sadr zaj - prijava · 2012. 10. 29. · poglavlje 1 linearna algebra s matri cnim ra cunom 1.1...

Sadržaj

1 Linearna algebra s matričnim računom 31.1 Sustavi linearnih jednadžbi (linearni sustavi)-uvodni

primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Množenje matrice brojem . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Oduzimanje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Množenje dviju matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.4 Transponirana matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5 Potenciranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 Jedinična matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Determinanta kvadratne matrice . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Determinanta proizvoljnog reda . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Svojstva determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću determinanti-

Cramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.1 Diskusija rješenja linearnog sustava . . . . . . . . . . . 21

1.6 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.1 Opći postupak za izračunavanje inverza kvadratne ma-

trice A pomoću determinanti . . . . . . . . . . . . . . 241.6.2 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne

matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Rješavanje sustava Gaussovom metodom eliminacije-

metodom supstitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.1 Gaussova metoda na drugi način-metoda suprotnih ko-

eficijenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

SADRŽAJ 2

1.8 Gauss-Jordanova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora . . . . . . . . . . . . 37

2 Funkcije u ekonomiji 392.1 Linearni modeli u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1 Linearna funkcija troškova . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Linearna funkcija prihoda i dobiti . . . . . . . . . . . . 412.1.3 Funkcija potražnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.4 Funkcija ponude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.5 Ekvilibrij, model tržǐsta . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.6 Funkcija troškova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Statička analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Djelomična tržǐsna ravnoteža . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Sustavi linearnih jednadžbi (linearni sustavi) . . . . . . . . . . 502.5 Opća tržǐsna ravnoteža . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Ravnoteža u analizi nacionalnog dohotka . . . . . . . . . . . . 532.7 Metoda ulaza i izlaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Poglavlje 1

Linearna algebra s matričnimračunom

1.1 Sustavi linearnih jednadžbi (linearni sustavi)-uvodniprimjeri

Primjer 1x1 +x2 = 10−x1 +x2 = 0

Sustav ima jedinstveno rješenje:x1 = 5, x2 = 5

Primjer 2x1 −2x2 = −3

2x1 −4x2 = 8

Sustav nema rješenje.

Primjer 3x1 +x2 = 3

−2x1 −2x2 = −6

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

3

POGLAVLJE 1. LINEARNA ALGEBRA S MATRIČNIM RAČUNOM 4

Primjer 4 Riješite linearni sustav

x +2y +z = 12x +3y +z = 15

2x +y +z = 11

Rješenje:

Prvu jednadžbu pomnožimo sa −1 i dodamo je drugoj, a zatim prvujednadžbu pomnožimo sa −2 i dodamo trećoj jednadžbi:

−x −2y −z = −12x +3y +z = 15

−2x −4y −2z = −242x +y +z = 11

Sada zbrojimo parove prethodnih jednadžbi:

y = 3 −3y −z = −13 ⇒ −9− z = −13⇒ z = 4

Sada iz prve jednadžbe polaznog sustava x + 2y + z = 12 dobivamo

x + 2 · 3 + 4 = 12⇒ x = 2


x +2y +3z = 52x −y −z = 1x +3y +4z = 6

Rješenje: Prvu jednadžbu pomnožimo sa −2 i dodamo je drugoj, a zatimprvu jednadžbu pomnožimo sa −1 i dodamo trećoj jednadžbi:

−2x −4y −6z = −102x −y −z = 1

−x −2y −3z = −5x +3y +4z = 6


−5y −7z = −9 y +z = 1

Dobili smo sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:

−5y −7z = −9y +z = 1


Sada drugu jednadžbu pomnožimo s 5 i dodamo prvoj:

−5y −7z = −95y +5z = 5

⇒ −2z = −4 ⇒ z = 2

y + z = 1⇒ y + 2 = 1⇒ y = −1

x + 2y + 3z = 5⇒ x + 2 · (−1) + 3 · 2 = 5⇒ x = 1

Rješenje sustava:(x, y, z) = (1,−1, 2)


1.2 Matrice

Matrica je pravokutna tablica sastavljena od nekoliko redaka i stupaca ispu-njenim njezinim elementima. Ako matrica ima m redaka i n stupaca kažemoda je ona tipa m puta n, oznaka: (m,n), m · n ili m× n. Ako je broj redakamatrice jednak broju stupaca, tada kažemo da je ona kvadratna.

Matrice označavamo s:

A =

[2 3−1 4

]ili A =

(2 3−1 4

)Matrica A ima dva retka i dva stupca, ona je kvadratna drugog reda. Ele-menti 2, 4 od A tvore njenu glavnu dijagonalu, a elementi 3,−1 sporednu dijagonalu.Zbroj svih elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice A naziva setrag matrice i označava sa Tr (A).

Za za matricu A vrijedi:Tr (A) = 2 + 4 = 6.

Primjer 6 Matrica

B =

[1 3 9−1 4 −5

]ima dva retka i tri stupca, ona je tipa (2, 3).

Elemente matrice B označavamo s bij; prvi indeks i označava redak, a drugij stupac u kojem se on nalazi.

b12 = 3, b23 = −5

Matrica B je matrica sustava

x1 +3x2 +9x3 = 13−x1 +4x2 −5x3 = −1

Definicija 1 Matrica čiji su svi elementi nule naziva se nul-matrica ioznačava s O, neovisno o tome kojeg je tipa.

Primjer 7 Sljedeće su matrice nul-matrice:[0 0 00 0 0

],

[0 00 0

],[0 0 0

],

[00

].


1.3 Operacije s matricama

Zbroj dviju matrica A i B definira se u slučaju kada su one istog tipa, adobije se zbrajanjem odgovarajućih elemenata.

Primjer 8

A =

[1 −2 34 −5 6

],B =

[4 −3 2−4 5 −1

]

A + B =

[1 + 4 −2− 3 3 + 24− 4 −5 + 5 6− 1

]=

[5 −5 50 0 5

]


1.3.1 Množenje matrice brojem

Matrica A se množi brojem k tako se svaki element matrice A pomnožibrojem k; oznaka kA.

Primjer 9

k = 3, A =

[1 −2 34 −5 6

]

3 ·A =[

3 −6 912 −15 18

]

1.3.2 Oduzimanje matrica

Za proizvoljne matrice A,B istog tipa definira se

A−B = A + (−1) ·B,

tj. razlika dviju matrica istog tipa dobije se oduzimanjem odgovarajućihelemenata tih matrica.

Primjer 10

A =

[4 92 6

],B =

[1 75 4

]

A−B =[4 92 6

]−[1 75 4

]=

[4− 1 9− 72− 5 6− 4

]=

[3 2−3 2

]


1.3.3 Množenje dviju matrica

Neka je A matrica tipa (m, p), (tj. A ima m redaka i p stupaca), a B tipa(r, s), (tj. B ima r redaka i s stupaca). Produkt AB definiran je samoonda ako je p = r, tj. ako je broj stupaca prve matrice A jednak brojuredaka druge matrice B. Ako je umnožak definiran, onda je matrica ABtipa (m, s), tj. umnožak ima toliko redaka koliko ih ima prva matrica Ai toliko stupaca koliko ih ima druga matrica B. Neka je umnožak ABdefiniran i neka je

C = AB.

Tada se element cij matrice C, koji se nalazi u i−tom retku i j−tom stupcuod C, dobije tako da se elementi retka i matrice A pomnože ”na odgovarajućinačin” s elementima stupca j matrice B i tako dobiveni umnošci zbroje:cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj.

Za matrice A i B kažemo da su ulančane ako je definiran umnožak AB.Iz toga ne mora slijediti da su isto i matrice B i A ulančane.

Primjer 11 Odredite umnoške AB i BA za matrice:

A =[3 5

],B =

[−14

]Umnožak AB je definiran jer matrica A ima toliko stupaca, (2) koliko

matrica B ima redaka, (2). Umnožak AB=C ima jedan redak i jedanstupac koje dobijemo na sljedeći način:

AB =[3 5

]·[−14

]=[3 · (−1) + 5 · 4

]=[17]

Umnožak BA je takoder definiran jer matrica B ima toliko stupaca, (1)koliko matrica A ima redaka, (1). Umnožak BA=D ima dva retka i dvastupca koje dobijemo na sljedeći način:

BA =

[−14

]·[3 5

]=

[(−1) · 3 (−1) · 5

4 · 3 4 · 5

]=

[−3 −512 20

]Primjer 12 Odredite umnoške AB i BA za matrice:

A =

[3 54 6

],B =

[−1 04 7

]


Umnožak AB je definiran jer matrica A ima toliko stupaca, (2) kolikomatrica B ima redaka, (2). Umnožak AB=C ima dva retka i dva stupcakoje dobijemo na sljedeći način:

AB =

[3 54 6

]·[−1 04 7

]=

c113 · (−1) + 5 · 4 c123 · 0 + 5 · 7c21

4 · (−1) + 6 · 4c22

4 · 0 + 6 · 7

AB =

[17 3520 42

]Umnožak BA je takoder definiran jer matrica B ima toliko stupaca, (2)koliko matrica A ima redaka, (2). Umnožak BA=D ima dva retka i dvastupca:

BA =

[−1 04 7

]·[3 54 6

]=

d11(−1) · 3 + 0 · 4 d12(−1) · 5 + 0 · 6d21

4 · 3 + 7 · 4d22

4 · 5 + 7 · 6

BA =

[−3 −540 62

].

Primjer 13 Neka su zadane matrice:

A =

1 32 84 0

,B = [59

]

AB =

1 32 84 0

· [59

]=

c11

a11 · b11 + a12 · b21c21

a21 · b11 + a22 · b21c31

a31 · b11 + a32 · b21

AB =

1 · 5 + 3 · 92 · 5 + 8 · 94 · 5 + 0 · 9

=3282

20

Umnožak BA nije definiran jer broj stupaca matrice B nije jednak brojuredaka matrice AB.


