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Satz von Fubini
Ein Integral einer stetigen Funktion uber einem Elementarbereich
V : aj(x1, . . . , xj−1) ≤ xj ≤ bj(x1, . . . , xj−1)
lasst sich durch Hintereinanderausfuhrung eindimensionaler Integrationenberechnen:
∫V
f dV =
b1∫a1
b2(x1)∫a2(x1)
· · ·bn(x1,...,xn−1)∫
an(x1,...,xn−1)
f (x1, . . . , xn) dxn · · · dx2dx1 .
Satz von Fubini 1-1
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Dabei spielt die Reihenfolge der Variablen bei der Beschreibung desElementarbereichs keine Rolle. Insbesondere gilt fur Doppelintegrale mitkonstanten Integrationsgrenzen
b∫a
d∫c
f (x , y) dydx =
d∫c
b∫a
f (x , y) dxdy .
Satz von Fubini 1-2
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Beispiel:
Integration vonf (x , y) = y cos
(x2)
uber dem Bereich
V : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤√x
x
y
1
1
0
y =√x
Satz von Fubini 2-1
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Beispiel:
Integration vonf (x , y) = y cos
(x2)
uber dem Bereich
V : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤√x
x
y
1
1
0
y =√x
Satz von Fubini 2-2
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Satz von Fubini Berechnung mit zwei eindimensionaleIntegrationen:
∫V
f =
1∫0
√x∫
0
y cos(x2)dy
dx =
1∫0
[y2
2cos(x2)]y=√x
y=0
dx
=
1∫0
x
2cos(x2)dx =
[1
4sin(x2)]1
0
=1
4sin(1)
Vertauschung der Integrationsreihenfolge nicht (explizit) berechenbares inneres Integral
∫V
f =
1∫0
1∫y2
y cos(x2)dx
dy
Satz von Fubini 2-3
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Satz von Fubini Berechnung mit zwei eindimensionaleIntegrationen:
∫V
f =
1∫0
√x∫
0
y cos(x2)dy
dx =
1∫0
[y2
2cos(x2)]y=√x
y=0
dx
=
1∫0
x
2cos(x2)dx =
[1
4sin(x2)]1
0
=1
4sin(1)
Vertauschung der Integrationsreihenfolge nicht (explizit) berechenbares inneres Integral
∫V
f =
1∫0
1∫y2
y cos(x2)dx
dy
Satz von Fubini 2-4
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Beispiel:
Integration der Funktion f (x , y , z) = x uber den Tetraeder
T : x , y , z ≥ 0, x + y +z
2≤ 1
Darstellung von T als Elementarbereich
T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x , 0 ≤ z ≤ 2 (1− x − y)
x
y
z
1
1
2
Satz von Fubini 3-1
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Beispiel:
Integration der Funktion f (x , y , z) = x uber den Tetraeder
T : x , y , z ≥ 0, x + y +z
2≤ 1
Darstellung von T als Elementarbereich
T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x , 0 ≤ z ≤ 2 (1− x − y)
x
y
z
1
1
2
Satz von Fubini 3-2
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Beispiel:
Integration der Funktion f (x , y , z) = x uber den Tetraeder
T : x , y , z ≥ 0, x + y +z
2≤ 1
Darstellung von T als Elementarbereich
T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x , 0 ≤ z ≤ 2 (1− x − y)
x
y
z
1
1
2
Satz von Fubini 3-3
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Satz von Fubini
∫T
f =
1∫0
1−x∫0
2(1−x−y)∫0
x dz
dy
dx
=
1∫0
1−x∫0
2x (1− x − y) dy
dx =
1∫0
[2x(1− x)y − xy2
]1−x0
dx
=
1∫0
2x(1− x)2 − 2x(1− x)2/2︸ ︷︷ ︸x−2x2+x3
dx =1
12
(∫ 10 xn dx = 1/(n + 1))
Satz von Fubini 3-4
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Satz von Fubini
∫T
f =
1∫0
1−x∫0
2(1−x−y)∫0
x dz
dy
dx
=
1∫0
1−x∫0
2x (1− x − y) dy
dx =
1∫0
[2x(1− x)y − xy2
]1−x0
dx
=
1∫0
2x(1− x)2 − 2x(1− x)2/2︸ ︷︷ ︸x−2x2+x3
dx =1
12
(∫ 10 xn dx = 1/(n + 1))
Satz von Fubini 3-5
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Beispiel:
Volumen des Durchschnitts der beiden Zylinder
Z1 : x2 + y2 ≤ r2, Z2 : x2 + z2 ≤ r2
(z- und x- Achsen als Symmetrieachsen)
Satz von Fubini 4-1
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Beispiel:
Volumen des Durchschnitts der beiden Zylinder
Z1 : x2 + y2 ≤ r2, Z2 : x2 + z2 ≤ r2
(z- und x- Achsen als Symmetrieachsen)
Satz von Fubini 4-2
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Beispiel:
Volumen des Durchschnitts der beiden Zylinder
Z1 : x2 + y2 ≤ r2, Z2 : x2 + z2 ≤ r2
(z- und x- Achsen als Symmetrieachsen)
Satz von Fubini 4-3
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Symmetrie betrachte den Teilkorper im ersten Oktant
Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z1
K : 0 ≤ x ≤ r , 0 ≤ y ≤√r2 − x2
Z2 Hohe h(x , y) =√r2 − x2 des Schnittkorpers uber K
Teilvolumen
∫K
h =
r∫0
√r2−x2∫0
√r2 − x2 dy
dx =
r∫0
(r2 − x2) dx
=[r2x − x3/3
]r0dx = r3 − r3/3 = 2r3/3
Vereinigung der Teilkorper in den 8 Oktanten 16r3/3 als Volumenfur den gesamten Korper
Satz von Fubini 4-4
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Symmetrie betrachte den Teilkorper im ersten Oktant
Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z1
K : 0 ≤ x ≤ r , 0 ≤ y ≤√r2 − x2
Z2 Hohe h(x , y) =√r2 − x2 des Schnittkorpers uber K
Teilvolumen
∫K
h =
r∫0
√r2−x2∫0
√r2 − x2 dy
dx =
r∫0
(r2 − x2) dx
=[r2x − x3/3
]r0dx = r3 − r3/3 = 2r3/3
Vereinigung der Teilkorper in den 8 Oktanten 16r3/3 als Volumenfur den gesamten Korper
Satz von Fubini 4-5
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Symmetrie betrachte den Teilkorper im ersten Oktant
Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z1
K : 0 ≤ x ≤ r , 0 ≤ y ≤√r2 − x2
Z2 Hohe h(x , y) =√r2 − x2 des Schnittkorpers uber K
Teilvolumen
∫K
h =
r∫0
√r2−x2∫0
√r2 − x2 dy
dx =
r∫0
(r2 − x2) dx
=[r2x − x3/3
]r0dx = r3 − r3/3 = 2r3/3
Vereinigung der Teilkorper in den 8 Oktanten 16r3/3 als Volumenfur den gesamten Korper
Satz von Fubini 4-6
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Symmetrie betrachte den Teilkorper im ersten Oktant
Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z1
K : 0 ≤ x ≤ r , 0 ≤ y ≤√r2 − x2
Z2 Hohe h(x , y) =√r2 − x2 des Schnittkorpers uber K
Teilvolumen
∫K
h =
r∫0
√r2−x2∫0
√r2 − x2 dy
dx =
r∫0
(r2 − x2) dx
=[r2x − x3/3
]r0dx = r3 − r3/3 = 2r3/3
Vereinigung der Teilkorper in den 8 Oktanten 16r3/3 als Volumenfur den gesamten Korper
Satz von Fubini 4-7
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Symmetrie betrachte den Teilkorper im ersten Oktant
Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z1
K : 0 ≤ x ≤ r , 0 ≤ y ≤√r2 − x2
Z2 Hohe h(x , y) =√r2 − x2 des Schnittkorpers uber K
Teilvolumen
∫K
h =
r∫0
√r2−x2∫0
√r2 − x2 dy
dx =
r∫0
(r2 − x2) dx
=[r2x − x3/3
]r0dx = r3 − r3/3 = 2r3/3
Vereinigung der Teilkorper in den 8 Oktanten 16r3/3 als Volumenfur den gesamten Korper
Satz von Fubini 4-8
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Beispiel:
Das Volumen Vn der n-dimensionalen Einheitskugel
Bn = {x ∈ Rn : |x | ≤ 1}
ist
Vn =2√πn
n Γ(n2 )
mit der Gamma-Funktion Γ.
Fur n ≤ 6 sind die Werte in der folgenden Tabelle angegeben:
n 1 2 3 4 5 6
Vn 2 π 4π/3 π2/2 8π2/15 π3/6
Satz von Fubini 5-1
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Beispiel:
Das Volumen Vn der n-dimensionalen Einheitskugel
Bn = {x ∈ Rn : |x | ≤ 1}
ist
Vn =2√πn
n Γ(n2 )
mit der Gamma-Funktion Γ.
