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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
IRENILDE SOARES CABRAL
CADERNO PEDAGÓGICO O ENSINO DA FUNÇÃO LINEAR E QUADRÁTICA NA 8ª SÉRIE, MEDIADO POR ATIVIDADES DE MODELAGEM
MATEMÁTICA
Londrina – PR 2011
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
Superintendência da Educação Diretoria de Políticas e Programas Educacionais
Programa de Desenvolvimento Educacional
IRENILDE SOARES CABRAL
CADERNO PEDAGÓGICO O ENSINO DA FUNÇÃO LINEAR E QUADRÁTICA NA 8ª SÉRIE, MEDIADO POR ATIVIDADES DE MODELAGEM
MATEMÁTICA
Plano de Trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Profa. Dra. Lourdes Maria Werle de Almeida
Londrina – PR 2011
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 4
2 A MODELAGEM MATEMÁTICA ........................................................................ 6
3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO .......................................................... 8
4 ATIVIDADES .................................................................................................... 10
4.1 OBJETIVOS DAS ATIVIDADES ....................................................................... 10
4.2 ATIVIDADE 1 - 1º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ................... 10
4.2.1 Calculando as tarifas de água........................................................................... 10
4.3 ATIVIDADE 2 - 1⁰ MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ................... 14
4.3.1 Pesquisa Estatística sobre o Consumo de água ............................................... 14
4.3.2 Questionário sobre o uso racional da água ...................................................... 15
4.4 ATIVIDADE 3 - 2º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA: .................. 16
4.5 3º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................ 19
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 20
3
APRESENTAÇÃO
Este Caderno Pedagógico faz parte do Programa de Desenvolvimento
Educacional PDE, da disciplina de Matemática.
Nele contém algumas considerações sobre a Modelagem Matemática como
proposta pedagógica e o desenvolvimento de três atividades de Modelagem que
darão oportunidades para os alunos de oitava série referentes ao ensino da função
linear e quadrática, aliando também o uso de recursos de informática, em especial o
software geogebra na construção de gráficos visando facilitar a resolução e a
aplicação das atividades propostas.
A primeira atividade se relaciona ao cálculo das faturas de contas de água,
baseado nas tarifas da SANEPAR em vigor a partir de março de 2011. A segunda
atividade trata de uma pesquisa estatística sobre o consumo de água e a terceira
atividade trata do cálculo da distância de frenagem de um automóvel.
Com a elaboração deste caderno espera-se propor atividades que possam
ser usadas por professores na sala de aula sobre o assunto de funções no Ensino
Fundamental.
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1 INTRODUÇÃO
O ensino de matemática na maioria das escolas tem sido fundamentado por
meio de repetição de exercícios, memorização de fórmulas e se considera um
conteúdo aprendido quando o aluno refaz os caminhos percorridos pelo professor ou
sabe manipular os dados numéricos ou ainda sabe usar os algoritmos ensinados.
Um dos grandes desafios para os professores de matemática é trazer para o
ambiente escolar situações reais, de interesse, curiosidade, criatividade, que
propiciem oportunidades de construção do conhecimento a partir de questões e
assuntos do dia a dia, explorando situações da realidade do aluno, dando
oportunidade de uma aprendizagem mais significativa.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (2008, p. 45)
do Estado do Paraná, ressalta que:
A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios.
Ao trabalhar com situações reais, podem-se levantar questões e realizar
investigações que atingem o âmbito do conhecimento direcionado para o
pensamento crítico e reflexivo.
Uma maneira de favorecer a construção do conhecimento é a utilização de
situações-problema.
Também de acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná
(2008, p.59) indica que:
No Ensino Fundamental, na abordagem do Conteúdo sobre funções, é necessário que o aluno elabore o conhecimento da relação de dependência entre duas grandezas. É preciso que compreenda a estreita relação das funções com a álgebra, o que permite a solução de problemas que envolvem números não conhecidos.