Primjer 14 Odredite umnoške AB i BA matrica:

A =

[1 0 −23 −5 2

],B =

2 −3−1 04 5

Umnožak AB = C je definiran jer matrica A ima toliko stupaca, (3)

koliko matrica B ima redaka, (3). Umnožak AB ima dva retka i dva stupca:

AB =

c111 · 2 + 0 · (−1) + (−2) · 4 c121 · (−3) + 0 · 0 + (−2) · 5c21

3 · 2 + (−5) · (−1) + 2 · 4c22

3 · (−3) + (−5) · 0 + 2 · 5

AB =

[−6 −1319 1

]

BA =

2 −3−1 04 5

· [1 0 −23 −5 2

]

=

d11

2 · 1 + (−3) · 3d12

2 · 0 + (−3) · (−5)d13

2 · (−2) + (−3) · 2d21

(−1) · 1 + 0 · 3d22

(−1) · 0 + 0 · (−5)d23

(−1) · (−2) + 0 · 2d31

4 · 1 + 5 · 3d32

4 · 0 + 5 · (−5)d33

4 · (−2) + 5 · 2

BA =

−7 15 −10−1 0 219 −25 2

Primjer 15 Odredite umnoške AB i BA matrica:

A =

[2 1−1 3

],B =

[4 01 2

]Umnožak AB = C je definiran jer matrica A ima toliko stupaca, (3) kolikomatrica B ima redaka, (3). Umnožak AB ima dva retka i dva stupca:

AB =

[2 1−1 3

]·[4 01 2

]=

c112 · 4 + 1 · 1 c122 · (0) + 1 · 2c21

(−1) · 4 + 3 · 1c22

(−1) · 0 + 3 · 2


AB =

[9 2−1 6

]Umnožak BA = D je definiran jer matrica B ima toliko stupaca, (2)

koliko matrica A ima redaka, (2). Umnožak BA ima dva retka i dva stupca:

BA =

[4 01 2

]·[

2 1−1 3

]=

[d11

4 · 2 + 0 · (−1)d12

4 · 1 + 0 · 3d21 = 1 · 2 + 2 · (−1) d22 = 1 · 1 + 2 · 3

]

BA =

[8 40 7

]Za množenje realnih brojeva vrijedi: ako je umnožak xy = 0, tada je ili x = 0ili y = 0 ili x = 0 i y = 0. Sljedeći primjer pokazuje da analogno svojstvo nevrijedi za produkt matrica.

Primjer 16 Odredite umnožak AB ako je:

A =

[4 22 1

],B =

[3 −4−6 8

].

AB =

[4 22 1

]·[

3 −4−6 8

]=

c114 · 3 + 2 · (−6) c124 · (−4) + 2 · 8c21

2 · 3 + 1 · (−6)c22

2 · (−4) + 1 · 8

AB =

[0 00 0

]Primjer 17 Odredite umnoške AB i AC ako je:

A =

[4 22 1

],B =

[1 12 1

],C =

[2 20 −1

]

AB =

[4 22 1

]·[1 12 1

]=

d114 · 1 + 2 · 2 d124 · 1 + 2 · 1d21

2 · 1 + 1 · 2d22

2 · 1 + 1 · 1

AB =

[8 64 3

]


AC =

[4 22 1

]·[2 20 −1

]=

e114 · 2 + 2 · 0 e124 · 2 + 2 · (−1)e21

2 · 2 + 1 · 0e22

2 · 2 + 1 · (−1)

AC =

[8 64 3

]Dakle, AB = AC i A nije nulmatrica, ali je B 6= C. Za realne brojevevrijedi: ako je ab = ac i a 6= 0, onda je b = c.

Napomena 1 Ako su matrice A, B, C odgovarajućeg tipa, te k ∈ R,tadavrijede sljedeća svojstva:

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B + C) = AB + AC

3. (A + B)C = AC + BC

4. k(AB) = (kA)B

5. A(kB) = k(AB).


1.3.4 Transponirana matrica

Transponirana matrica matrice A je matrica koja se označava s At ili sA′ , a iz matrice A dobije se tako da svaki redak od A postaje odgovarajućistupac od At.

Primjer 18

A =

−7 15−1 019 −25

⇒ A′ = [−7 −1 1915 0 −25

]


1.3.5 Potenciranje matrica

Za n prirodan broj (n ∈ N) definiramo potenciranje kvadratnih matrica:

A0 = I,A1 = A,A2 = A ·A,A3 = A2 ·A, ...,An = An−1·A.

A =

1 −2 40 5 30 0 2

⇒ A2 =1 −12 60 25 21

0 0 4

1.3.6 Jedinična matrica

Matrice

I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

zovemo jedinične matrice drugog, trećeg, četvrtog reda, koje kraće označavamos I ako posebno ne naznačujemo njihov red.

Jedinična matrica ima svojstvo u množenju matrica koje ima broj 1 uarutmetici realnih brojeva. U aritmetici realnih brojeva vrijedi: a · 1 =1 · a = a. U aritmetici matrica analogno svojstvo glasi: Im · A = A iA · In = A, gdje je A matrica tipa (m,n).

Ako je A kvadratna matrica n-tog reda, tada vrijedi:

InA = AIn = A.

Primjer 19

A =

[1 −25 3

]⇒ I2 ·A =

[1 00 1

]·[1 −25 3

]=

[1 −25 3

]= A,

A · I2 =[1 −25 3

]·[1 00 1

]=

[1 −25 3

]= A

Matrični polinom je izraz oblika

P (A) = anAn + an−1A

n−1 + ... + a1A + a0Ik,

gdje je A kvadratna matrica k−tog reda, Ik jedinična matrica te ai ∈ Rsu realni brojevi.


Primjer 20 Odredite vrijednost polinoma P (x) = x2 − 3x + 2 za matricu:

A =

[11 7−2 4

].

A2 =

[11 7−2 4

] [11 7−2 4

]=

[107 105−30 2

]P (A) = A2 − 3A + 2I2

P (A) =

[107 105−30 2

]− 3[

11 7−2 4

]+ 2 ·

[1 00 1

]=

[76 84−24 −8

].

1.4 Determinanta kvadratne matrice

Determinanta prvog reda matrice A =[a11]

je broj a11, pǐsemo: det A =a11.

Primjer 21A =

[−4]⇒ det A = −4.

Determinanta drugog reda matrice

A =

[a11 a12a21 a22

]je broj det A = a11 · a22 − a12 · a21.

Primjer 22 A =

[1 −45 3

]⇒ detA =

∣∣∣∣1 −45 3∣∣∣∣ = 1 · 3− (−4) · 5 = 23.

Definicija 2 Determinanta trećeg reda matrice

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

je broj koji se može dobiti pomoću Sarrusova pravila, koje vrijedi samo zadeterminante trećeg reda.


Primjer 23

detA = |A| =

∣∣∣∣∣∣−3 4 21 0 −45 6 3

∣∣∣∣∣∣ =−3 4 2 −3 41 0 −4 1 05 6 3 5 6

=

= (−3) ·0 ·3+4 ·(−4) ·5+2 ·1 ·6−(2 ·0 ·5+6 ·(−4) ·(−3)+4 ·1 ·3) = −152


1.4.1 Determinanta proizvoljnog reda

Neka je A kvadratna matrica reda n > 1. Minora odredenog elementa ma-trice A je determinanta matrice, reda n−1, koju dobijemo tako da izostavimoredak i stupac u kojima se taj element nalazi. Ako se taj element nalazi u1. retku i 3. stupcu, onda se odgovarajuća minora označava sa M13. Alge-barski komplement (kofaktor) navedenog elementa matrice A označavase sa A13, a izračunava se po formuli

A13 = (−1)1+3M13.

Determinanta kvadratne matrice n−tog reda, n > 1, može seizračunati tako da se svaki element odredenog retka, odnosno stupca, pomnožisvojim algebarskim komplementom i dobiveni umnošci zbroje. Tada segovori o razvoju determinante po odgovarajućem retku, odnosno stupcu.Ovakav način računanja determinante mora se primijeniti za determinantereda n ≥ 4.

Primjer 24

A =

−3 4 21 0 −45 6 3

, Aij = (−1)i+jMijM11 je determinanta matrice, koju dobijemo tako da izostavimo 1. re-

dak i 1. stupac matrice A .

M11 =

∣∣∣∣0 −46 3∣∣∣∣ = −(−24) = 24⇒ A11 = (−1)1+1 ·M11 = 24

M12 =

∣∣∣∣1 −45 3∣∣∣∣ = 3− (−20) = 23⇒ A12 = (−1)1+2 ·M12 = −23

M13 =

∣∣∣∣1 05 6∣∣∣∣ = 6⇒ A13 = (−1)1+3 ·M13 = 6

Razvojem po prvom retku matrice A dobijemodetA = a11 ·A11 + a12 ·A12 + a13 ·A13 = (−3) · 24 + 4 · (−3) + 2 · 6 = −152


1.4.2 Svojstva determinanti

Vrijede sljedeća pravila:

(a) Determinanta se množi nekim brojem tako da se bilo koji redak ili bilokoji stupac pomnoži tim brojem.

(b) Vrijednost se determinante ne mijenja ako svim elementima nekog retka(ili stupca) dodamo odgovarajuće elemente nekog drugog retka (ilistupca) eventualno pomnožene s istim brojem-različitim od nule.

(c) Ako su dva retka (ili stupca) jednaka ili proporcionalna, onda je vri-jednost te determinate jednaka nuli.

d Ako u matrici A medusobno zamijene mjesta dva retka (stupca), vri-jednost determinante mijenja predznak.

Primjer 25

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 23 1 4 12 1 −1 21 1 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣r2 − 3r1r3 − 2r1r4 − r1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 20 4 1 −50 3 −3 −20 2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣(razvoj po 1. stupcu)=

∣∣∣∣∣∣2 −3 −13 −3 −24 1 −5

∣∣∣∣∣∣=2


1.5 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoćudeterminanti-Cramerovo pravilo

Neka je zadan sustav :

a11x1 +a12x2 = b1a21x1 +a22x2 = b2

s dvije jednadžbe i dvije nepoznanice. Brojevi aij zovu se koeficijentiuz nepoznanice, a bi slobodni članovi sustava. Ako su svi slobodničlanovi sustava jednaki nuli, sustav je homogen; inače je nehomgen. Uznavedeni sustav vezane su matrice

A =

[a11 a12a21 a22

]i Ap =

[a11 a12 b1a21 a22 b2

].

Matrica A naziva se matrica sustava, a Ap proširena matrica sustava.Analogno razmatranje provodimo za sustave s vǐse od dvije nepoznanice .

Za rješavanje navedenih sustava koristi se tzv. Cramerovo pravilo:

(1) Sustav ima jedinstveno rješenje ako je detA 6= 0. U tom slučajurješenje sustava dobiva formulom:

x1 =detA1detA

, x2 =detA2detA

,

gdje je A1 matrica koja se dobije iz A tako da se 1. stupac iz A zamijenis elementima matrice:

B =

[b1b2

],

a A2 matrica koja se dobije iz A tako da se 2. stupac iz A zamijeni selementima matrice:B.

(2) Ako je detA = 0 i ako su i sve preostale determinante detAk = 0, ondaje sustav neodreden, odnosno ima beskonačno mnogo rješenja.

(3) Ako je detA = 0 i barem jedna od preostalih determinanti detAk 6= 0,onda sustav nema ni jedno rješenje; za njega kažemo da je nekonzis-tentan ili nemoguć.


Primjer 26 Pomoću determinanti riješite sljedeći sustav:

2x1 +6x2 = 22−x1 +5x2 = 53

Rješenje:

D =

∣∣∣∣ 2 6−1 5∣∣∣∣ = 2 · 5− 6 · (−1) = 16 6= 0

sustav ima jedinstveno rješenje!

D1 =

∣∣∣∣22 653 5∣∣∣∣ = 22 · 5− 6 · 53 = −208,

D2 =

∣∣∣∣ 2 22−1 53∣∣∣∣ = 2 · 53− 22 · (−1) = 128

x1 =D1D

= −20816

= −13, x2 = D2D =12816

= 8Kontola: Uvrste se dobivena rješenja u sve jednadžbe sustava.

