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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO

TURMA - PDE/2012

Título: História da Matemática e as Progressões Aritméticas e Geométricas

Autora Maria Elizabete Pasian

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Rui Barbosa - Ensino Médio.

Japurá - PR

Município da escola Japurá - PR

Núcleo Regional de Educação Cianorte - PR

Professora Orientadora Lucieli M. Trivizoli

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Maringá

Resumo

A história deve ser a linha condutora para direcionar as explicações dadas aos porquês da Matemática, podendo contribuir para a promoção de uma aprendizagem significativa na escola. Assim este projeto tem como objetivo contribuir com estratégias de ensino e aprendizagem das progressões aritméticas e geométricas, permitindo que os alunos do Ensino Médio compreendam as razões que orientaram a sua constituição. As estratégias de ação contemplarão um conjunto de atividades práticas, individuais e em grupos a serem realizadas por meio de exposição oral, exposição de vídeos, discussão e trabalhos em grupos, pesquisas na internet sobre as progressões aritméticas e geométricas. Assim sendo, o intuito é apresentar um estudo histórico-pedagógico tendo como foco as progressões aritméticas e geométricas, no sentido de contribuir para a superação de práticas descontextualizadas de ensino deste conteúdo, permitindo aos alunos compreender a sua aplicabilidade no cotidiano.

Palavras-chave

história da matemática; aprendizagem significativa; progressões aritméticas e geométricas

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos da 1ª Série do Ensino Médio

1- APRESENTAÇÃO

Hoje, o ensino da Matemática tem sido alvo de grandes questionamentos,

principalmente no que diz respeito à maneira de como ela está sendo ensinada na

escola. É muito comum se deparar com alunos com pouco ou nenhum interesse em

resolver as atividades escolares em sala de aula, bem como os trabalhos individuais

ou em grupo. E pensando numa forma de mudar essa problemática, torna-se

necessário a busca de estratégias que possam contribuir para a melhoria desse

quadro caótico.

Assim, em razão dessa angustiante situação, é imprescindível propiciar condições

para despertar o aluno para o estudo e compreensão. Por meio da História da

Matemática, pode-se levar o aluno a entender parte da cultura de determinados

povos e, ao mesmo tempo, a compreender o desenvolvimento do conhecimento.

Dentre os procedimentos didáticos mais importantes para o ensino e aprendizagem

da matemática no Ensino Médio está a capacidade de ação do professor no sentido

de propiciar condições que levem os alunos à investigação e experiências práticas

que venham atenuar essa ideia de que estudar matemática não passa de repetições

de sinais e regras, sem nenhum significado para eles.

Dessa forma, percebemos que os conteúdos matemáticos, muitas vezes, são

trabalhados de maneira descontextualizada, sem muito enfoque de significações, a

ponto de levar o aluno ao desestímulo e desinteresse em construir seu

conhecimento matemático, quando deveria haver compreensão da necessidade dos

conhecimentos teóricos e a partir de então saber aplicar na vida prática de modo

contextualizado e significativo.

Desde a antiguidade os seres humanos têm necessidade em compreender as

progressões aritméticas e geométricas para o desenvolvimento individual e social e,

hoje, as dificuldades ainda continuam. Superar esses desafios parece cada vez mais

difícil. Mas a matemática faz parte do dia a dia de cada ser humano, tanto no

presente, no passado e é por meio das observações cotidianas que o aluno pode

realizar uma aprendizagem mais significativa, dentro e fora da sala de aula.

Portanto, o ensino e a aprendizagem das progressões aritméticas e geométricas

não podem ser construídos baseados apenas em regras e memorização de

números, sinais e fórmulas sem nenhuma significação. Vamos buscar o

desenvolvimento desse conteúdo em situações históricas relacionadas ao seu

desenvolvimento e vamos levar em conta a resolução de situações–problema na

sala de aula.

2- OBJETIVOS

- Contribuir com estratégias de ensino e aprendizagem das progressões aritméticas

e geométricas, permitindo que os alunos do Ensino Médio compreendam as razões

que orientaram a sua construção;

- Compreender o percurso histórico do desenvolvimento de conceitos relacionados

às progressões aritméticas e geométricas;

- Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades cotidianas e na

interpretação de situações-problema;

- Desenvolver a capacidade de raciocínio na resolução de problemas, comunicação,

bem como seu espírito crítico e sua criatividade;

- Expressar-se em linguagem escrita e gráfica diante de situações matemáticas;

- Conceituar progressões aritméticas e geométricas;

- Usar e reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito.

Este trabalho será desenvolvido de acordo com a proposta curricular ligada à

História da Matemática e às Progressões Aritméticas e Geométricas. Para que os

objetivos pretendidos sejam atingidos durante realização do estudo do tema

abordado. Sendo assim, propomos as atividades a seguir:

3 - UNIDADE DIDÁTICA

Atividade 1 - Iniciando as discussões

Duração: 1 hora/aula

Para iniciar os trabalhos, aplicaremos um pequeno questionário aos alunos para

apoiar nossa atividade como professora e entendermos quais os conhecimentos e

expectativas dos alunos em relação à Matemática e à História dessa ciência.

- O que levou você a gostar ou não da Matemática?

- Você tem consciência da importância do estudo da Matemática ao longo

de sua vida? Por que Justifique sua resposta.

Figura 1 (http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/como-surgiram-os-numeros.htm)

Desde a antiguidade, a Matemática era utilizada pelo homem pré-histórico, antes

mesmo de ter conhecimento sobre, números ou algarismos. A necessidade de

contar seus rebanhos fazia com que esse homem associasse a mesma quantidade

de pedras com seus rebanhos ou marcava com pedaços de madeira.

