scénarios d’homogénéisation et mesure du emmanuelle ... · "blinking vortex" (aref...
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Scénarios d’homogénéisation et mesure dumélange dans les écoulements fermés et ouverts
Emmanuelle Gouillart
Unité mixte Saint-Gobain/CNRS,Saint-Gobain Recherche
GDR Phénix, 16 juin 2008
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Collaborations
SPEC, CEA Saclay : Olivier Dauchot, Bérengère Dubrulle,François Daviaud, Arnaud Chiffaudel, Natalia Kuncio
University of Wisconsin : Jean-Luc Thiffeault,University of Adelaide : Matt Finn
LMT Cachan : Stéphane Roux
Saint-Gobain Recherche : Franck Pigeonneau
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Le mélange : un problème industriel omniprésentNombreux procédés :faible nombre de Reynolds(fluides visqueux, fragiles,petites échelles)Industrie "lourde" : mélangeursà tiges, surface libre
Mélangeurs fermés et ouvertsDomaine ferméMélangeurs traversés parun écoulement global
Comprendre les mécanismes de mélange(quel temps de mélange nécessaire ?).Caractériser l’efficacité du mélange(comment choisir un mélangeur ?).
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Quelle est la vitesse du mélange ?
Expériences CEA Saclay
[movie]
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Quelle est la vitesse du mélange ?
Expériences CEA Saclay
[movie]
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Scénarios de mélange : contexte
Champ de concentration d’uncolorant diffusif C(x, t)scalaire passif
Ecoulements 2D périodiques,advection chaotique
Quelle est la route versl’homogénéité ?
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Mesure du mélange
Amplitude des fluctuations de concentrationEchelles tyiques des fluctuations de concentration
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Plan
Mécanismes d’homogénéisationScénarios d’homogénéisation en ferméScénarios d’homogénéisation en ouvert
Mesure du mélange
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Vitesse d’homogénéisation ?Mécanismes d’homogénéisation{
Etirement/repliementdiffusion
Largeur minimale wB(échelle de Batchelor)
A quelle vitesse se fait l’homogénéisation ?Etudes cinématiques des distributions d’étirement (λ) :étirement exponentiel⇒ mélange exponentiel.
Advection-diffusion ∂C∂t + v · ∇C = D∆C
Strange eigenmode : C → mode propre de l’opérateur.Décroissance exponentielle de l’inhomogénéité.
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Vitesse d’homogénéisation ?Mécanismes d’homogénéisation{
Etirement/repliementdiffusion
Largeur minimale wB(échelle de Batchelor)
A quelle vitesse se fait l’homogénéisation ?
[Rothstein et al., 1999]
Et en ouvert ?
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Mesures de champ de concentration
Mélange chaotique : création d’échelle très fines (wB).⇒ problèmes de résolution spatiale.
Code commercial (volumes finis)
40 mailles...
Expérience
2000 pixels
Advection de points⇒C coarse-grained
Mesure quantitative du champ deconcentration : dispositif expérimentaladapté (rétro-éclairage etc.)
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Une expérience de mélange chaotique en fermé
1 tige, protocole périodique en"huit" (∞).Advection chaotique : étirementrepliement, cf. baker’s map.Un blob est transformé en unmotif filamentaire complexe.Forme "en coeur" du motif quigrandit vers le bord.
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Résultats : un mélange plus lent que prévu
Champ de concentration dans une région centrale "bien mélangée"
Variance PDFs de concentration
⇒ mélange "algébrique" 6= exponentiel
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Les murs ralentissent le mélange...... dans tout le domaine
t t + 12
d(t)
Trajectoires chaotiques dans tout le domaine⇒ du fluide mal mélangé s’échappe du bord.
Réinjection le long de la variété instable d’un point parabolique.
Non-glissement sur le bord⇒ largeur des "bandes de blanc" ∼ t−2 (algébrique).
Bandes de blanc réinjectées contaminent le motif de mélange(6= étirement efficace au centre).
