Secciones

Cnicas

SE LLAMAN SECCIONES CNICAS PORQUE PROVIENEN DE LA INTERSECCIN DE UN CONO CON UN PLANO.

1. CIRCUNFERENCIA:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto llamado CENTRO es constante, a dicha distancia se llama RADIO.

La ecuacin de la circunferencia de centro (a,b)Y radio r en forma REDUCIDA es:La ecuacin de la circunferencia en forma DESARROLADA es:Ejercicio:Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene centro en el punto C=(3,0) y cuyo radio mide 3cm.

Ecuacin reducida.Ecuacin desarrollada.

Ejercicio:Calcula los elementos de las circunferencias siguientes:2x+2y-12x+16y-50=0.(x-2)+(y-3)-16=0.(3x-2)+(3y-3)-144=0.

Posicin relativa RECTA y CIRCUNFERENCIA:Para estudiar la posicin se resuelve el sistema de ecuaciones.

Paso 1: despejamos de la lineal.Paso 2: sustituimos en la no lineal

Ejercicio:Estudia la posicin relativa de la recta r:x-y+5=0 y la circunferencia x+y-6x+8y-25=0ESQUEMA

Posicin relativa DOS CIRCUNFERENCIAS:Paso 1: Calculamos la distancia entre los centros.Paso 2: Calculamos la suma de los radios.Paso 3: Calculamos la resta de los radios.Paso 4: Aplicamos la tabla siguiente. Pg. 142 del libroEjercicio:Estudia la posicin relativa de las circunferencias:C1: x+y-6x+8y-25=0C2: x+y-1=0

POTENCIA:Se cumple que:Esto es lo mismo que:Es decir:A esta constante la llamamos POTENCIA del punto P respecto de la circunferencia C.

Para calcular la potencia de un punto respecto a C, hay que sustituir el punto en C.La potencia sirve para saber la posicin relativa entre un punto y una circunferencia:Ejercicio:Estudia la posicin de P(-3,2), Q(0,6) y R=(1,2) respecto de C: x+y-6y=0ESQUEMA

Ejercicio:Estudia para qu valores de m el punto P=(5,m) es interior , exterior o perteneciente a la circunferencia C: x+y-4x-4y-17=0Calcula el lugar geomtrico del plano que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias C1:x+y-4x-4y-17=0C2: x+y+1=0

EJE RADICAL:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las dos circunferencias:

Propiedades del eje radical:3.-Si las circunferencias son secantes pasa por los puntos de corte.1.-Es perpendicular a la recta que une los centros.2.-Pasa por el punto medio de las tangentes exteriores comunes.4.-Si son tangentes, el eje radical es tangente en el punto de tangencia.

Ejercicio:Halla el centro radical de las circunferencias siguientes:C1: x+y=16C2: x+y-2x+4y-4=0C3: x+y+6x-6y+14=0Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene por centro el punto C(1,4) y es tangente a la recta 3x+4y-4=0.Calcula la ecuacin de una circunferencia concntrica a C: 4x+4y-24x+4y+33=0y cuyo radio mide la mitad.

Ejercicio:Calcula el eje radical de las circunferencias: C1: x+y-4x+2y+4=0C2: x+(y-3)=4C3:2 x+2y+8x-24=0Calcula la posicin relativa de la circunferencia :C1: 2x+2y-6x-6y+7=0Con las circunferencia:C2: x+y-2x-3y+3=0C3: x+y=-1/4C4: 2x+2y=5C5: x+y-3y+2=0

Todo el peso se apoya en el suelo sobre un punto. La superficie de rozamiento es mnima.La primera rueda de la que se tiene constancia se encontr en un grabado de Mesopotamia en el 3.500 A.C. LA RUEDA:

LA NORIA:

PIEZAS DE INGENIERA:

Podemos relacionar el radio r o dimetro del anillo con la medida del dedo L.EL ANILLO:

Podemos construir una espiral, en la naturaleza se encuentra en el caparazn de algunos moluscos.ESPIRAL:

Podemos calcular la velocidad de giro.DISCO DURO:

Para generar energa no contaminante.Para las ruedas de molino.RUEDA DE PALETAS:

Cambia la direccin de la fuerza aplicada a un objeto.LA POLEA:

Para localizar situaciones y medir distancias.La longitud de un arco es el radio por el ngulo.PARALELOS Y MERIDIANOS:

2. PARBOLA:Lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

Simplificando esta ecuacin queda:Los puntos de la parbola cumplen:

La parbola en otros casos:

Ejercicio:Escribe la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es el punto V(-2,4), su eje es paralelo al eje de ordenadas y la distancia entre su foco y su directriz es de 3 unidades.Parea las siguientes parbolas, calcula las coordenadas del foco y del vrtice, la ecuacin del eje y de la directriz:x=y-6y+10x-4x=6y-28ESQUEMA

PUENTES:

ANTENA PARABLICA:

TRAYECTORIAS DE PROYECTILES:

PISTAS DE PATINAJE

NAVES ESPACIALES

CIUDAD Y ARTES DE LAS CIENCIAS (VALENCIA)

3. ELIPSE:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

Ecuacin fundamental de la elipse:La elipse cumple que la suma de las distancias de cada foco al punto P es siempre la misma:La excentricidad de la elipse es:Si e=0 es una circunferenciaSi e= 1 es una rectae SIEMPRE EST ENTRE 0 Y 1

Operando y reduciendo lo mximo posible nos queda:Esta es la ecuacin reducida de la elipse.

La elipse en otros casos:

Ejercicio:Dada la elipse de ecuacin 4x+9y=36, calcula el valor de sus semiejes, su semidistancia focal, su excentricidad y las coordenadas de los focos y vrtices.Calcula la ecuacin reducida de la elipse sabiendo que uno de sus focos es el punto F(0,-6) y su excentricidad es e=06.ESQUEMA

El anfiteatro de Pompeya.ANFITEATROS:

Plaza elptica.LA CASA BLANCA:

Vistas en perspectiva.CIRCUNFERENCIAS:

Determina la velocidad de los planetas.LEY DE KEPLER:1571-1630

Arte en las calles de Chicago.CLOUD GATE ELIPSE

Arte y geometra.FELICE VARINI

4. HIPRBOLA:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

Ecuacin fundamental de la hiprbola:En este caso:La excentricidad de la elipse es:Si e= 1 es una rectae SIEMPRE ES MAYOR QUE 1

Las asntotas de la hiprbola son:

Operando y reduciendo lo mximo posible nos queda:Esta es la ecuacin reducida de la hiprbola.

La hiprbola en otros casos:

Ejercicio:Dada la hiprbola de ecuacin x-9y=9, calcula sus elementos.Calcula la ecuacin de una hiprbola en cada uno de los casos:Vrtice A(5,0 )y foco F(8,0).Foco F(15/4,0) y pasa por el punto P(5,3).Asntota y=2x y eje real 2. ESQUEMA

Aeropuerto de Barcelona.TORRE DE AERPUERTO

CHIMENEAS EN CENTRALES TRMICAS

INTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUA

BBEDAS DE LA SAGRADA FAMILIA:

Fin

La excentricidad mide lo achatada que est la elipse, cuanto ms cerca de uno est su valor, ms achatada est.VOLVER

VOLVER

VOLVER

VOLVER

VOLVER

VOLVER