E assim, com a evolução do homem, a Matemática foi se tornando cada vez mais

necessário à vida do homem e de lá pra cá foi ganhando formas e se tornando

essencial para a sobrevivência do ser humano.

Atividade 2 - Informações sobre o autor


Antes de iniciarmos o nosso trabalho com o conteúdo, vamos nos atentar um pouco

sobre a temática que está envolvendo o nosso objeto de estudo. Começaremos com

o estudo de um trecho da obra do matemático e escritor Julio César de Melo e

Souza, cujo pseudônimo foi Malba Tahan.

Julio César de Melo e Souza foi um escritor e matemático e preferiu escrever suas

obras sob o pseudônimo de Malba Tahan porque adorava escrever histórias árabes

e ao mesmo tempo não podia assinar seus contos porque inicialmente seu nome

era rejeitado pelo jornal. Ele nasceu no Rio de Janeiro em 06 de junho de 1895 e

faleceu em 18 de junho de 1974. Como um professor de matemática muito ousado

para a época, ele gostava de ir muito além do ensino teórico e expositivo. Em suas

aulas, Tahan sempre elaborava enigmas para iniciar suas explicações. Seu livro

mais conhecido é O Homem que Calculava. É uma história que narra as aventuras

e proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir em Bagdá, no século XIII.

Malba Tahan foi um dos maiores divulgadores da Matemática no Brasil e o conteúdo

de sua obra nos permite aprender conceitos matemáticos e ao mesmo tempo

constatar que a matemática pode ser divertida e desafiadora desde que seja

estudada de forma variada e dinâmica.

Figura 2: Capa da 70ª edição do livro O Homem que Calculava disponível no site <http://wata-eh-legal.blogspot.com.br/2007/12/introduo-geometria-existe-por-toda.html>

Para reforçar as informações sobre o autor, vamos explorar algumas questões:

- Qual era a nacionalidade de Malba Tahan?

- Qual era sua principal função?

Atividade 3 – Explorando o vídeo O homem que calculava


Para iniciar a discussão sobre a importância da matemática em nossa vida, vamos

assistir ao vídeo baseado em uma passagem do livro de Malba Tahan, disponível no

site:

<http://rafaelnink.com/blog/2009/06/30/video-o-homem-que-calculava/ >.

Depois de assistirem o filme, propomos uma reflexão a partir das seguintes

questões, que devem ser respondidas individualmente:

- Qual era a fórmula utilizada por Beremiz para chegar ao final do cálculo

para ajudar os irmãos a dividirem a herança de maneira justa?

- O que fez para ganhar o turbante?

Momento da explanação oral do trabalho sobre as respostas das questões

propostas acima.

Atividade 4 – Explorando o vídeo a história da mate mática: a linguagem do

universo

Duração: 2 horas/aula

Para iniciar a reflexão, vamos sugerir que os alunos discutam a seguinte questão:

-Você concorda com a afirmação de que a Matemática está associada a

certos conhecimentos fundamentais do mundo físico?

Para continuar a explorar ideias sobre a História da Matemática os alunos vão

assistir ao vídeo que relata o desenvolvimento da Matemática desde as primeiras

civilizações, e poderão verificar que, muitas vezes, as ideias matemáticas se

desenvolveram relacionadas ao próprio processo de sobrevivência do homem.

Antes de assistir ao vídeo, leia atentamente as questões para que em seguida possa

respondê-las de acordo com seu entendimento:

a) Concorda com o professor quando ele afirma que o mundo é feito de

padrões e sequência? Por quê?

b) O que restou da sequente alteração da paisagem no mundo?

c) Como explicar que os conceitos básicos da matemática (espaço e

número) estão fixados em nosso cérebro?

d) Como começou o sistema de medida no mundo antigo?

e) Onde eram registradas as primeiras descobertas matemáticas? E qual

é o nome desse documento?

f) Dos assuntos já estudados, relembre alguns citados no vídeo.

g) Qual o motivo de os babilônios gostarem tanto de matemática?

h) Arquimedes também foi um apaixonada pela matemática o que ele

descobriu? Qual foi a razão de sua morte?

A História da Matemática - A Linguagem do Universo Parte 1, disponível em <

http://www.youtube.com/watch?v=MdcZoMD3Lcs>

A História da Matemática - A Linguagem do Universo Parte 2 disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=ax9ryE-KbzE

Atividade 5 – Pesquisa sobre o Papiro de Rhind


No vídeo que assistiram sobre a História da Matemática, os alunos ouviram falar

sobre o Papiro de Rhind e para aprofundar as informações os alunos farão uma

pesquisa extraclasse sobre esse importante documento. Após a pesquisa, cada

aluno poderá relatar seu trabalho destacando curiosidades e informações

encontradas.

A figura a seguir mostra uma parte do Papiro de Rhind que atualmente se encontra

no acervo do Museu Britânico de Londres.

Figura 3 – Papiro de Rhind Disponível em <http://www.matematica.br/historia/prhind.html>

Depois da pesquisa, espera-se que os alunos sejam capazes de responder ao

seguinte questionário.

- O que é o Papiro de Rhind?

- Apresente aspectos históricos e curiosidades apresentadas no

documento.

- Do que constituído?

- Quais conteúdos são abordados?

- Qual a relação do Papiro de Rhind com as Progressões Geométricas e

Aritméticas?

