1 Favordecitarcomo:Rodrguez,V.ElementosmatemticosparaleerelModelo Clsico de Economa Cerrada de Thomas Sargent, Material Didctico,Posgrado en Economa, UNAM, Mxico, 2009. POSGRADO EN ECONOMADE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO PERODO 2009/I LABORATORIO DE MACROECONOMA Material Didctico ELEMENTOS MATEMTICOS PARA LEEREL MODELO CLSICO DE ECONOMA CERRADADE THOMAS SARGENT1 Prof: Violeta Rodrguez del Villar2 Estedocumentodesarrollaeldetalledelosprocedimientosmatemticosqueresuelvenel modelo clsico de Thomas Sargent para la economa cerrada, con el propsito de facilitar la comprensin del planteamiento y esttica comparativa del mismo. A. EL PLANTEAMIENTO DEL MODELO 1. Las funciones de produccin ydemanda de empleo Elmodeloiniciaconelmicrofundamentoquepermiteformalizarlatransformacindelas funciones de produccin y demanda de empleo individuales, en funciones de produccin y demandadeempleoagregadas.Alaadiradichasfuncioneslaecuacindeofertade empleo,seobtienelacondicindeequilibriodelmercadodetrabajoylareglade acumulacindelaeconoma.Conesafinalidad,seespecificanlascaractersticas matemticasquedebecumplirlafuncindeproduccinindividualparaserfactiblede agregarse y obtener el nivel de produccin de la economa en su conjunto. I.1 Las propiedades de la funcin de produccin individual La funcin de produccin de la firma individual se define con la ecuacin: Yi = F(Ki, Ni), i = 1,..., n firmas3 Esa funcin de produccin cumple con las siguientes propiedades4: 1 Sargent, T. Teora Macroeconmica. Antoni Bosch editor, Barcelona 1982,Vol. I, Cap. 1. 2LaautoraesProfesoradelPosgradoenEconomaeInvestigadoradelInstitutodeInvestigacionesEconmicasdelaUniversidad Nacional Autnoma de Mxico. 3 Ecuacin (2) en el texto. 4 Caractersticas de la funcin de produccin sealadas en el primer prrafo de la pgina 8 del texto en ingls y en espaol. 2 a)Losproductosmarginalesdelcapitalydeltrabajoquederivandelafuncinde produccin de la firma son positivos. -Matemticamente ello significa que sus derivadas parciales con respecto al capital y al trabajo son positivas: Yi Yi ------ = FK > 0, ----- = FN > 0 Ki Ni -Econmicamenteesesupuestoimplicaqueelproductoaumentar,siempre,a mayores cantidades de capital y del trabajo. b)Losproductosmarginalesdelcapitalydeltrabajoquederivandelafuncinde produccin de la firma son decrecientes. -Matemticamenteellosignificaquelassegundasderivadasparcialesdedicha funcin de produccin, con respecto al capital y al trabajo son menores que cero: 2YiFK 2YiFN ------ = ------= FKK < 0, ----- = ------ = FNN < 0 K2iKiN2iNi -Econmicamente,esesupuestoimplicaqueelaumentodelproducto,conformese incrementa el capital o el trabajo, es consecutivamente menor. c) El producto marginal del capital y del trabajo tienen una relacin positiva. -Matemticamenteestesupuestoimplicaqueladerivadadelproductomarginaldel trabajo con respecto al capital y la derivada del producto marginal del capital con respecto altrabajoosegundasderivadasparcialescruzadasdelafuncindeproduccin,son positivas: FK FN ------ = FNK > 0, ----- =FKN > 0 Ni Ki -Econmicamente, ese supuesto implica que los aumentos de capital incrementan la necesidaddemanodeobrayviceversa;enotraspalabras,queelcapitalnosustituyeal trabajo o al contrario. d) La funcin de produccin es linealmente homognea. -Matemticamente,estesupuestosignificaquealmultiplicarlasvariables explicativas de la funcin de produccin; es decir, el empleo y el trabajo, por una constante 3 cualquiera, el nivel de produccin, que es el resultado de la funcin de produccin, se habr multiplicado por la misma constante. En general, se dice que una funcin es homognea de grado r, si al multiplicar cada una de sus variables independientes,por una constante , el valor de la funcin se altera en una proporcin r; es decir si: rF(Ki, Ni) = F(rKi, rNi) 5 Haciendor=1,seobtienelafuncindeproduccinlinealmentehomognea,tambin llamada, homognea de grado uno, dada por: F(Ki, Ni) = F(Ki, Ni)6 Enesaecuacinquedaclaroquelahomogeneidadlinealdelafuncindeproduccinno significaquelaproduccintengaunarelacinlinealconsusvariablesindependientes, capitalytrabajo,sinoqueimplicaquealincrementarcadaunadeesasvariablesenuna proporcin constante, la produccin se incrementar en esa misma proporcin y no en una potencia de esa proporcin. Si se define =Ki/Ni, la homogeneidad lineal de la funcin de produccin implica que dicha funcin puede expresarse con la siguiente ecuacin: Yi = F(Ki, Ni) = Ni F(Ki/Ni, 1) En el procedimiento 1, se comprueba que esa expresin es correcta. 5Enestanotasepresentanalgunosejemplosquepuedenservirparacomprendermejorelconceptodehomogeneidad.Losejemplos fueron tomados de Alpha C. C. Chiang. Mtodos Fundamentales de Economa Matemtica, p.418. Ejemplos: Demostrar que la funcin: a) f(x,y,z) = x/y + 2y/3x eshomogneadegradocero.Parademostraresaafirmacin,semultiplicanlafuncinytodaslasvariablesqueestnaladerechadel igual por y se resuelven las operaciones aritmticas: f(x,y,z) = x/y + 2y/3x = 0(x/y + 2y/3x) = x/y + 2y/3x b) f(x,y,z) = x2/y + 2y2/3z es homognea de grado uno. Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior, se obtiene: f(x,y,z) = (x)2/y + 2(y)2/3z = = 2x2/y + 22y2/3z = x2/y + 2y2/3z = 1(x2/y + 2y2/3z) c) f(x,y,z) = 2x2 + 3yz + z2 es homognea de grado dos. Multiplicandoporlafuncinylasvariablesqueestnaladerechadelaigualdadyresolviendolasoperacionesaritmticasse demuestra la afirmacin: f(x,y,z) = 2(x)2 + 3yz + (z)2= 22x2 + 32yz + 2z2 = 2(2x2 + 3yz + z2) 6 Ecuacin que sigue al segundo prrafo de la pgina 8 del texto en ingls y en espaol. 4 ==============================================(Inicia Procedimiento 1) PROCEDIMIENTO1.Derivamatemticamentelaexpresindelafuncinde produccinentrminosdelarelacincapital-trabajo,necesariaparademostrarque losproductosmarginalesdelcapitalydeltrabajodependendeesarelacincapital-trabajo exclusivamente. Definaselaconstante=1/Ni,entonces,sisemultiplicaYiporNi=Ni(1/Ni)=1,la funcin de produccin puede expresarse como: Yi = Ni Yi Sustituyendo Yi que est a la derecha del igual por la funcin de produccin: Yi = Ni F(Ki,Ni) Multiplicando cada una de las variables explicativas7 por la constante : Yi = Ni F(Ki, Ni) Sustituyendo = 1/Ni Yi = Ni F(Ki/Ni, Ni/Ni) = Ni F(Ki/Ni, 1) con lo cual queda demostrada la afirmacin. ============================================(Termina Procedimiento 1) -Econmicamente,lahomogeneidadlinealdelafuncindeproduccintienelas siguientes consecuencias: i)AunqueelmodelodeSargentnolohaceexplcito,lahomogeneidadlineal implica que los productos fsicos medios del trabajo y del capital pueden expresarse como funcionesdelarelacincapital-trabajoexclusivamente,comosecompruebaenel Procedimiento 2. ==============================================(Inicia Procedimiento 2) PROCEDIMIENTO2.Derivamatemticamentelosproductosfsicosmediosdel trabajo y del capital de la funcin de produccin linealmente homognea Defnasealproductofsicomediodeltrabajocomolarelacinentrelaproduccinyel trabajo: PMeN = Yi/Ni 7 Ntese que esa operacin es vlida porque se ha supuesto que la funcin de produccin es linealmente homognea. 5 Si se sustituye en la ecuacin anterior la funcin de produccin expresada como: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) Se obtiene: PMeN = Ni F(Ki/Ni, 1)/Ni Multiplicando Ni(1/Ni) se demuestra que el producto medio del trabajo es una funcin de la relacin capital trabajo exclusivamente: PMeN = F(Ki/Ni, 1) Con relacin al producto medio del capital, por definicin ste es igual a la relacin entre el producto y el capital: PMeK = Yi/Ki Nuevamente,sisesustituyeenlaecuacinanteriorlafuncindeproduccinexpresada como: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) Se obtiene: PMeK = Ni F(Ki/Ni, 1)/Ki Multiplicando Ki(1/Ni): PMeK = (Ni/Ki) F(Ki/Ni, 1) Con lo cual, queda demostrado que el producto medio del capital solamente depende de la relacin capital-trabajo. ============================================(Termina Procedimiento 2) Lasexpresionesanterioresparalosproductosfsicosmediosdelcapitalydeltrabajo implican que si la funcin de produccin linealmente homognea ha de generalizarse, no es necesariosuponerquetodaslasfirmastienenlamismacantidaddecapitalydetrabajo, basta con suponer que, independientemente de los montos absolutos de capital y de trabajo que cada una emplee, dichos valores generan una relacin capital-trabajo que es igual para todaslasfirmas,locualsignificaquealsergeneralizadalafuncindeproduccin linealmentehomognea,admitedistintasescalasdeproduccinytamaosdefirma, siempre que todas ellas tengan la misma relacin capital-trabajo. ii) Otra de las consecuencias de la homogeneidad lineal de la funcin de produccin, la cual si es sealada por Sargent, es que los productos fsicos marginales del capital y del trabajo 6 puedenexpresarsecomofuncionesdelarelacincapital-trabajoexclusivamente.Esta propiedad se corrobora en el Procedimiento 3. ==============================================(Inicia Procedimiento 3) PROCEDIMIENTO 3. Deriva matemticamente los productos marginales del trabajo ydelcapitalparalafuncindeproduccinlinealmentehomognea,deloscuales Sargent haceexplcito el productomarginal del trabajo,con la ltima ecuacin de la pgina 8. Defnasealproductomarginaldeltrabajo,comoladerivadaparcialdelafuncinde produccin con respecto al trabajo: Yi FN = ------ Ni SustituyendoYiporlafuncindeproduccinqueseobtuvodeelProcedimiento2,dada por: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) Se obtiene: Yi [Ni F(Ki/Ni, 1)] FN = ------ = ----------------------- Ni Ni Porlaregladeladerivadadelamultiplicacindedosfunciones8laderivadaquese encuentra despus del segundo igual es: F(Ki/Ni, 1) Ni FN = Ni ------------------ + F(Ki/Ni, 1) ------ Ni Ni Pararesolverelprimersumando,secalculaladerivadadelafuncindeproduccincon respectoaltrabajo,utilizandolaregladelafuncinimplcita9;conrelacinalsegundo sumando, la ltima derivada es igual a uno10: 8Deacuerdoconesaregla,dadasdosfuncionesdexcualesquiera,g(x)yf(x),laderivadadesuproductoconrespectoaxsedefine como: (gf)g f ------ = f ----- + g ---- xx x 9 De acuerdo con esa regla, dada una funcin implcita de x, z = f(y) donde y = g(x), su derivada con respecto a x est dada por el producto: zzyfg 7 F(Ki/Ni, 1)(Ki/Ni) FN = Ni ------------------ ----------+ F(Ki/Ni, 1)(1) (Ki/Ni)Ni Nuevamente, para resolver el primer sumando, se calcula la derivada de la relacin capital-trabajoconrespectoaltrabajoutilizandolaregladeladerivadadeladivisindedos variables11.Elsegundosumando,porsuparte,seresuelveobteniendoelproductodela funcin de produccin por uno: F(Ki/Ni, 1)Ni (Ki/Ni) - Ki(Ni/Ni) FN = Ni ------------------ ---------------------------------- + F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni)Ni2 Paraterminarderesolverelprimersumando,seasumequeladerivadadelcapitalcon respecto al trabajo es cero y se obtienela derivada del trabajo con respecto al trabajo, que es uno, lo que resulta en: F(Ki/Ni, 1)Ni (0) - Ki(1) FN = Ni ------------------ ----------------- + F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni)Ni2 Calculando las multiplicaciones por cero y por uno: Porlaspropiedadesconmutativayasociativadelamultiplicacin,elprimerNipuede incluirse en el ltimo parntesis del primer sumando:

------ = ----- ----= -------- x y x y x 10 Puesto que la derivada de cualquier variable con respecto a s misma es uno. 11 De acuerdo con esa regla, la derivada de la divisin de dos variables con respecto a una de ellas, est dada por la relacin: (x/y) y (x/x) + x(y/x) --------- = ------------------------------ xy2 F(Ki/Ni, 1)Ki FN = Ni ------------------ -----+ F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni)Ni2 F(Ki/Ni, 1)Ni Ki FN = ------------------ -------+ F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni)Ni2 8 Resolviendo la divisin que se encuentra en el segundo parntesis: Reordenando el resultado anterior: F(Ki/Ni, 1) Ki FN =F(Ki/Ni, 1) -----------------------(Ki/Ni) Ni Con lo cual queda demostrado que la productividad marginal del trabajo solamente depende de la relacin capital-trabajo. Respectodelaproductividadmarginaldelcapital,stasedefinecomoladerivadaparcial de la funcin de produccin con respecto al capital: Yi FK = ------ Ki SustituyendoenellalafuncindeproduccinqueseobtuvodeelProcedimiento2,dada por: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) la productividad marginal del capital puede expresarse como: : Yi [Ni F(Ki/Ni, 1)] FK = ------ = ----------------------- Ki Ki Pararesolverladerivadaqueestdespusdeligual,sevuelveahacerusodelaregladel producto: F(Ki/Ni, 1) Ni FK = Ni ------------------ + F(Ki/Ni, 1) ------ Ki Ki Pararesolverladerivadadelprimersumandosevuelveautilizarlaregladelafuncin implcita;mientrasque,paraelsegundosumandoseasumequeladerivadadeltrabajo respecto al capital es cero: F(Ki/Ni, 1)Ki FN = ------------------ ----+ F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni) Ni 9 F(Ki/Ni, 1)(Ki/Ni) FK = Ni ------------------ ----------+ F(Ki/Ni, 1)(0) (Ki/Ni)Ki Nuevamente,pararesolverelprimersumandoseutilizalaregladeladerivadadela divisin y, para el segundo sumando, se resuelve la multiplicacin (la cual es igual a cero): F(Ki/Ni, 1)Ni (Ki/Ki) - Ki(Ni/Ki) FK = Ni ------------------ ---------------------------------- (Ki/Ni)Ni2 Comoladerivadadelcapitalrespectoasmismoesunoysehaasumidoqueladerivada del trabajo respecto al capital es cero, la expresin anterior se convierte en: F(Ki/Ni, 1)Ni (1) FK = Ni ------------------ -------- (Ki/Ni) Ni2 Resolviendo la multiplicacin del numerador del ltimo cociente, se obtiene: F(Ki/Ni, 1)Ni FK = Ni ------------------ ---- (Ki/Ni) Ni2 Haciendo la divisin del ltimo cociente se obtiene: F(Ki/Ni, 1) 1 FK = Ni ------------------ ---- (Ki/Ni) Ni Por las propieades asociativa y distributiva de la multiplicacin, la ecuacin anterior puede escribirse: F(Ki/Ni, 1)Ni FK = ------------------ ---- (Ki/Ni)Ni Resolviendo la divisin del ltimo cociente, se obtiene: F(Ki/Ni, 1) FK = ------------------ (1) (Ki/Ni) 10 Resolviendoeseproductoquedademostradoquelaproductividadmarginaldelcapital solamente depende de la relacin capital-trabajo12: F(Ki/Ni, 1) FK = ------------------ (Ki/Ni) ============================================(Termina Procedimiento 3) Econmicamente, las expresiones anteriores para las productividades marginales del capital ytrabajo,implicanquesilafuncindeproduccindelafirmahadegeneralizarse,noes necesariosuponerquetodaslasfirmasutilizanlasmismascantidadesdecapitalyde trabajo,bastaconsuponerqueesasfirmasutilizanlamismarelacincapital-trabajo.Ello significa que la generalizacin de la funcin de produccin linealmente homognea, admite distintasescalasdeproduccinytamaosdefirma,siemprequetodasellasutilicenla misma relacin capital-trabajo. iii) Finalmente, la homogeneidad lineal de la funcin de produccin implica que el nivel de produccinpuedeexpresarsecomolasumadelosproductosentrelaproductividad marginal del trabajo por la cantidad de trabajo contratado por la firma, mas la productividad marginal del capital por la cantidad de capital que utiliza la firma. Esta propiedad se conoce como teorema de Euler y se expresa con la siguiente ecuacin13: YiYi Yi = Ki ----- + Ni ----- = Ki FK + Ni FN KiNi En el Procedimiento 4, se comprueba el Teorema de Euler. ==============================================(Inicia Procedimiento 4) PROCEDIMIENTO 4. Demuestra el Teorema de Euler presentado por Sargent, para la firma individual, como la ecuacin que sigue al tercer prrafo de la pgina 8 y, para el agregado, como la ecuacin que sigue al segundo prrafo de la pgina 10 en el texto en ingls y al cuarto prrafo de la pgina 10 en el texto en espaol. Sustituyendo en la ecuacin del Teorema de Euler, dada por: YiYi Yi = Ki ----- + Ni ----- = Ki FK + Ni FN KiNi las definiciones que se obtuvieron en el inciso anterior, para las productividades del capital y del trabajo, dadas por: 12 Ecuacin que sigue al quinto prrafo de la pgina 8 en el texto en ingls y en espaol. 13 Ecuacin que sigue al tercer prrafo de la pgina 8 en el texto en ingls y en espaol. 11 F(Ki/Ni, 1) Ki FN =F(Ki/Ni, 1) -----------------------(Ki/Ni) Ni F(Ki/Ni, 1) FK = ------------------ (Ki/Ni) Se obtiene: Calculando la multiplicacin del segundo sumando: F(Ki/Ni, 1) F(Ki/Ni, 1)Ki Yi = Ki --------------- + Ni F(Ki/Ni, 1) Ni ------------------ ---- (Ki/Ni)(Ki/Ni)Ni Haciendo la divisin del ltimo trmino: F(Ki/Ni, 1)F(Ki/Ni, 1) Yi = Ki --------------- + Ni F(Ki/Ni, 1) Ki ------------------ (Ki/Ni)(Ki/Ni) Como el primeroyltimo trmino de la expresin anterior son iguales,al restar el ltimo del primero se obtiene cero y, por tanto: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) = F(Ki,Ni) Quedando demostrado el Teorema de Euler. ============================================(Termina Procedimiento 4) EconmicamenteesaPROCEDIMIENTOimplicaqueencondicionesdehomogeneidad lineal (igual producto medio y marginal y produccin que aumenta en la misma proporcin queelcapitalyeltrabajo)siacadafactorseleretribuyeporelvalordesuproducto marginal,elproductototalsedistribuirentretodoslosfactores,enfuncindesu participacin en la produccin, lo que implica que el beneficio econmico para los factores de produccin, ms all de su aportacin a la produccin, es cero. I.2. La agregacin de la funcin de produccin individual Partiendodelaspropiedadesanteriores,lafuncindeproduccindelafirmaindividual puede agregarse fcilmente, simplemente aplicando sumatoria a la propia funcin: F(Ki/Ni, 1)F(Ki/Ni, 1) Ki Yi = Ki --------------- + Ni F(Ki/Ni, 1) ----------------------- (Ki/Ni) (Ki/Ni) Ni 12 Y = EYi = EF(Ki,Ni)14 Por el teorema de Euler, se tiene que esa sumatoria puede expresarse15: Y = EYi = E(Ki FK + Ni FN) Debido a la homogeneidad lineal, la productividad marginal del capital y del trabajo pueden expresarsecomounafuncindelarelacincapitaltrabajo,comodicharelacinesla mismaparatodaslasfirmas,entonceslarelacinentrelassumatoriasdelcapitalydel trabajoserigualalarelacinentreelcapitalyeltrabajodelafirmaindividualy,por tanto, las productividades marginales del capitalydel trabajo sern las mismas para todas las firmas y para la economa en su conjunto; es decir, si: Ki Kj --- = ---- ,Ni Nj Para todo i distinto de j, entonces: EKi K --- = ---- ,ENi N y, por tanto: FKi = FKj = FK FNi = FNj = FN Lo cual significa que la expresin para la produccin agregada puede escribirse: Y = FK EKi + FNENi Lacualimplica,bajocondicionesdemaximizacindelagananciadelafirmaindividual, que la productividad marginal del trabajo es idntica al salario real16: FN(Ki,Ni) = (w/p) Ese resultado se comprueba en el Procedimiento 5. ==============================================(Inicia Procedimiento 5) PROCEDIMIENTO 5. Comprueba que la productividad marginal del trabajo es igual al salario real bajo condiciones de maximizacin de la ganancia de la firma individual 14 Ecuacin que sigue al primer prrafo de la pgina 10 en el texto en ingls y al tercer prrafo de la pgina 10 en el texto en espaol. 15 Ecuacin que sigue al segundo prrafo de la pgina 10 en el texto y ltima ecuacin de la pgina 10 en el texto en espaol. 16 Ecuacin 4 en el texto en ingls y en el texto en espaol. 13 yhomogeneidadlinealdelafuncindeproduccin.Esacondicineslaecuacin(4) del modelo de Sargent (o bien, 3 en el texto en ingls). Defnase la ganancia de la firma individual como la diferencia entre el producto y la suma de los costos laborales ms los costos de capital: Hi = pF(Ki,Ni) wNi (r+ot)pKi Por la condicin de primer orden17 para la maximizacin de la ganancia: Hi [pF(Ki,Ni) wNi (r+ot)pKi] ---- =----------------------------------------- = 0 Ni Ni Considerando la regla de la derivada de una suma18, la condicin anterior puede expresarse: Hi [pF(Ki,Ni)](wNi)[(r+ot)pKi] ---- =---------------- --------- -------------------NiNiNi Ni Si el costo unitario del capitaly del trabajo, as como los precios, no se modifican ante las variaciones en el empleo: (r+ot) wp ----------- = 0,------ = 0 y----- = 0 Ni Ni Ni utilizandolaregladeladerivadadelproducto,seobtienequelacondicinde maximizacin puede expresarse como: Hi [F(Ki,Ni)]Ni Ki ---- =p---------------- w ------ (r+ot)p ----- NiNi Ni Ni 17 Dada una funcin z=f(x,y), las condiciones para la existencia de extremos relativos (mximos y mnimos) son: CondicinMximoMnimo Condicin necesaria de primer ordenfx = f/x = 0 fy = f/y = 0 fx = f/x = 0 fy = f/y = 0 Condicin suficiente de segundo ordenfxx = fx/x < 0 fyy = fy/y < 0 y siendo fxy = fx/yy fyx = fy/x , se cumple que:fxx fyy > fxy fxx fyy > fyx fxx = fx/x > 0 fyy = fy/y > 0 y siendo fxy = fx/yy fyx = fy/x , se cumple que:fxx fyy >fxy fxx fyy > fyx En donde la condicin de segundo orden solamente es aplicable despus de que se haya satisfecho la condicin necesaria de primer orden. 18 De acuerdo con esa regla, la derivada de una suma de variables o funciones es igual a la suma de la derivada de cada variable o funcin incluida en la suma que se deriva. 14 Puestoqueladerivadadelprimersumandodelaecuacinanteriores,pordefinicin,la productividadmarginaldeltrabajo,elcocientedelsegundosumandoesigualaunoy asumiendoqueelcapitalnosemodificaantevariacionesenelempleo,dichaecuacin puede expresarse19: Hi ---- =pFN(Ki,Ni) w = 0 Ni Pasando w despus del ltimo igual (con signo contrario): pFN(Ki,Ni) = w Despejando la productividad marginal del trabajo: FN(Ki,Ni) = w/p Seobtienelafuncinquehaceequivalentealaproductividadmarginaldeltrabajodela firma individual con el salario real unitario. ============================================(Termina Procedimiento 5) Ahorabien,comolafuncindeproduccinqueseencuentradetrsdelaproductividad marginaldeltrabajoeslinealmentehomogneasecumplequelarelacinentrelas sumatoriasdelcapitalydeltrabajoesidnticaalarelacincapital-trabajodetodaslas firmas, lo cual significa que la productividad marginal del trabajo de cada firma individual, quedependedeesarelacincapital-trabajo,esidnticaalaproductividadmarginaldel trabajo agregada, implicando que la funcin de la productividad marginal del trabajo de la firma individual es idntica a la funcin de la productividad marginal del trabajo agregada: FN(K,N) = w/p Econmicamente,loanteriorsignificaque,enelagregado,laproductividadmarginaldel trabajoes,bajocondicionesdemaximizacindelagananciadelafirmayhomogeneidad lineal de la funcin de produccin, igual al salario real unitario promedio. I.4. La funcin de oferta de empleo Elmodeloasumequelaofertadeempleo(Ns)dependetambindelsalarioreal,enuna relacin del tipo: Ns = N(w/p), N =dN/d(w/p)>0 Funcinquereflejalaspreferenciasocio-trabajodelostrabajadores,deacuerdoconlas cuales los trabajadores desearn trabajar ms, sacrificando ocio, cuanto mayor sea el salario real que prevalezca en el mercado de trabajo. 