1.5.1 Diskusija rješenja linearnog sustava

Primjer 27 U ovisnoti o realnom parametru diskutirajte rješenje sustava

(m + 1) x +3 y = 3x +(m− 1) y = 1

D =

∣∣∣∣m + 1 31 m− 1∣∣∣∣ = (m + 1) · (m− 1)− 3 · 1 = m2 − 4 = (m− 2)(m + 2)

D1 =

∣∣∣∣3 31 m− 1∣∣∣∣ = 3 · (m− 1)− 3 · 1 = 3m− 6 = 3(m− 2)

D2 =

∣∣∣∣m + 1 31 1∣∣∣∣ = (m + 1) · 1− 3 · 1 = m− 2

1. Sustav ima jedinstveno rješenje ako je D 6= 0.

(m− 2)(m + 2) 6= 0Rightarrowm 6= 2 i m 6= −2

Rješenje:x = D1

D= 3(m−2)

(m−2)(m+2) =3

m+2y = D2

D= m−2

(m−2)(m+2) =1

m+2


2. Za m = 2⇒ D = 0, D1 = 0, D2 = 0 sustav ima beskonačno mnogorješenja.

3x + 3y = 3x + y = 1

⇒ x + y = 1x + y = 1

dvije iste jednadžbe!

3. Za m = −2⇒ D = 0, D1 = −4. Sustav nema rješenje.−x + 3y = 3x− 3y = 1 ⇒ 0 = 4!?!


2x1 −4x2 −x3 = 0−x1 +2x2 +2x3 = 63x1 +6x2 = 6

D =2 −4 −1 2 −4−1 2 2 −1 23 6 0 3 6

= −36, D1 =

∣∣∣∣∣∣0 −4 −16 2 26 6 0

∣∣∣∣∣∣ = −72,D2 =

∣∣∣∣∣∣2 0 −1−1 6 23 6 0

∣∣∣∣∣∣ = 0, D3 =∣∣∣∣∣∣

2 −4 0−1 2 63 6 6

∣∣∣∣∣∣ = −144x1 =

D1D

=−72−36

= 2, x2 =D2D

=0

−36= 0, x3 =

D3D

=−144−36

= 4

Kontola: Uvrste se dobivena rješenja u sve jednadžbe sustava.


x1 +2x2 +3x3 = 42x1 +x2 −x3 = 33x1 +3x2 +2x3 = 7

D = 0, D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0, ⇒ sustav ima bskonačno mnogorješenja


x1 +2x2 +3x3 = 42x1 +4x2 +6x3 = 33x1 +x2 −x3 = 1

D = 0, D1 = −25 6= 0 ⇒ sustav nema ni jedno rješenje


1.6 Inverzna matrica

Neka je A kvadratna matrica. Inverzna matrica (inverz) matrice Aje takva matrica A−1 za koju vrijedi:

A ·A−1 = A−1 ·A = I,gdje je I jedinična matrica istog reda kao i A. Za kvadratnu matricu Akažemo da je regularna ako ona ima inverz, tj. ako je detA 6= 0.

Matrica B =

[5 −2−2 1

]inverz matrice A =

[1 22 5

]:

AB =

[1 22 5

]·[

5 −2−2 1

]=

[5− 4 2− 2

10− 10 −4 + 5

]=

[1 00 1

]= I

BA =

[5 −2−2 1

]·[1 22 5

]=

[5− 4 10− 102− 2 −4 + 5

]=

[1 00 1

]= I

Slijedi: B inverz od A, tj. A−1 = B.

Primjer 31 Pokažite da je matrica B = 1ad−bc

[d −b−c a

]inverz matrice A =[

a bc d

]ako je ad− bc 6= 0.

BA =1

ad− bc

[d −b−c a

]·[a bc d

]=

1

ad− bc

[ad− bc 0

c ad− bc

]=

[1 00 1

]= I

Analogno dobivamo AB =I, pa je B inverz od A, tj. A−1 = B.

Napomena 2 Ovu ćemo činjenicu koristiti u nastavku. Ne postoji sličnopravilo za matrice većeg reda.

Primjer 32 Koristeći se rezultatom iz prethodnog zadataka, izračunajte inverzmatrice:

A =

[3 45 6

]Rješenje:

A−1 =1

detA

[6 −4−5 3

]=

1

−2

[6 −4−5 3

]=

[−3 252−3

2

]


1.6.1 Opći postupak za izračunavanje inverza kvadratnematrice A pomoću determinanti

(1) Izračunati detA. Ako je detA = 0, inverz ne postoji. Ako je detA 6= 0,nastaviti računati.

(2) Izračunati sve algebarske komplemente (kofaktore) matrice A i formi-rati matricu kofaktora Ak.

(3) Transponirati matricu kofaktora:adj (A)= (Ak)

t = A∗ - adjunkta od A

(4) Izračunati inverz od A po formuli:

A−1 =1

detA·A∗.

(5) Provjeriti da li vrijedi jednakost: A ·A−1 = A−1 ·A = I.

Primjer 33 Odredite inverz matrice A =

[a bc d

]ako je ad− bc 6= 0.

(1) detA =

∣∣∣∣a bc d∣∣∣∣ = ad− bc ⇒ inverz postoji ako je ad− bc 6= 0

(2) Matrica kofaktora Ak je sastavljena od kofaktora Aij elemenata aijmatrice A koji se izračunavaju po formuli:

Aij = (−1)i+j ·Mij.

Minora Mij elementa aij je determinanta matrice koju dobijemo tako daizostavimo i-ti redak i j-ti stupac matrice A.

Ak =

A11∣∣d∣∣ A12− ∣∣c∣∣A21

−∣∣b∣∣ A22∣∣a∣∣

⇒ Ak = [ d −c−b a]−matrica kofaktora

(3) A∗ = adj(A) =

[d −b−c a

]− adjunkta od A

(4) A−1 = 1detA· A∗ = 1

ad−bc ·[d −b−c a

](5) AA−1 =

[a bc d

]· 1ad−bc

[d −b−c a

]AA−1 =

1

ad− bc

[ad− bc 0

0 ad− bc

]=

[1 00 1

]= I


A−1A =1

ad− bc·[d −b−c a

] [a bc d

]=

[1 00 1

]= I

Primjer 34 Izračunajte inverz matrice:

A =

3 1 2−2 5 41 3 6

(1)

detA =

∣∣∣∣∣∣3 1 2−2 5 41 3 6

∣∣∣∣∣∣ = 48⇒ inverz postoji(2) Matrica kofaktora Ak je sastavljena od kofaktora Aij elemenata aij

matrice A koji se izračunavaju po formuli:

Aij = (−1)i+j ·Mij.

Minora Mij elementa aij je determinanta matrice koju dobijemo tako daizostavimo i-ti redak i j-ti stupac matrice A.

Ak =

A11∣∣∣∣5 43 6∣∣∣∣

A12

−∣∣∣∣−2 41 6

∣∣∣∣A13∣∣∣∣−2 51 3

∣∣∣∣A21

−∣∣∣∣1 23 6

∣∣∣∣A22∣∣∣∣3 21 6∣∣∣∣

A23

−∣∣∣∣3 11 3

∣∣∣∣A31∣∣∣∣1 25 4∣∣∣∣

A32

−∣∣∣∣ 3 2−2 4

∣∣∣∣A33∣∣∣∣ 3 1−2 5

∣∣∣∣

Ak =

18 16 −110 16 −8−6 −16 17

matrica kofaktoraDetaljni izračun kofaktora:

A11 = M11 =

∣∣∣∣5 43 6∣∣∣∣ = 30− 12 = 18, A12 = −M12 = − ∣∣∣∣−2 41 6

∣∣∣∣ = 16,A13 = M13 =

∣∣∣∣−2 51 3∣∣∣∣ = −6− 5 = −11, A21 = −M21 = − ∣∣∣∣1 23 6

∣∣∣∣ = 0,


A22 = M22 =

∣∣∣∣3 21 6∣∣∣∣ = 18− 2 = 16, A23 = −M23 = − ∣∣∣∣3 11 3

∣∣∣∣ = −8,

A31 = M31 =

∣∣∣∣1 25 4∣∣∣∣ = 4− 10 = −6, A32 = −M32 = − ∣∣∣∣ 3 2−2 4

∣∣∣∣ = −16,A33 = M33 =

∣∣∣∣ 3 1−2 5∣∣∣∣ = 15 + 2 = 17

(3) A∗ =

18 0 −616 16 −16−11 −8 17

− adjunkta od A(4)

A−1 =1

detA· A∗ = 1

48·

18 0 −616 16 −16−11 −8 17

(5)

AA−1 =

3 1 2−2 5 41 3 6

· 148

18 0 −616 16 −16−11 −8 17

=1

48

48 0 00 48 00 0 48

=1 0 00 1 0

0 0 1

= IA−1A =

1

48·

18 0 −616 16 −16−11 −8 17

3 1 2−2 5 41 3 6

= I


1.6.2 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoćuinverzne matrice

Primjer 35 Riješite pomoću inverzne matrice sustav:5x1 −6x2 +4x3 = 33x1 −3x2 +2x3 = 24x1 −5x2 +2x3 = 1

.

Zadani sustav se može napisati u obliku:

5 −6 43 −3 24 −5 2

·x1x2x3

=32

1

.Uz oznake A =

5 −6 43 −3 24 −5 2

, X =x1x2x3

, B =32

1

, Zadani sustav se moženapisati u obliku matrične jednadžbe:

A ·X = B,

koja općenito, ako je rješiva pomoću inverzne matrice, ima rješenje:

X = A−1 ·B.

A−1 =1

−4

4 −8 02 −6 2−3 1 3

X = A−1B = −14

4 −8 02 −6 2−3 1 3

321

= −14

12− 166− 12 + 2−9 + 2 + 3

=11

1

x1x2x3

=11

1

⇒ x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1Primjer 36 Riješite pomoću inverzne matrice sustav:

4x1 +3x2 = 282x1 +5x2 = 42


A =

[4 32 5

], X =

[x1x2

], B =

[2842

]detA = 14

A−1 =1

14

[5 −3−2 4

],

[x1x2

]= X = A−1B =

1

14

[5 −3−2 4

] [2842

]=

[18

]⇒[x1x2

]=

[18

]⇒ x1 = 1, x2 = 8

1.7 Rješavanje sustava Gaussovom metodom eliminacije-metodom supstitucije

Do sada smo upoznali dvije metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi:

(a) pomoću determinanata,

(b) pomoću inverzne matrice.

Navedene metode mogu se primijeniti samo u slučaju kada je broj jed-nadžbi jednak broju nepoznanica. Metoda, koju ćemo sada opisati, nematakvo ograničenje. Sustav linearnih jednadžbi kraće zovemo linearni sus-tav.

Primjer 37 Linearni sustav

x +y −z = 3−x +y +2z = 2

možemo riješiti tako da iz prve jednadžbe nademo (x = 3−y+z), to uvrstimou drugu, pa ćemo dobiti −3+y−z+y+2z = 2⇒ z = 5−2y. Sada ovaj izrazza z uvrstimo u formulu za x: x = 3−y+z ⇒ x = 3−y+5−2y ⇒ x = 8−3y.Rješenje sustava je:

x = 8− 3y, z = 5− 2y.

