scienza dei materiali 1 test 1 - unitrento · m. leoni - 2003 esercizio 1 0 222222 222 0 hklhkl...
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Scienza dei Materiali 1Scienza dei Materiali 1TEST 1TEST 1
M. Leoni - 2003
Esercizio 1Esercizio 1
2 2 2 2 2 2002 2 2
97.18 3 2 1 363.614hkl hkl
ad a d h k l pm pm
h k l= ⇒ = + + = + + =
+ +
Viene eseguita una misura di diffrazione su un provino di plutonio bcc con dei raggi X di lunghezza d’onda λ = 70.930 pm. Il picco relativo al piano 321 viene misurato ad un angolo 2θ = 42.808°. Determinare parametro di cella, raggio atomico e densità del materiale. Determinare inoltre il numero di atomi per cm3.(peso atomico Pu = 244 g/mol)
Per un materiale cubico il parametro di cella è:
( ) ( )70.930
2 sin 97.1842.8082sin 2sin
2
d d pm pmλ
λ θθ
= ⇒ = = =
Dalla legge di Bragg otteniamo la distanza interplanare per il piano (321)
a0 = 363.6 pm
La cella, dal testo del problema, è bcc e quindi gli atomi si toccano lungo la diagonale principale
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Esercizio 1Esercizio 1Il raggio atomico sarà perciò ottenibile da:
( )
30
3 7 3 333 23 12
0
2
2442 2 / 1.68 10 / 16.8 /
6.023 10 360.3 10
Pu
Pu
AWm V a
NAWm
g m g m kg dmV Na
ρ−
= =
= = = = ⋅ =⋅ ⋅
00
3 34 3 363.6 157.54 4
ar a r pm pm= ⇒ = = =
Per il calcolo della densità devo conoscere massa e volume della cella. La massa è quella di 2 atomi di Pu, il volume è il parametro di cella al cubo:
r = 157.5 pm
ρ = 16.8 kg/dm3
Gli atomi a cm3 sono calcolabili sapendo che abbiamo 2 atomi nella cella!
( )22
3 310
24.2 10
360.6 10
at atn
cmcm−= ≈ ⋅
⋅n = 4.2x1022at/cm3
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Esercizio 2Esercizio 2Completare il diagramma di fase binario di figura, individuando le regioni mono e bi-fasiche. Descrivere sinteticamente l’evoluzione microstrutturale osservabile per raffreddamento di una lega 10% Al. Determinare almeno in maniera qualitativa, il contenuto di fase e la composizione delle fasi presenti a 600°C ed a 500°C.
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α
α+Al4Ba
Al4Ba+
Al2Ba
Al2Ba+
AlBa
Al4Ba+L
Al4Ba+L
Al2Ba+L
AlBa+L β+L
β
AlBa+β
α+L
LAl 4
Ba
Al 2
Ba
AlBa
eutettico
eutettico peritettico
peritettico
Esercizio 2Esercizio 2
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Esercizio 2Esercizio 2
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Esercizio 2Esercizio 2
96.5 90% 100 48% % 52%96.5 83
liq e sol−= = =−
Nell’esercizio veniva lasciata la scelta tra 10 at% e 10 wt% Al nel diagramma. Proviamo a risolvere il problema con 10at% Al. A 600°C:
95.5 90% 100 12.1% % 87.9%95.5 50
AlBa e β−= = =−
Il liquido contiene l’83 at% di Ba mentre il solido β ne contiene il 96.5 at%.A 500°C, invece, sono sotto l’eutettico quindi avrò:
La fase β contiene il 95.5 at% di Ba.
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Esercizio 3Esercizio 3Un provino cilindrico (diametro 2 mm) lungo 2 m è posto in compressione da un carico di 50 kg. Determinare, se si lavora in campo elastico, di quanto il provino si accorcia e di quanto aumenta la sua sezione. (E = 203 GPa, ν = 0.29, σy=600 MPa)
Per risolvere il problema è necessario stabilire un sistema di riferimento. Possiamo dare agli assi i nomi che vogliamo! Attenzione a y che potrebbe confondesi con l’iniziale di yield(snervamento). In questo caso scegliamo una terna destrorsa (ξ,ψ,ζ).
Il carico è in compressione quindi lo sforzo σavrà un valore negativo nel nostro sistema di riferimento (è opposto a quello solitamente incontrato nei problemi).
