste après l’ouverture de l’interrupteur.c. Après l’ouverture de l’interrupteur, quel temps faut-il attendre pour que le courant

dans R2 atteigne 2 mA ?Application numérique: R1 = 2 k, R2 = 6 k; L = 0,4 H; = 18 V.

Exercice 166Avant la fermeture de l’interrupteur, C1 possède une chargeQ et C2 = C1/2 est déchargé.a. Décrire l’état final du circuit résultant de la fermeture de

l’interrupteur: u2f, Q1f, Q2f.b. Décrire l’évolution de la charge Q1(t) de l’instant de ferme-

ture à l’état final.c. Déterminer la valeur de l’énergie initiale et finale du circuit, puis discuter le résul-

tat.

Exercice 167Déterminer les courants i1 et i2 dans le cir-cuit ci-contre, a) immédiatement après lafermeture de l’interrupteur et b) après untemps très long ainsi que c) le courant i2après un temps donné par: = L(R1 + R2)/(R1R2 + R1R3 + R2R3).Après ce temps très long, l’interrupteurest rouvert. Calculer les courants i1 et i2 d) immédiatement après la réouverture del’interrupteur et e) après un temps très long.Application: = 100V; R1 = 10 ; R2 = 20 ; R3 = 30 ; L = 2 H.

Exercice 168Considérer le circuit de la figure. On observe quesi v1(t) = 10cost, alors v2(t) = V2 cos(t - ), avec positif ou négatif. La résistance vaut 1 k, maison ne sait pas si Z est un condensateur ou une in-ductance. En choisissant des pulsations de =103 s-1 et = 104 s-1, on mesure respectivementV2 = 5 V et V2 0 V.a. Déterminer si Z est un condensateur ou une self.b. Calculer la valeur de C ou L.c. Calculer le déphasage et indiquer si v2 est en avance ou en retard par rapport à v1.d. Calculer la fréquence de coupure du circuit f0 telle que V2/V1= 1/2.

R1

L

R2

R

C2C1

R1

R2 L

R3

i1

i2

i3

RZv1 v2


- 43 -

Exercice 169Le circuit de la figure est alimenté par un alternateurfournissant une tension sinusoïdale v1 de fréquencef variable.Calculer et esquisser graphiquement l’amplitude durapport des tensions v2/v1 en fonction de la fré-quence de l’alternateur. Déterminer ensuite la fonc-tion de ce circuit en justifiant votre réponse.

Exercice 170Déterminer le courant I et le déphasage entre tension et courant alternatifs dans uncircuit RLC série en utilisant la méthode graphique des phaseurs.Application: générateur de V = 300 V, f = 50 Hz, R = 50 , L = 0,1 H, C = 50 F.

Exercice 171La figure ci-contre décrit l’expérience faite au cours, qui apermis d’allumer de façon transitoire une lampe de 220 V àl’aide d’une pile de = 10 V. L’interrupteur A a été fermébien avant t = 0, instant où il est réouvert.a. Expliquer cette expérience en calculant l’évolution tem-

porelle de la tension et du courant aux bornes de lalampe lorsque l’on ouvre A.

b. Quel serait l’intérêt de doubler la valeur de l’inductance ?Application: inductance de L = 1 H et R = 1,2 ; lampe de 25 W et 220 V.

Exercice 172L’interrupteur du circuit de la figure ci-contre estmaintenu en position [a] pendant un long mo-ment. Il est ensuite placé en position [b]. Danscette position, calculer la fréquence et l’amplitudedu courant.

Exercice 173L’énergie électrique est généralement transportée sous la forme de3 tensions alternatives déphasées de 120o l’une par rapport àl’autre. Elles sont indiquées dans une prise triphasée par les lettresR, S, T selon le schéma de la figure, N est le neutre.En Suisse, les tensions efficaces entre chaque phase et le neutresont de 220 V. A l’aide d’un diagramme de phaseurs, dessiner les3 tensions monophasées VNR, VNS et VNT et déterminer la tensionentre phases VRS.Comment peut-on transporter 3 tensions à l’aide de 4 fils au lieu de 6 ?

Rv1 v2

L

C

L

A

14

54 mH6.2 F

34 Va

b

NT

RS


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Exercice 174Une diode est un composant qui ne permet le passage du cou-rant que dans une direction, indiquée par la flèche de son sym-bole. Exprimer, en fonction de la tension alternative v et de R,la puissance moyenne dissipée dans le circuit de la figure.

Exercice 175a. Calculer et dessiner l’évolution du

courant dans la résistance R2 lorsquel’interrupteur du circuit de la figureest fermé à l’instant t = 0. Les conden-sateurs, dont la capacité équivalentevaut C, sont déchargés à t = 0.

b. La capacité C résulte du couplage de3 condensateurs selon le schéma ci-contre. Sachantque C1 est un condensateur plan sans diélectrique,dont le rapport surface d’une plaque / distance entreplaques vaut 4C/0, déterminer la valeur de la capaci-té C2.