Za y = 2 dobijemo x = 2, z = 1, a za y = 52

dobijemo x = 12, z = 0.



x +y −z = 3−x −y +z = 2

nema rješenje jer zbrajanjem ovih jednadžbi dobivamo 0 = 5.

Linearni sustav koji nema rješenje nazivamo nekonzistentnim ili kon-tradiktornim. Linearni sustav koji ima barem jedno rješenje zovemo kon-zistentnim.


x +2y +z = 0y −3z = −4

z = 1

nazivamo (gornje) trokutasti sustav, te se iz njega jednostavno dobijerješenje: x = 1, y = −1, z = 1.


x = 1x +y = 0x +2y +z = 0

nazivamo (donje) trokutasti sustav, te se iz njega jednostavno dobijerješenje: x = 1, y = −1, z = 1.

Donje trokutasti ili gornje trokutasti linerani sustav naziva se trokutastilinearni sustav.


x = 3y = −4

z = 1

nazivamo dijagonalni sustav, te se iz njega jednostavno dobije rješenje:x = 3, y = −4, z = 1.


Primjer 42 Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav:

x +y +3z = −12x −2y −z = 15x +y +8z = −2

.

Iz prve jednadžbe dobivamo x = −1− y − 3z, a zatim to uvrstimo u drugui treću jednadžbu,prvu ne pǐsemo.)

2(−1− y − 3z) −2y −z = 15(−1− y − 3z) +y +8z = −2 ⇒

−4y −7z = 3−4y −7z = 3

Iz prve jednadžbe izrazimo y = −34− 7

4z i zatim to uvrstimo u drugu ,prvu

ne pǐsemo, dobivamo 0 = 0. Imamo dakle dvije jednadžbe:

x = −1− y − 3zy = −3

4− 7

4z

⇒ x = −14− 5

4z, y = −3

4− 7

4z

Za z = −1, dobivamo x = 1, y = 1.


x +2y +z = 33x −2y −4z = −22x +3y −z = −6

.

Iz prve jednadžbe izrazimo x pomoću preostalih nepoznanica, a zatim touvrstimo u drugu i treću jednadžbu (sve jednadžbe osim one iz koje smoizrazili x). Nalazimo:

x = 3 −2y −z3(3− 2y − z) −2y −4z = −22(3− 2y − z) +3y −z = −6

⇒x = 3 −2y −z−8y −7z = −11−y −3z = −12

.

Ako iz treće jednadžbe izrazimo y i zatim uvrstimo u prvu i drugu jednažbu,dobivamo:

x = 3 −2(−3z + 12) −z−8(−3z + 12) −7z = −11

y = −3z +12⇒

x = 3− 2y −z17z = 85y = −3z +12

.

Sada izračunamo z iz druge jednadžbe i to uvrstimo u prvu i treću isredimo:

x = 4, y = −3, z = 5.



3x1 +5x2 −x3 −2x4 = 1 ⇒ x3 = 3x1 + 5x2 − 2x4 − 112x1 +4x2 −x3 +x4 = 84x1 −x2 +x3 = −245x1 +3x2 −2x3 +x4 = −13

.

Uvrstimo x3, dobiven iz 1. jednadžbe, u sve ostale (prvu ne pǐsemo):

2x1 +4x2 − (3x1 + 5x2 − 2x4 − 11) + x4 = 84x1 −x2 + (3x1 + 5x2 − 2x4 − 11) = −245x1 +3x2 − 2(3x1 + 5x2 − 2x4 − 11) + x4 = −13

Sredimo:

−x1 −x2 + 3x4 = −3⇒ x1 = 3− x2 + 3x47x1 +4x2 − 2x4 = −13−x1 −7x2 + 5x4 = −35

.

Uvrstimo x1, dobiven iz 1. jednadžbe, u sve ostale (prvu ne pǐsemo):

7(3− x2 + 3x4) +4x2 − 2x4 = −13−(3− x2 + 3x4) −7x2 + 5x4 = −35

⇒ −3x2 +19x4 = −34−6x2 +2x4 = −32

Uvrstimo x4 = 3x2 − 16, dobiven iz 2. jednadžbe, u prvu:

−3x2 + 19(3x2 − 16) = −34⇒ 54x2 = 270⇒ x2 = 5

Tražimo ostale nepoznanice:x4 = 3x2 − 16 = 3 · 5− 16 = −1,x1 = 3− x2 + 3x4 = 3− 5 + 3 · (−1) = −5,x3 = 3 · (−5) + 5 · 5− 2 · (−1)− 11 = 1

Dakle, rješenje sustava je: (x1, x2x3, x4) = (−5, 5, 1,−1).

Provjera:1.jednadžba: 3 · (−5) + 5 · 5− 1− 2 · (−1) = 112.jednadžba: 2 · (−5) + 4 · 5− 1 + 1 · (−1) = 83.jednadžba: 4 · (−5)− 1 · 5 + 1 = −244.jednadžba: 5 · (−5) + 3 · 5− 2 + 1 · (−1) = −13


1.7.1 Gaussova metoda na drugi način-metoda suprot-nih koeficijenata

Primjer 45 Odredite rješenje sustava:x− 2y + z = 52x + y − z = −13x− y − 2z = 0

Želimo najprije eliminirati nepoznanicu x. U tu svrhu koristimo sljedećetransformacije sustava:

(1) Množenje bilo koje jednadžbe proizvoljnim brojem različitim od nule

(2) Zamjena dviju jednadžbi

(3) Množenje bilo koje jednadžbe proizvoljnim brojem i potom zbrajanje snekom drugom jednadžbom.

Pomnožit ćemo prvu jednadžbu s −2 i dodati drugoj (transformacija (3)):−2x+ 4y − 2z = −102x+ y − z = −1

5y − 3z = −11a potom pomnožiti prvu jednadžbu s −3 i dodati trećoj (transformacija (3)):

−3x+ 6y − 3z = −153x− y − 2z = 0

5y − 5z = −15⇒

x− 2y + z = 55y − 3z = −115y − 5z = −15

Sada ćemo eliminirati nepoznanicu y u trećoj jednadžbi tako da trećoj jed-nadžbi pribrojimo umnožak druge s −1:

− 5y +3z = 115y −5z = −15−2z = −4

x− 2y +z = 55y −3z = −11−2z = −4

Iz posljednje jednadžbe prethodnog sustava dobijemo z = 2. Sada uvrstimoz = 2 u drugu jednadžbu, pa dobijemo

5y − 6 = −11⇒ y = −1.Potom uvrstimo dobivena rješenja z = 2 i y = −1 u prvu jednadžbu:

x + 2 + 2 = 5⇒ x = 1.Rješenje sustava je

x = 1 y = −1 z = 2


1.8 Gauss-Jordanova metoda

Gauss-Jordanova metoda za rješavanje linearnog sustava sastoji se u tome dasustav elementarnim transformacijama svede na njemu ekvivalentan sustaviz kojeg možemo odrediti njegova rješenja. Dva sustava zoveno ekvivelent-nima ako imaju isti skup rješenja.Pri svodjenju sustava na ekvivalentan dozvoljeno je koristiti sljedeće tran-sformacije:

• zamjena poretka dviju jednadžbi u sustavu,

• množenje jedne jednadžbe brojem različitim od nule,

• dodavanje jednoj jednadžbi neke druge jednadžbe brojem različitim odnule.

Pratimo Gauss-Jordanova metodu na jednom primjeru i istovremeno pro-motrimo kako se rješavanje sustava zapisuje u matričnom obliku.

Primjer 46 Gauss-Jordanovom metodom riješimo sustav

x +2y +3z = 52x −y −z = 1x +3y +4z = 6

Rješenje: Proširena matrica sustava je1 2 3 | 52 −1 −1 | 11 3 4 | 6

.Transformirajmo sada sustav primjenjujući dozvoljene transformacije. U pr-vom koraku želimo ponǐstiti koeficijente uz nepoznanicu x u drugoj i trećojjednadžbi. To ćemo učiniti tako da prvu jednadžbu pomnožimo s −2 i do-damo drugoj. Nako toga prvu jednadžbu pomnožimo s −1 i dodamo trećoj.Time dobijemo ekvivalentni sustav:

x +2y +3z = 5−5y −7z = −9y +z = 1

,

1 2 3 | 50 −5 −7 | −90 1 1 | 1


Sada promatramo zadnje dvije jednadžbe. Treća ima jednostavnije koefici-jente, pa ćemo zamijeniti poredak ovih jednadžbi:

x +2y +3z = 5y +z = 1−5y −7z = −9

,

1 2 3 | 50 1 1 | 10 −5 −7 | −9

U sljedećem koraku želimo ponǐstiti sve koeficijente uz nepoznanicu y osim

onog u drugoj jednadžbi. Da bismo to postigli, trebamo drugu jednadžbupomnožiti s −2 i dodati prvoj, a zatim pomnožiti s 5 i dodati trećoj:

x +z = 3y +z = 1−2z = −4

,

1 0 1 | 30 1 1 | 10 0 −2 | −4

Jednadžbu smijemo pomnožiti brojem različitim od nule. Učinit ćemo to strećom jednadžbom:

x +z = 3y +z = 1

z = 2,

1 0 1 | 30 1 1 | 10 0 1 | 2

Na kraju ponǐstavamo koeficijente uz nepoznanicu z u prvim dvjema jed-

nadžbama. Treću jednadžbu pomnožimo s −1 i dodajmo prvoj, a zatim idrugoj:

x = 3y = 1

z = 2,

1 0 0 | 30 1 0 | −10 0 1 | 2

Time smo dobili rješenje: x = 1, y = −1, z = 2.Sada ponovimo postupak, ali tako da izdvojimo samo proširene matrice

sustava. Korake povezujemo znakom ∼, koji označava da susjedne matricepripadaju medusobno ekvivalentnim sustavima:1 2 3 | 52 −1 −1 | 1

1 3 4 | 6

∼1 2 3 | 50 −5 −7 | −9

0 1 1 | 1

∼1 2 3 | 50 1 1 | 1

0 −5 −7 | −9

∼

1 0 1 | 30 1 1 | 10 0 −2 | −4

∼1 0 1 | 30 1 1 | 1

0 0 1 | 2

∼1 0 0 | 30 1 0 | −1

0 0 1 | 2

.


Jasno je da je ovaj zapis praktičniji, pa ćemo u daljnjem postupak rješavanjasustava zapisivati samo na ovaj način.

Opisanim transformacija s jednadžbama sustava odgovaraju sljedeće ele-mentarne transformacije na retcima matrice:

• zamjena dvaju redaka matrice,

• množenje retka brojem različitim od nule,

• dodavanje nekom retku nekog drugog retka pomnoženog brojem različitimod nule.


