schulinternes curriculum mathematik klasse 11und 12 · 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 verschiedene verfahren...
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Stand: Januar 2016
Schulinternes Curriculum Mathematik Klasse 11und 12 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC)
I. Prozessbezogene Kompetenzbereiche (in Klammern Kapitel im KC) MA: Mathematisch argumentieren PL: Probleme mathematisch lösen MM: Mathematisch modellieren MD: Mathematisch Darstellungen verwenden SF: Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Ko:. Kommunizieren II. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Laut dem KC gibt es fünf inhaltsbezogene Kompetenzbereiche dargestellt im Kapitel 3.2 des KC (in Klammern Kapitelnummern des KC)
1. Zahlen und Operationen (3.2.1) 2. Größen und Messen (3.2.2) 3. Raum und Form (3.2.3)
4. Funktionaler Zusammenhang (3.2.4) 5. Daten und Zufall (3.2.5)
Semester 11.1: Analysis
Buchkapitel Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen
Prozessbezogene Kompetenzen
Methodische Hinweise
Analysis:
Kurvenanpassung –Wachstumsmodelle- Integralrechnung (ca. 28 Wochen)
Bleib fit in Differenzialrechnung
Bleib fit in Funktionsuntersuchungen
Anwenden von Verfahren zur Lösung linearer und quadratischer Gleichungen mit einfachen Koeffizienten.
Binomische Formeln
pq-Formel bzw. quadr. Erg.
1 Kurvenanpassung – Lineare Gleichungssysteme (ca. 7 Wochen)
Lernfeld: Krumm aber doch passend glatt
Lernbereich: Kurvenanpassung – Interpolation
1.1 Krümmung – Wendepunkte
Leitidee Funktionaler Zusammenhang
erkennen Monotonie- und Krümmungsverhalten von Graphen und nutzen dies zur Begründung der Existenz von Extrem- und
MA: Existenzbegründungen von Wende- und Extremstellen.
Ko: Erfassen und interpretieren mathematikhaltige authentische Texte, z.B. S.28 Nr. 12.
Wendepunkten.
nutzen notwendige Bedingungen sowie inhaltliche Begründungen zur Bestimmung von lokalen Extrem- und Wendestellen.
1.2
Stoffgebiet 1.3 im 2. Halbjahr
Bestimmen ganzrationaler Funktionen – lineare Gleichungssysteme
1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme – GAUSS-Algorithmus
– Bestimmung von Funktionen aus gegebenen Eigenschaften
- lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie
– GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Ko: SuS dokumentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse auch im Hinblick auf die verwendete Technologie und stellen jene verständlich dar.
SF: Die SuS setzen die eingeführte Technologie (GTR) als sinnvolles Werkzeug zum Lösen mathematischer Probleme ein.
SF: Die SuS belegen ihr Grundverständnis für elementare algorithmische Verfahren, in dem sie diese auch ohne die eingeführte Technologie in überschaubaren Situationen ausführen.
GTR- Einsatz: Matrizenrechnung
1.4
1.4.1
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
Verschiedene Verfahren der Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen Trassierung selbst lernen 1.4.2 Interpolation – Spline-Interpolation Stoffgebiet 1.5 im 4. Halbjahr
Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetigkeit Differenzierbarkeit Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ausgehend von Beispielen aus dem Bereich Trassierung werden ganzrationale Funktionen zu vorgegebenen Datenpunkten und/oder Eigenschaften bestimmt.
Bei Modellierungen mit abschnittsweise definierten Funktionen sind darüber hinaus an den Übergängen Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Übereinstimmung der zweiten Ableitungen als Bedingungen zu nutzen und im Kontext zu interpretie-ren. Die Zugänge zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden auf intuitivem Weg gefunden.
Durch Regression gewonnene Funktionen werden zum Vergleich herangezogen.
– Stetigkeit, Differenzierbarkeit
– Abschnittsweise definierte Funktionen (ohne Grenzbetrachtung an Polstellen)
MM: SuS vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen und reflektieren die Vereinfachungsschritte.
MM: Die SuS interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell
MM: Die SuS reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen.
Ko: Die SuS erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten und unter Verwendung geeigneter Fachsprache.
Eigenständiges Lernen
GTR: Regression nutzen,
abschnittsweise definierte Funktionen darstellen
1.6 Funktionenscharen – Funktionenscharen PL: Probleme in inner-
mathematischen Zusammenhängen finden, formulieren und die Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.
