saldos insolutos

5/20/2018 SALDOS INSOLUTOS

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Departamento Acadmico de Actuara y Seguros Hoja: de 381

Matemticas Financieras IAmortizaciones

M.A. Fernando Jess Martnez Eissa

Act. Nadia Luca Marn Montes de Oca

Mxico, D.F. 2011Departamento Acadmico de

Actuara y Seguros


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Existen principalmente dos mtodos para el pago de unadeuda:

1. Amortizacin:Bajo este mtodo el deudor liquida su deudamediante pagos peridicos generalmente iguales que

incluyen los intereses y el capital.

Amortizaciones

2. Fondo de Amortizacin: El acreedor recibe pagosperidicos de intereses y el valor nominal de la deuda alfinal. Con la finalidad de hacer frente al ltimo pago, el

deudor crea un fondo por separado en el cual hacedepsitos peridicos de tal forma que despus del ltimodepsito el fondo tiene el valor de la deuda original.


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El saldo insoluto corresponde a la parte de la deuda no

cubierta a una determinada fecha de valuacin. Al inicio delperiodo es la deuda original y al final es cero.

Existen dos mtodos para determinar el valor del saldoinsoluto:

1. Mtodo prospectivo: El saldo insoluto en cualquiermomento es igual al valor presente de los pagos futuros(pendientes) evaluados a la fecha de valuacin.

Saldo Insoluto

En trminos generales, ambos mtodos son equivalentes.

2. Mtodo retrospectivo: El saldo insoluto en cualquier

momento es igual al monto original acumulado a la fechade valuacin, menos el monto acumulado de los pagosrealizados a la misma fecha de valuacin.


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En casos especficos se puede probar que algebraicamente

ambos mtodos son iguales. Por ejemplo, considere unprstamo por an icon una tasa de inters que i, que se pagarcon pagos de $1 al final de cada periodo durante nperiodos.Si se desea conocer el saldo insoluto del prstamo t periodosdespus que se otorg, se tendr:

Mtodo Prospectivo

tnt aSI

Mtodo Retrospectivo

it

t

int siaSI 1

Si se conoce el tamao y nmero depagos

Si no se conoce el tamao onmero de pagos o si se realizaun pago final irregular.

Saldo Insoluto


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Partiendo del mtodo retrospectivo, obtenemos:

it

t

int siaSI 1

i

ii

i

v tt

n 111

1

i

ivi ttnt 111

i

v tn 1

Igual al mtodo prospectivo.itn

a

Saldo Insoluto


7/39Departamento Acadmico de Actuara y Seguros Hoja: de 387

EJEMPLO I

Un prstamo se va a saldar mediante 10 pagos de $3,000,seguidos de 10 pagos de $2,000 al final de cada semestre. Si latasa nominal de inters semestral es 14%, encontrar el saldoinsoluto inmediatamente despus de 5 pagos.

SOLUCIN

Mtodo prospectivo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

%7105%755 000,2000,3 aaSI 712986.00236.7000,21002.4000,35 SI

316,225 SI

Saldo Insoluto



EJEMPLO I, (Continuacin)

Un prstamo se va a saldar mediante 10 pagos de $3,000,seguidos de 10 pagos de $2,000 al final de cada semestre. Si latasa nominal de inters semestral es 14%, encontrar el saldoinsoluto inmediatamente despus de 5 pagos.

SOLUCIN

Mtodo retrospectivo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

%755%710%7205 000,307.1000,1000,2 saaSI 252,1707.158.203,703.188,21 55 SI

316,22252,17568,395 SI

Saldo Insoluto



EJEMPLO II

Un prstamo se va a saldar mediante 15 pagos anuales de$1,200. Al momento del 5to. Pago, el deudor desea hacer unpago adicional de $3,000 y renegociar que el prstamo seliquide en el ao 12. Si la tasa efectiva de inters anual es 9%,encontrar el nuevo monto del pago anual.

SOLUCIN

701,7$200,1%9105 aSI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 11 12 13 1415

Dado que se realiza un pago adicional de $3,000, el saldo esde $4,701

934$701,4$%97

xxa

Saldo Insoluto



Es comn que se necesite un registro en el cual se indique

periodo a periodo el detalle del pago separando la parte quecorresponde a los intereses de la que abona a capital, con lafinalidad de que se conozca en todo momento el monto decontado con el cual se podr liquidar la deuda.