19 Ecuacin que sigue a la sealada con el nmero 3 en el texto en ingls y en espaol. 15 En el equilibrio, la oferta y demanda de empleo son idnticos: Ns = N = N(w/p) I.5. La regla de acumulacin de la economa Finalmene,respectoalaacumulacindelafirma,sedefinelatasadeacumulacinde capital como una funcin de la diferencia entre el producto marginal del capitaly el costo unitario del capital: dK FK (r+o-p) ----- = I = I[ ----------------] dtr-t I' > 0. La cual puede compactarse como: I = I (q-1), I > 0 donde: FK (r+o-p) q = ---------------- + 1 = q(K, N, r-t, o) r-t Como se corroborar ms adelante, la definicin de acumulacin de la firma y, en particular q-1, constituye el elemento que relaciona al mercado de acervos fsicos con el mercado de acervos financieros, siendo q el costo del capital financiero, relativo al costo del capital fijo. II. El mercado financiero En el modelo de Sargent, mientras que la dinmica produccin-empleo resuelve los niveles de empleo, produccin y salarios, determinando la oferta agregada, del mercado financiero resultanlatasadeintersrepresentativadelmercadoyelvalorrealdelosactivos financieros disponibles en la economa, en particular la cantidad de dinero en circulacin o, alternativamente,elvalordelasaccionesydelosbonos,quesonlostrestiposdeactivos financierosqueelmodeloconsiderarelevantesparaexplicareldesenvolvimiento econmico. Por consiguiente, el objetivo de la parte financiera del modelo consiste en proporcionar las ecuacionesquedefinenalatasadeintersrepresentativadelmercadoyalacantidadde dineroencirculacinysuvalorreal.Porefectocontable,aldeterminarlacantidadde dineroencirculacinysuvalorreal,quedaautomticamentedefinidoelvalorreal agregado de los bonos y las acciones. Como en todo modelo neoclsico esas cantidades se determinan por la interaccin de la oferta y la demanda, en este caso, de activos financieros. 16 II.1. La oferta de activos financieros -La oferta de dinero La definicin de la forma en que se desenvuelve la oferta de dinero, permite obtener la tasa dedepreciacindeldinero,queeselcostodemantenerelcirculanteinvertidoencapital fsico,bonosoacciones.Portanto,latasadedepreciacindeldinero,determinael rendimientorealdelastresvariables.EnelmodelodeSargent,esatasadedepreciacin est definida por la ecuacin20: Mp ----- = ---- Mp En el Procedimiento 6 se detalla la manera en que resulta dicha tasa de depreciacin. ==============================================(Inicia Procedimiento 6) PROCEDIMIENTO6.Derivalatasadedepreciacindeldineropresentadacomola segunda ecuacin de la pgina 13 (o bien, segunda ecuacin de la pgina 12 en el texto en ingls) del modelo de Sargent. Para obtener esa tasa de depreciacin, el modelo asume que la cantidad de saldos reales enla economa est dada por M/p, cuya variacin, por definicin21, es: d(M/p) --------- dt Para resolver esa derivada se aplica la regla de la derivada de la divisin de dos variables22, obtenindose: 20 Segunda ecuacin de la pgina 12 del texto en ingls y segunda ecuacin de la pgina 13 del texto en espaol. 21 Es importante notar que la derivada de cualquier variable respecto al tiempo, proporciona la diferencia entre el valor de esa variable en el perodo actual, respecto a su valor en el perodo anterior, cuando el espacio entre un perodo y otroes infinitesimal. Si se traslada al casodiscreto,laoperacindederivarlavariablexconrespectoaltiempo,equivaleaobtenerladiferenciaxtxt-1.Porsuparte,la derivada de cualquier variable respecto al tiempo, dividida entre el valor de la variable; es decir, el resultado de realizar la operacin: dx/xx ------ = --- dtx proporciona la tasa de crecimiento de esa variable. Si se trasladara al caso discreto, la operacin de dividir entre x, la derivada de x con respecto al tiempo, equivale a resolver el cociente (xt xt-1)/x. Lo anterior significa que, mientras que la derivada puede ser interpretada comounadiferenciaquetienelamismaunidaddemedidaquelavariableoriginal,laderivadadecualquiervariableconrespectoal tiempo, dividida entre el valor de la variable que se deriv, puede ser interpretada como un porcentaje al ser multiplicada por cien, puesto que indica a qu proporcin de la variable x, equivale la diferencia xt xt-1, cuando x=1. 22 Como se indic en la nota 7, esa regla seala que la derivada de la divisin de dos variables se obtiene dividiendo entre el denominador elevado al cuadrado, el resultado de restar al producto del denominador por la derivada del numerador, el producto del numerador por la derivada del denominador.17 d(M/p)p(dM/dt) M(dp/dt) --------- = -------------------------- dtp2 si las derivadas con respecto al tiempo de la ecuacin anterior se denotan como: dM dp ----- = M,--- = p dt dt elresultadodeaplicarlaregladeladerivadadeladivisindedosvariablespuede expresarse: d(M/p)pM Mp --------- = ------------- dt p2 La divisin del primer producto que se encuentra despus del igual de la ecuacin anterior entre el cuadrado del precio, resulta23 en 1/p, transformando el resultado anterior en24: d(M/p)M M p --------- = ----- ----- ---- dt p p p El modelo asume que el dinero no proporciona ganancia financiera; es decir, no constituye una fuente de acumulacin de recursos financieros, lo cual significa que los saldos reales no aumentan en el tiempo, implicando que la ecuacin anterior es igual a cero: d(M/p)M M p --------- = ----- ----- ---- = 0 dt p p p Delaexpresinanterior,elltimoproductosetrasladadespusdeligualparadespejarla tasa de crecimiento del dinero, obtenindose: MM p ----- = ----- ----p pp Multiplicando toda la ecuacin anterior por (p/M): 23 Puesto que, por las reglas de los exponentes p/p2 = p1-2 = p-1 = 1/p. 24 Primera ecuacin de la pgina 12 del texto en ingls y primera ecuacin de la pgina 13 del texto en espaol. 18 M p p ----- = ----- ---- M p p Como p/p = 1, el ltimo resultado puede escribirse: Mp ----- = ----- Mp Ecuacin que define a la tasa de depreciacin del dinero. ============================================(Termina Procedimiento 6) La ecuacin obtenida en el Procedimiento anterior, proporciona la tasa a la que debe crecer lacantidadnominal25dedineroparamantenerconstantesuvalorreal,indicandoqueesa tasa es igual a la inflacin observada. Si la cantidad de dinero no crece, los balances reales sedepreciarnalatasadecrecimientodelosprecios.Seasumequeelpblicono necesariamente conoce esa tasa, por lo que se forma una expectativa de la misma que puede diferirdelatasadedepreciacinefectivadeldinero.Enelmodelo,esaexpectativase denota por t. -La oferta de bonos Comosevermsadelante,elmodeloasumequelosbonosylasaccionessonsustitutos perfectos,locualimplicaquelatasadedepreciacindelosbonos,queseobtieneenesta partedelmodelo,determina,asuvez,elrendimientorealdelasacciones,puestoquelos inversionistasbuscarnganaralmenosesatasadeintersdesuinversinenacciones. Como tambin se asume que todo el capital fsico se financia con acciones, entonces la tasa de inters de los bonos determina tambin el costo del capital fsico. ElmodelodeSargentasumequeexisteunnicobonogubernamentalqueoperacomo depsito del ahorro, cuyo valor nominal est dado por B y genera una tasa de ganancia dada porr,implicandoqueresultaeninteresesequivalentesarB.Paraquelosagentespuedan recuperarlariquezaqueinvirtieronenBalolargodeltiempo,larelacinB/ptieneque mantenerseconstante,locualsignificaquelosbonossedeprecian,comoeldinero,auna tasa igual a la inflacin. 25 La cantidad nominal de dinero, sealada por M, es igual al valor nominal de los billetesy monedas que estn en circulacin. Para ver ms claramente el significado de M, considrese una economa que tiene cinco billetes de cien pesos, cuatro de cincuenta pesos y cinco billetes de veinte pesos. En esa economa, M equivale a la suma: 100(5) + 50(4) + 20(5) = 800. 19 Igualqueenelcasodeldinero,losagentesnoconocenesatasadeinflacinobservada, utilizando en su valuacin de los bonos la tasa de inflacin esperada. De ello se deriva que la tasa de depreciacin de los bonos, expresados en trminos reales, es igual a la diferencia entrelatasadeintersdelosbonosylatasadeinflacinesperada:r-t. Elsiguiente Procedimiento deriva la tasa de depreciacin de los bonos. ==============================================(Inicia Procedimiento 7) PROCEDIMIENTO7.DerivalatasadedepreciacindelosbonosqueSargent comenta en el penltimo prrafo de la pgina 13 (o bien, 12 en el texto en ingls). Para obtener la tasa de depreciacin de los bonos, se resuelve la derivada del valor real de los bonos, B/p, con respecto al tiempo, aplicando la regla de la derivada de una divisin de variables, procedimiento del que se obtiene el siguiente resultado: d(B/p)p(dB/dt) B(dp/dt)pB BpB B p --------- = -------------------------- = ----------- = --- --- --- dtp2p2 pp p Para que el pblico no pierda de su inversinenbonos, el resultadoanterior tiene que ser igual a cero: d(B/p) BB p ---------= --- --- ---= 0 dt ppp Dedondesedespejalatasadecrecimientodelosbonos,pasandodespusdeligualel ltimo producto, y multiplicando el resultado por (p/B): BpB pp --- --- = --- ------ p B pp B B Bpp ---= --- ------ B Bpp B p ---= --- Bp ============================================(Termina Procedimiento 7) 20 Esaecuacindemuestraque,paraquelosbonosnosedeprecien,elmontoderecursos invertido en bonos, tiene que crecer a la misma tasa que la inflacin observada. Por otra parte, se define a la ganancia real sobre los bonos como la diferencia entre su tasa de rendimiento, r, menos su tasa real de depreciacin, dada por la inflacin observada. Sin embargo, como los agentes no conocen la tasa de inflacin efectiva, la sustituyen por la tasa de inflacin esperada, implicando que la tasa real de retorno esperada, asociada a los bonos, est dada por r-t. -Las acciones Finalmente,ladefinicindelvalordelasaccionespermitevincularalmercadodecapital fsicoconelmercadodevalorespuestoque,enelmodelodeSargent,elvalordelas acciones constituye el monto de circulante disponible para cubrir las necesidades de capital fsico, al asumir que toda inversin se financia con acciones. Para determinar el valor de las acciones, se realizan lossiguientes supuestos: i)Lasaccionessonelnicomedioparaparafinanciarlainversin.Puestoqueseha asumidoquelasfirmasnoemitenbonosynoretienenganancias,financiantodasu inversin emitiendo acciones. ii)Los nicos tenedores de acciones son los consumidores. iii)Los inversionistas no estn dispuestos a tener prdidas de su inversin en acciones, forzando a la economa para obtener de ellas un rendimiento idntico a los dividendos de la empresa, pues solamente de esa manera les ser indiferente colocar su dinero en acciones, en lugar de invertirlo en bienes de capital. iv)Las acciones son sustitutos perfectos de los bonos. v)Alasumirquenohayunmercadoenelquelasfirmaspuedancomprarovender capital fsico, el modelo elimina la posibilidad de que las firmas comercien con acciones. El primero y segundo supuestos implican que el capital contable de lasfirmas es igual a los dividendos, puesto que el gobierno no emite acciones y toda la inversin se financia con la emisindeacciones.Eltercersupuesto,porsuparte,implicaquelosdividendos determinanelvalordelasacciones,puestoquesonidnticosalrendimientorealdelas acciones.Finalmente, elcuartoy quinto supuestos implican que los consumidores esperan obtenerdesusaccionesunintersidnticoalqueganaransiinvirtieransusrecursosen bonos; es decir, igual a