Wachstumsmodelle
Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen Bevölkerungswachstum, stetige Verzinsung, radioaktiver Zerfall werden die bereits bekannten Wachstumsmodelle – lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum – durch das Modell des logistischen Wachstums ergänzt. Der Vergleich und die Interpretation verschiedener Modelle eines Wachstumsprozesses lassen sich besonders einfach mit der Exponentialfunktion zur Basis e durchführen. Buch-Kapitel
Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch)
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche
Methodische Hinweise
3 Wachstumsmodelle (ca. 10 Wochen)
Schwerpunkt: Exponentielles Wachstum (Funktionaler Zusammenhang)
Schwerpunkt: Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen
3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4
Exponentielles Wachstum Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion Ableitung von Exponentialfunktionen – Natürlicher Logarithmus Beschreibung von exponentiellem Wachstum mithilfe der e-Funktion eN: Differenzialgleichung exponentieller Prozesse
– e-Funktion
– Asymptotisches Verhalten
– Definitionsbereich
– Verwenden von ln, um einfache Exponentialgleichungen aufzulösen
– eN Differenzialgleichungen ohne
Lösungsverfahren
Darstellungen verwenden Probleme mathematisch lösen Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen
Einführung der e-Funktion über die kennzeichnende Eigenschaft der Ableitungsregel. e als Basis für Exponential-funktionen zur Beschreibung der exponentiellen Prozesse f(t)=a*bt
eN: Deuten Differenzialgleichung im Sachkontext.
3.2
Begrenztes Wachstum – Begrenztes Wachstum
– Angleichung an Daten durch
Parametervariation
Mathematisch modellieren/ Probleme mathematisch lösen
Einführung durch Verschiebung des Graphen exponentieller Prozesse. Definition über Bedingung für momentane Wachstumsgeschw.
3.3 Logistisches Wachstum Die e-Funktion ermöglicht eine funktionale Beschreibung des logistischen Wachstums.
– Logistisches Wachstum
– Bedeutung des Wendepunktes und des
Krümmungsverhaltens
Math. Darstellungen verwenden Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen
Einführung über beide exponentiellen Teile. Definition über Wachstums-geschwindigkeit. Der Term wird eingeführt über die logistische Regression des GTR. Der Zusammenhang von den Parametern der Differentialgleichung und denen der logistischen Lösungsfunktion wird hergeleitet.
3.4 Vermischte Aufgaben
3.5 3.5.1
Ableitungsregeln Kettenregel
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Gebrochenrationale Funktionen laut KC nicht mehr behandeln.
3.5.2 3.5.3
Produktregel Quotientenregel
Mathematik umgehen Ableitungsregeln im Zusammenhangmit e-Funktionen behandeln. Die Funktionsunter-suchungen folgen in 3.7.
3.6 (eN) 3.6.1 3.6.2
eN: Lösen von Differenzialgleichungen
Richtungsfeld – EULER-Verfahren Lösen durch Separation der Variablen
optional: Lösungsverfahren einfacher Differenzialgleichungen
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Probleme mathematisch lösen
3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4
Funktionsuntersuchungen Summe, Differenz und Produkt von Funktionen Quotient von Funktionen Verkettung von Funktionen Zusammenfassung: Aspekte von Funktionsuntersuchungen
Wachstum modellieren.
– Verknüpfungen/Verkettung mit
ganzrationalen Funktionen
– eN: Funktionenscharen, die durch Verknüpfung und Verkettung der e-Funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen.
Mathematisch argumentieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Probleme mathematisch lösen
Konsequent die Verknüpfung von Funktionen in den Vordergrund stellen und thematisieren, welche Eigenschaften des Graphen aus den einzelnen Bestand-teilen auch ohne Ableitungen ermittelt werden können.
Exakte Werte (z.B. von Extrema) mit Ableitungen berechnen.
(eN?) Asymptotische Näherungsfunktionen, Pole und stetige Ergänzungen in Verbindung mit e-Funktionen behandeln.