ξ
ψ
σψ
σψ
ζ
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Il carico è inferiore al limite di snervamento e quindi siamo in campo elastico. Noto il carico, l’allungamento assiale (ATTENZIONE a non confonderlo con la deformazione) è pari a (legge di Hooke):
( )22 2 20
0
50 9.81 490.5
2 3.144 4
490.5156.1
3.14
F w g N N
A d mm mm
FMPa MPa
Aψ
π π
σ
= ⋅ = − ⋅ = −
= = =
−= = = −
Calcoliamo subito il valore del carico applicato:
Esercizio 3Esercizio 3
0 30
156.12 1.54
203 10l
l l m mml E E
ψ ψψ
σ σε
∆ −= = ⇒ ∆ = = = −
⋅∆l = -1.54 mm
Per la variazione di sezione, si può procedere in più modi. Il più semplice è ricordare la legge di Hooke per un materiale isotropo che permette di valutare la deformazione nelle due direzioni lungo la sezione
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La variazione di sezione è la somma delle deformazioni lungo le due direzioni nella sezione
( ) ( )
( )
( )
43
43
4
0.29156.1 2.2 10
203 10156.1
7.7 10203 10
2.2 10
E E E
E E E
E E E
ξξ ψ ζ ψ
ψ ψψ ξ ζ
ζζ ψ ξ ψ
σ ν νε σ σ σ
σ σνε σ σ
σ ν νε σ σ σ
−
−
−
= − + = − = − ⋅ − = ⋅⋅
−= − + = = = − ⋅
⋅
= − + = − = ⋅
e quindi:
Esercizio 3Esercizio 3
4 4
0
4 2 3 20 0
2 2 2 2.2 10 4.4 10 0.044%
2 2 2 3.14 2.2 10 1.4 10
AA E
A A A mm mmE
ψξ ζ ξ
ψξ
σε ε ε ν
σν ε
− −
− −
∆= + = = = ⋅ ⋅ = ⋅ =
∆ = = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
∆A = 1.4 10-3 mm2
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Esercizio 4Esercizio 4Un bagno di gallio fuso è portato a 0°C: il materiale solidificherà? Calcolare il volume del nucleo critico ed il numero di atomi che esso contiene.(Tm = 29.8°C, ∆Hf = 488 J/cm3, γ = 56x10-7 J/cm2; a0 = 0.5951 nm, cella cubica bcc)
Possiamo subito calcolare il raffreddamento rispetto alla temperatura di fusione (sottoraffreddamento):
Empiricamente, per avere solidificazione omogenea, il sottoraffreddamento dovrebbe essere superiore al 20% di Tm espressa in K. Siccome, in questo caso, il sottoraffreddamento dovrebbe essere superiore a
29.8 0 29.8 29.8mT T T C C K∆ = − = − ° = ° =
hom 0.2 0.2(29.8 273.15) 60.6mT T K K∆ = = + =
ne segue che non ci si aspetta di avere solidificazione omogenea con il sottoraffreddamento imposto!
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Noto il raggio del nucleo critico, ne possiamo valutare il volume:
Senza ricordare la formula empirica, possiamo vedere che il materiale non riuscirebbe a solidificare semplicemente dalla dimensione del nucleo critico:
Esercizio 4Esercizio 4
( ) ( )3 3* 3 34 42.3 51
3 3V r nm nmπ π= = =
r* = 2.3 nm
e, noto il parametro di cella, il numero di celle presenti:
7* 2 2 56 10 (29.8 273.15)
2.3488 29.8
m
f
Tr cm nm
H Tγ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
= = =∆ ⋅∆ ⋅
3 30
51242
0.5951V
n cella
= = =
Siccome ogni cella contiene 2 atomi (bcc), il numero di atomi sarà:
2 2 242 484atn n at at= = ⋅ = nat = 484 at
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Esercizio 5Esercizio 5Una lastra costruita con un materiale avente σy=750MPa e KIC=120 MPav m, ha una cricca interna di 1 mm. Stabilire se si fratturerà prima di snervare. Calcolare poi la lunghezza critica di cricca limite per non avere frattura prima dello snervamento. (Assumere f = 1)
Siccome la cricca è interna il valore di a da impiegare nelle formule sarà metà lunghezza cricca ovvero 0.5 mm. Valutiamo il KI che si ha quando il carico è pari a quello di snervamento:
Siccome con un carico pari a quello di snervamento KI è inferiore a KIC, il provino NON si fratturerà prima dello snervamento.La lunghezza limite di cricca per non avere frattura prima dello snervamento sarà quella che consente di raggiungere il KIC con un carico pari a quello di snervamento:
( )31 750 0.5 10 29.725I yK f a MPa m MPa mσ π π −= = ⋅ ⋅ ⋅ =
2 21 1 1208.15
1 750IC
I Cy
KK f a a m mm
fσ π
π σ π
= ⇒ = = = ⋅ aC = 8.15 mm
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Esercizio 6Esercizio 6Il diagramma TTT di un acciaio è presentato in figura. Si descriva il trattamento termico necessario per ottenere in un dato provino, il 50% di bainite. Si disegni schematicamente la microstruttura attesa
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Esercizio 6Esercizio 6Il problema richiede il 50% di bainite ed il restante 50% a discrezione dello studente. Tre possibili curve di raffreddamento sono:
A
B C
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Con i tre raffreddamenti ottengo:
A. 50% bainite + 50% perlite (semplificazione del trattamento vero)
B. 50% bainite + 50% martensite
C. 50% bainite + 50% bainite = 100% bainite
Esercizio 6Esercizio 6
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Esercizio 7Esercizio 7Due provini A e B di acciaio allo 0.2% C vengono nitrurati, il primo a 900K per 2 h ed il secondo a 1000K. Il profilo di concentrazione misurato, risulta essere il medesimo. Determinare il tempo di trattamento utilizzato per il provino B sapendo che il coefficiente di diffusività a 1000K è di 10-5 cm2/s e quello a 1300K è di 10-4 cm2/s. Quanto tempo sarebbe necessario per ottenere il medesimo profilo di concentrazione a 600K? Se la concentrazione di azoto a 0.3 cm dalla superficie è dello 0.1%, quale era la concentrazione di azoto in superficie al pezzo?