Fur n ≤ 6 sind die Werte in der folgenden Tabelle angegeben:
n 1 2 3 4 5 6
Vn 2 π 4π/3 π2/2 8π2/15 π3/6
Satz von Fubini 5-2
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Definition der Gamma-Funktion
volB1 = 2 =2√π
Γ(12)
(B1 = [−1, 1])
Induktionsschritt (n − 1)→ n:
Schnitt von Bn mit der Hyperebene xn = ξ, (−1 ≤ ξ ≤ 1) (n − 1)-dimensionale Kugel mit Radius
√1− ξ2
Satz von Fubini =⇒
volBn =
1∫−1
(1− ξ2)n−12 volBn−1 dξ
(Skalierung des Volumes von Bn−1 mit der (n− 1)-ten Potenz des Radius’)
Satz von Fubini 5-3
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Definition der Gamma-Funktion
volB1 = 2 =2√π
Γ(12)
(B1 = [−1, 1])
Induktionsschritt (n − 1)→ n:
Schnitt von Bn mit der Hyperebene xn = ξ, (−1 ≤ ξ ≤ 1) (n − 1)-dimensionale Kugel mit Radius
√1− ξ2
Satz von Fubini =⇒
volBn =
1∫−1
(1− ξ2)n−12 volBn−1 dξ
(Skalierung des Volumes von Bn−1 mit der (n− 1)-ten Potenz des Radius’)
Satz von Fubini 5-4
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Definition der Gamma-Funktion
volB1 = 2 =2√π
Γ(12)
(B1 = [−1, 1])
Induktionsschritt (n − 1)→ n:
Schnitt von Bn mit der Hyperebene xn = ξ, (−1 ≤ ξ ≤ 1) (n − 1)-dimensionale Kugel mit Radius
√1− ξ2
Satz von Fubini =⇒
volBn =
1∫−1
(1− ξ2)n−12 volBn−1 dξ
(Skalierung des Volumes von Bn−1 mit der (n− 1)-ten Potenz des Radius’)
Satz von Fubini 5-5
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Definition der Gamma-Funktion
volB1 = 2 =2√π
Γ(12)
(B1 = [−1, 1])
Induktionsschritt (n − 1)→ n:
Schnitt von Bn mit der Hyperebene xn = ξ, (−1 ≤ ξ ≤ 1) (n − 1)-dimensionale Kugel mit Radius
√1− ξ2
Satz von Fubini =⇒
volBn =
1∫−1
(1− ξ2)n−12 volBn−1 dξ
(Skalierung des Volumes von Bn−1 mit der (n− 1)-ten Potenz des Radius’)
Satz von Fubini 5-6
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Substitution ξ = sin t, dξ = cos t dt ∫ 1
−1
(1− ξ2
) n−12 dξ =
∫ π/2
−π/2
(1− sin2 t
) n−12 cos t dt
= 2
∫ π/2
0(cos t)n−1 cos t dt
=√π
Γ(n+12
)Γ(n2 + 1
)
Induktionsannahme
volBn−1 =2√πn−1
(n − 1)Γ(n−12 )
Ausdruck fur volBn
Satz von Fubini 5-7
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Substitution ξ = sin t, dξ = cos t dt ∫ 1
−1
(1− ξ2
) n−12 dξ =
∫ π/2
−π/2
(1− sin2 t
) n−12 cos t dt
= 2
∫ π/2
0(cos t)n−1 cos t dt
=√π
Γ(n+12
)Γ(n2 + 1
)Induktionsannahme
volBn−1 =2√πn−1
(n − 1)Γ(n−12 )
Ausdruck fur volBn
Satz von Fubini 5-8
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Substitution ξ = sin t, dξ = cos t dt ∫ 1
−1
(1− ξ2
) n−12 dξ =
∫ π/2
−π/2
(1− sin2 t
) n−12 cos t dt
= 2
∫ π/2
0(cos t)n−1 cos t dt
=√π
Γ(n+12
)Γ(n2 + 1
)Induktionsannahme
volBn−1 =2√πn−1
(n − 1)Γ(n−12 )
Ausdruck fur volBn
Satz von Fubini 5-9
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volBn =√π
Γ(n+12 )
Γ(n2 + 1)
2√πn−1
(n − 1)Γ(n−12 )
Funktionalgleichung der Gamma-Funktion,
Γ(x + 1) = x Γ(x)
=⇒volBn =
2√πn n−1
2 Γ(n−12 )n2 Γ(n2 ) (n − 1) Γ(n−12 )
=2√πn
n Γ(n2 )
Satz von Fubini 5-10
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volBn =√π
Γ(n+12 )
Γ(n2 + 1)
2√πn−1
(n − 1)Γ(n−12 )
Funktionalgleichung der Gamma-Funktion,
Γ(x + 1) = x Γ(x)
=⇒volBn =
2√πn n−1
2 Γ(n−12 )n2 Γ(n2 ) (n − 1) Γ(n−12 )
=2√πn
n Γ(n2 )
Satz von Fubini 5-11