Atividade 6 – Caça-palavras - Informações sobre o papiro


<http://puzzlemaker.discoveryeducation.com/WordSearchSetupForm.asp>

H P R I H B Z A V C H W M S E

O I R H H B F H K E F U A A S

X C E E I D N M I N L K R D Q

L O I R C N R E E T U S U A U

R X S N Á I D S I Í V B G R E

C G Z J Â C O P C M Y A R D R

A R E P O T L S H E K Y A A D

Q V A Q C I I I O T B M L U A

A B I R C S E R T R D H Q Q E

P L P A I Y M N B O U G R G S

C U D S A M E L B O R P Í E M

O B D I V I D I A M J P Z U G

M A T E M Á T I C O C Í S T T

I N S T R U N N H I A E P E Y

M V U F I O C B O R U S B C Õ

AHMES BRITÂNICO CENTÍMETROS

DIVIDIAM EGÍPCIO ESCRIBA

ESQUERDA HIERÁCLITO INSTRUÇÕES

LARGURA MATEMÁTICO MULTIPLICAÇÃO

MUSEU OPERAÇÃO PRECIOSO

PROBLEMAS QUADRADAS RAÍZES

RHIND

Encontre no caça-palavras àquelas que completam o sentido das informações

sobre o assunto em questão:

1) O Papiro de................................é um documento..............................de cerca de

1650 A.C.

2) Nele um..................................chamado..............................detalha a solução de

85..........................................de aritmética.

3) Esse documento passou a pertencer ao..............................................de Luxo no

Egito em 1858 e hoje encontra-se no museu .................................................

4) Nele está exemplos de como os egípcios.......................................e

extraiam........................................................................e resolviam equações lineares.

5) No Papiro de Rhind contém..................................................para conhecer todas as

coisas secretas e sem dúvida é o mais .......................................documento

matemático da antiguidade.

6) A ...............................................aritmética utilizada pelos egípcios era a adição.

7) O papiro de Rhind era escrito em.................................,da direita para

a...........................................

8) Ele tem 32........................................de largura por 513 de .......................................

9) Descreve os métodos de.............................................e.....................................dos

egípcios.

Atividade 7 – Mistérios envolvendo matemática


Para iniciar a discussão sobre charadas, vamos discutir a seguinte situação, retirada

do site:

http://casadamatematica.blogspot.com.br/2008/06/charadas-matemticas.html

O que é o que é? Uma árvore tem doze galhos, cada galho com trinta

ninhos, cada ninho com sete passarinhos?

Dando continuidade, vamos comentar sobre uma cena do filme “Duro de matar: A

Vingança”.

É um filme que conta a história de um policial que tem que enfrentar um audacioso

terrorista que explode uma bomba em um shopping e revela que escondeu vários

explosivos em por toda a cidade e para evitar essa tragédia terá que se envolver

num jogo envolvendo a Matemática para conseguir desarmar as bombas antes que

a cidade vá pelos ares.

Então, os alunos vão assistir a cena do famoso filme. Eles devem prestar bastante

atenção para desvendar qual é a charada. A parte do filme está disponível no site:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=18004

Figura 4 – A Caminho de Saint Ives

<http://www.clickideia.com.br/portal/mostrarConteudo.php?idPagina=449>

Agora é sua vez de resolver a charada!

Eis o problema:

Quando eu ia para Ramozas encontrei um homem com sete esposas,

cada esposa tinha sete sacos, cada saco, sete gatos, cada gato, sete

gatinhos.

Gatinhos, gatos, sacos e esposas, quantos iam para Romozas?

Depois de entender o enunciado do problema, os alunos devem tentar resolver à

sua maneira e em seguida discutir com os colegas a maneira como chegou ao

resultado final do exercício.

Atividade 8 – Iniciando discussões sobre Sequências Numéricas


Para dar início ao entendimento do que é uma sequência numérica, já introduzindo

os conceitos de Progressões Aritmética e Geométrica, vamos propor a discussão:

Figura 5 – Jogo de Amarelinha

Disponível em http://www.brasilescola.com/matematica/sequencia-numerica.htm

- O que te lembra dessa figura?

- Essa brincadeira já fez parte de sua infância?

- Lembra o nome da brincadeira?

O objetivo dessa atividade é observar que a brincadeira segue uma certa ordem

numérica e podemos associar com o que chamamos de Sequência Numérica.

Dados formalizados sobre o conteúdo:

Sequência pode denominar todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão

dispostos em certa ordem, ou seja, são sucessões ou encadeamentos que seguem

determinadas regras. É notável que esse assunto faça parte do nosso dia a dia e

está presente nos dias da semana, nos meses do ano, em uma disputa e na

escalação de times em campeonatos mundiais etc. A exemplo da Copa de Mundo

de futebol, que numa sucessão de vitórias o Brasil ocupa hoje o quinto lugar, ou

seja, é penta campeão mundial.

Atividade 9 – Sequência de Fibonacci


Dados informativos

Leonardo de Pisa ou Leonardo de Pisano, conhecido por Fibonacci foi um grande

matemático europeu do século XII e XIII, filho de um oficial italiano, foi criado por um

tutor. Como comerciante viajou pelo Mediterrâneo, Egito, Síria e sul da França, fato

que o motivou a estudar profundamente os intercâmbios comerciais desses países

dos quais conheceu bem o sistema numérico e de cálculo romano como o hindu-

árabe.

Foi escritor e entre suas obras (escritas à mão) está o livro Liber Abaci, que

descreve regras elementares para adicionar, multiplicar e subtrair, contendo muitos

exemplos com essas operações, incluindo um problema para aplicar as regras que

descreveu: o problema dos coelhos. Fibonacci também é conhecido pela sequência

numérica e após sua morte ficou conhecida como sequência de Fibonacci.

Para entenderem melhor sobre Números de Fibonacci vamos assistir ao vídeo:

Sequência de Fibonacci que vai nos mostrar como Fibonacci fez para calcular e

registrar o crescimento de uma população de coelhos.

O vídeo está disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=QaWepnGWRs8&feature=related

Em seguida, será proposto o questionário:

1. É possível encontrar uma relação simples entre os termos da

sequência de Fibonacci?