la tasa de inters de los bonos, r. Los dividendos o ganancia, que las firmas pagan en cualquier instante s, se definen como la suma de la ganancia de la firma tpica, que es igual a la ganancia agregada, evaluada en el perodos,mslosinteresessobrelainversinenaccionescorrespondientesalperodos, ms la tasa de descuento del dinero invertido en acciones, tambin de ese perodo; es decir: D(s) = pH(s) + rp(s)K(s) + tp(s)K(s) 21 Estaecuacinimplicaque,ademsdelaganancia,lainversinenaccionesreponeel intersyladepreciacindeldinero.Loquenoreponeesladepreciacindelcapital.Esta afirmacinsecorroboraenelsiguienteprocedimiento,delaqueseobtiene,adems,la definicin para los dividendos del modelo de Sargent, dada por la ecuacin: p(s)F[K(s),N(s)] w(s)N(s) op(s)K(s)26 ==============================================(Inicia Procedimiento 8) PROCEDIMIENTO8.DerivaladefinicindelosdividendosexpresadaporSargent por la primera ecuacin de la pgina 14 ( pgina 13 del texto en ingls). Defnase a los dividendos como: D(s) = p(s)H(s) + rp(s)K(s) + tp(s)K(s) Sustituyendo ah la definicin de las ganancias agregadas, H(s), dadas por la ecuacin 3 del texto evaluada en s: H(s) = p(s) F[K(s),N(s)] w(s)N(s) (r+ot)p(s)K(s) se obtiene: D(s) = p(s) F[K(s),N(s)] w(s)N(s) (r+ot)p(s)K(s) + rp(s)K(s) + tp(s)K(s) Endondew(s)eselsalarionomianlyportantoyaseencuentramultiplicadaporp(s);es decir: p(s) = [w(s)/p(s)] p(s) = w(s) Eliminandotrminossemejantesconsignocontrario,seobtienenlosdividendosdel perodo s: D(s) = p(s)F[K(s),N(s)] w(s)N(s) op(s)K(s) ============================================(Termina Procedimiento 8) Ahorabien,elvalornominaldelasaccionesdelafirmaenelinstantetestdadoporla suma desde t hasta el infinito, de los intereses que obtuvieron los inversionistas durante el tiempoquemantuvieronesosdividendosinvertidosenacciones.Silosdividendosse entreganenelperodos,entoncesestdadaporlasumadesdethastaelinfinitodelos intereses recibidos desde t hasta s27: V(t) = {p(s)F[K(s),N(s)]-w(s)N(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t)

t 26 Primera ecuacion de la pgina 13 del texto en ingls y primera ecuacin de la pgina 14 del texto en espaol. 27 Segunda ecuacin de la pgina 13 del texto en ingls y segunda ecuacin de la pgina 14 del texto en espaol. 22 endondeeltrminoqueestdespusdelsignodeintegracinesigualalosinteresesque obtuvieron los inversionistas por los dividendos invertidos en acciones desde t hasta s. En el Procedimiento 9 se corroboraesa afirmacin. ==============================================(Inicia Procedimiento 9) PROCEDIMIENTO9.Derivalaexpresinqueestdespusdelsignodeintegracin paraelvalordelasaccionesdefinidoporSargentconlasegundaecuacindela pgina 14 (pgina 13 del texto en ingls). Silosinversionistasrecibenporsusaccionesunatasadeintersigualar,alinvertirsus dividendos,cuyovaloresigualaD,enelinstantet,recibeninteresesdadosporDr,es decir: dD ------ = Dr dt comomantienensuinversindesdethastas,eneseperodoobtendrnunmontode interesesigual a: s dD s ---- dt = Dr dt t dt t Resolviendoesaintegral,seobtieneelvalorpresentedeDenelperodotcuandose incluyen en D los intereses potenciales de invertir el capital inicial, Dr, en acciones durante el perodo t a s; es decir, se obtiene el trmino que est despus del signo de integral en la ecuacin que define el valor de las acciones antes citada. Laintegralpuederesolverseutilizandoelsiguienteprocedimiento:comosetratadeuna ecuacin separable, se multiplican ambos lados de la igualdad por 1/D, con la finalidad de dejar del lado derecho del igual solamente a r: s dD 1s ------- dt = r dt t dtDt Como dt/dt = 1, la expresin anterior puede escribirse: s1s --- dD = r dt tDt 23 Pararesolverlaintegraldelladoizquierdodelaecuacinanterior,seaplicalareglade integracin para el inverso de una funcin28; mientras que, para resolver la integral del lado derecho, se aplica la regla de integracin para cualquier constante29, obtenindose: sr0+1 s ln D= ------ t 1 t Evaluando30 ese resultado por ambos lados: ln D(s) ln D(t) = r(s) r(t) El lado izquierdo de esa igualdad puede reexpresarse utilizando la regla del cociente de los logartmosnaturales31;mientrasque,elladoderecho,puedereexpresarsetambin, factorizando r, procedimiento del que se obtiene el siguiente resultado: D(s) ln -----= r(s-t) D(t) Aplicando antilogaritmo a los dos miembros de la ecuacin anterior32: 28 De acuerdo con esa regla, si la diferencial de cualquier funcin u, es el inverso de esa funcin, la integral de esa diferencial es igual al logaritmo natural de la funcin original; es decir: 1 --- du = ln u + c u en donde c es una constante de integracin. 29 Esa regla indica que si la diferencial de cualquier variable es una constante, la integral de esa diferencial es igual a la constante elevada a su exponente mas uno, dividiendo el resultado entre dicho exponente mas uno; es decir: k xn + 1 k dx = ----------- + c n+1 30 Si se tiene la integral: b f(x) dx a que tiene como resultado F(x), su evaluacin es la diferencia: b F(x) |= F(x = b) F(x = a) = F(a) F(b) a Portanto,laevaluacindecualquierintegralconsisteenobtenerladiferenciaentreelvalordelresultadodelprocesodeintegracin, cuando la variable con respecto a la que se integr es igual al lmite superior de la integral, menos el valor del resultadodel proceso de integracin,cuandolavariableconrespectoalaqueseintegresigualallmiteinferiordelaintegral,siendoellmitesuperiordela integral, el nmero que se encuentra en el extremo superior del signo de integracin y su lmite inferior, el nmero que se encuentra en el extremo inferior del signo de integracin. 31 Esa regla indica que el logaritmo natural de cualquier cociente, puede expresarse: p ln --- = ln p ln q q 32 El antilogaritmo de cualquier funcin, logartmica o no, es igual al numero e elevado a la funcin a la que se aplica el antilogaritmo; es decir: 24 D(s) e exp {ln-------} = e exp {r(s-t)} D(t) Resolviendo la expresin que est a la izquierda del igual33, se obtiene: D(s) ------ = er(s-t) D(t) Despejando D(s): D(s) = er(s-t) D(t) Despejando ahora D(t): D(s) D(t) = -------- er(s-t) El lado derecho de esa igualdad, puede reexpresarse34: D(t) = D(s) e-r(s-t) Al sustituir en la ecuacin anterior D(s) por: D(s) = p(s)F[K(s),N(s)] w(s)N(s) op(s)K(s) D(t) se convierte en: D(t) = D(s) e-r(s-t) = {p(s) F[K(s),N(s)]-w(s)N(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t)

Conlocualquedademostradoqueeltrminoqueseencuentraaladerechadelsignode integral en la ecuacin V(t), es el valor de los dividendos en el perodo t cuando se incluyen en esos dividendos los intereses potenciales de invertir los dividendos en acciones durante el perodo t a s. ============================================(Termina Procedimiento 9)

antilog (ln x) = eln x antilog (x) = ex 33 Para lo cual se utiliza la siguiente regla para el nmero e: e ln x = x 34 Puesto que, de acuerdo con las reglas de los exponentes: 1/xn = x-n 25 El valor nominal de la acciones en el perodo t, por su parte, es igual a la suma desde t hasta elinfinito,delosinteresesobtenidosporinvertirlosdividendosdesdethastas;esdecir, est dado por la integral: V(t) = {p(s)F[K(s),N(s)]-w(s)N(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t) t Siseasumequelatasadecrecimientodelospreciosydelossalariosreales,desdeel perodo t hasta el perodo s, es igual a la inflacin esperada35: p(s) = p(t) et(s-t), w(s) = w(t) et(s-t)

Esa integral puede expresarse como36: V(t) = {p(t) e t(s-t) F[K(t), N(t)] w(t)N(t) et(s-t) op(t)K(t) et(s-t)} e(r-p)(s-t) ds t 35 Para corroborar que esas expresiones equivalen al supuesto de que la tasa de crecimiento de los precios y salarios es igual a la inflacin esperada; en otras palabras, de que la inflacin observada se ajusta a la inflacin esperada y de que el crecimiento de los salarios se ajusta a la inflacin esperada, se define la tasa de crecimiento de los precios como: dp/pdw/p ------ = t,----- = t dt dt despejando la derivada se obtiene: dp dw ----- = pt, ---- = pt dtdt Enamboscasos,laexpresindelmismosupuestodadaeneltextodeSargent,seobtienealintegrarlasecuacionesanteriorescon respecto a dt y evaluar esa integral desde t hasta s. Ese procedimiento se presenta en las siguientes ecuaciones para el caso de los precios, dejando al estudiante su solucin para el caso de los salarios: s dps ----- dt = ptdt t dt t s 1 s --- dp = tdt tp t ss ln p | = tt | tt ln p(s) ln p(t) = t (s-t) p(s) ln ------ = t (s-t) p(t) p(s) ln ---- p(t)t (s-t) e = e t (s-t) p(s) = p(t) e 36 Ecuacin que sigue al cuarto prrafo de la pgina 13 del texto en ingls y al cuarto prrafo de la pgina 14 del texto en espaol. 26 EnelProcedimiento10secorroboraquelasltimasdosexpresionesparaV(t)son equivalentes bajo el supuesto mencionado. =============================================(Inicia Procedimiento 10) PROCEDIMIENTO 10. Muestra el procedimiento para obtenerla ecuacin que est despus del cuarto prrafo de la pgina 14 (pgina 13 del texto en ingls), a partir de la ecuacin que est despus del segundo prrafo de la misma pgina. Defnase al valor de las acciones como: V(t) = {p(s)F[K(s),N(s)]-w(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t) ds t Si: p(s) = p(t) et(s-t), w(s) = w(t) et(s-t)

entonces, al sustituir esas reglas de actualizacin de precios y salarios,as como la funcin deproduccinevaluadaparaelperodotenlaecuacinparaelvalordelasaccionesse obtiene: V(t) = {p(t) et(s-t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) et(s-t) -o p(t) et(s-t)K(t)}e-r(s-t) ds t como et(s-t) es comna todos los trminos que estn dentro de loscorchetes de laecucin anterior, puede factorizarse: V(t) = {p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)} et(s-t)e-r(s-t) ds t por la regla del producto de nmeros exponenciales con la misma base37: V(t) = {p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(s)} e-r(s-t)+ t(s-t) ds t como(s-t)escomnalosdostrminosdelexponentedelaecuacinanterior,puede factorizarse: 37 Segn la cual: ep eq = ep+q 27 V(t) = {p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)} e-(r-t)(s-t) ds t Siseasumequeelvalorpresentedelosdividendos,actualizadoconlosintereses potencialesdeinvertirlosdetas,permanececonstante.porquelosagentesesperanno perderyobtenerganancianormalonuladesuinversin;esdecir,obtenerlaretribucin que deriva de su aportacin al capital, entonces la expresin que est en los corchetes en la ecuacin anterior es constante y puede omitirse de la integral. Entonces, la actualizacin del valor presente de los dividendos, desde el perodo t y hasta el infinito, estar dada por: V(t) ={p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)} e-(r-t)(s-t) ds t Con lo cual se obtiene la equivalencia buscada.===========================================(Termina Procedimiento 10) Econmicamenteesaecuacinimplicaquelosdividendossolamentesemantienen invertidos de t a s, en adelante, la ganancia obtenida por los inversionistas deriva de la tasa deintersylareposicindeladepreciacindeldineroautomticamentegeneradosporla inversinrealizadadetas,porqueesainversinsededicaadquirircapitalfsicooa efectuarcualquierotronegocioquegeneragananciasdesdethastaelinfinito.Elvalorde lasaccionescrecer,porconsiguiente,aunatasadecreciente,reflejandoaslos rendimientos decrecientes de la funcin de produccin. Al resolver la integral que se encuentra en la ecuacin anterior, se obtiene queel valor de las acciones en el perodo t est dado por la ecuacin38: p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) = ----------------------------------------------- (r-t)