O aluno deve conhecer as relações entre variável independente e
dependente, os valores numéricos de uma função, a representação gráfica das
funções lineares e quadráticas. Uma maneira de favorecer a construção de tais
conhecimentos é a utilização de situações-problema.
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Na Educação Básica, o aluno deve compreender que as funções estão
presentes nas diversas áreas do conhecimento e modelam matematicamente
situações que, pela resolução de problemas, auxiliam o homem em suas atividades.
A Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica que vem
desenvolvendo trabalhos no sentido de introduzir nas aulas de matemática
problemas e situações extraídas do cotidiano dos alunos a fim de contribuir para
uma melhor formação e construção do conhecimento do aluno.
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2 A MODELAGEM MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática tem como pressuposto a problematização de
situações do cotidiano.
Segundo Bassanezi “a Modelagem Matemática consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los,
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (BASSANEZI, 2002,p.16).
Para Biembengut e Hein (1999) modelagem Matemática é o processo que
envolve a obtenção de um modelo, e modelo matemático é um conjunto de símbolos
e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em
questão ou problema de situação real.
E ainda para Almeida e Dias:
A modelagem pode ser vista como uma oportunidade para desenvolver competências gerais no aluno, que vão além de aprender conteúdos matemáticos curriculares. Com esse encaminhamento o aluno tem estimulada a sua criatividade, o seu interesse por descobertas e aspectos da Matemática que vão além daquela incluída necessariamente, no programa escolar (ALMEIDA; DIAS, 2007, p.259).
Segundo Burak (2004), a Modelagem apresenta-se em cinco etapas:
escolha do tema; levantamento dos problemas; resolução dos problemas e
desenvolvimento da matemática relacionada ao tema e análise crítica das soluções.
O ambiente de modelagem está ligado a dois aspectos: problematização e
investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas ou problemas e o
segundo aspecto diz respeito à busca, seleção, organização de informações e
reflexões sobre elas.
Considerando a familiarização dos alunos com a modelagem, num ambiente
de ensino aprendizagem, segundo Almeida e Dias (2004) os trabalhos de
modelagem podem ser desenvolvidos de forma gradativa com os alunos,
respeitando diferentes momentos:
Primeiro momento: a partir de uma situação problema já estabelecida e
apresentada pelo professor na qual é feita a dedução, análise, a formulação de
hipóteses, investigação do problema e dedução do modelo são realizadas em
conjunto com todos os alunos e professor.
Segundo momento: uma situação problema já estabelecida e sugerida pelo
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professor juntamente com um conjunto de informações, os alunos em grupos
realizam a formulação de hipóteses e a dedução do modelo durante a investigação e
a seguir validam o modelo encontrado.
Terceiro momento: os alunos, em grupos, conduzem o processo de
modelagem, a partir de um problema escolhidos por eles, devidamente
assessorados pelo professor.
Esta maneira de encaminhar as atividades de modelagem tem-se mostrado
eficaz na prática da sala de aula em diferentes níveis de escolaridade. Na aplicação
das atividades propostas neste caderno serão utilizados esses três momentos.
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3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
As atividades apresentadas neste caderno pedagógico serão desenvolvidas
em conjunto com professor e alunos, pois na modelagem é de fundamental
importância essa parceria porque o professor atua como orientador dos alunos,
auxiliando-os sempre que necessitarem para o desenvolvimento do trabalho.
As atividades propostas serão desenvolvidas por meio da modelagem
matemática aliada ao uso do software geogebra para a construção de gráficos.
Também serão desenvolvidas de forma gradual sendo agora definidas como
primeiro momento, segundo momento e terceiro momento.
No primeiro momento será desenvolvida uma atividade com os alunos sobre
o tema o consumo da água relacionando o cálculo das faturas de contas de água
baseado nas tarifas residenciais de saneamento básico da SANEPAR em vigor a
partir de março de 2011. Também será realizada uma pesquisa estatística sobre o
uso racional da água. As informações necessárias para o estudo das situações-
problema serão apresentadas pelo professor aos alunos. A formulação de hipóteses
e a investigação do problema, que resulta na dedução do modelo, serão realizadas
em parceria com os alunos e professor. Neste momento, também será trabalhado
com os alunos, pesquisas estatísticas sobre o uso racional da água, coleta de
dados, tabulação e construção de gráficos estatísticos de setores e de barras.