Primjer 47 Osoba ima na raspolaganju 30 000 kn koje ulaže u dionicu As prinosom od 10% godǐsnje i u dionicu B s prinosmo od 5% godǐsnje i udionicu C s prinosom od 4% godǐsnje. Koliko osoba mora uložiti u svakudionicu da ostvari prinos od točno 1 920 kn? Takoder, strategija je osobe udionicu C uložiti 2 000 kn manje nego u dionicu A. (Uputa: problem svestina sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice, gdje su nepoznanice ulaganja.)

Neka su:x-ulaganje u dionicu A, y-ulaganje u dionicu B, z-ulaganje u dionicu C.

Zadatak se svodi na rješavanje sustava:x +y +z = 30 000

0.1x +0.05y +0.04z = 1920x −z = 2000

Rješenje sustava: (x, y, z) = (10 000, 12 000, 8 000)

Primjer 48 Jedno poduzeće proizvodi dva tipa stola, stol za blagovanje T1 iradni stol T2. Podaci o iskorǐstenju kapaciteta dani su u sljedećoj tablici:

Broj radnih sati KapacitetT1 T2

Odjel za proizvodnju 2 4 110Odjel za finalizaciju proizvoda 2 3 90

Izračunajte količine proizvodnje za oba tipa stola tako da se kapaciteti u pot-punosti iskoriste.(Uputa: problem treba svesti na sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice,gdje su nepoznanice količine proizvodnje.)

Zadatak se svodi na rješavanje sustava:

2x +4y = 1102x +3y = 90

Rješenje sustava: (x, y) = (15, 20)


1.9 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

SkupRn = {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, ..., xn ∈ R}

ili

Rn =

x1x2...xn

zovemo realni vektorski prostor. Elemente vektorskog prostora zovemo vek-tori. Svaki vektor iz Rn ima n komponenti. Nul vektor (O) ima sve kompo-nente jednake nuli.

Definicija 3 Linearna kombinacija vektora A1, A2, . . . , Ak iz Rn je vek-tor

Y = c1A1 + c2A2 + . . . + ckAk,

gdje su c1, c2, . . . , ck realni brojevi.

Primjer 49 Vektor Y = (1,−2, 5) je linearna kombinacija vektora

A1 = (1, 1, 1), A2 = (1, 2, 3), A3 = (2,−1, 1)

jer jeY = −6A1 + 3A2 + 2A3.

Definicija 4 Skup vektora A1, A2, . . . , Ak iz Rn je linearno nezavisan akovrijedi

c1A1 + c1A2 + . . . + ckAk = O

samo ako je c1 = c2 = . . . = ck = 0. U protivnom kažemo da je skup vektoraje linearno zavisan.

Primjer 50 Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa: {(1, 1, 3), (0, 2, 1)}.

c1 · (1, 1, 3) + c2 · (0, 2, 1) = (0, 0, 0)c1 = 0c1 +2c2 = 03c1 +c2 = 0

Rješenje sustava je c1 = 0, c2 = 0, pa su vektori danog skupa linearno neza-visni.


Primjer 51 Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa: {(1, 1), (2, 2)}.

c1 · (1, 1) + c2 · (2, 2) = (0, 0)

c1 +2c2 = 0c1 +2c2 = 0

Rješenje sustava je na primjer c1 = 2, c2 = −1, pa su vektori danog skupalinearno zavisni.

Teorem 1 Svaki skup od n+1 vektora iz Rn je linearno zavisan. U prostoruRn je maksimalno n linearno nezavisnih vektora.

Primjer 52 Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa: {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 3)}.

Poglavlje 2

Funkcije u ekonomiji

Mnoge veze medu ekonomskim funkcijama mogu se prikazati pomoću linearnefunkcije. Linearna funkcija zadaje se na sljedeći način:

algebarski: f(x) = ax + b, f(x) = 3x + 2

jednadžbom: y = ax + b, y = 3x + 2,

pri čemu su a i b posebni brojevi.Graf linearne funkcije je pravac. Brojem a odreden je nagib pravca; zapozitivan a vrijednost za y raste za svaki pomak u desno, a za negativan apada.

Primjer 53 Nacrtajte pravce y = 3x− 1 i y = −12x + 2

Primjer 54 U sljedećoj tablici zadane su dvije funkcije. Odredite koja je odnjih linearna, a koja nije.

x 2 4 6 8 10f(x) 11 17 23 29 35g(x) 0 12 32 60 96

U traženju odgovora na ovo pitanje pomaže nam značenje broja a u jednadžbipravca y = ax + b. Ovaj broj odreduje porast veličine y koja odgovaraporastu veličine x za 1. Ako se vrijednost x1 promijeni na x2, tu promjenuoznačavamo s ∆x = x2 − x1. Ovoj promjeni (prirastu) nezavisne varijable xodgovara promjena (prirast) zavisne varijable ∆y = y2 − y1. Lako se vidi daje

a =∆y

∆x

39

POGLAVLJE 2. FUNKCIJE U EKONOMIJI 40

(prosječni prirast funkcije) i da vrijedi takoder ∆y = a∆x.

Primjer 55 Odredite priraste funkcija f i g za konstantne priraste nezavisnevarijable x.

Primjer 56 Za funkcije f1 i f2, definirane sljedećom tablicom odredite pro-sječni prirast. Koja je od njih linearna funkcija? Odredite njezin oblik.

x 2 4 8 12f1(x) 4 11 25

712

f2(x) 6 8 14 22

Primjer 57 Odredite nagib pravca koji prolazi točkama (x1, y1) = (1, 5) i(x2, y2) = (4, 2).

2.1 Linearni modeli u ekonomiji

Linearnom funkcijom mogu se približno opisati odnosi različitih veličina uekonomiji. Tako se u nekim slučajevima mogu povezati troškovi s količinomproizvodnje, prihod od prodaje i dobit. U tim slučajevima kažemo da jefunkcija troškova (prihoda, dobiti) linearna.

2.1.1 Linearna funkcija troškova

To je funkcija oblikaT = ax + b,

pri čemu je T ukupni trošak, a x je broj proizvoda. Broj a naziva se graničniili marginalni trošak. Ovaj broj pokazuje za koliko se povećava trošak akose broj proizvoda poveća za 1. Broj b zove se fiksni trošak i on pokazujekoliki troškovi postoje i kad nema proizvodnje.

Primjer 58 Funkcija troškova tiskanja kalendara je T = 12x+5 000.Izračunaj:

a) Koliko stoji tiskanje 1000 kalendara?

b) Koliko stoji tiskanje 1001 kalendara?

c) Koliki je trošak tiskanja svakog dodatnog kalendara?


2.1.2 Linearna funkcija prihoda i dobiti

Ukupan prihod je funkcija količine prodaje. Ako se radi o linearnoj funkcijioblika y = ax, broj a predstavlja prihod po jedinici prodanog proizvoda. Tajbroj zove se i marginalni (granični) prihod.

Primjer 59 Koliki je prihod od prodaje 80 kalendara ako se jedan primjerakprodaje po 22 kn?

Dobit (profit) proizlazi iz prihoda i troškova. Funkcija dobiti je linearnaako su linearne funkcije prihoda i troškova.

Dobit = Prihod - Troškovi

D = R− T

Primjer 60 Koristeći se prethodnim dvama zadacima izračunajte

a) dobit ako se proda 1 000 kalendara,

b) dobit od prodaje 500 kalendara.

Za količinu prodaje za koju je D = 0 kaže se da pokriva proizvodnju. Točkapokrića odredena je jednadžbom R = T.

Primjer 61 Izračunajte koliko treba prodati kalendara da bi vrijedilo D = 0.

Primjer 62 U jednom tjednu troškovi proizvodnje za 400 svilenih kravatabili su 62 000 kn, a u idućem tjednu 200 kravata je prozvedeno uz trošak od40 000 kn. Ako se jedna kravata prodaje po 200 kn, odredite:

a) Funkciju troškova i troškove izrade 280 kravata,

b) Funkciju zarade i zaradu od prodaje 280 kravata,

c) Funkciju dobiti i dobit od prodaje 280 kravata,

d) Točku pokrića.


2.1.3 Funkcija potražnje

Funkcija potražnje pokazuje kako količina robe ovisi o njezinoj cijeni. Ovafunkcija je u pravilu padajuća funkcija jer povećanje cijene dovodi do sma-njenja potražnje za tom robom. U nekim slučajevima funkcija potražnje jelinearna funkcija. Ako nju označimo s

q = ap + b,

onda q predstavlja količinu robe koja se traži uz cijenu p.Interpretacije od a i b:Budući da je funkcija potražnje padajuća funkcija, a je negativan broj i onpokazuje za koliko (izraženo brojem proizvoda) se smanjuje potražnja ukolikose cijena poveća za 1.Broj b pokazuje kolika je potreba tržǐsta za tom robom. Strogo fornalnogledajući, to bi se moglo interpretirati kao potražnja za robom kada bi onabila besplatna.

Primjer 63 Dnevna potražnja za pamučnim majicama dana je s

q = −0.8p + 150,

pri čemu je p cijena u kn. Odgovorite na sljedeća pitanja:

a) Koliko se majica maksimalno traži dnevno?

b) Koliko se majica proda ako je cijena 20 kn?

c) Koliko se proda majica ako je cijena 35 kn?

d) Za koliko bi trebalo smanjiti cijenu da se proda jedna majica vǐse dnevno(ovisi li to o trenutnoj cijeni?)?

e) Za koliko bi trebalo smanjiti cijenu da se prodaju 3 majice vǐse dnevno?

Rješenje:

a) 50

b) q = (−0.8) · 20 + 150 = 134

c) q = (−0.8) · 35 + 150 = 122


d) p− cijena prije smanjenja, p′− cijena nakon smanjenja

q = −0.8p + 150, q′ = −0.8p′ + 150

p′ < p, q′ > q, q′ = q + 1

−0.8p′ + 150 = −0.8p + 150 + 1

0.8p− 0.8p′ = 1⇒ 0.8(p′ − p) = 1

(p′ − p) = 10.8

= 1.25

Cijenu bi trebalo smanjiti za 1.25 kn. To ne ovisi o trenutnoj cijeni.

e) (p′ − p) = 30.8

= 3.75

2.1.4 Funkcija ponude

Uz porast cijena na tržǐstu dobavljači su spremni ponuditi veće količine robe.Funkcija ponude daje broj jedinica robe koja se nudi uz odredenu cijenu. Uopćem slučaju to je rastuća funkcija. Ako je funkcija ponude linearna funkcijaoblika

q = ap + b,

broj a pokazuje koliko se komada robe nudi vǐse ako se cijena poveća zajedinicu. Strogo formalno gledajući, broj b bi se mogao interpretirati kaokoličina robe koja bi se nudila besplatno.

Primjer 64 Funkcija dnevne ponude pamučnih majica je

q = 1.4p + 53.

Odgovorite na sljedeća pitanja:

a) Kolika bi bila minimalna ponuda?

b) Za koliko se poveća ponuda ako se cijena povisi za 5 novčanih jedinica?

c) Za koliko treba povisiti cijenu da bi se ponudila 1 majica vǐse?