Integralrechnung
Je nach Länge des 1. Semesters kann die Integralrechnung ganz oder teilweise im 4. Semester unterrichtet werden. Buch-Kapitel
Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch)
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Methodische Hinweise
2 Integralrechnung Lernbereich: Von der Änderung zum Bestand – Integralrechnung Leitideen: Messen, Funktionaler Zusammenhang
Schwerpunkt: Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren
2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2
Der Begriff des Integrals Orientierte Flächeninhalte – Geometrische Definition des Integrals Näherungsweises Berechnen von Integralen – Analytische Definition des Integrals Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand – Integralfunktionen Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integration mithilfe von Stammfunktion Berechnen von Integralen mithilfe von Stammfunktionen Integration durch lineare Substitution
- erläutern das Integral (geometrische Definition) als Summe orientierter Flächeninhalte
- erläutern die Berechnung von Integralen über den Grenzwert von Obersumme und Untersumme an einem Beispiel (analytische Definition)
- erläutern den Begriff der Integralfunktion - deuten das Integral als aus Änderungen
rekonstruierter Bestand - erläutern den Zusammenhang zwischen
Differenzieren und Integrieren - eN: begründen den Hauptsatz geometrisch - kennen die Stammfunktionen spezieller
Funktionen: ex ; sin(x), x , xn ( Zn )
- wenden die Summen- und Faktorregel für Integrale an
- wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an
- berechnen unbestimmte Integrale - erläutern die Integration durch lineare
Substitution - nutzen den Zusammenhang zwischen
Ableitung und Integral zur Bestätigung von
Probleme mathematisch lösen Mathematisch argumentieren Kommunizieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (auch GTR-Einsatz) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren Mathematisch argumentieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren
u.a. an folgenden Beispielen: Zu- und Ablauf, Geschwindigkeit-Weg geeignetes Beispiel: f(x) = x² Zusammenhang über den Einsatz einer GeoGebra-Animation erkunden ergänzend kann der Mittelwertsatz behandelt werden eN: evtl. partielle Integration und Substitution (in Hinblick auf Stochastik)
2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6
Berechnen von Flächeninhalten Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen eN: Uneigentliche Integrale eN: Volumina von Rotationskörpern
Stammfunktionen
- erläutern die Flächeninhaltsberechnung begrenzter Flächen
- erläutern die Berechnung uneigentlicher Integrale
- interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten
- erläutern die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers über die Integralformel
Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (auch GTR-Einsatz)
- zu gegebenem Flächeninhalt eine Grenze berechnen bzw. Scharparameter berechnen
ENTWURF 11
Schulinternes Curriculum Mathematik Jahrgang 11 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC)
Semester 11.2: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Ausgehend von der zeichnerischen Darstellung von Körpern werden der Nutzen und die Bedeutung des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems für die Orientierung im Raum erkannt. Buch-Kapitel
Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch)
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Methodische Hinweise
4 Analytische Geometrie Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisierung
Schwerpunkt: Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4
Punkte und Vektoren im Raum Punkte im räumlichen Koordinatensystem Vektoren Addition und Subtraktion von Vektoren Vervielfachen von Vektoren
nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum Wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an Wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch Erkennen die Kollinearität zweier Vektoren.
MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen. SF: arbeiten mit Vektoren SF: arbeiten mit Vektoren Ko: erläutern mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten
4.2 4.2.1 4.2.2
Geraden im Raum Parameterdarstellung einer Geraden Lagebeziehungen zwischen Geraden
Beschreiben Geraden durch Gleichungen in Parameterform. Erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden und lösen Schnittprobleme Bestimmen des Winkels zwischen zwei Geraden.
MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen MM: beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch Koordinaten und Vektoren PL: wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an
Einsatz des GTR bei der Lösung der entsprechenden Gleichungssysteme
4.3 Winkel im Raum
4.3.1 4.3.2
Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren
Deuten das Skalarprodukt geometrisch. Berechnen Längen von Strecken und Größen von Winkeln zwischen Vektoren
SF: arbeiten mit Vektoren SF: verwenden mathematische Symbole zum Problemlösen
4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3
Ebenen im Raum Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene eN: Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
Beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform. erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme. eN: erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Ebenen und lösen Schnittprobleme.
MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen MM: beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch Koordinaten und Vektoren PL: wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an
Einsatz des GTR bei der Lösung der entsprechenden Gleichungssysteme
Analytische Geometrie II Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren
Schwerpunkte: MA: Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Kommunizieren
4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4
Normalenvektor einer Ebene Normalenvektor und Koordinatengleichung Abstandsberechnungen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen
Bestimmen den Normalenvektor. Beschreiben von Ebenen durch Gleichungen in Normalenform und in allgemeiner Koordinatenform. Nutzen den Zusammenhang zwischen Normalenform und allgemeiner Koordinatenform. Bestimmen Abstände zwischen Punkten, zwischen Punkte und Ebenen, zwischen Gerade und Ebenen sowie zwischen Ebenen. eA: Bestimmen Abstände zwischen Punkt und Gerade sowie zwischen Geraden. Bestimmen des Winkels zwischen Gerade und Ebene und zwischen zwei Ebenen.