2. Que relação existe entre os termos consecutivos da sequência de

Fibonacci?

3. Quantos casais de coelhos haverá no final de doze meses?

4. Existe uma fórmula para descrever os termos da sequência de

Fibonacci?

5. É possível encontrar uma fórmula simples para a soma dos n primeiros

termos da sequencia de Fibonacci?

O que são Números de Fibonacci?

É uma sequência de números naturais na qual os primeiros termos são 0 e 1, e cada

termo subsequente corresponde à soma dos precedentes.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Atividade 10 – Ampliando o entendimento sobre sequê ncias numéricas


Agora é a vez de por em prática o que aprendeu sobre sequências:

Vá acompanhando as sequências e descubra os próximos números:

1 2 3 4 5 6 10 20

...

...

- Como chegou a esse resultado?

- Qual foi a lógica utilizada em cada item?

1 3 5 7

-1 -5 -9

1/4 1/8 1/2

Atividade 11 - Pesquisa extraclasse


Observando as figuras abaixo, será iniciada a discussão:

- Já ouviram falar em números figurados?

Com certeza já fizeram algumas atividades iguais a estas não é? Desde a pré-

escola é muito comum encontrarmos esse tipo de atividade, só que desta vez com

muito mais informações.

Os pitagóricos (discípulos de Pitágoras) descobriram muitas coisas interessantes

sobre os números e, para compreender a natureza íntima destes, elaboraram

números figurados que são formados pela união de pontos resultando uma figura

geométrica onde a quantidade de pontos representa um número.

Veja alguns exemplos:

Figura 6 – números figurados – (triangulares, quadrados e pentagonais )

Disponível em http://www.matematica.br/historia/nfigurados.html

Então, como dever de casa, os alunos irão buscar alguns conceitos sobre esses

números e responder às seguintes questões:

- Como surgiram os números figurados?

- Qual é a importância dos pontos para os seguimentos dos números?

- Quais figuras geométricas podem ser construídas a partir desses

pontos?

Num momento posterior, os alunos farão a apresentação dos trabalhos pesquisados.

Eles devem citar exemplos (caso tenham encontrado) de outras figuras encontradas

durante as pesquisas.

Depois da explanação da atividade proposta é hora de resolver o seguinte exercício:

- Tente descobrir a lógica usada para a formação dos números figurados?

Atividade 12 – Retornando ao Papiro de Rhind


Vamos retornar ao Papiro de Rhind e o quanto este documentos é importante para a

humanidade: como vimos, os problemas contidos nele não eram só ligados à

Aritmética como também à Geometria e na maioria das vezes esses problemas

envolviam fatores do dia a dia da época, assim como o preço de mercadoria, o

armazenamento de grãos, a alimentação do gado e muitos mais.

Exemplo de um problema encontrado no Papiro de Rhind envolvendo as

Progressões.

“Divida 100 pães entre cinco homens de modo que as partes recebidas estejam em

Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à

soma das duas menores”.

Atividade 13 – Formalizando o conteúdo


Este será o momento de formalizar os conceitos de Progressões Aritméticas e

Geométricas

Figura 7 – Rio Nilo Disponível em

http://www.objetivomaringa.com.br/colegio_objetivo/site2008/_assets/materiais/94_historiadaspa.pdf

O início do estudo das progressões aconteceu em tempos longínquos, com os

babilônios, mas os egípcios, cerca de 5000 anos atrás, para estabelecer padrões

como o da enchente do Rio Nilo, passaram a observar as épocas em que tal fato

acontecia para que assim pudessem plantar e garantir suas colheitas, das quais

vinham seus alimentos essenciais.

Para isso, era preciso saber a época certa das inundações e, consequentemente,

conhecer o padrão desse fenômeno. Durante o estudo, eles viam que o rio subia

assim que a estrela Sirius se posicionava a leste, pouco tempo antes do sol. Com

isso perceberam que o fato ocorria a cada 365 dias. Em seguida criaram um

calendário contendo 12 meses, com 30 dias para cada mês, com mais cinco dias

destinados à festas em homenagem aos deuses: Osíris, Hórus, Seth, Ísis e

Nephthys. Com o passar dos tempos os egípcios perceberam que poderiam dividir

ainda os 12 meses em três estações de quatro meses cada, estabelecendo uma

época para semear, outra para crescer e finalmente a da colheita dos alimentos.

Então, vamos iniciar nosso estudo e saber um pouco mais como essas progressões

chegaram até nós? Comecemos pela Progressão Aritmética ou P.A.

Bem, vocês já devem ter entendido sobre Sequência, não é? Se ainda têm dúvidas

é só lembrar-se de alguns itens que necessariamente se faz obedecendo a uma

certa ordem:

Vejam mais alguns exemplos:

- Os Números das casas de uma cidade;

- A ordem dos nomes numa lista telefônica;

- A ordem de classificação dos aprovados de concursos;

- A organização dos dias do ano em um calendário, etc.

Então, essa sucessão numérica é chamada de Progressão Aritmética ou P.A.

Progressão Aritmética

Chamamos de ( PA ) toda sequência

numérica em que, a partir do 2º termo, a

diferença entre um termo e seu

antecessor é igual a uma constante,

chamada razão da progressão indicada

por r.

Progressão Aritmética Constante :

Se o r = 0, então a PA é constante.

Exemplo: Na PA ( 9, 9, 9, 9, 9, ...), temos

r = 0. Portanto, essa PA é constante.

Progressão Crescente

Se r > 0 , então PA é crescente.

Exemplo: Na PA (- 5, -1,3,7,11,...),

temos r = 4. Portanto, essa PA é

crescente.

Progressão Decrescente

Se r < 0, então a PA é decrescente.