Por otro lado, esta separacin es til cuando se deseaconocer el importe pagado por concepto de intereses en undeterminado periodo para calcular deducciones o el pago deimpuestos.

Una tabla de amortizacin se construye con columnas quemuestran para cada periodo del pago: el monto del pago; elmonto de los intereses; el monto de abono a capital y el saldoinsoluto.

Tabla de Amortizacin



El monto de los pagos en una tabla de amortizacin

normalmente son iguales y vencidos.

it= SIt*iefectiva t

El capital amortizado corresponde a la diferencia entre elpago realizado y los intereses del periodo.

Los interesescontenidos en un pago, corresponden a aquellosque deben pagarse durante el periodo por tener una deudaigual al saldo insoluto al principio del periodo.

At=Pt-SIt*iefectiva t

El Saldo Insoluto al inicio del periodo t, corresponde al (saldoinsoluto del periodo t-1) - (capital Amortizado del tiempo t-1).

SIt= SIt-1-At-1

Tabla de Amortizacin



Suponga que se va a pagar una deuda D, con n pagosanuales iguales de montoX, entonces se satisface que:

Por lo tanto, el pago mensual se puede calcular como:inXaD

ina

DX

Tiempo Periodo Saldo Insoluto(inicio periodo)

Pago Intereses Amortizacin(Abono a Capital)

Amortizacin (Pagos Iguales)



Otro caso a considerar es cuando se realizan nm pagos

anuales iguales aX/m, entonces se satisface que:

Por lo tanto, el pago mensual se puede calcular como:

)(m

inXaD

)(m

in

ma

D

m

X




Tiempo Periodo Saldo Insoluto

(inicio periodo)Intereses

Amortizacin

(Abono a Capital)




EJEMPLO IIIUna deuda de $13,350 va a ser amortizada mediante 12pagos mensuales iguales vencidos. Si la tasa de inters anuales 17.83%, calcular el monto de los pagos y construir la tablade amortizacin correspondiente.

SOLUCINLa tasa efectiva mensual es:

82.222,1$350,13

%49.112

a

X

%49.112

%83.17efectivai

El monto de los pagos iguales es:




SOLUCIN, (Continuacin)La tabla de amortizacin es:

Tiempo Periodo Saldo Insoluto Pago Intereses Amortizacin

0 1 13,350.00 1,222.82 198.30 1,024.51

1 2 12,325.49 1,222.82 183.08 1,039.73

2 3 11,285.76 1,222.82 167.64 1,055.18

3 4 10,230.58 1,222.82 151.97 1,070.854 5 9,159.73 1,222.82 136.06 1,086.76

5 6 8,072.97 1,222.82 119.92 1,102.90

6 7 6,970.07 1,222.82 103.53 1,119.28

7 8 5,850.79 1,222.82 86.91 1,135.91

8 9 4,714.89 1,222.82 70.04 1,152.789 10 3,562.10 1,222.82 52.91 1,169.90

10 11 2,392.20 1,222.82 35.53 1,187.28

11 12 1,204.92 1,222.82 17.90 1,204.92

TOTALES 0.00- 14,673.80 1,323.80 13,350.00




EJEMPLO IVConsidere que una deuda de $15,000 va a ser amortizadamediante pagos semestrales durante un periodo de 3 aoscon una tasa de inters de 5% convertible semestral. Calcularel pago semestral y construir la tabla de amortizacin.

SOLUCIN

El pago semestral se calcula como: 25.723,2$22 )2(

%0625.53 a

DX

Tiempo Periodo Saldo Insoluto Pago Intereses Amortizacin

0 1 15,000.00 2,723.25 375.00 2,348.25

1 2 12,651.75 2,723.25 316.29 2,406.96

2 3 10,244.79 2,723.25 256.12 2,467.13

3 4 7,777.66 2,723.25 194.44 2,528.81

4 5 5,248.86 2,723.25 131.22 2,592.03

5 6 2,656.83 2,723.25 66.42 2,656.83

TOTALES 0.00- 16,339.50 1,339.50 15,000.00




En ocasiones existe la necesidad de que la deuda se paguepor medio de varios pagos por un monto arbitrario y al final unpago irregular por un monto inferior al que se vena pagando.