MD: Verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen. MM: Nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum. MM: Beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle wie durch Koordinaten und Vektoren.
4.3.3. Vektorprodukt deuten das Vektorprodukt geometrisch und wenden es in Sachzusammenhängen an.
Gut geeignet als Referat
Rauminhalte von Pyramide, Spat, u.a. bestimmen Rauminhalte ausgewählter Körper. nutzen Abstandsbestimmungen zur Ermittlung von Flächen- und Rauminhalten
nutzen eine handelsübliche Formelsammlung.
1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme –
GAUSS-Algorithmus
– GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
MD: Arbeiten mit Gleichungen und Gleichungssystemen.
- Anwenden von Verfahrung zur Lösung einfacher linearer Gleichungssysteme
- Bestimmen der Lösungsmenge sowohl eindeutig als auch nicht eindeutig lösbarer LGS
3) Lineare Algebra - Matrizen Lernbereich: Mehrstufige Prozesse –
Matrizenrechnung Ausgehend von Problemstellungen aus dem Bereich der Materialverflechtung werden mehrstufige Prozesse durch Darstellung in Matrizenform strukturiert. In diesem Zusammenhang werden die Rechengesetze für Matrizen einschließlich inverser Matrizen behandelt. Die Behandlung von Problemen zum Käufer- und Wahlverhalten eröffnet eine weitere Sichtweise auf Matrizen, indem sich wiederholende Prozesse hinsichtlich einer Langzeitprognose analysiert werden. Leitidee: Algorithmus
Schwerpunkt: Mathematische Darstellungen verwenden Probleme mathematisch lösen Mathematisch argumentieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Mathematisch modellieren
5.1 Matrizen – Addieren und Vervielfachen Beschreiben einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen. Beherrschen die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Matrizen.
SF: Arbeiten mit Vektoren und Matrizen. kennen algorithmische Verfahren und können sie anhand von Beispielen erläutern.
5.2 Multiplikation von Matrizen nutzen die Matrizenmultiplikation
5.3 Materialverflechtung lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie.
finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. überprüfen die Plausibilität der Ergebnisse. wenden die eingeführten Technologien an. reflektieren und bewerten die benutzten Strategien. variieren vorgegebene mathematische Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung.
beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle durch Matrizen. interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. dasModell.
5.4 Chiffrieren und Dechiffrieren – Inverse Matrix
nutzen inverse Matrizen finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. überprüfen die Ergebnisse. Nutzung der eingeführten Technologie. reflektieren deren Verwendung und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache. kennen algorithmische Verfahren und können sie anhand von Beispielen erläutern.
5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3
Beschreiben von Zustandsänderungen durch Matrizen Übergangsmatrizen – Matrixpotenzen Fixvektor – Grenzmatrix (eN) Populationsentwicklungen – Zyklische Prozesse
wenden Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen an und interpretieren Grenzmatrizen sowie Fixvektoren. erkennen zyklisches Verhalten und interpretieren dies im Sachzusammenhang. (eN)
finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell. reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen. ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Realsituationen zu und reflektieren so die Universalität von Modellen.
Klasse 12 Kapitel 6: Häufigkeitsverteilungen – Beschreibende Statistik (ca. 3 Wochen)
BuchKap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise
6.1 Merkmale – Relative Häufigkeit Leitidee: Daten und Zufall:
Die SuS kennen und nutzen die Begriffe der
absoluten und der relativen Häufigkeit zur
analytischen und graphischen Darstellung von
Datenmaterial.
MD und SF: Analytische und graphische
Darstellungen der Daten ineinander
überführen und analysieren
Ko: Präsentation von Problembearbeitungen
unter Verwendung geeigneter Medien.
6.1.1 Arithmetisches Mittel einer
Häufigkeitsverteilung
Leitidee: Messen
Die SuS kennen und bestimmen das arithmetische
Mittel als Lagemaß einer Stichprobe.
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS charakterisieren und interpretieren
Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen
arithmetisches Mittel und Zentralwert.
SF: Die SuS verwenden mathematische
Symbole und Schreibweisen sachgerecht und
wählen geeignete Verfahren zur Lösung.
Ko: Präsentation von Problembearbeitungen
unter Verwendung geeigneter Medien.
MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen
kausale Zusammenhänge, geben
Begründungen
an, überprüfen und bewerten diese.