Exemplo: Na PA (12,9,6,3,0,...), temos r

= -3. Portanto, essa PA é decrescente.

Fonte: Coleção – Novo Olhar Matemática Volume 1.

Atividade 14 – Exercícios envolvendo os conceitos d e PA


1) Classifique as sequências em: PA constante – PA crescente – PA

decrescente

Na PA (-5, -1,3,7,11,...), temos r = 4. ( )

Na PA ( 12, 9,6,3,0,...), temos r = 3. ( )

Na PA ( 9, 9, 9, 9,...), temos r = 0. ( )

2) Escreva a PA de 6 termos onde:

a) o primeiro termo é 5 e a razão é 8.

b) o primeiro termo é 9 e o segundo é 14.

c) o quinto termo é 16 e a razão é – 5.

d) o sexto termo é – 9 e o quinto termo é 0.

3 ) Calcule a razão das seguintes progressões aritm éticas:

a) ( - 7, -3, 1,...)

b) ( 1/4 , 1/2 , 3/4, ...)

c) ( 1/2, 11/6, 19/6, ...)

d) ( 2,3; 1,4;0,5 )

4) Escreva uma PA de 6 termos em que:

a) a = 4 e r = 9

b) a4 = 3 e r = 5/2

c) a6 = - 10 e r = -6

5) As idades de quatro amigos formam uma PA de razã o 3. Daqui a 8 anos,

suas idades uma:

a) PA de razão 8

b) PA de razão 5

c) PA de razão 3

d) sequência que não é PA

6) Cada letra indicada no quadro está associada a u ma número natural.

Sabendo que cada linha, diagonal e coluna deve-se o bter uma PA, determine o

valor de cada letra:

A B C 13

D 14 E F

18 G H I

J K L 34

Atividade 15 – Termo geral da PA


Considere a PA de termos ( a1, a2, a3, a4, ...an, an+1, ...), infinita e de razão r. Como cada

termo, a partir do segundo, pode ser obtido adicionando a razão r ao termo anterior,

temos:

a1 = a1 + 0r

a2 = a1 + r

a3 = a2/a1+ r + r → a3 = a1 + 2r

a4 = a3 /a1+2r + r → a4 = a1 + 3r

a5 = a4/a1+3r + r → a5 = a1 + 4r

an = an-1 + r → an = a1 + ( n – 1 ) r

Note que qualquer termo da PA pode ser escrito em função de a, e r. o termo de

ordem n é igual a a1 mais ( n – 1 ) vezes a razão.

Com a utilização do termo geral da PA podemos calcular qualquer termo

independente da extensão do mesmo, usando esta fórmula é possível encontrar

qualquer termo desejado.

A fórmula do termo geral de uma PA é dada por:

an = a1 + ( n-1) r

Nessa fórmula:

. an : termo geral . a1, : primeiro termo .n: ordem do termo .

r: razão

Vamos acompanhar os seguintes exemplos:

Determine o 65º termo da PA (45, 52, 59 ...)

1) a1 = 45 an = a1 + ( n – 1 ) . r

r = 52 – 45 = 7 a65 - 45 + ( 65 – 1 ) . 7

n = 65 a65 = 45 + 64 . 7

a65 = ? a65 = 45 + 448

a65 = 493

2) Qual é o número do termo da PA ( 3, 10, 17, 24, ... )

a1 = 9 an = a1 + ( n – 1 ) .r

r = 13 – 9 = 4 149 = 9 + ( n – 1 ) . 4

a1 = 149 149 = 9 + 4n – 4

n = ? 4n = 36

n= 36/4

n = 9

Atividade 16 – Exercícios envolvendo o Termo geral da PA


Depois de acompanhar as atividades acima, chegou sua vez de continuar

exercitando as Progressões Aritméticas:

1) determine:

a) Determine o 50º termo da PA ( 3, 10, 17, 24, ... ) ?

b) Determine o 36º termo da PA ( 25, 22, 19, ...) ?

c) Qual é número de termos da PA ( 4, 7, 10, ... 136 ) ?

d) Qual a razão da PA em que a1 = 50 e a16 = 20 ?

2) Determine:

a) O 20º termo da PA ( 2, ... )

b) O 7º termo da PA ( 1, - 1, ... )

c) O 100º termo da PA cujo termo é 3 e a razão é nula.

d) A quantidade de termos da PA ( 5, 8, ....., 92 )

3) O primeiro termo positivo da PA ( - 73, -67, -61, ... ) é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4) Obedecendo uma lei de formação sequencial, conforme mostra a figura, que

número deve ser colocado nas casas que aparecem os pontos de interrogação.

→ → →

2 6 10 14 18 22 26 30

38 34

?

?

Atividade 17 – Soma dos Termos da PA


Alguém já viu essa imagem em alguma revista, jornal ou livro?

Figura 8 – Estátua de Gauss em Braunschweig

Disponível em http://damback.blogspot.com.br/2011/04/gauss.html

Pois bem! É a foto da estátua de Gauss em Braunschweig! (Alemanha)

Informações biográficas sobre Gauss

Carl Friedich Gauss, de origem muito pobre, conseguiu estudar graças ao apoio da

mãe. Desde muito cedo já demonstrava interesse por Matemática e com apenas três

anos de idade já sabia fazer cálculos de adição e aos dez chamava atenção dos

professores pela enorme facilidade com que desenvolvia problemas mais

complexos.

E assim, com grande interesse em prosseguir seus estudos, recebeu ajuda

financeira para se dedicar exclusivamente à Matemática.

Nessa trajetória Gauss escreveu o livro “Indagações Aritméticas” contendo as ideias

que desenvolveu quando era ainda muito jovem.