Posteriormente, no segundo momento será desenvolvida uma atividade
sugerida pelo professor juntamente com um conjunto de informações sobre o cálculo
da distância de frenagem de um automóvel. Os alunos em dupla realizam a
formulação de hipóteses e a dedução do modelo durante a investigação e a seguir,
validam o modelo encontrado. Neste momento, o professor atua como orientador,
fazendo as intervenções necessárias para a resolução do problema.
Finalmente, num terceiro momento, os alunos distribuídos em grupos de 4
ou 5 elementos devem desenvolver atividades de modelagem matemática, a partir
de uma situação-problema escolhida por eles e apresentar uma resolução para a
mesma.Neste momento os alunos ficam responsáveis pela coleta de informações e
todo o processo de desenvolvimento da atividade. O papel do professor neste
momento é de orientador na organização dos dados e na resolução do problema.
O professor fará uso de um diário de campo para anotar as observações
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diretas dos alunos, apresentação de gráficos e resultados, também recolherá
relatórios dos alunos sobre vantagens e dificuldades encontradas no
desenvolvimento das atividades realizadas.
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4 ATIVIDADES
4.1 OBJETIVOS DAS ATIVIDADES
Resolver situações-problema reais fazendo uso de operações
matemática;
interpretar e retirar dados importantes de situações-problema;
fazer uso do software geogebra na construção de gráficos das
funções lineares e quadrática;
encontrar um modelo matemático que resolva o problema
apresentado.
4.2 ATIVIDADE 1 - 1º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
4.2.1 Calculando as tarifas de água
Com base na tabela de tarifas de saneamento básico da SANEPAR em vigor
a partir de março de 2011 analise o valor pago pelos usuários da água na cidade de
Apucarana.
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Fonte: http://site.sanepar.com.br/informacoes/tabela-de-tarifas ( acesso dia 26-06-11)
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PROBLEMA
Uma residência em Apucarana que consome até 10 m³ de água por mês
paga em sua fatura o valor mínimo de R$ 18,97. Como é calculado o valor a ser
pago nas faturas residenciais acima do consumo de 10 m³ de água com base na
tarifa normal da SANEPAR na cidade de Apucarana? Encontre um modelo
matemático que represente o valor a ser pago em função do consumo de água.
DEDUÇÃO DAS VARIÁVEIS
x= metros cúbicos consumidos (m³)
y= valor a pagar (reais)
DADOS DO PROBLEMA
* O Valor a ser pago até 10 m³ de consumo de água é de R$ 18,97
* O valor a ser pago por m³ excedente é de R$ 2,84
FORMULAÇÃO DE HIPÓTESE
Quanto maior o consumo de água maior o valor a ser pago nas faturas.
DEDUÇÃO DO MODELO
x ( metros cúbicos consumidos) y ( valor a ser pago em reais)
10 18,97
11 18,97 + 2,84. (11-10) = 21,81
12 18,97 + 2,84. (12-10) = 24.65
13 18,97 + 2,84. (13-10) = 27,49
14 18,97 + 2,84. (14-10) = 30,33
15 18,97 + 2,84. ( 15-10) = 33,17
. .
. .
. .
X y = 18,97 + 2,84. (x -10 )
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Analisando os valores calculados na tabela acima se pode perceber que é
possível generalizar a situação com qualquer quantidade de consumo de m³ de água
por meio do modelo matemático representado pela expressão y = 18,97 + 2,84 (x -
10).
Valor pago:
Y(x) = 18,97 para x ≤ 10
18,97 + 2,84. (x -10) , x > 10
Por meio da utilização do software geogebra pode-se construir o gráfico,
com os dados obtidos e perceber a relação de dependência das duas grandezas (m³
e valor a pagar) e ainda, o registro dos seus pontos indica a representação gráfica
de uma função linear, ou seja, uma função do primeiro grau representado por uma
reta.