Para poder solucionar este tipo de problemas, se debedeterminar en primer lugar el nmero de pagos iguales quedeben hacerse, para que posteriormente se calcule el pago

irregular.

Amortizacin (Pago Irregular)



EJEMPLO V

Una deuda de $8,000 que devenga intereses al 5.14749%efectivo anual, debe ser pagada mediante pagos anuales de$1,500 mas un pago final, en caso de ser necesario. Construirla tabla de amortizacin correspondiente.

5.14749%na500,1$000,8$

SOLUCIN

39.60514749.1ln

%14749.5*500,1/000,81ln

n

Entonces, se realizan pagos de $1,500 durante 6 aos y al final

se realiza un pago final, el cual se calcula:7

6500,1$000,8$ Xva

5.14749%

600$500,1$000,8$

7

6

v

aX

5.14749%



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Periodo Saldo Insoluto Pago Intereses mortizacin

1 8,000.00 1,500.00 411.80 1,088.20

2 6,911.80 1,500.00 355.78 1,144.223 5,767.58 1,500.00 296.89 1,203.11

4 4,564.47 1,500.00 234.96 1,265.04

5 3,299.42 1,500.00 169.84 1,330.16

6 1,969.26 1,500.00 101.37 1,398.63

7 570.63 600.00 29.37 570.63

TOTALES 0.00 9,600.00 1,600.00 8,000.00

SOLUCIN (Continuacin)

Por lo tanto, la tabla de amortizacin queda de la siguientemanera:



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Puede darse el caso de que las tasas de inters durante la

vida del crdito cambien por 2 casos:

AMORTIZACIONES CON CAMBIO DE TASAS CONOCIDOSupongamos que se tendr una tasa i% durante k aos y j%

durante los siguientes n-kaos. Entonces el pago anualXdebesatisfacer: DaXvXa

jkn

k

iik

%%

%% jkn

k

iik ava

DX

1. Se conoce desde un inicio que existir cambio en la tasade inters despus de un periodo determinado, por lo queel pago debe contemplar dicho cambio.

2. No se conoce de antemano el cambio de tasas de inters,por lo que se debe reestructurar la deuda al momento enque se conoce el cambio en las tasas de inters.

Amortizaciones (cambio de tasas)


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Por lo tanto, la Tabla de Amortizacin se construye de la

siguiente manera:



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EJEMPLO VI

Una deuda de $10,000 se va a pagar mediante 3 pagosanuales vencidos iguales, el primer ao la tasa es de 5%, elsegundo y tercer ao es de 3%. Calcular el pago anual yrealizar la tabla de amortizacin correspondiente.

SOLUCIN

95.603,3$000,10$

%32%5

avv

X


1 10,000.00 3,603.95 500.00 3,103.95

2 6,896.05 3,603.95 206.88 3,397.07

3 3,498.98 3,603.95 104.97 3,498.98

TOTALES - 10,811.85 811.85 10,000.00



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AMORTIZACIONES CON CAMBIO DE TASAS DESCONOCIDO

Se calcula el pago anual sin considerar el cambio de tasas. Almomento de conocer el cambio de tasas, se recalcula elpago anual. Entonces el pago inicial satisface:

Despus de kperiodos y dado el cambio en la tasa de inters,se debe satisfacer:

jkn

ikn

iknjkn a

aXXaXaX

1

212

in

in aDXDaX 11



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Una vez determinado el nuevo pago anual, la Tabla de

Amortizacin se construye de la siguiente manera:



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EJEMPLO VII

Una deuda de $10,000 se va a pagar mediante 3 pagosanuales vencidos iguales, el primer ao la tasa es de 5%, elsegundo y tercer ao es de 3%. Calcular el pago anual yrealizar la tabla de amortizacin correspondiente, suponiendoque no se conoce el cambio en las tasas de inters.