Dentre seus inúmeros trabalhos, formulou a chamada lei de Gauss, que serviu como

fator importante na área da Estatística, além de dedicar-se à Astronomia e também

calcular a localização dos polos magnéticos terrestres, e por essas e muitas outras

descobertas recebeu o titulo de “príncipe da Matemática”.

E para reforçar essas ideias, atente para essa informação!

Quando Gauss tinha dez anos, estudante de uma escola pública, seu professor na

tentativa de manter a classe ocupada, deu aos alunos a tarefa de somar os números

de 1 a 100. E normalmente as tarefas eram feitas em pequenas lousas e então,

imediatamente Gauss colocou a sua tarefa já pronta, para a surpresa do professor,

apenas ele tinha acertado a resposta sem nenhum tipo de cálculo escrito, inteligente

que era, calculou mentalmente a soma da progressão aritmética.

E aí, ficaram curiosos?

Vamos propor as seguintes reflexões durante a discu ssão do texto?

- Como ele pode ter feito esse cálculo mental?

- Como você faria essa tarefa?

- Qual foi a resposta dele?

- Como ele chegou a esse resultado?

Os alunos vão descobrir assistindo ao vídeo disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=gALDpTYPATI

Eis a fórmula que permite a soma dos n primeiros termos de uma PA que é dada

por:

Sn = n(a1 +a1 )

Nessa fórmula:

s1: soma dos n primeiros termos a1 primeiro termo

a1 : enésimo termo n: quantidade de termos

Observe o seguinte exemplo:

Calcule a soma dos 15 primeiros termos da

PA ( - 1/3, 1/6, 2/3, ... ).

Temos que:

. a1 = - 1/3

. r = 1/6 – ( - 1/3 ) = 1/2

. a1 = a1 + ( n – 1 )r → a15 = - 1/3 + ( 15 – 1 ). ( 1/2 ) = 20/3

Substituindo os valores na fórmula da soma dos n primeiros termos, segue que:

Sn = n(a1 + an ) / 2 S15 = 15. ( - 1/3 + 20/3 ) / 2 ( 15. 19/3 ) / 2 = 95/2

Dando continuidade você farão os exercícios na atividade seguinte:

Atividade 18 – Exercícios de Fixação envolvendo Som a dos Termos da PA


1) Determine a soma dos termos de cada PA.

a) ( - 8, -5, -2, ..., 22)

b) ( 2, 6,18,...,39366 )

2) A soma dos 25 termos iniciais de uma PA é 225. Calcule o 18º termo dessa

progressão sabendo que a razão é 4.

3) Determine a soma dos cinquenta números positivos seguindo o mesmo raciocínio

usado por Gauss:

4) Para combater certa praga, um agricultor foi orientado a pulverizar um pesticida

sobre sua plantação, diluído em certa quantidade de água, foram aplicados 2 L no

primeiro dia, 1,8L no segundo dia, 1,6L no terceiro dia e assim por diante, de tal

maneira a forma uma PA. Sabendo que as aplicações ocorrem em 7 dias. Calcule a

quantidade de pesticida utilizada.

Atividade 19 – Iniciando as discussões sobre Progre ssões geométricas


Já sabendo um pouco sobre o assunto. Para iniciar, serão formados grupos para

pesquisar na Internet (laboratório de informática) sobre a figura abaixo:

A imagem é conhecida como Olhos do deus Hórus – Vocês já viram essa imagem

em algum lugar?

Figura 9 – Olhos do deus Hórus

Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=41049

Durante a pesquisa fiquem bem atentos para responder às seguintes questões:

1) Responda:

- Qual a soma de sequência que compõe o Olho de Hórus?

- Qual é o tipo de sequência?

- Como é feito o cálculo?

2) Nessa atividade, cada grupo responderá uma questão que será exposta para os

colegas na próxima aula.

a) Qual é a relação existente entre o Olho de Hórus com a História das

Progressões?

b) Como os egípcios utilizavam o Olho de Hórus?

c) O que representava cada parte do olho?

d) Atualmente essa imagem pode ser vista em seres humanos. Como?

e) Qual Programa Infantil de televisão também mostra a figura? Onde ela aparece?

Atividade baseada na sequência desenvolvida por George (2012).

Atividade 20 – Formalizando o conteúdo


Progressão Geométrica

Progressão Geométrica

Progressão geométrica (PG) é toda

sequência numérica em que, a partir do

2º termo, o quociente entre um termo e

seu antecessor é igual a uma constante,

chamada razão da progressão e

indicada por q.

Progressão Geométrica Constante :

Se q = 1, então a PG é constante.

Exemplo: Na PG ( 5,5,5,5,5,...), temos

q = 1, essa PG é constante.

Progressão Geométrica Crescente

Se q > 1 e a1>0 ou 0<q 1 e a1<0,

então a PG é crescente.

Exemplo: Na PG (-8,-4,-2,-1,-1/2,...),

temos q =1/2 e a1 = -8. Como 0<q<1e

a1<0, essa PG é crescente.

Progressão Geométrica Decrescente

Se q>1e a1 < 0 ou 0<1 e a1 >0, então

a PG é decrescente. Exemplo: Na PG

(-3, -9, -27, -81, -243, ...), temos q=3 e

a1 = -3. Como q>1 e a1 <0, essa PG é

decrescente.

Progressão Geométrica Alternante Se q<0, então a PG é alternante.

Exemplo: Na PG (1/25, - 1/5, 1,-5, 25,

...), temos q= -5. Como q<0, essa PG

é alternante.

Fonte: Coleção – Novo Olhar Matemática Volume 1.