En el Procedimiento 11 se muestra el procedimiento para resolver la integral. =============================================(Inicia Procedimiento 11) PROCEDIMIENTO 11. Resuelve el valor de las acciones del modelo de Sargent. Si V(t) ={p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)} e-(r-t)(s-t) ds t 38 Ecuacin que se encuentra antes del quinto prrafo de la pgina 13 del texto en ingls y antes del quinto prrafo de la pgina 14 del texto en espaol. 28 Para hallar el valor de V(t) hay que resolver la integral utilizando el mtodo de sustitucin, haciendo: u = -(r-t)(s-t) lo que implica, por la regla de la derivada del producto, que: du ----- = -(r-t) ds despejando ds: du ds = - ------ r-t Sustituyendo u y ds en la integral por resolver: 1 e (t-p)(s-t) = - ------ eu du tr-tt en donde se ha omitido de la integral el trmino 1/(r-t) porque es constante. Aplicando la regla de integracin para eu39, as como la regla de evaluacin para la integral con lmite superior indefinido40, se obtiene: 1 1b1 b e-(r-t)(s-t) = - ----- eu du = - ----- lim eu du = - ----- lim eu ] tr-ttr-tb t r-tt sustituyendo el valor de u y evaluando el resultado: 1 b 1 e-(r-t)(s-t) = - ----- lim e-(r-p)(s-t)] = - ----- lim [e-(r-p)(b-t) e-(r-p)(t-t)] t r-tbtr-t 39 Segn la cual: eu du = eu 40 Que indica que: b f(x) dx = lim f(x) dx a ba 29 como(t-t)=0,elexponentedelltimonmeroeescero,implicandoqueesetrminoes igual a uno, puesto que todo nmero elevado a la cero es uno: 11 e-(r-t)(s-t) = - ----- lim [e-(r-p)(b-t) e-0] = - ------ lim [e-(r-t)(b-t) 1] t r-tbr-t b La cual puede reexpresarse: 11 1 e-(r-t)(s-t) = ----- lim [1 - e-(r-p)(b-t)] = ------ lim (1 - ----------) t r-tb r-tbe(r-t)(b-t) Intuitivamente, conforme b crece al infinito, la diferencia (b-t) crece al infinito y, por tanto, elexponentedelnmeroedelaexpresinanterior,crecealinfinito,implicandoqueel cociente que se encuentra al final del resultado anterior tiende a cero conforme b tiende al infinito. Por su parte, el lmite de la constante uno, es igual a la propia constante, de lo que resulta que la integral buscada es: 1 1 e-(r-t)(s-t) = ------- (1) = ------ t r-tr-t Sustituyendo ese resultado en la ltima expresin para el valor de las acciones, se obtiene la ecuacin con la que Sargent define al valor de las acciones en el perodo t: F[K(t),N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) = {p(t) et(s-t) F[K(t) N(t)] w(t) op(t)K(t)} e-(r-t)(s-t) ds = ------------------------------------ tr-t Con el procedimiento que se describe en el Procedimiento 12, puede observarse claramente que el valor de las acciones depende de q, en una relacin del tipo41: p(t)Y(t) [w(t)/p(t)]N(t) FK(t)K(t) [FK (r+o-t)]p(t)K(t) V(t) = --------------------------------------------- + --------------------------- + p(t)K(t) r-t r-t [FK- (r+o-t)]p(t)K(t) V(t) = {-------------------------- + 1}p(t)K(t) = qp(t)K(t) r-t ===========================================(Termina Procedimiento 11) 41 Ecuacin que sigue al quinto prrafo de la pgina 13 del texto en ingls y ltima ecuacin de la pgina 14 del texto en espao, as como ecuacin 9 del modelo. 30 =============================================(Inicia Procedimiento 12) PROCEDIMIENTO 12. Deriva la relacin funcional entre el valor de las acciones y q. Considerando el teorema de Euler, dado por la expresin: F[K(t),N(t)] = FKK(t) + FNN(t) La definicin de la ganancia agregada, dada por la ecuacin: H = p(t) F[K(t),N(t)] w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) puede transformarse en: H = p(t) FKK(t) + p(t) FNN(t) w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) de donde se obtiene: H - p(t) FKK(t) - p(t) FNN(t) + (r-t)p(t)K(t) = -w(t)N(t) op(t)K(t) Sustituyendoporelargumentoqueseencuentraantesdeligualenlaecuacinanterior,a losltimosdostrminosdelaecuacinV(t)queseobtuvodeelProcedimiento10,dada por: p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) = -------------------------------------------------- r-t resulta: p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t)p(t)F[K(t), N(t)]+ H - p(t) FKK(t) - p(t) FNN(t) + (r-t)p(t)K(t) V(t) = ------------------------------------- = ------------------------------------------------------- (r-t)(r-t) Resolviendo la divisin del ltimo trmino y reordenando la expresin anterior: p(t)F[K(t), N(t)]- p(t) FKK(t) - p(t) FNN(t)HV(t) = -------------------------------------------------- + ---- + p(t)K(t) r-tr-t Por el teorema de Euler: Y(t) = F[K(t), N(t)] = FKK(t) + FNN(t) 31 LoquesignificaqueelnumeradordelprimercocientedelaltimadefinicindeV(t)es cero, transformando esa ecuacin en: HV(t) = ---- + p(t)K(t) r-t Si se asume que: H = |FK (r+o-t)] p(t) K(t)

y se sustituye ese valor de H en la ltima ecuacin para V(t) se obtiene: |FK (r+o-t)] p(t) K(t)V(t) = ----------------------------- + p(t)K(t) r-t Factorizando esa expresin, se comprueba que V(t) depende de q: FK (r+o-t)V(t) = [----------------- + 1]p(t)K(t) = qp(t)K(t) r-t Queda por demostrar que la ganancia puede definirse como: H = |FK (r+o-t)] p(t) K(t) Para ello, se retoma la definicin original de la ganancia, dada por la ecuacin: H = p(t) F[K(t),N(t)] w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) Sustituyendo el teorema de Euler, dado por: Y(t) = F[K(t), N(t)] = FKK(t) + FNN(t) En la ecuacin de ganancia: H = p(t) FKK(t) + p(t)FNN(t) w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) Sustituyendolaproductividadmarginaldeltrabajoporelsalarioreal,deacuerdoconla ecuacin de demanda de empleo dada por: w(t) FN= ----- p(t) 32 Se obtiene: H = p(t) FKK(t) + [p(t)w(t)N(t)/p(t)] w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) Puesto que p(t)/p(t) = 1, esa ecuacin puede expresarse como: H = p(t) FKK(t) + w(t)N(t) w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) Como w(t)N(t)-w(t)N(t) = 0: H = p(t) FKK(t) (r+o-t)p(t)K(t) Al factorizar p(t)K(t) en la ecuacin anterior, se demuestra que la ganancia puede definirse como: H = [FK (r+o-t)]p(t)K(t) Y por tanto, que es vlida la relacin: FK (r+o-t)V(t) = [----------------- + 1]p(t)K(t) = qp(t)K(t) r-t===========================================(Termina Procedimiento 12) LadefinicindeV(t)enfuncindeq,dadaporlaecuacinobtenidaenelProcedimiento 12,estilparademostrarqueqeselcostodelcapitalfinanciero,relativoalcostodel capitalfijo,comoseafirmaldefinirlaregladeacumulacindelcapital,puestoqueal dividir esa expresin entre p(t) K(t) se obtiene42: V(t) FK (r+o-t) = [----------------- + 1] = q p(t)K(t)r-t Laimplicacindeesaecuacin,desdeelpuntodevistaeconmico,esqueqpuede interpretarsecomolaproporcindelademandadecapital(fsico)queessatisfechacon capitalfinanciero;alternativamente,comolademandadeinversinqueessatisfechacon oferta de recursos lquidos. Ademsdepermitirderivaresaproporcin,ladefinicindeV(t)haceposibleobtenerla tasa de rendimiento real esperada de las acciones que es importante porque al sumar a esa tasaderendimientorealdelasacciones,latasadedepreciacindelcapital,seobtieneel costo unitario del capital. Adicionalmente, al sumar a esa tasa de rendimiento real esperada delasacciones,latasadedepreciacinesperadadeldinero,seobtienelatasadeinters representativa del mercado. 42 ltima ecuacin de la pgina 13 del texto en ingls y ecuacin que est despus de la ecuacin (9) en la pgina 15 del texto en espaol. 33 Latasaderendimientorealdelasaccioneses,pordefinicin,igualalarelacinentreel capitalinvertido;esdecir,losdividendos,yelvalortotaldelasacciones.Comolos dividendos estn dados por: D(t) = p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t)K(t) y, adems, el valor de las acciones puede expresarse como: p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) = -------------------------------------------------- r-t entonces la relacin entre los dividendos y el valor total de las acciones es: D(t) {p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t)K(t)}(r-t) ------ = --------------------------------------------------------= (1) (r-t) = (r-t) V(t) p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) siendo(r-t)latasaderendimientorealesperadadelasacciones.Alsumaraesatasade rendimiento real de las acciones la tasa de depreciacin esperada del dinero, que es igual a t, se obtiene que r es la tasa de inters representativa de la economa. II.2. La demanda de activos financieros Deladefinicindelademandadeactivosfinancierosseobtienenlasrelacionesentrelas tasasdevariacindeesosactivosquegarantizanelequilibriodelademandayofertade activosfinancieros,necesariasparadefinirlastasasdevariacindelaofertadeactivos financierosquerigenlarespuestadedichosactivosantemodificacionesenlatasade inters y la produccin. Para obtener la manera en que se relacionan las tasas de variacin de la demanda de activos financieros, el modelo de Sargent asume que la riqueza real (W) de la economa solamente puede distribuirse entre acciones, bonos y dinero; es decir: V + B + M W = --------------- p Adems, que la demanda de dinero es una funcin directa de la tasa de inters (r), la tasa de transacciones (Y) y la riqueza real (W): MD ----- = m(r,Y,W) p 34 Porsuparte,lademandadebonosyacciones,quesepuedesumarporqueesosactivos financieros son sustitutos perfectos, depende de los mismos argumentos que la demanda de dinero: BD + VD ----------- = b(r,Y,W) p Ellosignificaque,enelequilibriodeofertaydemanda,lariquezarealpuededefinirse como: VD + BD + MD W = ------------------ p Para establecer cmo tienen que relacionarse las demandas de todos los activos financieros en esa situacin de equilibrio, se obtiene la diferncial total de la riqueza real, como la suma de las diferenciales totales siguientes: MD m mm d ---- =-----dr + ----- dY + ------ dW = mr dr + mYdY + mW dW p rYW BD + VDbbb d ---------- = ---- dr + ---- dY + ----- dW = br dr + bY dY + bW dW prY W Al sustituir esas dos ecuaciones en la diferencial de la riqueza real se obtiene: dW = mr dr + mYdY + mW dW + br dr + bY dY + bW dW Juntando trminos comunes: (mr + br) dr + (mY + bY) dY + (mW + bW) dW dW = 0 (mr + br) dr + (mY + bY) dY + (mW + bW 1)dW = 0 Si dr, dY y dW no son nulos, para que la ltima condicin se cumpla se requiere que: (mr + br) = 0 (mY + bY) = 0 (mW + bW 1) = 0, entonces (mW + bW) = 1 ecuacionesqueestablecenlamaneraenquetienenquerelacionarselasvariacionesenlas demandas de activos cuando la riqueza real iguala a la demanda de esos activos. 