SOLUCIN09.672,3$

000,10$

%53

1 a

X

Entonces cuando cambia el inters: 34.568,3$09.672,3$

%32

%52

2 a

aX


1 10,000.00 3,672.09 500.00 3,172.09

2 6,827.91 3,568.34 204.84 3,363.50

3 3,464.41 3,568.34 103.93 3,464.41

TOTALES - 10,808.77 808.77 10,000.00



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Tiempo

t

Periodo

[t,t+1)

saldo Insoluto

(Inicio Periodo)Pago Monto Intereses Abono a Capital

0 1

1 2

2 3

k-1 k

n-1 n

n n+1 0

nvaRPvnnvaRvPRnP

i

nnva

RPa

nvaRPvknvaRvPRkPi

knva

RPa

nvaRPvnvaRvPRPi

nva

RPa

nvaRPvnvaRvPRPi

nvaRPa

nvaRPvnvaRvPPi

nvaRPaD

ii

i

i

kn

ikn

knkn

ikn

kn

kn

ikn

ikn

nin

nnin

n

n

in

in

n

in

nn

in

n

n

in

in

n

ni

nn

ni

n

n

ni

in

11

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

22

222

2

2

2

2

1

1

11

1

1

1

1

1

111

1

111

1

212

2

11

1

1

Amortizacin (Pagos Variables, Aritmtico)


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EJEMPLO VIII

Un prstamo de $30,000 se pagar en 7 aos con pagoshechos al final de cada ao, los cuales siguen elcomportamiento de una serie aritmtica creciente a razn de$50 por cada ao. Si se considera que la tasa de inters es de6% efectiva anual Cul es el monto del inters pagado en el

quinto ao? a) b) c) d) e)1,800.00 1,593.86 1,372.35 1,134.55 879.48

t AoSaldo

InsolutoPago Intereses Abono

0 1 30,000.00 5,235.67 1,800.00 3,435.67

1 2 26,564.33 5,285.67 1,593.86 3,691.81

2 3 22,872.52 5,335.67 1,372.35 3,963.32

3 4 18,909.20 5,385.67 1,134.55 4,251.12

4 5 14,658.08 5,435.67 879.48 4,556.19

5 6 10,101.89 5,485.67 606.11 4,879.56

6 7 5,222.33 5,535.67 313.34 5,222.33

TOTAL 0.00 37,699.70 7,699.70 30,000.00

)e

SOLUCIN

Amortizacin (Pagos Variables, Aritmtico)

Fondos de Amortizacin


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Bajo este mtodo, el deudor le paga al acreedor los interesesy el valor nominal de la deuda al final del plazo (no se reducela deuda con los pagos).

Con la finalidad de poder hacer el ltimo pago, el deudor

crea un fondo por separado en el cual hace depsitosperidicos iguales de tal forma que despus del ltimodepsito el fondo tiene el valor de la deuda original. Asmismo, este fondo gana intereses, pero no necesariamente ala tasa que cobra el acreedor.

La suma del depsito que se hace en el fondo y los interesesque se pagan en cada periodo se conoce como el costo dela deuda por periodo.

Fondos de Amortizacin(Sinking Funds)



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Considere entonces que el fondo de amortizacin que se va aconstituir durante naos con mdepsitos cada ao a una tasade inters efectiva anual j y que se pagan intereses porperiodo a una tasa de inters efectiva anual i, el depsito quese hace en cada periodo al fondo X/m, considerando

depsitos iguales en cada periodo, debe satisfacer:

Valor nominal de la deuda (VND)= )(mjn

Xs

Intereses pagados en el periodo=(VND)*

m

i m)(

Donde j(m)e i(m)son las tasas de inters nominales equivalentesa las tasas de inters efectivas anualesje i, respectivamente.




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Por lo tanto:

Costo de la deuda por periodo

m

i

VNDms

VND m

mjn

)(

)(

)(

)(

1 mm

jn

ism

VND

)(

)(

11

m

n

m

ijj

mVND

Considerando que i=j, se tiene:

Costo de la deuda por periodo

n

m

n

nm

v

i

m

VND

i

ii

m

VND

111

1 )()(

)(m

inma

VND

Que corresponde al pago por periodo que se realiza en elpago de una deuda utilizando la tabla de amortizacin.