Entendendo melhor

Antes de iniciarmos as atividades envolvendo o assunto sobre PG, vamos assistir a

um vídeo: Matemática – Progressão Geométrica onde aparecem informações

sobre as Progressões Geométricas, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=6_XI4J8tdhg

Veja alguns exemplos:

Sejam as sequências:

a) ( 4, 8, 16, 64 ) b) ( 6, - 18, - 162 )

Nessa sequência, observamos que: Nessa sequência observamos que:

8 = 4 . 2 - 18 = 6. ( - 3 )

16 = 8 . 2 54 = - 18 . ( - 3 )

32 = 16 . 2 - 164 = 54 . ( - 3 )

64 = 32 . 2

Número fixo ( razão = 2 ) Número fixo ( razão = -3 )

Momento de exercitar

Atividade 21 – Exercícios envolvendo os conceitos d e PG


1) Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas:

a) ( 3, 12, 48, ... )

b) ( 10, 5, ...)

c) ( 2, 25, ...)

e) ( 5, 5/2, ...)

2) Escreva:

a) uma PG de quatro termos em que a1 = 5 e q = 3

b) uma PG de seis termos em que a1 = -2 e q = 2

c) q = 1/3

Atividade 22 – Termo geral da PG


Considere a PG de termos (a1, a2, a3, a4, ..., an , an+1, ... ), infinita e de razão q. Como

cada termo, a partir do segundo, pode ser obtido pela multiplicação do termo anterior

por q temos:

a1 = a1 .q0

a2 = a1 .q

a3 = a2/a1.q.q → a3 = a1

.q .q → a3 = a1 .q2

a4 = a3/a1.q2 .q → a4 = a1

.q2 .q → a4 = a1 . q3

a5 = a4/a1.q3 .q → a5 = a1

.q3 .q → a5 = a1 .q4

an = an-1 .q → an = a1

.qn-1

Note que qualquer termo de uma PG pode ser escrito em função de a1 e q. O termo

de ordem n é igual a a1 multiplicado pela razão elevada a ( n – 1 )

Como vimos na PA, também na PG podemos calcular qualquer termo independente

da extensão do mesmo, usando esta fórmula é possível encontrar qualquer termo

desejado.

A fórmula do termo geral de uma PG é dada por:

an = a1.qn-1

Nessa fórmula:

. an : termo geral . n: ordem do termo

. a1 : primeiro termo . q razão.

Exemplificando

a) Determine o 10º termo da PG ( 1, 2, 4, ... )

a1 = 1 a1 = a . qn-1

q = 2 a10 = 1 . 210-1

n = 10 a10 – 1 . 29

a10 = ? a10 = 512

b) Qual é a razão da PG onde a1 = 3 e a6 = 96

a1 = 3 an = a1 . qn-1

an = = a6 = 96 96 = 3 . q6-1

n = 6 96 = 3 . q5

q = ? q5 = 96/3

q5 = 328

q8 = 28

q = 2

1)Qual é o primeiro termo de uma PG, na qual o 11º termo é 3 072 e razão é 2

2) Uma PG tem seis termos, sendo 2 o último termo e ¼ a razão. Qual é o primeiro

termo dessa PG?

3) Numa PG, o primeiro termo e quarto termo é 4000. Qual a razão dessa PG?

4) Numa PG, a1 = ¼ e a7

5) Numa PG, o primeiro t

Atividade 23 – Soma dos n primeiros termo de uma PG


Numa gincana o mediador fez algumas perguntas ao participante. A tabela mostra

os resultados.

Note que o número de pontos a cada resposta forma uma PG de razão 2.

Através dos pontos da tabela acima, podemos determinar a quantidade de pontos

obtidos pelo participante.

Em termos gerais, podemos calcular a

Vamos utilizar algumas manipulações algé

Vamos começar multiplicando pela razão


7 = 16. Calcule a razão dessa PG.

5) Numa PG, o primeiro termo, a5 = 32 e a8 = 256. Calcule q e a1

Soma dos n primeiros termo de uma PG


Pergunta Pontos

1 10

2 20

3 40

4 80

5 160

6 320



obtidos pelo participante.

Em termos gerais, podemos calcular a soma dos termos de uma PG

algumas manipulações algébricas na igualdade acima?

Vamos começar multiplicando pela razão q em ambos os lados


1.




soma dos termos de uma PG. Vejamos:

bricas na igualdade acima?

Subtrai-se a primeira da segunda

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

Divide-se ambos os termos por soma dos n primeiros termos de uma PG, da mesma forma que anteriormente determinamos uma fórmula para obter a soma dos

Então, a fórmula que permite calcular a soma dos dada por:

��

�

Nessa fórmula:

• Sn : soma dos primeiros termos • n: quantidade de termos

• a1 + primeiro termo • q: razão

Exemplos:

Calcule a soma dos termos da PG ( 5, 15, 45, ..., 3 645 ).

Acompanhe a resolução:

Temos que a1 = 5, q = 15/5 = 3 e na = 3 645.

Aplicando a fórmula

Sn = an . q – a1/ q-1, segue que

Sn = an . q – a1/ q – 1

Portanto, a soma dos termos da PG é 5 465.

Exercícios:

se a primeira da segunda equação, cancelando-se os termos repetidos:

que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a:

se ambos os termos por e assim obtivemos uma fórmula para a primeiros termos de uma PG, da mesma forma que anteriormente

determinamos uma fórmula para obter a soma dos n primeiros termos de uma PA.

Então, a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG é

�� 1�

1

soma dos primeiros termos • n: quantidade de termos

+ primeiro termo • q: razão

Calcule a soma dos termos da PG ( 5, 15, 45, ..., 3 645 ).