GTR-Einsatz zur Berechnung
des arithmetischen Mittels
über Listen mit absoluten
oder relativen Häufigkeiten
6.1.2 Klassieren von Daten – Histogramm Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS stellen Häufigkeitsverteilungen nach
sinnvoller Klassierung in Histogrammen dar,
interpretieren und nutzen diese Darstellungen.
Sie kennen und bestimmen das arithmetische Mittel
klassierter Daten.
Die SuS kennen das Simpsonsche Paradoxon und
können Daten gezielt daraufhin untersuchen.
PL: Die SuS wählen geeignete heuristische
Strategien wie Systematisieren und
Strukturieren zum Problemlösen aus und
wenden diese an.
MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen
kausale Zusammenhänge, geben
Begründungen
an, überprüfen und bewerten diese.
MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen
kausale Zusammenhänge, geben
Begründungen an, überprüfen und bewerten
diese.
MM: Die SuS analysieren und bewerten
verschiedene Modelle im Hinblick auf
Anwendungsbezüge.
GTR-Einsatz zur Darstellung
von Daten in Histogrammen
und Boxplot
Graphische Darstellung von
Daten in Excel
6.2 Streuung – Empirische
Standardabweichung
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS kennen und bestimmen das arithmetische
Mittel als Lagemaß und die empirische
Standardabweichung s als Streumaß einer
Stichprobe.
Die SuS charakterisieren und interpretieren
Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen
arithmetisches Mittel,
Standardabweichung s und Stichprobenumfang
SF: Die SuS verwenden mathematische
Symbole und Schreibweisen sachgerecht und
wählen geeignete Verfahren zur Lösung.
MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen
kausale Zusammenhänge, geben
Begründungen
an, überprüfen und bewerten diese.
und setzen die eingeführte Technologie sinnvoll
ein.
PL: Sie nutzen die eingeführte Technologie
beim Problemlösen zielgerichtet.
Ko: Die SuS präsentieren
Problembearbeitungen unter Verwendung
geeigneter Medien, gehen auf Überlegungen
anderer zu mathematischen Inhalten ein und
überprüfen diese auf Schlüssigkeit und
Vollständigkeit.
6.3 Zusatz: Regression und Korrelation
Regressionsgerade
Korrelationskoeffizient
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS kennen den Begriff der Regression und
interpretieren Daten mit Hilfe dieser.
Sie kennen und erstellen Regressionsgeraden.
Leitidee: Daten und Zufall:
Die SuS kennen und bestimmen den
Korrelationskoeffizienten.
Sie bewerten Daten durch die Betrachtung des
Korrelationskoeffizienten unter Berücksichtigung
der Kausalität.
MM: Die SuS wählen, variieren und
verknüpfen Modelle zur Beschreibung von
Anwendungsbezügen. Sie analysieren und
bewerten verschiedene Modelle im Hinblick
auf diese.
Ko: Die SuS präsentieren
Problembearbeitungen unter Verwendung
geeigneter Medien, gehen auf Überlegungen
anderer zu mathematischen Inhalten ein und
überprüfen diese auf Schlüssigkeit und
Vollständigkeit.
GTR-Einsatz zur Erstellung
von Regressionsgeraden und
Berechnung des
Korrelationskoeffizienten
Bleib fit im Umgang mit
Wahrscheinlichkeiten
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS verwenden die Grundbegriffe Ergebnis,
Ereignis, Ergebnismenge zur Beschreibung von
Zufallsexperimenten. Sie kennen das empirische
Gesetz der großen Zahlen.
Die SuS nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten
Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufalls-
experiments.
Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten in ein- und
mehrstufigen Zufallsexperimenten und nutzen dafür
die Laplace- und die Pfadregeln.
Ko: Die SuS teilen ihre Überlegungen unter
Verwendung der Fachsprache anderen
verständlich mit.
MA: Die SuS erläutern präzise mathematische
Zusammenhänge und Einsichten unter
Verwendung
der Fachsprache.
MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und
Terme zur Darstellung von Daten,
insbesondere unter Verwendung der
eingeführten Technologie.
SF: Die SuS verwenden mathematische
Symbole und Schreibweisen sachgerecht.
MA: Die SuS kombinieren mathematisches
Wissen für Begründungen und
Argumentationsketten und nutzen dabei auch
formale und symbolische Elemente und
Verfahren.