Per poter risolvere il problema è necessario conoscere il coefficiente di diffusione a 900K. Quest’ultimo non è noto, ma calcolabile dai dati del problema. E’ noto infatti il valore a 1000K ed a 1300K:
1 01
2 02
ln ln
ln ln
QD D
R TQ
D DR T
= − ⋅ = − ⋅
1
1 1
2 2 1 2 1 2
1 1 1 1ln ln
D DQQ R
D R T T T T D
−
= − ⇒ = −
Con i dati forniti:
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Nota l’energia di attivazione posso ricavare immediatamente il valore di D0:
Esercizio 7Esercizio 71 1 5
14
2 1 2
1 1 1 1 10ln ln 9977.87
1300 1000 10DQ
K KR T T D
− − −
−
= − = − =
5 2 21 0 0 1
1 1
1 1 9977.87exp exp 10 exp / 0.215 /
1000Q Q
D D D D cm s cm sR T R T
− = − ⇒ = = =
A questo punto il coefficiente di diffusione a 900K è calcolabile come:
2 6 2900 0
1 9977.87exp 0.215exp / 3.29 10 /
900 900K
QD D cm s cm s
R K− = − = − = ⋅
Noto il coefficiente di diffusione e noto il tempo di trattamento relativo, possiamo calcolare il tempo necessario per il trattamento a 1000K imponendo che la lunghezza di diffusione (al quadrato) sia la medesima:
6900
900 900 1000 1000 1000 900 51000
3.29 102 0.658 40min
10K
K K K K K KK
DD t D t t t h h
D
−
−
⋅= ⇒ = = = ≈
t1000K = 40 min
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Il problema chiede ora di eseguire il medesimo trattamento a 600K. E’ sufficiente calcolare il coefficiente di diffusione relativo ed applicare ancora un volta l’equazione di uguaglianza delle lunghezze di diffusione (al quadrato)
Esercizio 7Esercizio 7
2 8 2600 0
1 9977.87exp 0.215exp / 1.29 10 /
600 600K
QD D cm s cm s
R K− = − = − = ⋅
Per concludere i problema è ora necessario utilizzare la soluzione della seconda equazione di Fick nel caso di barra semi infinita. Noti i dati del problema possiamo scrivere:
6900
900 900 600 600 600 900 8600
3.29 102 510.1
1.29 10K
K K K K K KK
DD t D t t t h h
D
−
−
⋅= ⇒ = = =
⋅
t600K = 510.1 h
( )0
00
22 2 1
2
xs x
s x s ss
xc c erf
c c x x Dterf c c c c erf cxc c Dt Dt erfDt
− − = ⇒ − = − ⇒ = − −
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La scelta della temperatura è ininfluente! Alle tre temperature date (600K, 900K, 1000K) il profilo di concentrazione è il medesimo ovvero Dt è costante! Quello che bisogna calcolare, sfruttando il grafico fornito, è il valore di:
Esercizio 7Esercizio 7
( )6
0.30.97 0.83
2 2 3.29 10 7200
xK erf erf erf
Dt −
= = = ≈ ⋅ ⋅
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.00
0.25
0.50
0.75
1.00er
f(x)
x
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Esercizio 7Esercizio 7che ci permette di ottenere il valore di cs richiesto:
cs = 0.59%
00 0.1% 0 0.1%2 0.59%
1 1 0.83 0.171
2
xx
s
xc c erf
c KcDtcx K
erfDt
− − − = = = = ≈− − −
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Esercizio BONUSEsercizio BONUSLo sforzo di snervamento per un campione di alluminio puro avente una dimensione di grano media di 0.05 mm è di 36 MPa mentre per un cristallo singolo è di 25 MPa. Qual’è lo sforzo di snervamento per un campione avente dimensione di grano media di 1 mm?
Conosciamo lo sforzo di snervamento per due dimensioni di grano e quindi possiamo utilizzare la legge di Hall-Petch:
0yKd
σ σ= +
Per un cristallo singolo, la dimensione di grano può essere considerata infinita. In tal caso lo sforzo di snervamento è pari a σ0 e quindi:
0 25MPaσ =
Noto il valore di σ0, quello di K può essere facilmente ottenuto:
( ) ( )0 36 25 0.05 2.46yK d MPa mm MPa mmσ σ= − = − =
E’ più conveniente questa unità di misura invece dei tradizionali MPa m
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Esercizio BONUSEsercizio BONUSInfatti la soluzione del problema è ora immediata:
1 0
2.4625 27.46
1 1mm
KMPa MPa
mmσ σ= + = + = σ1mm = 27.46 MPa