35 II.3. El equilibrio del mercado financiero Dada la riqueza real, el equilibrio de la oferta y demanda de dinero: MD M ----- = ----- p p Necesariamente implica el equilibrio de la oferta y demanda de bonos y acciones: BD + VD M + V ----------- =---------- p p Puesto que, en tal situacin debe cumplirse que: MB+V+M MB+V W - ---- = ----------- - ----- =------ pp pp Implicando que la Ley de Walras se cumple en un sentido contable. Si la condicin de equilibrio entre la oferta y demanda de dinero se cumple, debe cumplirse tambin que: M MD ---- = ------ = m (r, Y, W) pp Asumiendoquelaofertamonetariadisminuyeantevariacionesenlatasadeinters, aumenta ante cambios en la tasa de transacciones y no responde a las modificaciones en la riqueza real: mr 0 y mw=0 Las condiciones siguientes: (mr + br) = 0 (mY + bY) = 0 (mW + bW 1) = 0, entonces (mW + bW) = 1 determinanlamaneraenquerespondelaofertamonetariaalasvariacionesenlatasade inters y la produccin, puesto que si: mr < 0 y (mr + br) = 0, entonces b > 0 mY > 0 y (mY + bY) = 0, entonces bY < 0 mW = 0 y (mW + bW) = 1, entonces bW = 1 36 Esas restricciones de activos implican que: -Todo aumento en la tasa de inters, provocar que disminuya la demanda de dinero y que suba la demanda de bonos y acciones -Todoaumentoenlatasadetransaccionesoenelniveldeproduccin,provocar que se incremente la demanda de dinero y se reduzca la demanda de bonos y acciones. -Como la oferta de dinero no responde a las variaciones en la riqueza, entonces todo cambio en la demanda de riqueza se traducir en un aumento de la misma magnitud en la demandadebonosyacciones.Enotraspalabras,silosconsumidoresdeseanaumentarsu riqueza, solamente pueden hacerlo modificando sus tenencias de bonos y acciones. III. El mercado de transacciones LaltimapartedelmodelodeSargentdescribelastransaccionesrelevantesparala economa,considerandolaexistenciadetressectoresinstitucionales:elgobierno,los consumidoresylasfirmas.Elpropsitodeestapartedelmodeloconsisteenresolverel nivelderiquezaqueprevaleceenlaeconoma,utilizandolasecuacionesantesplanteadas para la produccin, el empleo y los acervos financieros. Se asume que el mercado de bienes yelmercadofinancierosevinculanmediantelastransaccionesquerealizanlossectores institucionales. Esta parte del modelo inicia con la definicin de las reglas que regulan esas transacciones. III.1. El gobierno Para delimitar la manera en que el gobierno efecta sus transacciones, el modelo realiza los siguientes supuestos: -El gobierno no acumula acervos de capital. Lo cual implica que la inversin puede explicarse enteramente por las transacciones que realiza el sector privado. -La tasa real de impuestos es independiente de la produccin y los precios.-Elgobiernodecidesustasasrealesdeimpuestosygastossujetoasurestriccin presupuestal -Elgobiernodecidesusoperacionesdemercadoabiertosujetoasurestriccinde endeudamiento. Larestriccinpresupuestalqueenfrentaelgobiernoesunacondicindeequilibrioque define la igualdad entre la tasa real de gasto pblico (G), con respecto a la suma de la tasa real de impuestos (T) y la tasa real dedeuda pblica: B M G T = ---- + ---- pp 37 Enesaecuacin,larestriccindedeudadelgobiernoestdadaporlaidentidadentrela variacin del circulante y la variacin de la deuda pblica, que es igual al acervo de bonos gubernamentales con signo negativo: dM = -dB Porsuparte,losimpuestosnoincluyenlosinteresesgeneradosporlosaumentosdela deudapblica,dadosporelproductoentrelatasadeintersrealesperada(r-t)yelvalor real de los bonos emitidos (B/P): B T = T0 (r-t) --- p SiendoT0,latasarealdeimpuestosqueincluyedichosintereses.Sustituyendoesta definicin para la tasa real de impuestos en la definicin del dficit pblico, se obtiene: BB G T = G [T0 (r-t) ---] = G + (r-t) --- - T0 pp Alsustituirenlarestriccinpresupuestaldelgobierno,laexpresinqueseencuentra despusdelltimoigualenlaecuacinanterior,quedaclaroquedicharestriccin presupuestal es43: B B M G + (r-t) --- - T0 = ---- + ---- ppp En el modelo, la identidad anterior se cumple en cada instante del tiempo, lo cual significa queelgobiernoejerceunapolticafiscalconstante,caracterizadaporquelasacciones monetarias o de gasto pblico, no modifican el valor del dficit pblico. As, por ejemplo, sielgobiernodisminuyeelacervodecirculante,incrementandolatenenciay,por consiguiente,elvalordelosbonosgubernamentales,necesariamenteT0aumentar automticamenteparacompensarlospagosdeinteresesasociadosaesevalormsaltode los bonos gubernamentales, manteniendo constante al dficit pblico. III.2. Los consumidores Paradelimitarlaformaenquelosconsumidoresrealizansustransacciones,elmodelo realiza los siguientes supuestos: 43 Ecuacin 18 en el texto en ingls. Cabe sealar que el planteamiento de la poltica fiscal constante que hace Sargent en el texto en ingls y que se comenta en estas notas de clase en el prrafo que sigue a la frmula dM = -dB,no fue incluido en el texto en espaol. 38 -Dado su acervo de riqueza, los consumidores deciden cmo desean distribuirla entre acervos alternativos. Esas preferencias estn descritas en la ecuacin de demanda de dinero dada por M/P=m(r,Y). -Losconsumidores deciden tambin qu tan rpido quieren queaumente su riqueza aldeterminarsutasadeahorro(S).Estadecisindefineladistribucindelingreso disponible, (Yd) entre consumo (C) y ahorro. -La tasa de ingreso disponible esperado por los consumidores, Yd, es igual a la tasa de ingreso recibido que esperan consumir o ahorrar. -El consumo no genera acumulacin de capital; por su parte, el ahorro incrementa la riquezaporqueaumentalatenenciadeactivosfinancieros;enparticular,deacciones,las cuales son el nico medio para generar acumulacin de capital. Utilizandoesossupuestos,elmodelodefinealatasarealdeconsumocomounafuncin directa del ingreso disponible esperado e inversa de la tasa de inters real: C = C(Yd, r-t), donde: 0 < C1 < 1, C2 < 0 Siendo C1 la propensin a consumir y C2 la respuesta del consumo a los cambios de la tasa de inters real. El modelo adopta,adems, a la igualdad entre el ingreso disponibley lasuma del ahorro maselconsumo,comolacondicindeequilibriodelastransaccionesdebienesdelos consumidores: S + C = Yd El ingreso disponible esperado por los consumidores, por su parte, se define como la suma desalarios,dividendos, depreciacindelosbonosydineroyapreciacindelosbonos;es decir: w wM + B Yd = ---- N + Y oK - --- N T - -------- t + (q-1) K p p p Eliminando trminos semejantes con signo contrario, se obtiene44: M + B Yd =Y oK T - -------- t + (q-1) K p Definicindelingresodisponiblequegarantizaquelatasarealderiquezasemantenga intacta. En el siguiente procedimiento se comprueba esa conclusin. 44 Ecuacin 20 del texto. 39 =============================================(Inicia Procedimiento 13) PROCEDIMIENTO13.Demuestraqueladefinicindelingresodisponibleque adopta el modelo de Sargent garantiza que la riqueza real se mantenga intacta. Defnase la tasa real de riqueza como: dW ---- dt Puestoquelariquezaeslasumadelvalorrealdelosacervosfinancieros,entoncesdicha diferencial es: M + B + V d--------------- dWp ----= ----------------------- dt dt Para resolverla se utilizan la reglas de las derivadas del cociente y de la suma: M + B + VdMdBdV dp d--------------- p [ ----- + ----+ ----] (M + B + V) ----- dWpdtdt dtdt ----= ----------------------- = ----------------------------------------------------- dt dt p2 Haciendo la divisin: dW dM/p dB/p dV/pM + B + Vdp/p ----- = [------- + ------ + ------ ] - -------------- ------ dtdt dtdtp dt ConsiderandoqueV=qpK,laderivadadelvalordelasaccionesqueseencuentraenlos parntesiscuadradosdelaecuacinanterior,puedeobtenerseutilizandolaregladela derivada del producto: dVd(pqK)dp dqdK ----- = --------- =qK ---- + pK ---- + pq ---- dt dt dt dtdt Dividiendo entre p el resultado anterior: d V/p d(pqK) qK dp pK dqpqdK------- = --------- = ----- ---- + -------- + ---- ---- dtdt p pdt p dt pdt 40 Si se expresa: dp dqdK ---= p ,--- = q y ----= K dtdtdt El resultado anterior es: d V/pp ------- =qK ----- + K q + q K dt p Sustituyendo ese resultado en la ltima definicin para la tasa real de riqueza, dada por: dW dM/p dB/p dV/pM + B + Vdp/p ----- = [------- + ------ + ------ ] - -------------- ------ dtdt dtdtp dt y expresando: dW dM dBdp ----- = W, ------ = M , ----- = B y --- = p dtdtdtdt Se obtiene: M + B p M + B pV p W = -------- + qK --- + Kq + qK ------------ - ------- pp p p p p Considerando que V = qpK, entonces V/p = qK. Sustituyendo ese resultadoen la ecuacin anterior, se obtiene: M + B p M + B p p W = -------- + qK --- + Kq + qK ------------ - qK--- pp p p p Eliminando trminos semejantes con signo contrario, se llega a la ecuacin45: 45 Ecuacin que sigue a la 20 en el texto. 41 M + B M + B p W = -------- +Kq + qK ------------pp p Esa ecuacin puede tranformarse en la tasa real de riqueza esperada, sustituyendo la tasa de inflacin observada por la tasa de inflacin esperada: p --- = t p Con lo cual se obtiene: M + B M+B We = -------- - ------- t+qK + Kqp p Si adems se asume que: q = 0 Esdecir,quelarelacinbonosademandadebonospermanececonstante,elresultado anterior para la tasa real de riqueza esperada se convierte en: M + B M+B We = -------- - ------- t+qK p p Finalmente, para mostrar que cuando esa definicin de la tasa de riqueza es cero, la tasa del ingresodisponibleesigualalatasadeconsumo,sesustituyelafuncininversin,dada por: dK I = ----- = K dt en la identidad del ingreso nacional, dada por: Y = C + I + G + oK 42 Obtenindose: Y = C + K + G + oK Despejando G de la expresin anterior: G = Y K oK - C y sustituyndola en la restriccin presupuestal obtenida en el apartado anterior, dada por: M + B ------- = G T p se obtiene: M + B ------- = Y K oK - C T p Sustituyendoesadefinicinparalasumadelatasarealdebonosydineroenlaltima definicin para la tasa real de riqueza esperada, dada por: M + B M+B We = -------- - ------- t+qK p p Se obtiene: M + B We = Y K oK - C T - --------- t + qK p Factorizando K y reordenando: M + B We = Y oK T - --------- t + (q-1)K - C p Sustituyendo ah la ltima definicin para el ingreso disponible esperado, dada por: 43 M + B Yd =Y oK T - -------- t + (q-1) K p Se obtiene: We = Yd - C Despejando el ingreso disponible esperado de esa ecuacin: Yd = We + C si la riqueza permanece intacta, entonces se cumple que: We = 0 lo que implica que el ingreso disponible esperado es igual al consumo: Yd = C ===========================================(Termina Procedimiento 13) IV. El modelo en su conjunto Los planteamientos del modelo de Sargent sobre la operacin de la produccin, el empleo, laacumulacin,losacervosfinancierosylastransacciones,seresumenenlassiguientes ecuaciones: w (I)---- = FN(K,N) p w (II)N = N ( --- ) p (III)Y = F(K,N) M + B (IV)C = C(Yd, r-t) =C{Y-T oK --------- t + [q(K, N, r-t, o)-1], r-t} p (V) I= I[q(K, N, r-t, o)-1] (VI)Y = C + I + G + oK (VII)M/p = m (r,Y) Con las siguientes variables exgenas: 44 -Acervo de capital, K -Tasa real de impuestos, T -Tasa de depreciacin, o -Oferta monetaria, M -Oferta de bonos, B -Tasa de inflacin esperada, t -Proporcin Valor de las acciones a capital fsico, q -Tasa real de gasto pblico, G Y las siguientes variables endgenas: -Empleo, N -Salario real, w/p -Produccin, Y -Consumo, C -Inversin, I -Tasa de inters, r -Precios, p Laprimeraecuacindelmodeloeslafuncindedemandadeempleoqueresultadela maximizacindelagananciaquerealizanlasfirmas;lasegunda,eslacondicinde equilibrioentrelaofertaylademandadeempleoy,finalmente,laterceraecuacinesla funcin de produccin linealmente homognea, con productividades marginales del capital ydelempleopositivasperodecrecientes.Lasolucincojuntadelasprimerasdos ecuacones resuelve los niveles del salario real y de empleo de la economa, dado el capital, eseniveldeempleoproporcionalaproduccindeequilibriodelaeconomaque,enese contexto, se encuentra enteramente determinada por el lado de la oferta; de hecho, ese nivel de produccin es la oferta agregada. Obsrvese que ni el salario, el empleo o la produccin se ven afectados por el resto de las variablesqueincluyeelmodelo,puestoqueelrestodelasvariablesnoentracomo argumentodelasprimerastresecuaciones.Porelcontrario,losnivelesdeproduccin, empleoy salarios que resultan de la solucin conjunta de esas tres ecuaciones, s influyen en el resto de las variables endgenas del modelo. Lasecuacionescuatroasieteoperanparaquelaeconomaarrojeelniveldedemanda agregadaqueequilibrelosacervosfinancierosygastosdelosagenteseconmicos,conla oferta agregada, implicando que todo el ajuste de la economa hacia el equilibrio se realiza porelladodelademandaagregaday,bajoelsupuestodequeeldineroesneutral,porel ajuste de las tasas de inters. Parapoderrealizarejerciciosdeestticacomparativa,esnecesariodefinirlaforma funcional de las ecuaciones implcitas del modelo; para ello, Sargent asume que el modelo tieneunasolucinyqueesasolucinesdinmicamenteestable,loqueimplicaquelas diferencialestotalesdelasvariablesendgenasdelmodelopuedeninterpretarsecomolas 45 desviacionesdecadavariableconrespectoasuniveldeequilibrio.Allinealizarlas ecuaciones anteriores, las diferenciales totales de las ecuaciones originales sirven, adems, para realizar el anlisis de la esttica comparativa del modelo. i)d(w/p) = FNNdN+FNKdKii)dN=Nd(w/p) iii)dY = FNdN+FKdK iv)dC = C1dY - C1dT - C1odK - C1 M+B dt - C1t(dM+dB - M+B dp)+C1[(q-1)dI+ p pp p + IqNdN+IqKdK + Iqr-tdr-Iqr-tdt]+C2drC2dt v)dI = IqNdN+IqKdK + Iqr-tdr-Iqr-tdt vi)dY = dC+dI+dG+odK vii)dM - M dp = mrdr + mYdY pp p En las siguientes demostraciones se obtienen esas diferenciales totales46: =============================================(Inicia Procedimiento 14) Procedimiento 14.