Wiederholung aus der
Sekundarstufe I
Kapitel 7: Wahrscheinlichkeitsverteilungen (ca. 5 Wochen)
BuchKap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise
7.1 Zufallsgröße – Erwartungswert einer
Zufallsgröße
Leitidee: Funktionaler Zusammenhang
Die SuS beschreiben Zufallsgrößen als Funktionen
und stellen diese tabellarisch und grafisch dar. (gN)
Die SuS grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen
ab. (eN)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten
Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufalls-
experiments.
MA: Die SuS erläutern präzise mathematische
Zusammenhänge und Einsichten unter
Verwendung
der Fachsprache.
MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und
Terme zur Darstellung von Daten,
insbesondere unter Verwendung der
eingeführten Technologie.
Vom Mittelwert zum
Erwartungswert
7.2 Binomialverteilung Leitidee: Funktionaler Zushg.
Die SuS stellen Binomialverteilungen auch unter
Verwendung der eingeführten Technologie grafisch
dar.
MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und
Terme zur Darstellung von Daten,
insbesondere unter Verwendung der
eingeführten Technologie.
„In jedem siebten Ei…“
7.2.1 BERNOULLI-Ketten Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS kennen das Modell der BERNOULLI-
Kette, können in diesem Modell rechnen und es zum
Modellieren sachgerecht anwenden.
Alle Facetten sind möglich:
MA: Mathematisch argumentieren
PL: Probleme mathematisch lösen
MM: Mathematisch modellieren
MD: Mathematisch Darstellungen verwenden
SF: Mit symbolischen, formalen und
technischen Elementen der Mathematik
umgehen
Ko:. Kommunizieren
Besonderheit der Bernoulii-
Experimente (in Abgrenzung
zu allgemeinen
Zufallsversuchen) ist deutlich
herauszustellen.
7.2.2 Binomialkoeffizienten – Bernoulli-
Formel Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS können Binomialkoeffizienten mithilfe von
Fakultäten berechnen und als Anzahl möglicher
Pfade am Baumdiagramm interpretieren.
Ko: Die SuS teilen ihre Überlegungen unter
Verwendung der Fachsprache anderen
verständlich mit.
SF: Die SuS verwenden mathematische
Symbole und Schreibweisen sachgerecht.
MA: Die SuS kombinieren mathematisches
Wissen für Begründungen und
Argumentationsketten und nutzen dabei auch
formale und symbolische Elemente und
Verfahren.
- Binomialkoeffizienten auch
als Anzahl der Pfade im
Baumdiagramm interpretieren,
die…
- Bernoulliformel für HMfT-
Abitur auswendig können.
7.2.3 Rekursive Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten bei BERNOULLI-
Ketten
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS kennen das Modell der BERNOULLI-Kette
und können in diesem Modell rechnen und es zum
Modellieren sachgerecht anwenden.
MA: Die SuS erläutern präzise mathematische
Zusammenhänge und Einsichten unter
Verwendung
der Fachsprache.
MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und
Terme zur Darstellung von Daten,
insbesondere unter Verwendung der
Thema ist im KC nicht
verankert, bietet aber
Möglichkeit der
Modellbildung. Kann also in
längeren Semestern erarbeitet
werden.
eingeführten Technologie.
7.3 Erwartungswert einer
Binomialverteilung Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS charakterisieren Wahrschein-
lichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen
Erwartungswert , n und p und nutzen sie für
Interpretationen.
MD: Besonders bei der Herleitung nutzen die
SuS Tabellen, Graphen und Terme zur
Darstellung und Berechnung von Daten am
GTR.
Herleitung der Formel
E(X)=np gelingt exemplarisch
über Analogieschlüsse
N=1,2,3,… aus der bereits
bekannten Formel von E(X).
7.4 Anwendungen der Binomialverteilung
7.4.1
7.4.2
Kumulierte Binomialverteilung -
Auslastungsmodell
Das Kugel-Fächer-Modell
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS charakterisieren Wahrschein-
lichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen
Erwartungswert , n und p und nutzen sie für
Interpretationen. Weiterhin erkennen Sie den
Zusammenhang on berechnen Sie
MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und
Terme zur Darstellung von Daten,
insbesondere unter Verwendung der
eingeführten Technologie.
SF: Die SuS verwenden mathematische
Symbole und Schreibweisen sachgerecht.
Summe von
Einzelwahrscheinlichkeiten,
Wahrscheinlichkeiten von
Bereichen
Kapitel 8: Beurteilende Statistik (ca. 8 Wochen) Kapitel 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
ist Voraussetzung für Kapitel 8
Buch-Kap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen (Methodische) Hinweise
8.1 Binomialverteilung für große
Stufenzahlen (EdM S.428f)
Leitidee: Daten und Zufall
SuS nutzen den Erwartungswert und die Standardabweichung
einer binomialverteilten Zufallsgröße für Interpretationen.