2.1.5 Ekvilibrij, model tržǐsta

Cijena za koju je ponuda jednaka potražnji zove se cijena ekvilibrija iliravnotežna cijena. Model tržǐsta sastoji se od funkcije ponude, funkcijepotražnje i cijene u ekvilibriju.

Primjer 65 Odredite ekvilibrij za tržǐste majica zadano funkcijama ponudei funkcije potražnje iz prethodnih zadataka.

Primjer 66 Zadane su funkcije potražnje q1 =10−p2

3i ponude q2 = p

2 + 2.

a) Odredite ekvilibrij cijenu i količinu;

b) ako se ponuda smanji za 1 jedinicu, odredite novi ekvilibrij.

Rješenje:

a) 10−p2

3= q2 = p

2 + 2/ · 310− p2 = 3p2 + 6⇒ 4p2 − 4 = 0/ : 4p2 − 1 = 0⇒ p = 1q1(1) = q2(1) = 3⇒ ekvilibrij:E(1, 3)

b) Ponuda se smanjila za jednu jedinicu, pa imamo novu funkciju ponude:

q2′ = p2 + 2− 1 = p2 + 1.

Da bismo dobili novi ekvilibrij, izjednačimo q1 i q2′.

10− p2

3= p2 + 1⇒ p2 = 7

4⇒ p =

√7

2= 1.32

q1(1.32) = q2′(1.32) = 2.75⇒ novi ekvilibrij:E ′(1.3, 2.75).

Primjer 67 Zadane su funkcije f1(p) = −3p + 180 i f2(p) = 2p− 20.

a) Koja je od njih funkcija potražnje?

b) Odredite područje varijabiliteta cijene i količine za obje funkcije;

c) Nacrtajte grafove tih funkcija.

d) Odredite ekvilibrij cijenu i količinu;


e) Odredite cijenu za koju je potražnja manja od 90.

Primjer 68 Zadane su funkcije potražnje d = 1p+1

i ponude s = 3p + 2 kaofunkcije cijene p.

a) Izrazite ponudu s kao funkciju potražnje d.

b) Za koje potražnje d ponuda s ima ekonomskog smisla?

Primjer 69 Zadane su funkcije potražnje i ponude: q1 = −2p2 + 23p− 30 iq2 = 2p + 10.

a) Odredite područje varijabiliteta cijene i količine za obje funkcije;

b) Ako se cijena u ekvilibriju poveća za 1.5 novčanih jedinica, odreditenovi ekvilibrij i novu funkciju ponude.

Rješenje:

a) Prikažimo grafički obje funkcije. Graf funkcije potražnje q1 je parabolaokrenuta prema dolje s nultočkama p1 = 1.5, p2 = 10 i maksimumomu točki T (5.75, 36.13). Graf funkcije ponude q2 je rastući pravac snultočkom p = −5.Područje varijabiliteta:p ∈ [1.5, 10], q1 ∈ [0, 36.13]p ∈ [0, ∞〉, q2 ∈ [10, ∞〉.

b)q1 = q2

−2p2 + 23p− 30 = 2p + 10−2p2 + 21p− 40 = 0⇒ p1 = 2.5, p2 = 8

Budući da je q1(2.5) = 15 i q1(8) = 26, točke ekvilibrija su E1(2.5, 15)i E2(8, 26).

q1 = q2′ ⇒ q1 = q2 − x ⇒ x = q2 − q1 Nova ekvilibrij cijena je

p′ = 8+1.5 = 9.5. x = q2(9.5)−q1(9.5) = (−2 ·9.52 +23 ·9.5−30)−(2 ·9.5 + 10) = 21. Nova funkcija ponude je q2

′ = 2p + 10− 21 = 2p− 11,količina u novom ekvilibriju je q2

′(9.5) = 2 ·9.5−11 = 8 i novi ekvilibrijje E ′ = (9.5, 8).


Primjer 70 Zadana je funkcija potražnje kao funkcija cijene: q = 400− p4.

a) Odredite cijenu p kao funkciju potražnje q.

b) Odredite funkciju ukupnog prihoda R kao funkciju cijene p.

c) Skicirajte graf funkcije ukupnog prihoda kao funkcije cijene.

d) Na kojem se nivou cijene p ostvaruje maksimalni ukupni prihod i kolikotaj prihod iznosi?

e) Odredite funkciju ukupnog prihoda R kao funkciju potražnje q

f) Na kojem se nivou potražnje ostvaruje maksimalni prihod?

Rješenje:

a) q = 400− p4⇒ p = 1600− 4q

b) Ukukni prihod R jednak je umnošku potražnje q i cijene p.

R = q · p =(400− p

4

)· p = 400p− p

2

4

c) Graf funkije ukupnog prihoda R = 400p − p24

je parabola okrenutaprema dolje. Nultočke parabole su p1 = 0, p2 = 1600.Tjeme paraboleje točka

T =(− b

2a,4ac− b2

4a

)= (800, 160 000)

d) Maksimalni prihod ostvaruje se za p = 800 i iznosi 160 000 novčanihjedinica (NJ).

e) q = 400− p4⇒ p = 1600−4q ⇒ R = q·= q ·(1600−4q)R = 1600q−4q2

f) U d) dijelu zadatka našli smo da se maksimalni pukupni prihoda os-tvaruje za p = 800.

q = 400− p4

= 400− 8004

= 200

Dakle, maksimalni ukupni prihod ostvaruje se za q = 200.


2.1.6 Funkcija troškova

Funkcija troškova je općenito funkcija oblika

T = f(Q, p1, p2, ..., pn)

pri čemu je Q količina proizvodnje, a p1, p2, ..., pn su cijene pojedinih faktoraprizvodnje. Ova opća funkcija može se pojednostavniti i prilagoditi konkret-noj situaciji uvažavajući sljedeće pretpostavke;

a) broj faktora proizvodnje smatra se konstantnim,

b) cijene faktora proizvodnje smatraju se konstantnima,

c) tehnički parametri proizvodnje se ne mijenjaju,

d) struktura proizvodnje (asortiman i kvaliteta) se ne mijenjaju.

Najčešće se funkcija troškova daje u obliku f(Q). Posebni oblici te funk-cije su:

T = aQ + b, T = aQ2 + bQ + c, T = aQ3 − bQ2 + cQ + d

T = aQmn + b, T = aQ

Q + b

Q + c, T = aebQ

Varijabla je proizvodnja Q. Parametri koji se javljaju u ovim funkcijamasu pozitivne konstante.

Fiksni i varijabilni troškovi

U funkciji troškova može se prepoznati varijabilni dio koji izravno ovisi oproizvodnji i konstantan, nepromjenjiv, dio koji se ne mijenja bez obzira napromjene obujma proizvodnje. Zbog toga se funkcija troškova proizvodnjemože promatrati kao zbroj fiksnih troškova i varijabilnih troškova:

T = TV + TF .

U analizi troškova koriste se i funkcije prosječnih fiksnih troškova TFQ

i

prosječnih varijabilnih troškova TVQ

.

Vrijedi opće pravilo da prosječni troškovi padaju s porastom proizvodnje.Za potpuniju analizu odnosa izmedu obujma propizvodnje i različitih poseb-nih oblika troškova potrebno je još poznavati pojmove elastičnost troškovai granične troškove.


Primjer 71 Poznata je funkcija ukupnih troškova neke proizvodnje: T =10Q + 400. Funkcija ukupnih prihoda zadana je izrazom: R = −Q2 + 60Q.

a) Odredite funkciju dobiti kao funkciju količine proizvodnje Q, te odreditepodručje rentabilnosti.

b) Prikažite grafički funkciju dobiti.

c) Odredite funkciju prosječnih troškova, te odredite prosječne troškove zaproizvodnju 40.

Rješenje:

a)

D = R−T = −Q2+60Q−(10Q+400) = −Q2+60Q−10Q−400 = −Q2+50Q−400

Područje rentabilnosti: D ≥ 0⇒ Q ∈ [10, 40].

b) Graf funkcije dobiti je parabola D = −Q2 + 50Q− 400.

c) Funkcija prosječnih troškova: T = TQ

T = 10 +400

Q

T (40) = 10 +400

40= 20.

Primjer 72 Poznata je funkcije ukupnih prihoda R = 1400Q − 7Q2 i pro-sječnih troškova T = T

Q= Q2 − 6Q + 140 + 75

Q, kao funkcije proizvodnje

(potražnje) Q. Odredite funkciju dobiti kao funkciju proizvodnje (potražnje)Q.

2.2 Statička analiza

Ravnoteža je skup dobro izabranih, uzajamno povezanih i tako medu sobomuskladenih varijabli da u modelu koji one tvore ne prevladava bitna težnja kpromjeni. Ova definicija sadrži tri bitne sastavnice:

a) Riječ ”izabrane” naglašava činjenicu da postoje varijable, koje nisuuključene u model.


b) Izraz ”uzajamno povezane” ukazuje da, radi postiživosti ravnoteže, svevarijable u modelu moraju istovremeno biti u stanju mirovanja. Uzto, stanje mirovanja svake varijable mora biti uskladeno sa stanjemmirovanja ostalih varijabli, inače će se neke varijable mijenjati i izazvatipromjenu ostalih varijabli zbog čega ravnoteža ne postoji.

1. Riječ ”bitna” znači da se, pri definiranju ravnoteže, stanje završnogmirovanja temelji samo na uravnoteženju unutarnjih sila modela, dokse za vanjske faktore pretpostavlja da su fiksni.

2.3 Djelomična tržǐsna ravnoteža

U modelu statičke ravnoteže standardni problem se svodi na nalaženje skupavrijednosti endogenih varijabli koje zadovojavaju ravnotežni uvjet modela.U modelu djelomične tržǐsne ravnoteže promatra se samo jedna roba i trivarijable:

(1) količinu potražnje robe (Qd),

(2) količinu ponude robe (Qs) i

(3) cijenu robe (P ).

Standardna je pretpostavka da se ravnoteža na tržǐstu postiže ako je Qd = Qs.

Matematičkim se rječnikom model može napisati kao:

Qd = Qs, Qd = f1(P ), Qs = f2(P ) (2.1)

pri čemu f1(P ), f2(P ) označavaju funkcije koje predstavljaju ovisnostkoličine potražnje (ponude) robe o cijeni (P ) robe.

S obzirom na funkcije f1 i f2, modeli mogu biti:

(a) Linearni model odreden sustavomQd = Qs

Qd = a− bP (a, b > 0)Qs = −c + dP (c, d > 0)

. (2.2)


Dakle, obje funkcije i f1 i f2 su linearne.

Rješnjem prethodnog sustava nalazimo ureden par (P ,Q), koji je uslučaju linearnog modela jedinstven.

(b) Nelinearni model ako obje funkcije f1 i f2 nisu linearne. U tom slučajurješenje sustava (1.1) ne mora biti jedinstveno, pa govorimo o skupurješenja koja zadovoljavaju taj sustav.

Primjer 73 Neka su funkcije ponude i potražnje:

Qd = 51− 3P, Qs = 6P − 10.

Odredite P i Q. (Koristite razlomke umjesto decimalnih brojeva.)