- Obtiene la diferencial total de la ecuacin I del modelo de Sargent. De la ecuacin I: (w/p) = FN(K,N) Cuya diferencial total es: d(w/p) = FN dN + FN dK NK Puesto que, como se determin al definir las productividades marginales del capital y del trabajo: FN= FNN yFN= FNK NN entonces, la ecuacin anterior puede escribirse como la ecuacin i del modelo de Sargent: d(w/p) = FNN dN + FNK dK ===========================================(Termina Procedimiento 14) =============================================(Inicia Procedimiento 15) 46 Dada una funcin z = f(x,y), su diferencial total ser: dz = f dx + f dy xy 46 Procedimiento 15. Obtiene la diferencial total de la ecuacin II del modelo de Sargent. De la ecuacin II: N=N(w/p) Cuya diferencial total es: d(N) = Nd(w/p) (w/p) si se define: N= N (w/p) La ecuacin anterior puede escribirse como la ecuacin ii del modelo de Sargent: d(N) = N' d(w/p) ===========================================(Termina Procedimiento 15) =============================================(Inicia Procedimiento 16) Procedimiento 16.- Obtiene la diferencial total de la ecuacin III del modelo de Sargent. De la ecuacin III: Y = F(K,N) Cuya diferencial total es: dY = F dN + F dK NK Como se determin al momento de definir las productividades marginales del capital y del trabajo: F= FN yF= FK NK lo que implica que la ecuacin anterior puede escribirse como la ecuacin iii del modelo de Sargent: dY = FN dN + FK dK ===========================================(Termina Procedimiento 16) 47 =============================================(Inicia Procedimiento 17) Procedimiento17.-ObtieneladiferencialtotaldelaecuacinIVdelmodelode Sargent. De la ecuacin IV: C = C(Yd,r-t) Cuya diferencial total es: dC =C dYd + C(dr-dt) Yd( r-t) Como se determin al momento de definir la ecuacin consumo: _C_= C1 y_C_= C2 Yd (r-t) lo que implica que la ecuacin anterior puede escribirse: dC = C1 dYd + C2 (dr-dt) Puesto que, el ingreso disponible se defini como: Yd = Y T oK M+B t + (q-1)K p Cuya diferencial total, en el caso en que la depreciacin es constante, puede escribirse: dYd =YddY+ YddT+ YddK+ YddM+YddB+Yddt+Yddp+Yddq+ Yd dK YT K M B t pq K Considerandolaecuacindelingresodisponible,lasderivadasparcialesdelaecuacin anterior son: Yd= 1, Yd = -1, Yd = -o y Yd = (q-1), Y T K K En todos esos casos por la regla de la derivada de una constante por una variable. Asimismo,paraladerivadadeMyB,porlasreglasdeladerivadadeunasuma,un cociente y de un producto: 48 Yd= - p [t(M+B)- (M+B)t ] + (M+B)[ p] Mp2 MMp2M puesto que: _t_= 0 yp= 0, M M la ecuacin anterior puede expresarse: Yd= - p t(M+B) Mp2 M Adems, como: _M_= 1 yB= 0, MM La derivada parcial buscada es: Yd= - pt= - t M p2p De manera similar y por el mismo procedimiento, la derivada parcial del ingreso disponible con respecto a los bonos es: Yd=- t Bp Por su parte, la derivada parcial del ingreso disponible con respecto a la inflacin esperada, por las reglas de la derivada de un producto, es: Yd= - t (M+B)- (M+B) t t t pt Como: (M+B)= 0 y t= 1 tt el resultado anterior puede expresarse: Yd= - (M+B) t p 49 Conrelacinaladerivadadelingresodisponiblerespectoalprecio,porlaregladela derivada de un cociente, puede expresarse como: Yd=p(M+B)t + (M+B) tp=(M+B)t pp2 pp2p p2 Finalmente, en lo que respecta a la derivada parcial de Yd con respecto a q, sta es: Yd= K q Sustituyendo todas las derivadas parciales anteriores en la ltima expresin para la derivada total del ingreso disponible, dada por: dYd =YddY+ YddT+ YddK+ YddM+YddB+Yddt+Yddp+Yddq+ Yd dK YT K M B t pq K Se tiene que esa derivada total es: dYd = dY - dT - o dK - t (dM+dB) - (M+B)dt + (M+B)tdp+Kdq+(q-1)dK p pp2 Pero adems, como: q = Fk-(r+o-t) +1 r-t donde: Fk = F(K,N) La derivada total de q es: dq= q dK + q dN -q dr +q dt K N rt Porlaregladeladerivadadeuncocienteysustituyendolasexpresionesdadas anteriormente para la derivada de la productividad marginal del capital respecto al capital y al trabajo, se tiene que: q =(r-t)Fk = FKK K (r-t)2K (r-t) q =(r-t)Fk = FKN N (r-t)2N (r-t) 50 q = (r-t)(-1) [Fk-(r+o-t)](1) = -_1_ {[Fk-(r+o-t)]+1} = -q__ r (r-t)2 (r-t)(r-t) (r-t) q = (r-t)(1) [Fk-(r+o-t)](-1) = _1_ {[Fk-(r+o-t)]+1} = q__ t (r-t)2 (r-t)(r-t) (r-t) Sustituyendo las ltimas cuatro derivadas parciales en dq: dq= FKK dK + FKN dN -q (dr-dt) (r-t) (r-t)(r-t) Si se define: qK = FKK (r-t) qN = FKN (r-t) qr-t = -q (r-t) La derivada total de q, puede expresarse como: dq= qK dK + qN dN + qr-t (dr-dt) Sustituyendoeseresultadoenlaltimaexpresinparaladerivadatotaldelingreso disponible se obtiene: dYd =dY-dT-odK-t(dM+dB)-(M+B)dt+(M+B)tdp+(q-1)dK+K [qKdK+qNdN+qr-t(dr-dt)] pp p2 Como la variacin del capital respecto al tiempo est dada, en el modelo de Sargent, por: K = I, Y, adems, por esa misma definicin: dK = dI Se tiene que la diferencial total del ingreso disponible puede expresarse como: dYd =dY-dT-odK-t(dM+dB)-(M+B)dt+(M+B)tdp+(q-1)dI+I [qKdK+qNdN+qr-t(dr-dt)] pp p2 51 Sustituyendo la diferencial total del ingreso disponible, en la diferencial total del consumo, dada por: dC = C1 dYd + C2 (dr-dt) se obtiene: dC=C1{dY-dT-odK-t(dM+dB) - (M+B) dt+(M+B)tdp+(q-1)dI+I[qKdK+qNdN+qr-t(dr-dt)]} pp p2 + C2 (dr-dt) Reordenando: dC=C1dY-C1dT-C1odK-C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI + IqKdK+IqNdN+Iqr-tdr- Iqr-tdt] p pp p + C2dr- C2dt queesigualaladiferencialtotaldelconsumodadaporlaecuacinivdelmodelode Sargent. ===========================================(Termina Procedimiento 17) =============================================(Inicia Procedimiento 18) Procedimiento 18.- Obtiene la diferencial total de la inversin dada por la ecuacin v del modelo de Sargent Puesto que de la ecuacin V: I = I(q-1) Por la definicin de diferencial total: dI = I dq q Si se define: I = I q y se sustituye la ltima expresin para dq de el Procedimiento anterior, dada por: dq= qK dK + qN dN + qr-t (dr-dt) se obtiene: dI = I [qK dK + qN dN + qr-t (dr-dt)] = I qK dK + IqN dN + Iqr-t dr- Iqr-t dt que es la ecuacin v del modelo de Sargent. ===========================================(Termina Procedimiento 18) 52 =============================================(Inicia Procedimiento 19) Procedimiento19.-Obtieneladiferencialtotaldelademandaagregada,dadaporla ecuacin VI del modelo de Sargent. Por la ecuacin VI: Y = C + I + G + oK Si la depreciacin es constante y aplicando la definicin de la diferencial total a la ecuacin anterior, se obtiene directamente la ecuacin vi del modelo de Sargent: dY = dC + dI + dG + o dK ===========================================(Termina Procedimiento 19) =============================================(Inicia Procedimiento 20) Procedimiento 20.- Obtiene la diferencial total de la ecuacin de equilibrio de la oferta y demanda de dinero dada por la ecuacin VII del modelo de Sargent. Por la ecuacin VII: M/p = m(r,Y) Por la definicin de la diferencial total se tiene que, para la expresin que est a la izquierda del igual: d(M/p) = {[p M M p] dM+ [pM dp M p]dp}/p2 M Mpp Considerando que: M = 0p = 0 pM La expresin anterior es: dM M dp p p p Por su parte, para la expresin que est a la derecha del igual de la ecuacin VII, aplicando la definicin de la diferencial total se tiene que: dm = m dr + m dY rY 53 Si se define: m = mr r y m = mY Y La expresin para dm es: dm = mrdr + mrdY Igualandolasdiferencialesparalasexpresionesqueestnantesydespusdeligualdela ecuacin VII se obtiene la ecuacin vii del modelo de Sargent: dM M dp= mrdr + mrdY p p p ===========================================(Termina Procedimiento 20) V. La esttica comparativa del modelo Delanlisisdelaestticacomparativadelmodelosederivanlassiguientesconclusiones sobrelarespuestadelasvariablesendgenasalasmodificacionesenlasvariables exgenas: a)Todoaumentoautnomooexgenodelarcervodecapital,incrementaelsalario real,elempleoylaproduccin.Loscambiosautnomosdelacervodecapitalinciden directamenteenlaproduccin,perocomoimpactantambinalsalarioreal,modificanel niveldeempleoy,poresava,nuevamentealaproduccin.EnelmodelodeSargent, solamente los cambios autnomos del acervo de capital pueden modificar la produccin, el cambio en cualquier otra variable no tiene esa capacidad. -Matemticamente,elefectodelacervodecapitalsobreelsalariorealest dado por la ecuacin: d(w/p) = FNKdK > 0 1-FNNN queespositivaporque,porunlado,elnumeradordelarelacinqueseencuentraala derecha del igual en la ecuacin anterior es tambin positivo, debido al supuesto inicial de que no es posible sustituir capital por trabajo o viceversa y, por tanto, que los aumentos del capital incrementan el empleo:FNK >0, es decir 54 Y, por otro lado, a que el denominador es tambin positivo porque se asumi que: * la productividad marginal del trabajo es decreciente: FNN 0 Esossupuestosimplicanqueelresultadodemultiplicarladerivadadelaproductividad marginal del trabajo respecto al empleo por la derivada del empleo respecto al salario real es negativo: FNNN0 En el siguiente procedimiento, se comprueba que esa expresin para d(w/p) es vlida. ===========================================(Inicia Procedimiento 21) Procedimiento 21.