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Les murs ralentissent le mélange...... dans tout le domaine
t t + 12
d(t)
Non-glissement : v‖ ∝ x⊥Incompressibiité :
∂v‖∂x‖
+∂v⊥
∂x⊥ = 0
donc : v⊥ ∝ x2⊥. On résout x⊥ = v⊥ :
d(t) =d0
1 + ad0t
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Un scénario générique... quand la région chaotique s’étend jusqu’à un mur avec du non-glissement
"Blinking vortex" (Aref 1984) : simulations numériques
Modèle 1-D : map du boulanger + point parabolique au bord
Mêmes propriétés statistiquespour la "concentration"+ calculs possibles[Gouillart et al., PRL 99, 114501 (2007)]
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Un scénario générique... quand la région chaotique s’étend jusqu’à un mur avec du non-glissement
"Blinking vortex" (Aref 1984) : simulations numériques
Modèle 1-D : map du boulanger + point parabolique au bord
Mêmes propriétés statistiquespour la "concentration"+ calculs possibles[Gouillart et al., PRL 99, 114501 (2007)]
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Un deuxième type de scénario
Comment recréer une "condition de glissement" ?
Protocole "épitrochoide"
région chaotique centrale + région régulière au bord.
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On retrouve un "mode propre" !
t = 8 t = 12 t = 17
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On retrouve un "mode propre" !
t = 8 t = 12 t = 17
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On retrouve un "mode propre" !
t = 8 t = 12 t = 17
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Autre solution : faire tourner les bords
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Autre solution : faire tourner les bords
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Deux types d’expérience de mélange en ouvert
Batteurs à oeufsExpériences en déclin(tache d’encre)Paramètres
Advection chaotique àtemps fini.(∼ 3→ 19 périodes).Sens de rotation des tiges.
Papillon Brasse
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Scnénario d’une expérience de mélange
[movie]
Temps de séjour courts :mauvais mélangeEtirements/repliementspar les tiges⇒ mélangeTemps longs : le mêmemotif se répète
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L’émergence d’un mode propre
Décroissance exponentielle de 〈C〉(advection globale + advection chaotique)
Structure auto-similaire de C(x, t) :C(x, t)→ mode propre en ouvert !(compression de toute la région demélange wB)
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L’émergence d’un mode propre
Modélisation : application du boulanger en ouvert
⇒f
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Deux types différents de région chaotique
Région chaotique protégée desbords
≡ épitrochoïde
Région chaotique→ mursPoints de stagnation paraboliques
≡ huit
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Brasse
Brasse
[movie]
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L’influence des bords : une déviation du mode propre
Points paraboliques :⇒ stockent fluide mal mélangé⇒ temps de séjour très longs
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Conclusions
Fermé : dynamique du mélange pas toujours exponentielleImportance des bords avec non-glissement, quiralentissent le mélange.
Classification des mélangeurs en grandes familles.On peut "lire" la vitesse du mélange dans certains cas.
Systèmes ouverts : évolution sous forme d’un mode proprequand on est "protégé des bords".Rôle des bords reste à préciser.
Modèles 1-D type "baker’s map"rendent compte des phénomènes observésfacilitent leur compréhension.
Scénarios de mélange en 3D ?
Autre dynamique près des bords ? Ex : fluides à seuil
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Mesure du mélangeConvergence rapide vers un mode propre : cas le plus facile
σ2 = σ20 exp(−αt) σ(C)/〈C〉
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Mesure du mélangeClasse du protocol en huit
Vitesse du mélange paramétrée parl’hydrodynamique sur le bord (a)
d(t) = (at)−1 ⇒ σ2(C) = a−2t−4
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Mesure spatiale du mélange ?
Mesure des tailles des filaments ?Distribution d’étirements→ échelles des filaments auxtemps courts [Adrover et al., 1998]
Ouvert : tout une cascade d’échelle(temps de séjour différents)Analyse du champ de concentration : ondelettes ?