Rješenje:

Qs = Qd ⇒ 51− 3P = 6P − 10⇒ −9P = −61⇒ P =61

9

Q = 51− 3 · P = 51− 3 · 619

= 2769

= 923


x +2y +z = 12x +3y +z = 15

2x +y +z = 11

2.4 Sustavi linearnih jednadžbi (linearni sus-

tavi)

Prvu jednadžbu pomnožimo sa −2 i dodamo je drugoj, a zatim prvu jed-nadžbu pomnožimo sa −2 i dodamo trećoj jednadžbi:

−x −2y +z = 12x +3y +z = 15

−2x −4y −2z = −242x +y +z = 11


y = 3 −3y −z = −13 ⇒ −9− z = −13⇒ z = 4

Sada iz prve jednadžbe polaznog sustava x+2y+z = 12 dobivamo x+2·3+4 =12⇒ x = 2 Dakle, rješenje sustave je: (x, y, z) = (2, 3, 4).



x +2y +z = 12x +3y +z = 15

2x +y +z = 11


−x −2y −z = −12x +3y +z = 15

−2x −4y −2z = −242x +y +z = 11


y = 3 −3y −z = −13 ⇒ −9− z = −13⇒ z = 4Sada iz prve jednadžbe polaznog sustava x+2y+z = 12 dobivamo x+2·3+4 =12⇒ x = 2Primjer 76 Riješite linearni sustav

x +2y +3z = 52x −y −z = 1x +3y +4z = 6


−2x −4y −6z = −102x −y −z = 1

−x −2y −3z = −10x +3y +4z = 6


−5y −7z = −9 y +z = 1Dobili smo sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice

−5y −7z = −9y +z = 1

Sada drugu jednadžbu pomnožimo s 5 i dodamo prvoj:

−5y −7z = −95y +8z = 5

⇒ −2z = −4 ⇒ z = 2

y + z = 1⇒ y + 2 = 1⇒ y = −1x + 2y + 3z = 5⇒ x + 2 · (−1) + 3 · 2 = 5⇒ x = 1

Rješenje sustava:(x, y, z) = (1,−1, 2)


2.5 Opća tržǐsna ravnoteža

Do sada smo promatrali modele odvojenog tržǐsta, gdje su potražnja za do-brom Qd i ponuda dobra Qs funkcije samo cijene te robe. Bilo bi normalnoda za svako dobro postoji mnogo supstitita i komplementarnih dobara, pabi realniji opis funkcije potražnje za dobrom morao uzeti u obzir, ne samocijenu dobra, već i cijene barem većine srodnih dobara.

Primjer 77 Zadane su sljedeće funkcije potražnje i ponude za model tržǐstadvaju dobara: Qd1 = 18 − 3P1 + P2 Qd2 = 12 + P1 − 2P2 Qs1 = −2 +4P1 Qs2 = −2 + 3P2. Odredite Pi i Qi (i = 1, 2).

Rješenje:Qd1 = Qs1 ⇒ 18 − 3P1 + P2 = −2 + 4P1 ⇒ −7P1 + P2 = −20Qd2 = Qs2 ⇒12 + P1 − 2P2 = −2 + 3P2 ⇒ P1 − 5P2 = −14

Sustav: {−7P1 + P2 = −20P1 − 5P2 = −14

rješavamo npr. pomoću determinata:

D =

∣∣∣∣−7 11 −5∣∣∣∣ = 35− 1 = 34, D1 = ∣∣∣∣−20 1−14 −5

∣∣∣∣ = 100 + 14 = 114,D2 =

∣∣∣∣−7 −201 −14∣∣∣∣ = 98 + 20 = 118 ⇒ P1 = D1D = 11434 = 5717 ,

P2 =D2D

=118

34=

59

17⇒ Q1 = −2 + 4P1 = −2 + 4 ·

57

17=

194

17

Q2 = −2 + 3P2 = −2 + 3 ·59

17=

143

17.

Primjer 78 Zadane su sljedeće funkcije potražnje i ponude za model tržǐstatriju dobara:

Qd1 = 23− 5P1 + P2 + P3 Qd2 = 15 + P1 − 3P2 + 2P3

Qd3 = 19 + P1 + 2P2 − 4P3 Qs1 = −8 + 6P1Qs2 = −11 + 3P2 Qs3 = −5 + 3P3

Odredite Pi i Qi (i = 1, 2, 3). Koristite razlomke, a ne decimalne brojeve.


Qd1 = Qs1 ⇒ 23− 5P1 + P2 + P3 = −8 + 6P1 ⇒ −11P1 + P2 + P3 = −31

Qd2 = Qs2 ⇒ 15 + P1 − 3P2 + 2P3 = −11 + 3P2 ⇒ P1 − 6P2 + 2P3 = −26

Qd3 = Qs3 ⇒ 19 + P1 + 2P2 − 4P3 = −5 + 3P3 ⇒ P1 + 2P2 − 7P3 = −24

Sustav: −11P1 + P2 + P3 = −31P1 − 6P2 + 2P3 = −26P1 + 2P2 − 7P3 = −24

ima rješenje:P1 = 4 P2 = 7 P3 = 6

Ravnotežne količine su:

Q1 == −8 + 6P1 = Qs1 = −8 + 6 · 4 = 16

Q2 = −11 + 3P2 = −11 + 3 · 7 = 10

Q3 = −5 + 3P3 = −5 + 3 · 6 = 13

2.6 Ravnoteža u analizi nacionalnog dohotka

Statička analiza primjenjena na modele tržǐsta može se primijeniti i na dru-gim područjima ekonomije. Kao jednostavan primjer možemo navesti ponatiKeynesov modela nacionalnog dohotka:

{Y = C + I0 + G0

C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1),(2.3)

gdje su Y i C redom endogene varijable nacionalnog dohotka i potrošnje, aI0 i G0 egzogeno odredene investicije i vladina potrošnja.Prva je jednadžba uvjet ravnoteže:

nacionalni dohodak = ukupni izdaci.


Druga je, jednadžba ponašanja funkcije potrošnje. Dva parametra u funkcijipotrošnje a i b izražavaju redom, autonomnu potrošnju i graničnu potrošnju.

Jasno je da te dvije jednadžbe s dvije endogene varijable nisu ni funkci-onalno ovisne ni nekonzistentne. Stoga bi mogli naći ravnotežne vrijednostidohotka i potrošnje Y i C pomoću parametara a i b i egzogenih varijabli I0i G0.

Primjer 79 Dan je sljedeći model nacionalnog dohotka:Y = C + I0 + G0

C = 200 + 0.5Y

I0 = 50

G0 = 100.

Izračunajte ravnotežni nacionalni dohodak Y i ravnotežnu ukupnu potrošnjuC.

Rješenje:Ovaj se model nacionalnog dohotka može napisati u obliku sustava:{

Y −C = 150−0.5Y +C = 200

,

a njegova rješenjaY = 700 i C = 550

su, redom, ravnotežni nacionalni dohodak i ravnotežna ukupna potrošnja.

Primjer 80 Dan je sljedeći model nacionalnog dohotka:Y = C + I + G0

C = 100 + 0.6Y

I = 0.3Y

G0 = 100.

Izračunajte Y , C i I.


Rješenje: Ovaj se model nacionalnog dohotka može napisati u oblikusustava:

{0.7Y −C = 100−0.6Y +C = 100

,

odakle nalazimo

Y = 2000 i C = 1300⇒ I = 0.3Y = 600

2.7 Metoda ulaza i izlaza

Metoda ulaza i izlaza (input-output analiza) je primjer primjene matricana ekonomiju. Nastala je 1936. godine, tvorac joj je Wassily Leontief.1 Modelproučava pojednostavljenu ekonomiju neke zemlje (mjesta, kraja ili regije)koju čine vǐse grana (sektora) te je cilj uspostaviti kvantitativne relacije medutim granama da tijek proizvodnje bude nesmetan. Odnose proizvodnje ipotrošnje medu granama privrede modeliramo kvadratnom matricom. Ovdjesu:

(1) ulaz (input) - ono što u privrednu granu ulazi (sredstva proizvodnje,rad)

(2) izlaz (output) - ono što izlazi iz privredne grane (proizvod, usluga)

Neka je čitavo gospodarstvo podijeljeno na n sektora. Osnovno pitanjekoje postavljamo je: Koju razinu proizvodnje svaki od n sektora treba ostva-riti pa da se zadovolji potražnja za tim proizvodom?

Primjer 81 Neka je podjela ekonomije neke zemlje na 3 sektora zadana ta-blicom:

Qi Qij qi300 30 40 100 130400 60 120 100 120500 60 160 150 130

1Wassily W. Leontief,američki znanstvenik ruskog podrijetla. Prve rezultate svog pi-onirskog rada objavio je u jednom članku 1936. godine, a proširenu verziju svog istraživanjaobjavio je 1941. (The Structures of American Economy). Za istaknuti doprinos u input-output analizi 1973. dobio je Nobelovu nagradu za ekonomiju.


Stupac vrijednosti Qi predstavlja ukupnu količinu proizvoda u i−tomsektoru. Elementi sredǐsnje matrice Qij predstavljaju količine izlaza i−togsektora koji je u j−tom sektoru u ulozi sirovine ili poluproizvoda. Zadnjistupac qi predstavlja količinu finalne potražnje i−tog sektora. To može bitikoličina proizvoda koju dotični sektor troši ili dio koji se kao roba može pro-dati na tržǐstu.

Temeljna pretpostavka input-output modela jest da se sva količinasvakog outputa utroši ili kroz proizvodnu (medusektorsku) potrošnju Qij ilikroz finalnu potrošnju qi. Temeljna pretpostvka daje:

Q1 = Q11 + Q12 + Q13 + q1

Q2 = Q21 + Q22 + Q23 + q2

Q3 = Q31 + Q32 + Q33 + q3

što se može u primjeru vidjeti. Sustav općenito ima n jednadžbi i n2 + nmjesta za nepoznanice.Budući da je svaka proizvodnja vezana uz odredenu tehnologiju, uz nepromje-njene tehnološke uvjete proizvodnje, udio i−tog sektora u jedinici proizvodaj−tog sektora je konstantna veličina.Tehnički koeficijenti, normativi ili tehničke norme definiraju se formulama

aij =QijQj

i predstavlja postotak količine proizvoda i−tog sektora potrebnu za jednujedinicu proizvoda j−tog sektora:

Qij = aijQj.

Matrica tehničkih karakteristika u ovom je slučaju: Matrica

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=0.1 0.1 0.20.2 0.3 0.2

0.2 0.4 0.3

Dakle, sustav može imati oblik

Q1 = a11Q1 + a12Q2 + a13Q3 + q1


Q2 = a21Q1 + a22Q2 + a23Q3 + q2

Q3 = a31Q1 + a32Q2 + a33Q3 + q3

Sustav jednadžbi u matričnom obliku glasi

Q = AQ + q,

gdje jeA = (aij), Q = (Qi), q = (qi).