Exercice 176Tous les paramètres du circuit de la figure sont connus, àl’exception de la capacité; trouver:a. le courant en fonction du tempsb. la puissance moyenne dissipée dans le circuitc. le courant en fonction du temps après avoir ouvert l’inter-

rupteur S1On ouvre également S2 et l’on observe que le courant et la

tension sont en phase; trouver:d. la capacité Ce. l’impédance du circuitf. l’énergie maximale stockée dans la capacité au cours des oscillations de la tensiong. l’énergie maximale stockée dans l’inductance au cours des oscillations de la tensionh. le changement de la phase entre la tension et le courant si la fréquence du généra-

teur est doubléei. la fréquence permettant d’obtenir une impédance du condensateur double de celle

de l’inductance

Exercice 177a. Déterminer analytiquement l’impédance du cir-cuit de la figure.b. Dessiner sur un même graphique le diagrammedes phaseurs des courants et des tensions.

v

R2R

R

R

R1R2 C

b

a

a

b

C1 C2

1,25C

v

S1

S2R

L

C

v = Vcost

R1

R2

C

L2

L3

v(t)


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Sections 11 + 12: équations de Maxwell + énergie électromagnétique

Exercice 178Deux milieux différents, dont on ne précise pas les propriétés électromagnétiques(perméabilité, permittivité, résistivité), sont séparés par une plaque conductrice danslaquelle circule une densité surfacique Js de courant. Est-ce que les composantes duchamp B normale et tangentielle à cette plaque sont continues ? Si elles ne le sont pas,calculer la valeur de la discontinuité.

Exercice 179Un barreau cylindrique conducteur de longueur L très grande et de rayon a est par-couru par un courant i; on suppose que la densité de courant J est constante.a. Calculer le vecteur de Poynting en tout point du conducteurb. Montrer que l’énergie dissipée par effet Joule provient du champ électromagné-

tique entourant le conducteur.

Exercice 180Une résistance R est reliée à une source de ten-sion continue V par un câble coaxial de longueurL dans lequel les deux conducteurs (rayons a et b> a) sont séparés par un isolant. Le conducteurextérieur est relié à la terre. On suppose qu’il n’ya pas de pertes Joule dans les conducteurs.a. Exprimer le champ électrique en tout point de l’espace.b. Exprimer le champ magnétique en tout point de l’espace.c. Exprimer le vecteur de Poynting en tout point de l’espace.d. Calculer le flux du vecteur de Poynting à travers une section droite entre les deux

conducteurs: quelles sont vos conclusions ?e. Quelles seraient les conséquences sur E et S si les pertes Joule n’étaient pas négli-

gées ?

Exercice 181Un long solénoïde flexible, de poids négligeable, est sus-pendu par son extrémité supérieure et un poids P est at-taché à l’autre extrémité: figure.Déterminer le courant à fournir au solénoïde pour qu’ilsupporte le poids sans s’allonger ni se rétrécir.Indication: solénoïde de N spires, rayon a et longueur L.

Exercice 182Un solénoïde de longueur L et rayon a << L comporte n spires par unité de longueur.Il est parcouru par un courant variable créant un champ d’induction magnétique uni-forme et sinusoïdal: B = B0costêz

RV

I

L

P

V

I

z


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a. Déterminer l’énergie magnétique localisée dans le volume délimité par le solénoïde.b. Déterminer l’énergie électrique localisée dans le volume délimité par le solénoïde.c. Evaluer le rapport des moyennes temporelles de l’énergie électrique et magnétique

et calculer la valeur obtenue pour un solénoïde de rayon a = 1 cm dans lequel B va-rie à une fréquence de 1 kHz.

Exercice 183Un câble coaxial parcouru par un courant i est formé d’un conducteur intérieur cylin-drique de rayon a entouré d’un conducteur cylindrique creux de rayon b dont on né-glige l’épaisseur.a. Calculer l’énergie magnétique du câble.b. En déduire l’inductance du câble.

Exercice 184La section droite d’un solénoïde torique, derayon moyen R, est un cercle de rayon a: figure.N spires jointives sont bobinées sur le tore etparcourues par un courant continu I.a. Trouver l’expression du champ d’induction

magnétique B créé dans le tore. Adoptercomme variables, dans un plan d’une sectiondu tore, les coordonnées polaires (r,): figure. En quels points de la section B est-ilmaximum et minimum ?

b. Calculer l’énergie magnétique du tore.Indication: poser u = tan(/2), puis utiliser pour intégrer selon .

c. Exprimer l’énergie électromagnétique en fonction de S = a2, L = 2R et n = N/Llorsque a << R, puis discuter le résultat obtenu.

Exercice 185Un condensateur plan de capacité C est formé de deux plaques circulaires de rayon aséparées par une distance L d’air. A l’instant t = 0, ce condensateur est connecté à unesource de tension V pour être chargé.a. Calculer le vecteur de Poynting S(t) entre les armatures à un instant t de la charge.b. En déduire l’énergie électromagnétique entre les armatures lorsque le condensateur

est totalement chargé.c. Utiliser le résultat obtenu en b pour montrer que l’énergie électromagnétique du

condensateur chargé correspond à l’expression CV2/2 établie en électrostatique.

Exercice 186Etablir la loi de Biot-Savart pour une chargeponctuelle q, i.e. le champ d’induction magné-tique B créé par q se déplaçant à une vitesseconstante non-relativiste v selon la direction zpositive: figure. On suppose q > 0.a. Calculer le flux du champ électrique créé par

q dans une calotte sphérique centrée sur l’axez, de rayon b et placée en z = a lorsque q se

R r

xd

b2 x2+

-----------------1b--- x

b---atan=

z

0 a

x

bvq


- 47 -

trouve à l’origine.b. En tenant compte du résultat obtenu en (a), utiliser une loi de Maxwell pour déter-

miner le champ d’induction magnétique B créé par q.


section 3: électrostatique

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