secciones conicas, parabolas
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Se denomina sección cónica (o simplemente
cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano;
si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas.
Los cuatro ejemplos de
intersección de un plano con un cono: parábola
(1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3).
Es la sección producida en una superficie cónica
de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la
generatriz.α = β
La parábola es una curva abierta que se
prolonga hasta el infinito.
Parábola:
Elementos de una Parábola
Directriz de la parábola es la
recta perpendicular al
eje de la parábola y está a
la misma distancia del vértice que el
vértice del foco.
Al punto fijo llamado foco lo
representaremos con F, a la recta fija llamada directriz con DD′ . La
distancia entre el foco y la directriz lo
representamos por p, en donde p>0. El
vértice de la parábola con V.
La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco y por el punto de
la parábola llamado vértice (V), se llama eje
de la parábola. La posición del eje
determina la posición de la parábola. La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.
De acuerdo a la definición de la parábola, el punto medio
entre la directriz y el
foco pertenece al lugar
geométrico y se llama vértice.
Al segmento de recta
comprendido por la
parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado
recto.
Ecuación de la Parábola
Con despeje en Y:En esta gráfica muestra
como la parábola abre en el eje de las x, a causa de la y esta elevada al cuadrado,
al ser signo positivo ó signo negativo la respuesta
siempre va a dar positivo haciendo que la parábola
abra para la derecha.
Con despeje en X:En esta gráfica muestra como la parábola abre
en el eje de las y, a causa de que la x esta elevada al cuadrado, al
ser signo positivo ó signo negativo la
respuesta siempre va a dar positivo haciendo
que la parábola siempre abra para arriba.
Encuentra la ecuación de una parábola que tenga vértice en el origen, abra a la derecha y pase por el punto P(7, -3).
Una ecuación de una parábola con vértice en el origen que abre a la derecha es de forma para algún número P.
Si P(7, -3) está en la gráfica, entonces podemos sustituir 7 por X y -3 por Y para encontrar a :
, o bien,
Por tanto, una ecuación de la parábola es
El foco está a una distancia P a la derecha del vértice. Como , tenemos:
Así, el foco tiene las coordenadas
Ejemplo:Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:1. De directriz x = -3, de foco (3, 0).2. De directriz y = 4, de vértice (0, 0).3. De directriz y = -5, de foco (0, 5).4. De directriz x = 2, de foco (-2, 0).5. De foco (2, 0), de vértice (0, 0).6. De foco (3, 2), de vértice (5, 2).7. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).8. De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
1. De directriz x = -3, de foco (3, 0).
2. De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
3. De directriz y = -5, de foco (0, 5).
4. De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
5. De foco (2, 0), de vértice (0, 0).6. De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
Ejercicios PropuestosDeterminar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:-> De directriz x = -3, de foco (3, 0).-> De foco (3, 2), de vértice (5, 2).-> De foco (3, 4), de vértice (1, 4).