Ovaj sustav ima općenito 2n nepoznanica, pa je potrebno znati njih n da bise ostalih n moglo jednoznačno odrediti. Moguća su sljedeća tri slučaja:

1. poznat je vektor ukupnih izlaza Q

2. poznat je vektor finalne potražnje q

3. za neke sektore poznata je ukupna količina proizvoda, a za preostalekoličina finalne potražnje.

Sva se tri navedena slučaja svode na sustave od n linearnih jednadžbi san nepoznanica.

1. Ako je poznat vektor ukupnih izlaza Q, onda je moguće izračunativektor finalne potražnje q slijedom matričnih jednadžbi:

Q = AQ + q

Q− AQ = qq = (I − A)Q

Matrica tehnologije definira se kao matrica

T = I − A.

U primjeru je

T =

1 0 00 1 00 0 1

−0.1 0.1 0.20.2 0.3 0.2

0.2 0.4 0.3

= 0.9 −0.1 −0.2−0.2 0.7 −0.2−0.2 −0.4 0.7

Medusektorska potrošnja računa se posebno za svaki par sektoraproizvodnje:

Qij = aijQj

ukoliko se tehnološki uvjeti proizvodnje nisu promijenili. Tehnološkiuvjeti definiraju koeficijente aij.


Primjer 82 Sastaviti novu input-output tablicu koja odgovara planuproizvodnje

Q1 = 360, Q2 = 480, Q3 = 600.

Rješenje:Vektor finalne potražnje q dobiva se po formuli q = TQ, pa dobivamo:

q =

0.9 −0.1 −0.2−0.2 0.7 −0.2−0.2 −0.4 0.7

360480600

=156144

156

Koeficijenti medusektorske potrošnje dobivaju se preko koeficijenata izmatrice tehničkih karakteristika:

Q11 = 36 Q12 = 48 Q13 = 120

Q21 = 72 Q22 = 144 Q23 = 120

Q31 = 72 Q32 = 192 Q33 = 180

Nova input-output tablica je:

Q Qij qi360 36 48 120 156480 72 144 120 144600 72 192 180 156

2. Ako je poznat vektor količina finalne potražnje, q, onda za vektor pro-izvodnje treba naći inverz matrice tehnologije:

q = TQ

T−1q = Q

Primjer 83 Odredite input-output tablicu prethodne ekonomije ako fi-nalna potrošnja iznosi:

q1 = 143, q2 = 132, q3 = 143.


Rješenje:Inverz matrice moguće je izračunati pomoću adjungirane matrice. Takose dobiva:

T−1 =1

0.307

0.41 0.15 0.160.18 0.59 0.220.18 0.38 0.61

iz koje je

Q =1

0.307

0.41 0.15 0.160.18 0.59 0.220.18 0.38 0.61

143132143

=330440

550

Kad se izračunaju količine proizvoda Qi, onda je relacijama

Qij = aij ·Qj

moguće izračunati svaku medusektorsku potrošnju:

Q11 = 33 Q12 = 44 Q13 = 110

Q21 = 66 Q22 = 132 Q23 = 110

Q31 = 66 Q32 = 176 Q33 = 165

Nova input-output tablica je:

Q Qij qi330 33 44 110 143440 66 132 110 132550 66 176 165 143

3. Primjer 84 Sastavite novu input-output tablicu prethodne ekonomijeako je proizvodnja prvog sektora Q1 = 330 jedinica i finalne potražnjeostalih sektora q2 = 132 i q3 = 143.

Rješenje: U ovom slučaju iz matrične jednadžbe ravnoteže TQ = q,odnosno 0.9 −0.1 −0.2−0.2 0.7 −0.2

−0.2 −0.4 0.7

330Q2Q3

= q1132

143

slijedi sustav

297− 0.1Q2 − 0.2Q3 = q1


−66 + 0.7Q2 − 0.2Q3 = 132

−66− 0.4Q2 + 0.7Q3 = 143

koji se može zapisati u matričnom obliku kao−0.1 −0.2 −10.7 −0.2 0−0.4 0.7 0

Q2Q3q1

=−297198

209

Nakon nalaženja inverzne matrice moguće je dobiti

Q2 = 440, Q3 = 550, q1 = 143.

Sada se može dobiti nova input-output tablica

Q Qij qi330 33 44 110 143440 66 132 110 132550 66 176 165 143

Primjer 85 Zadana je I −O tablica neke dvosektorske (n = 2) privrede:

Qi Qij qi1000 250 600 1501200 250 300 650

Odredite pripadne matrice A,T i T−1.

Rješenje:

aij =QijQj

a11 =Q11Q1

=250

1000=

1

4

a21 =Q21Q1

=250

1000=

1

4

a12 =Q12Q2

=600

1200=

1

2


a22 =Q22Q2

=300

1200=

1

4

A =

[1/4 1/21/4 1/4

]=

[0.25 0.50.25 0.25

]

T = I−A =[1 00 1

]−[1/4 1/21/4 1/4

]=

[3/4 −1/2−1/4 3/4

]=

[0.75 −0.5−0.25 0.75

]det T = 3

4· 34− −1

2· −1

4= 7

16

T−1 =1

detT· adj(T) = 16

7·[3/4 1/21/4 3/4

]=

[12/7 8/74/7 12/7

]Primjer 86 Zadana je I −O tablica neke dvosektorske (n = 2) privrede:

Qi Qij qi20 5 12 324 10 6 8

Odredite novu I-O tablicu ako je nova matrica finalne potražnje

q =

[510

]Rješenje:

aij =QijQj

a11 =Q11Q1

=5

20=

1

4

a21 =Q21Q1

=10

20=

1

2

a12 =Q12Q2

=12

24=

1

2

a22 =Q22Q2

=6

24=

1

4


A =

[1/4 1/21/2 1/4

]=

[0.25 0.50.5 0.25

]

T = I−A =[1 00 1

]−[1/4 1/21/2 1/4

]=

[3/4 −1/2−1/2 3/4

]=

[0.75 −0.5−0.5 0.75

]

det T =1

4· 1

4− −1

2· 1

4=

9

16− 1

4=

9− 516

=5

16.

T−1 =1

det T

[3/4 1/21/2 3/4

]=

16

7

[3/4 1/21/2 3/4

]

Q = T−1 · q = 167

[3/4 1/21/2 3/4

]·[

510

]=

[2832

]Qij = aij ·Qj

Q11 = a11 ·Q1 =1

4· 28 = 7

Q21 = a21 ·Q1 =1

2· 28 = 14

Q12 = a12 ·Q2 =1

2· 32 = 16

Q22 = a22 ·Q2 =1

4· 32 = 8

(Elemente prvog stupca matrice ulaza-zlaza dobivamo množenjem odgova-rajućih elemenata matrice tehničkih koeficijenata s Q1. Analogno nalazimoi elemente drugog stupca matrice ulaza-izlaza.)

Nova I-O tablica:Qi Qij qi28 7 16 532 14 8 10

Primjer 87 Zadana je matrica tehnologije

T =

[3/5 −1/4−1/4 2/5

]


i matrica finalne potražnje

q =

[914

]jednog dvosektorskog gospodarstva. Sastavite I-O tablicu tog gospodarstva.

Rješenje:

det T =6

25− 1

16=

96− 25400

=71

400

T−1 =1

det T· adj(T) = 400

71

[2/5 1/41/4 3/5

]

Q = T−1q =400

71

[2/5 1/41/4 3/5

]·[

914

]=

[4060

]A = I−T =

[1 00 1

]−[

3/5 −1/4−1/4 2/5

]=

[2/5 1/41/4 3/5

]Qij = aij ·Qj

Q11 = a11 ·Q1 =2

5· 40 = 16

Q21 = a21 ·Q1 =1

4· 40 = 10

Q12 = a12 ·Q2 =1

4· 60 = 15

Q22 = a22 ·Q2 =3

5· 60 = 36

Tablica ulaza-izlaza:

Qi Qij qi40 16 15 960 10 36 14

Primjer 88 Zadan je inverz matrice tehnologije

T−1 =4

5

[3 22 3

]


i matrica finalne potražnje

q =

[38

]jednog dvosektorskog gospodarstva. Sastavite I-O tablicu tog gospodarstva.

Rješenje:

(T−1)−1 = T

T =

[3/4 −1/2−1/2 3/4

]Q = T−1 · q = 4

5

[3 22 3

]·[38

]=

[2024

]A = I−T =

[1 00 1

]−[

3/4 −1/2−1/2 3/4

]=

[1/4 1/21/2 1/4

]Qij = aij ·Qj

Q11 = a11 ·Q1 =1

4· 20 = 5

Q21 = a21 ·Q1 =1

2· 20 = 10

Q12 = a12 ·Q2 =1

2· 24 = 12

Q22 = a22 ·Q2 =1

4· 24 = 6

Tablica ulaza-izlaza:

Qi Qij qi20 5 12 324 10 6 8

Primjer 89 Zadana je I-O tablica neke dvosektorske ekonomije

Qi Qij qi200 80 60 60300 160 120 20

Sastavite novu I-O tablicu ako se ukupni izlaz prvog sektora smanji za 20%,a ukupni izlaz drugog sektora poveća za 40%.


Rješenje:

Q′1 = 200− 200 ·20

100= 160

Q′2 = 300 + 300 ·40

100= 420

Nova matrica ukupnih izlaza:

Q′ =

[160420

]A =

[80200

60300

160200

120300

]=

[0.4 0.20.8 0.4

]Qij = aij ·Qj

Q11 = a11 ·Q1 = 0.4 · 160 = 64

Q21 = a21 ·Q1 = 0.8 · 160 = 128

Q12 = a12 ·Q2 = 0.2 · 420 = 84

Q22 = a22 ·Q2 = 0.4 · 420 = 168

q1 = 160− 64− 84 = 12

q1 = 420− 128− 168 = 124

Nova I-O tablica:

Qi Qij qi160 64 84 12420 128 168 124

Primjer 90 Zadana je I-O tablica neke dvosektorske ekonomije

Qi Qij qi200 40 80 80240 80 60 100

Ako se ukupni izlaz prvog sektora smanji za 10%, a drugog poveća za 50%,za koliko % se promijeni potražnja pojedinih sektora?


Rješenje:

Q′1 = 200− 200 ·10

100= 180

Q′2 = 240 + 240 ·50

100= 360

Nova matrica ukupnih izlaza:

Q′ =

[180360

]A =

[40200

80240

80200

60240

]=

[1/5 1/32/5 1/4

]

T = I−A =[1 00 1

]−[15

13

25

14

]=

[45−1

3

−25

34

]T ·Q′ = q′[

45−1

3

−25

34

]·[180360

]=

[24198

]Finalna potražnja prvog sektora smanjila se za 56 jedinica:

x

100· 80 = 56⇒ x = 70%

Dakle, finalna potražnja prvog sektora smanjila se za 70%. Finalna potražnjadrugog sektora poveća se za 98 jedinica:

x

100· 100 = 98⇒ x = 98%

Finalna potražnja drugog sektora poveća se za 98%.

sadr zaj - prijava · 2012. 10. 29. · poglavlje 1 linearna algebra s matri cnim ra cunom 1.1...

Documents