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En trminos generales, una tabla de fondo de amortizacin

sigue la siguiente estructura:




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EJEMPLO IXUna deuda de $5,000 que devenga intereses al 4% de inters

efectivo anual va a ser liquidada dentro de 4 aos. Losintereses se pagan anualmente. El valor nominal de la deudase va a acumular mediante un fondo de amortizacin al cualse le van a hacer aportaciones anuales y otorga un inters del4% efectivo anual.Cul es el importe de cada depsito?Cul es el costo anual de la deuda?Construya la tabla del fondo de amortizacin.

SOLUCIN

%44000,5$ Xs

45.177,1$000,5$

%44

s

X




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SOLUCIN (Continuacin)

Costo anual de la deuda= pago de intereses + depsitoIntereses=$5,000(4%)=$200

Costo anual de la deuda= $200 + $1,177.45=$1,377.45

Periodo

Fondo

Inicio

periodo

Intereses

Fondo

Depsito Incremento

Fondo

1 - 0.00 1,177.45 1,177.45

2 1,177.45 47.10 1,177.45 1,224.553 2,402.00 96.08 1,177.45 1,273.53

4 3,675.53 147.02 1,177.45 1,324.47

TOTALES 5,000.00 290.20 4,709.80 5,000.00




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Pagos Variables: Considere el caso en el cual se desea

conocer el importe de una deuda que es liquidada por unasucesin de pagos anuales u1,u2,u3,,un hechos a un fondo;estos pagos incluyen los intereses que son pagadosanualmente a una tasa de i% anual. Si el fondo generaintereses a una tasa j% efectiva anual, entonces la tabla del

fondo de amortizacin se construir de la siguiente forma:




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EJEMPLO X

Se paga una deuda en 3 aos mediante pagos vencidos de$1,000; $2,000 y $3,000 mediante el mtodo del fondo deamortizacin. Si la deuda genera intereses al 6% efectivoanual y el fondo acumula el 4% efectivo anual. Cul es elimporte de la deuda?

SOLUCIN

59.189,5$%73.18

60.161,6$X

Periodo

Fondo Inicio

periodo

Intereses Fondo Depsito Incremento

Fondo

1 - 0.00 1000-6%X 1000-6%X

2 1000-6%X (1000-6%X)*4% 2000-6%X 2040-6.24%X

3 3040-12.24%X (3040-12.24%X)*4% 3000-6%X 3121.6-6.49%X

4 6161.60-18.73%X

SeaXel monto de la deuda.




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EJEMPLO XIConsidere que en el Ejemplo X la tasa del fondo de

amortizacin y tasa de inters que genera la deuda soniguales y es de 4% efectivo anual. Cul es el importe de ladeuda?SOLUCIN

64.477,5$%49.12

60.161,6$X

SeaXel monto de la deuda.

Periodo

Fondo Inicio

periodo

Intereses Fondo Depsito Incremento

Fondo

1 - 0.00 1000-4%X 1000-4%X

2 1000-4%X (1000-4%X)*4% 2000-4%X 2040-4.16%X

3 3040-8.16%X (3040-8.16%X)*4% 3000-4%X 3121.6-4.33%X

4 6161.60-12.49%X

64.477,5$

04.1

000,3

04.1

000,2

04.1

000,132

XCalculando VP, tenemos:




38/39


Del ejemplo anterior, se observa que si la tasa de la deuda y la

del fondo de amortizacin son iguales, los pagos hechos bajoel mtodo de fondo de amortizacin son iguales a los hechosbajo el mtodo de amortizacin. Es decir:

n

k

kn

k jXiuX1

1

SiXrepresenta el monto de la deuda.

Entonces si i=j

n

k

knkn

k

n

k

kn

k jXjjujXjuX11

111




39/39

A partir del Ejemplo XI, se tiene la siguiente tabla de

amortizacin:

Periodo Saldo Insoluto Pago Intereses Amortizacin

1 5,477.64 1,000.00 219.11 780.89

2 4,696.75 2,000.00 187.87 1,812.13

3 2,884.62 3,000.00 115.38 2,884.62

0.00 6,000.00 522.36 5,477.64


saldos insolutos

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seguros hoja

pagarcon pagos

deudamediante pagos

tamao onmero de pagos

deuda original

valor nominal

misma fecha de valuacin

determinada fecha de