Representação gráfica
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4.3 ATIVIDADE 2 - 1⁰ MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
4.3.1 Pesquisa Estatística sobre o Consumo de água
A água é um bem com valor inestimável à sobrevivência e à qualidade de
vida das pessoas. Cerca de vinte por cento da população mundial não dispõe de
água potável.
Por isso, é necessária a conscientização da população se utilizar desse bem
comum de maneira racional, para garantir a sobrevivência e o equilíbrio ecológico
das presentes e futuras gerações. Com o crescimento populacional o consumo de
água também aumenta, porém com ritmo muito mais acelerado, portanto é
fundamental o consumo sem desperdício. Nas próximas décadas existem projeções
que duas em cada três pessoas terão escassez de água se o consumo não se
modificar. Com a realização das pesquisas estatísticas será oportunizado aos alunos
a conscientização do uso racional da água visto que é um bem finito e de
responsabilidade social. Esta prática pedagógica constitui uma ferramenta útil para
uma educação ambiental, além de lhes proporcionar uma aprendizagem de
conteúdos matemáticos como regra de três, cálculo de porcentagem, tipos de
gráficos e a própria construção dos gráficos estatísticos. Nesta oportunidade espera-
se alcançar a construção de conhecimentos matemáticos pelo aluno e provocar uma
atitude mais responsável diante desta problemática ambiental.
Neste momento os alunos serão divididos em grupos de 4 ou 5 elementos
para realizar a pesquisa estatística na sua turma, tendo como tema a água. Cada
grupo será responsável por uma pergunta do questionário elaborado pela professora
sobre o consumo racional de água, também será responsável pela coleta de dados e
sua tabulação envolvendo a contagem do número de votos apresentados em cada
opção, fazendo a conversão em porcentagem e a apresentação dos resultados da
pesquisa será demonstrada por meio dos gráficos estatísticos de setores ou de
barras. Cada equipe preencherá uma tabela como abaixo com os dados obtidos
antes da construção do gráfico estatístico.
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Opção Número de votos Porcentagem
4.3.2 Questionário sobre o uso racional da água
1- Você costuma verificar se há vazamentos de água na sua residência?
( ) sempre ( ) às vezes ( ) nunca
2-Você é cadastrado na tarifa social? Sabe quais são os critérios para se cadastrar?
( ) sim, sei os critérios
( ) sim, não sei os critérios
( )não mas sei os critérios
( ) não e nem sei os critérios
( ) Não nem sei o que é isto
3-Você faz uso racional de água? (Economiza água)
( ) sempre ( ) às vezes ( ) não se preocupa com isto
4- Que dicas você daria para economizar água?Escolha a opção que você considera
mais importante.
( ) tomar um banho rápido
( ) não usar mangueira para lavar carro e calçadas
( ) verificar vazamentos em torneiras e sanitários
( ) aproveitar a água da máquina de lavar roupas para limpar as calçadas
( ) Outra. Qual?___________________
5-Você tem costume de fazer a limpeza da sua caixa d’ água? Com que freqüência?
( ) sim ( ) não
( ) menos de 6 meses
( ) de 7 meses a um ano
( ) mais do que 1 ano
( ) não se preocupa com isto
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6-Na região que você mora passa rede de esgoto?
( ) sim ( ) não
7-Se houver desperdício de água pela população, você acha que um dia poderá
haver falta de água?
( ) sim é necessário a conscientização da população
( ) talvez se a população não se conscientizar
( ) não esta situação nunca irá acontecer
( ) não me preocupo com isto
4.4 ATIVIDADE 3 - 2º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA:
Distância de frenagem de um automóvel
Na necessidade de frear um veículo sabe-se que sua parada não é
instantânea, entre o instante que visualizamos algo e se decide acionar os freios e
os mesmos desacelerarem muitas coisas acontecem, pois, entre o tempo de reação
e frenagem o veículo continua se movendo de maneira que ao parar terá percorrido
uma distância que depende da velocidade que se encontrava no início da frenagem
e também da situação da pista, seca ou molhada, do estado do pneu do carro e da
eficiência do sistema de freios. Há esse tempo todo é conhecido como tempo de
reação e tempo de frenagem.