Acompanhe a resolução:

= 5, q = 15/5 = 3 e na = 3 645.

segue que:

1 →Sn = 3 645 . 3 – 5/3 – 1 = 10 935 – 5 /2 =5 465

Portanto, a soma dos termos da PG é 5 465.

se os termos repetidos:

assim obtivemos uma fórmula para a primeiros termos de uma PG, da mesma forma que anteriormente

meiros termos de uma PA.

primeiros termos de uma PG é

soma dos primeiros termos • n: quantidade de termos

5 /2 =5 465

Resolver os problemas a seguir:

1) No dia 1º de dezembro, um menino propôs ao pai que lhe desse R$ 1,00 e

fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia até o dia 24 de dezembro. O filho

usaria o dinheiro para comprar um presente de Natal para o pai. De quanto vai

dispor o filho para comparar o presente? Resolva utilizando a calculadora.

(GIOVANNI; BONJORNO, 2005).

2) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que

a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da

anterior. Qual é preço do automóvel? (GIOVANNI; BONJORNO, 2005).

3) Quantos termos devemos considerar na PG ( 3, 6, ... ) para obter 765 como

soma dos termos? (GIOVANNI; BONJORNO, 2005).

4) Use sua esperteza e responda:

O dono de uma loja precisa de vendedores para trabalhar de segunda a sábado por

duas semanas. Apareceram três candidatos. Ele ofereceu R$ 1,00 pelo 1º dia de

trabalho e, para os dias seguinte, o dobro do que eles receberam no dia anterior.

Dois candidatos consideraram humilhante a proposta e recusaram. O candidato que

conhece matemática aceita a proposta. Quanto ele receberá pelos doze dias

trabalhados? (RIBEIRO, 2011).

Atividade 24 – Leitura para reflexão


Cerca de uma um quarto da população do mundo vive com menos de 1 dólar por

dia, de acordo com o relatório da Banco Mundial (Bird), divulgado em 1999. A

desigualdade e a pobreza cresce cada vez mais em todas as partes do planeta,

provocadas, sobretudo por crises econômicas de vários países. Numa economia

globalizada, a crise de um país afeta muitos outros.

No mundo todo aproximadamente 790 milhões de pessoas passam fome. Desse

total, 200 milhões são crianças. As maiores desigualdades concentram-se na

América Latina, onde em 1998, os 20% mais pobres ficavam com apenas 3% de

toda a riqueza produzida.

No Brasil, são comuns as notícias sobre o bom desempenho econômico em relação

a outros países. Costuma-se dizer, por exemplo, que o Brasil é a sétima economia

do mundo. O que pouco se divulga é o dado do Programa das Nações Unidas para

o Desenvolvimento (Pnud), em seu relatório de 1999: entre 174 nações analisadas,

o Brasil é o país que tem a maior concentração de renda per capta 32 vezes menor

que a dos 20% mais ricos (GIOVANI &BONJORNO, 2005. p. 369).

Depois de discutirem as principais ideias do texto, atente para as questões que

finalizarão nosso trabalho.

Segunda a lei de Malthus, a população humana cresce em progressão geométrica,

enquanto as fontes de alimentos crescem em progressão aritmética.

a) Explique o significado matemático dos termos de uma progressão

geométrica e progressão aritmética.

b) Calcule os cinco primeiros termos de uma progressão aritmética de

primeiro termo igual a 10 e razão 10. Faça o mesmo para uma progressão

geométrica de primeiro termo igual a 10 e razão 10.

c) O que aconteceria à humanidade, segundo a lei de Malthus

REFERÊNCIAS

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D’AMBROSIO, U. História da matemática e educação. In: Cadernos Cedes. In: São Paulo: Papirus, 1996.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa . 2. Ed. renovada – São Paulo; editora FTD S.A, 2005. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008. (coleção História da Matemática para professores)

RIBEIRO, Jackhson. matemática: Ciência, Linguagem e Tecnologia. 1.Ed. São Paulo: editora Scipione, 2011.

SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar – matemática. 1. Ed. São Paulo: editora FTD S.A, 2010.

SITES CONSULTADOS

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<http://damback.blogspot.com.br/2011/04/gauss.html>. Acesso em: 25 out. 2012.

DU SAUITOY, Marcus. A História da |Matemática - A Linguagem do Univer so

Parte 1. Disponível em: <http ://www.youtube.com/watch?v=MdcZoMD3Lcs>>.

Acesso em: 26 set. 2012

DU SAUITOY, Marcus. A História da Matemática - A Linguagem do Universo

Parte 2. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=ax9ryE-KbzE>. Acesso

em: 26 set. 2012.

DURO de Matar: A Vingança: Progressões Geométricas Disponível em:

<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=18004

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EQUIPE VILA SABEDORIA. Casa da Matemática: Charadas Matemáticas.

Disponível em: <http://casadamatematica.blogspot.com.br/2008/06/charadas-

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GEORGE, Iozodara Telma Branco De. Papiro de Rhind: Sequências e

Progressões. Disponível em:

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HISTÓRIA da Matemática: Gaus. Disponível em: <http://historia-

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LIMA, Valéria Scomparim de. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS:

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MIRANDA, Danielle De. Sequência Numérica: Amarelinha. Disponível em:

<http://www.brasilescola.com/matematica/sequencia-numerica.htm.>. Acesso em: 25

set. 2012.

O X da Questão: A Caminho de Saint Ives. Disponível em:

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PROGRESSÃO Aritmética -: Um Problema para Carl Friedrich Gauss | Matemática

Rio. Disponível em:

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PUZZLEMAKER: Create My Word Search. Disponível em:

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WIKIPÉDIA (Ed.). Progressão aritmética. Disponível em:

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WIKIPÉDIA. Números de Fibonacci. Disponível em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci>. Acesso em: 29 set.

2012.

secretaria de estado da educaÇÃo · dessa forma, percebemos que os conteúdos matemáticos,...

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