Die SuS können diese im GTR bestimmen und interpretieren.
SF: setzen die eingeführte Technologie
(GTR) in allen Themenfeldern als
sinnvolles Werkzeug zum Lösen
mathematischer Probleme ein.
Hier wird 6.2 Streuung - Empirische
Standardabweichung benötigt;
Kapitel 7 (Wahrscheinlichkeitsvert.)
ist Voraussetzung für Kapitel 8;
GTR ermöglicht alle auftretenden
Berechnungen (auch die
Umkehraufgaben bei der
Normalverteilung). Deshalb sind
auch keine Tabellen zur Stochastik
im Buch enthalten.
8.1.1 Standardabweichung bei
Wahrscheinlichkeitsverteilunge
n (EdM S.428f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS nutzen den Erwartungswert und die
Standardabweichung von W.-Verteilungen und übertragen
diese auf binomialverteilte Zufallsgrößen. Sie nutzen Histo-
gramme, um Aussagen über die zugehörigen Verteilungen zu
treffen.
MD und SF: Analytische und graphische
Darstellungen der Daten ineinander
überführen und analysieren
Ko: Präsentation von
Problembearbeitungen unter Verwendung
geeigneter Medien.
8.1.2 Die Sigma-Regeln (EdM
S.432f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS können für große n auf der Grundlage der Sigma-
Umgebungen um den Erwartungswert für binomialverteilte
Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
SuS reflektieren und bewerten
Argumentationen und Begründungen auf
Schlüssigkeit und Angemessenheit.
SuS vertreten eigene Problemlösungen
und Modellierungen.
Für eN auch:
- für binomialverteilte
Zufallsgrößen, ausgehend von einer
Stichprobe, Schätzwerte für den
unbekannten Parameter p der
zugrunde liegenden Gesamtheit
bestimmen
- Vertrauensintervalle um diese
Schätzwerte zu beliebig vorge-
gebener Vertrauenswahrschein-
lichkeit unter Nutzung der
Normalverteilung (Kap.8)
bestimmen.
8.2 Schluss von der Gesamtheit auf
die Stichprobe (EdM S.436f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS unterscheiden zwischen Grundgesamtheit und
repräsentativer Stichprobe.
Sie treffen Aussagen über voraussichtliche Ergebnisse von
Bernoulli-Ketten anhand von Punkt- und
Intervallschätzungen für zugehörige
Sicherheitswahrscheinlichkeiten.
Ko: SuS erläutern eigene
Problembearbeitungen und Einsichten
sowie mathematische Zusammenhänge
mit eigenen Worten und unter
Verwendung geeigneter Fachsprache.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
Selbst wenn der Schluss von der
Gesamtheit auf die Stichprobe im
KC nur als Ergänzung genannt wird,
ist er aus didaktischen Gründen
unverzichtbar, um bei den
Lernenden ein Verständnis des
verbindlich geforderten,
schwierigeren Schlusses von der
Stichprobe auf die Gesamtheit zu
erzeugen.
8.3 Schluss von der Stichprobe auf
die Gesamtheit–
Konfidenzintervalle (EdM
S.442f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS schätzen anhand einer Stichprobe die
Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Benoulli-Zufallsversuchen
zugrunde liegt.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
8.3.1 Schätzung der zugrunde
liegenden
Erfolgswahrscheinlichkeit
(EdM S.442f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS führen Parametervariationen zur Anpassung von
Funktionen an Daten durch. Sie können Schätzwerte für eine
unbekannte Wahrscheinlichkeit bestimmen.
MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen
und Terme zur Darstellung von Daten,
insbesondere unter Verwendung der
eingeführten Technologie.
8.3.2 Wahl eines genügend großen
Stichprobenumfangs (EdM
S.447f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS bestimmen den Anteil p an einer Gesamtheit anhand
der Daten einer Stichprobe.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
8.4 e.N. Normalverteilung (EdM
S.454f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen ab und
verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
8.4.1 e.N. Annäherung der
Binomialverteilung durch eine
Normalverteilung (EdM S.454f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS berechnen unbestimmte Integrale mithilfe des GTR
und kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren und
Integrieren.
Sie verstehen den Sinn der Stetigkeitskorrektur.