As revistas sempre publicam tabelas dos testes de frenagem que realizam
com diferentes veículos. Com dados da tabela 1 abaixo se pode comparar a relação
dessas grandezas.
Distância de frenagem de um veículo
Velocidade ( Km/h) 30 60 90 120 150
Distância (m) 8 32 72 128 200
Fonte: Artigo Geraldo Ávila (http:www6.ufrgs.br acesso em 09-06-11)
Pode-se constatar a relação de dependência entre as duas grandezas
(velocidade e distância). Assim observa-se que a distância está em função da
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velocidade do veículo. Baseado na tabela acima se verifica que quando a velocidade
duplica, triplica, quadriplica, e etc, a distância fica multiplicada por 4, 9, 16, etc, ou
seja, a distância é proporcional ao quadrado da velocidade, o que indica o perigo
das altas velocidades.
Usando os dados da tabela 1, encontrar um modelo matemático que
estabeleça a relação entre a velocidade do veículo e a distância de frenagem
considerando este veículo em boas condições e em pista seca.
DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS
V= Velocidade em km/h (variável independente)
D= distância em metros (variável dependente)
DEDUÇÃO DO MODELO
Usando os dados da tabela 1, podemos escrever:
Velocidade (km/h) Distância ( metros)
30 8
2.30=60 4.8= 2².8=32
3.30=90 9.8= 3².8=72
4.30=120 16.8= 4².8=128
5.30=150 25.8= 5².8=200
Assim, para uma velocidade inicial (Vo), podemos escrever
Velocidade (Km/h) Distância (metros)
Vo Do
2. Vo 2².Do
3.Vo 3².Do
4.Vo 4².Do
5.Vo 5².Do
Ou seja, quando multiplicamos Vo por um número qualquer(x) a distância de
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frenagem (D) fica multiplicada por x². Com os valores da tabela acima, ao dividir o
quadrado da velocidade inicial pela distância obtém-se uma constante no valor de
112,5. Como por exemplo, 30²= 900: 8= 112,5;
60²=3600:32=112,5 e assim sucessivamente. Verifica-se um valor constante
o qual se denomina (k). Portanto chega-se a conclusão que o modelo matemático
para calcular a distância de frenagem de um veículo para qualquer velocidade é:
D(v) = 1/112,5 . v² ou D(v)= v² /112,5 ou ainda D= V²/k onde v assume
qualquer valor numérico positivo e os valores de D são determinados pelos valores
de v.
Nesta generalização percebe-se o perigo das altas velocidades, pois é
necessária uma distância muito maior para a frenagem total do carro dependendo de
sua velocidade inicial. Tem-se ainda a fórmula geral de uma função quadrática (2º
grau) e a sua representação gráfica é uma curva denominada parábola.
Representação gráfica
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4.5 3º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste momento, os alunos distribuídos em grupos devem desenvolver
atividades de modelagem matemática a partir de uma situação-problema com tema
escolhido por eles e apresentar uma resolução para a mesma.
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REFERÊNCIAS
ALMEIDA, L. M. W e DIAS, M. R. Um Estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de Ensino e Aprendizagem. Bolema, ano 17, n 22, 2004
ALMEIDA, L. M., DIAS; M. R. Modelagem Matemática em cursos de formação de professores. In: Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas Educacionais; org. Barbosa J. C.; Caldeira, A. D.; Araújo, J. L.-Recife 2007.
BASSANEZI, R. C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Editora FURB - 1999.
BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática e a Sala de aula. In: I EPM - Anais. Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática. Londrina - PR, 2004.
PARANÁ - Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba, SEED, 2008.
Sites:
<http:www.oficinaecia.com.br> (acesso em 07-06-11)
<http: www6.ufrgs.br> (acesso em 09-06-11 )
<http:sanepar.com.br> (acesso em 26.06.11)