- Obtiene el impacto de cambios en K sobre el salario real. Sustituyendo la ecuacin ii en i, dadas por: i) d(w/p) = FNNdN + FNKdK ii) dN = Nd(w/p) se obtiene: d(w/p) = FNN Nd(w/p) + FNKdK Pasando antes del igual, con signo contrario, el primer trmino que est a la derecha del igual, se obtiene: d(w/p) - FNN Nd(w/p) = FNKdK Factorizando d(w/p): (1 - FNN N)d(w/p) = FNKdK d(w/p) Despejando d(w/p), se comprueba que el impacto de dK sobreel salario real es: d(w/p) = FNKdK1-FNNN ===========================================(Termina Procedimiento 21) Porsuparte,elimpactodelasmodificacionesdelacervodecapitalsobreelempleo,se expresa matemticamente por la ecuacin: dN = NFNKdK > 0 55 1-FNNN que es positiva porque, como se acaba de mostrar, el trmino: FNK 1-FNNN espositivo;adems,comoelefectodelsalariorealsobrelaofertadeempleoestambin positivo: N > 0 Entonces dN es positivo. En el siguiente procedimiento se comprueba que la ltima expresin para dN es vlida. =============================================(Inicia Procedimiento 22) Procedimiento 22.Obtiene el impacto de cambios en K sobre el nivel de empleo. Sustituyendo la ltima expresin para d(w/p) en ii, se obtiene directamente el resultado deseado: ii) dN = Nd(w/p) entonces: dN = N FNKdK 1-FNNN ===========================================(Termina Procedimiento 22) Por ltimo, matemticamente el impacto de las modificaciones del acervo de capital sobre la produccin est dado por la expresin: dY = [N FNK + FK] dK >0 1-FNNN queespositivaporquecomosecomprobanteriormente,elprimertrminoespositivoy tambin porque, en el planteamiento del modelo, se asumi que la productividad marginal del capital es positiva. En el siguiente procedimiento se comprueba que esa expresin para dY es vlida. =============================================(Inicia Procedimiento 23) Procedimiento 23.Obtiene el impacto de cambios en K sobre el nivel de produccin. 56 Sustituyendo la ltima expresin para dN en iii, se obtiene directamente el resultado deseado: iii) dY = FN dN + FK dK entonces: dY = NFNKdK + FK dK = [NFNK+ FK] dK 1-FNNN1-FNNN ===========================================(Termina Procedimiento 23) b)Lasmodificacionesdecualquieradelasvariablesinvolucradasenelmodelode Sargent, distinas a los cambios autnomos del acervo de capital, no provocan cambios en el niveldeproduccin,empleoosalarios,dejandointactalaofertaagregada.Elcambiode cualquier variable distinta al acervo de capital solamente provoca que la demanda agregada seajustealaofertaagregada.Enparticular,enelcasoenqueloscambiosdepreciosno tienen efectos reales y el dinero es neutral; es decir, en el que la ecuacin de equilibrio de la oferta y demanda de dinero no impacta en el resto de las ecuaciones del modelo, se tendr que: -Losaumentosdeimpuestosreducenlatasadeinters,incrementandolainversin perodisminuyendoelconsumo,loquedejaintactalademandaagregadaensunivelde equilibrio con la oferta agregada.-Losaumentosdelgastopblicoincrementanlatasadeinters,reduciendotantola inversincomoelconsumoenlosnivelesnecesariosparacompensarelaumentooriginal delgastopblicoydejaralademandaagregadaensuniveldeequilibrioconlaoferta agreagada. -Lasvariacionesenlainflacinesperadaprovocanquelatasadeintersnominal cambie en el mismo sentido y magnitud, dejando intacta la tasa de inters real y anulando, por tanto, cualquier efecto de la inflacin esperada sobre la inversin y el consumo. Esasconclusionesdepolticapblica,cuyaexpresinmatemticasepresentaenlas demostraciones26a34,sesostienensiemprequesecumplanlossupuestosa,byc siguientes: a)Las modificaciones autnomas del acervo de capital son nulas; es decir; dK= 0 Lo cual implica que dY = dN = d(w/p) = 0, por las ltimas definiciones para esas variables. Con esos supuestos, se modifica la ecuacin diferencial del consumo, dada por: dC=C1dY-C1dT-C1odK-C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI + IqKdK+IqNdN+Iqr-tdr- Iqr-tdt] p pp p + C2dr- C2dt 57 al convertirla en: dC= -C1dT -C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI +Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt p pp p

cuandodK,dYydNsehacencero.Porelmismomotivo,laecuacindiferencialdela inversin, dada por: dI = IqNdN+IqKdK + Iqr-tdr-Iqr-tdt se convierte en: dI = Iqr-tdr-Iqr-tdt Finalmente, se modifica la ecuacin diferencial para la demanda agregada, dada por: dY = dC+dI+dG+odK al convertirla en: dY = dC+dI+dG = 0 b)Lasmodificacionesdepreciosydeldineronotienenefectosreales.Estees consideradoporSargentcomosupuestocentraldelmodeloclsico,ysecumplesiempre queeltrmino(M+B)esigualacero.EstesupuestoimplicaquedMydBsontambin cero, modificando la diferencial total del consumo, dada por: dC= -C1dT -C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI +Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt p pp p Al convertirla en: dC= -C1dT +C1 [(q-1)dI +Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt Conesoscambios,lacondicindeequilibriodelademandaagregada,puedeobtenerse, sustituyendo dC en la ltima ecuacin para dY: dY = -C1dT +C1 [(q-1)dI +Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt+ dI+dG = 0 Factorizando dI se obtiene: dY = -C1dT +[1+C1(q-1)]dI + C1[Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt+ dG = 0 Sustituyendo la ltima expresin para dI (con dK = 0): dY = -C1dT +[1+C1(q-1)] [Iqr-tdr-Iqr-tdt]+ C1[Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ dG = 0 58 Que puede factorizarse en trminos de dr y dt, quedando de la siguiente forma: -C1dT +{C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)]Iqr-t}dr-{C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)] Iqr-t}dt+ dG = 0 Si se define: H = {C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)]Iqr-t} Dicha expresin se convierte en: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 Queproporcionalaecuacinbasepararealizarelanlisisdelaestticacomparativadel modelo. En esa ecuacin H es la derivada parcial del ingreso respecto a la tasa de inters, como se demuestra a continuacin. =============================================(Inicia Procedimiento 24) Procedimiento 24. Obtiene la derivada parcial del ingreso respecto a la tasa de inters. Partiendo de la ecuacin base para realizar elanlisis de estticacomparativa del modelo, dada por: dY = -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 Igualando a cero todas las derivadas totales de esa ecuacin, con excepcin de dY y dr, se obtiene: dY = H dr despejando dY/dr, queda demostrado que H es la derivada parcial del ingreso respecto a la tasa de inters: dYdT = dt = dG = 0= Y = H drr ===========================================(Termina Procedimiento 24) c)Larespuestadelingresodisponibleantecambiosenlatasadeinterses negativa;esdecir,elingresodisponibleaumentacuandolatasadeintersdisminuyey viceversa.ElloimplicaqueeltrminoHesnegativo,significandoquesecumplela siguiente desigualdad: (-C2/C1) > Iqr-t+(q-1)Iqr-t En el siguiente procedimiento se comprueba que H es negativa siempre que se cumpla esa desigualdad. 59 =============================================(Inicia Procedimiento 25) Procedimiento 25. Obtiene la condicin para que H sea negativa. Si H es negativa debe cumplirse que: H = {C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)]Iqr-t} < 0 Realizando la multiplicacin de los parntesis cuadrados: H = {C1Iqr-t+C2+Iqr-t+C1(q-1)Iqr-t} < 0 Puesto que qr-t es negativa, dado que q es negativa: qr-t = -q < 0 (r-t) y,adems,Iespositiva,entonceseltrminoIqr-tesnegativo,locualsignificaquepara queHseanegativo,serequierequeelrestodelostrminosincluidosenHsumenuna cantidad negativa; es decir, que se cumpla que: {C1Iqr-t+C2+ C1(q-1)Iqr-t} < 0 Restando C2 a los dos lados de la desigualdad, se observa que esa expresin es equivalente a: {C1Iqr-t+ C1(q-1)Iqr-t} < - C2 Multiplicandoambosmiembrosdeladesigualdadanteriorpor1/C1,sedemuestraqueH ser negativa cuando se cumpla la condicin: {Iqr-t+ (q-1)Iqr-t} < - C2/C1 ===========================================(Termina Procedimiento 25) Enlasdemostracionessiguientesseobtienenlosimpactosdelasmodificacionesenlos impuestos, el gasto pblico y la inflacin esperada sobre la tasa de inters, la inversin y el consumo. =============================================(Inicia Procedimiento 26) Procedimiento 26. Obtiene el impacto de las variaciones en los impuestos sobre la tasa de inters. Partiendodelaecuacinbaseparaelanlisisdelaestticacomparativadelmodelo,dada por: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 60 Igualando a cero todas las derivadas totales ah incluidas, con excepcin de dT y dr: -C1dT + H drdt = dG = 0 = 0 despejandodr/dT,seobtieneelefectodecambiosenlosimpuestossobrelastasasde inters: dr dt = dG = 0=r= C1 < 0 dT TH que es negativa porque se asumi que la propensin a consumir, dada por C1, es positiva, y quelarespuestadelingresoalasmodificacionesenlatasadeinters,dadaporH,es negativa, lo cual implica que la relacin C1/H es negativa. ===========================================(Termina Procedimiento 26) =============================================(Inicia Procedimiento 27) Procedimiento27.Obtieneelimpactodelasvariacionesenelgastosobrelatasade inters. Partiendodelaecuacinbaseparaelanlisisdelaestticacomparativadelmodelo,dada por: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 Igualando a cero todas las derivadas totales ah incluidas, con excepcin de dG y dr: H dr+ dG dT = dt =0 = 0 despejando dr/dG, se obtiene el efecto de cambios en el gasto sobre las tasas de inters: dr dT = dt = 0=r= -1 > 0 dGG H queespositivaporqueseasumiquelarespuestadelingresoalasmodificacionesenla tasa de inters, dada por H, es negativa, lo cual implica que la relacin -1/H es positiva. ===========================================(Termina Procedimiento 27) =============================================(Inicia Procedimiento 28) Procedimiento 28. Obtiene el impacto de las variaciones en la inflacin esperada sobre la tasa de inters. Partiendodelaecuacinbaseparaelanlisisdelaestticacomparativadelmodelo,dada por: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 61 Igualando a cero todas las derivadas totales ah incluidas, con excepcin de dt y dr: H dr+ Hdt dT = dG =0 = 0 despejando dr/dt, se obtiene el efecto de cambios en el gasto sobre las tasas de inters: dr dT = dG = 0=r= 1 dtt que es idntica a la unidad, implicando que r cambia igual que t. ===========================================(Termina Procedimiento 28) =============================================(Inicia Procedimiento 29) Procedimiento29.Obtieneelimpactodelasvariacionesenlosimpuestossobrela inversin. Despejando dr de la ecuacin base para el anlisis de la esttica comparativa del modelo: dr = C1dT + dt - dG HH Sustituyendo ese resultado en la diferencial total de I, para dK = dY = 0, dada por: dI = Iqr-tdr-Iqr-tdt se obtiene: dI = Iqr-t|C1dT + dt - dG] -Iqr-t dt H H la cual puede escribirse: dI = Iqr-tC1dT + Iqr-tdt - Iqr-tdt - Iqr-tdG HH Eliminando trminos semejantes con signo contrario: dI = Iqr-tC1dT - Iqr-tdG HH Haciendo dG = 0: dI = Iqr-tC1dT dG =0 H Despejando dI/dT: 62 dI dG =0 = I = Iqr-tC1= Iqr-t r

> 0 dT TH T Puesto que como se comprob en el Procedimiento 26, r/T es negativa y debido a que I es positiva mientras que qr-t es negativa, el producto que se encuentra a la derecha del igual de esa ecuacin es positivo, lo que implica que los aumentos de impuestos incrementan la inversin.===========================================(Termina Procedimiento 29) ===========================================(Termina Procedimiento 30) Procedimiento30.Obtieneelimpactodelasvariacionesenelgastopblicosobrela inversin. Partiendo de la ecuacin: dI = Iqr-tC1dT - Iqr-tdG HH Haciendo dT = 0: dI = -Iqr-tdG dT =0 H Despejando dI/dG: dI dI =0 = I = -Iqr-t 1

= Iqr-t r

< 0 dG GHG Puesto que como se comprob en el Procedimiento 27, dr/dG es positiva y debido a que I es positiva mientras que qr-t es negativa, el producto que se encuentra a la derecha del igual de esa ecuacin es negativo, lo que implica que los aumentos del gasto pblico reducen la inversin. ===========================================(Termina Procedimiento 30) =============================================(Inicia Procedimiento