Ko: SuS dokumentieren Überlegungen,
Lösungswege und Ergebnisse auch im
Hinblick auf die verwendete Technologie
und stellen jene verständlich dar.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
8.4.2 e.N. Wahrscheinlichkeiten bei
normalverteilten Zufallsgrößen
(EdM S.460f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
8.4.3 e.N. Bestimmen der Kenngrößen von
normalverteilten Zufallsgrößen
(EdM S.464f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS können Kenngrößen der Normalverteilung
(Erwartungswert, Standardabweichung) bestimmen und
interpretieren.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
8.5 e.N. Stetige Zufallsgrößen (EdM
S.468f)
Leitidee: Daten und Zufall
Die SuS kennen weitere Dichtefunktionen stetiger
Zufallsgrößen und deren Kenngrößen.
MA: SuS begründen oder widerlegen
Aussagen in angemessener Fachsprache
mit mathematischen Mitteln und
reflektieren die Vorgehensweise.
Hinweise zum Technologieeinsatz:
– Berechnen von Fakultäten und Binomialkoeffizienten [!; nCr]
– Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung und der Normalverteilung (eA) [binompdf; normalpdf]
– Bestimmen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen und Normalverteilungen (eA) [binomcdf; normalcdf]
– Grafische Darstellungen von Verteilungen [Graph; StatPlot]
Vorgehensweise in Klasse 12/2 In der folgenden Tabelle ist zusammengestellt, welche Inhalte in welcher zeitlichen Reihenfolge behandelt werden können. Zu jeder Inhaltszeile der Tabelle kann man eine Arbeit schreiben
lassen, beim letzten Thema bietet sich ein Projekt in Kleingruppen an. Jede Themeneinheit sollte in ca. 3 Wochen, also 12 Unterrichtsstunden behandelt werden.
Buch-
Kapitel
Themen (mit
Kapitelbezeichnungen aus dem
Buch, kursiv Zusatzthemen)
Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Fächerübergreifendes, Medien,
Ideen, Methoden
2.5.3 Fortführung der
und 2.6 Integralrechnung (eA):
Uneigentliche Integrale
(2.5.3)
Volumina von
Rotationskörpern (2.6)
Funktionaler Zusammenhang:
Die SuS interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte
sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten.
Messen:
Die SuS bestimmen Flächeninhalte unbegrenzter Flächen,
erläutern die Berechnung uneigentlicher Integrale.
Funktionaler Zusammenhang:
Die SuS begründen die Volumenformel für Körper, die durch
Rotation um die x-Achse entstehen.
Messen:
Die SuS bestimmen Volumen von Körpern, die durch die
Rotation um die X-Achse entstehen.
SF: Die SuS verwenden mathematische
Symbole zum Strukturieren von
Informationen, zum Modellieren und
Problemlösen.
Sie reflektieren deren Verwendung und
übersetzen zwischen symbolischer und
natürlicher Sprache.
PL: Die SuS variieren vorgegebene
mathematische Probleme und untersuchen die
Auswirkungen auf die Problemlösung
MM: Di SuS beschreiben Realsituationen und
Probleme durch das mathematische Modell
der Funktion.
Ko: Die SuS erläutern eigene
Problembearbeitungen mit eigenen Worten
und unter Verwendung geeigneter
Fachsprache.
1.5 Stetigkeit und
Differenzierbarkeit:
Stetigkeit (1.5.1)
Differenzierbarkeit (1.5.2)
Zusammenhang zwischen
Stetigkeit und
Differenzierbarkeit (1.5.3)
Funktionaler Zusammenhang:
Die SuS kennen abschnittsweise definierte Funktionen.
Die SuS nutzen die Stetigkeit und Differenzierbarkeit zur
Analyse und Synthese von abschnittsweise definierten
Funktionen.
MD: Die SuS verwenden verschiedene
Darstellungsformen von Funktionen und
wechseln zwischen diesen.
Ko: Die SuS präsentieren Überlegungen,
Lösungswege und Ergebnisse und verstehen
die Überlegungen von anderen zu
mathematischen Inhalten, überprüfen diese
auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und
gehen darauf ein.
1.7 Krümmung von
Funktionsgraphen
Funktionaler Zusammenhang:
Die SuS nutzen (neben Stetigkeit und Differenzierbarkeit) das
Krümmungsverhalten zur Analyse und Synthese
abschnittsweise definierter Funktionen.
Ko: Die SuS präsentieren Überlegungen,
Lösungswege und Ergebnisse und verstehen
die Überlegungen von anderen zu
mathematischen Inhalten, überprüfen diese
auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und
gehen darauf ein.
Modellierungen Anwendungsaufgaben