sa sc msa - nguyenduyphuc.files.wordpress.com filecỦa trung tÂm ltĐh vĨnh vi ... điều phải...
TRANSCRIPT
1 | P a g e
BÀI GỢI Ý HƯỚNG DẪN GIẢI 20 ĐỀ TOÁN ÔN TẬP
CỦA TRUNG TÂM LTĐH VĨNH VIỄN
ĐỀ 1
Câu II
2/ Đặt tyx
Câu IV
ABCS
MQNS
ABCDS
MNPQS
V
V
V
V
.
.
.
.
.2
.2
SC
SN
SA
SQ
SB
SM.. . Ta có
4
3,
3
2
SC
SN
SI
SK
SB
SM
Tính mSA
SQ ?
K2 SAmSISQSK 3
2
SCSAm
SAmSCSA
3
1)
3
31(
)2
(3
2
QN SAmSCSQSN 4
3
QK và QN cùng phương nên:
5
3
9
4
43
31
3
31
m
m
m
Vậy .
.
2 3 3 3. .
3 5 4 10
S MNPQ
S ABCD
v
V
Câu V
điều phải chứng minh lnx – ln(4 – x) – x < lny – ln(4 – y) – y
đặt f(t) = lnt – ln(4 – t) – t ; 0 < t < 4
f’ (t) > 0 , 0 < t < 4
f đồng biến trên (0,4) điều phải chứng minh
Câu VI
2/ Gọi 0 là hình chiếu của d trên mặt phẳng
D là 1 đường thẳng bất kì trên mặt phẳng qua I
Ta cm sin(d, 0 ) sin(d, D)
Vậy đường thẳng cần tìm là hình chiếu của d trên mặt phẳng
ĐỀ 2
Câu II
2 | P a g e
1/ phương trình sin 1 0
(2sin 1)(s in3 1) 0
x
x x
sin 1
1sin
2
sin 1
x
x
x
2/
2 2
2
21(1)
(2)
xyx y
x y
x y x y
Điều kiện: S = x + 4 0 (1)P = xy 0 0
0
x
y
(2) 2x y x y x x
Đặt f(t) = 2t t , t > 0.
Câu IV
Gọi x là cạnh hình lập phương
ACB D là tứ diện đều cạnh 2x
(*)IA MA AH x MA
IH MH x MH
∙MA = AB .3 6
2 2
x
∙MH = 1 6
3 6
xCM
∙AH = 2 2 2 3
3
xMA MH
(*) 2 32 3 24 3x x V x
Câu V 3 1 1 3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
y x
3 3 3 3
2 4 2 4 4
x y zP
min
3,
4P khi x = y = z = 1
Câu III
I = 2
03
sin.
8sin3
xdx
x
Đặt t = x + 3
3 | P a g e
56
33
1 3sin cos
1 32 2
8 sin 8
t t
I dtt
ĐỀ 3
Câu I
2/ (C) có 3 điểm cực trị m < 0 2
1( , 2),M m m 2
2( , 2)M m m
1 2 3 2
12
2 0( ì 0)
mM M
m m m vnv m
Câu II
1/ 2 3 3x x có nghiệm duy nhất x = 1
Vì f(x) = VT đồng biến trên 0,
x = 1 cũng thỏa phương trình còn lại
2/ Điều kiện: cos2x 0, sinx 0
Đặt t = tanx
Câu IV
∙Cos BSA ˆ =6
4
2
ˆCosASB 6
SM aSN SB
N đoạn SB và 2
3
SN
SB
3 3
. . ..8 24
S ABC S MNC S ABC
a SM SN aV V V
SA SB
Câu V
∙ 43 4 1 1 1 4 4 4a a a
83 4 2 4a a
Tương tự cho 3 4 , 3 4b c
Cộng theo từng vế điều phải chứng minh.
ĐỀ 4
Câu I
2/ Giả sử (C) cắt trục Ox tại 2 điểm A, B với AB =3 2
2
3 2 3 2
,0 ; ;04 4
A B
4 | P a g e
A, B (C) 2
1
11 17 85 0
174 64
40
m
m m
m
Thử lại nhận m = 1
8 ( m =
17
40 4 gđ loại )
Câu II
1/ phương trình 2 3 4 2 3 49 3( 3 4) 9 3(3 4)x x xx x x
Đặt f(t) = 9 3t t
2/ 3 32sin 4cos 3sinx x x . Đặt t = tanx
Câu IV
1/ M là trung điểm CD
( )BM ACD
BA = BC MA = MC (= MD)
ACD vuông tại A
2/ BM là trục của ACD
âùmcR = R đường tròn ngoại tiếp BCD = a
Câu V
∙ 3 ( 3 ) 1 1 3 23
3 3
a b a ba b
Tương tự cho 3 33 3 , 3 3c a
Cộng theo từng vế điều phải chứng minh.
ĐỀ 5
Câu II
2/ Điều kiện: 1 3
2 2x
2 1 3
2 2 2
VTx x
VP
Câu IV
IJ = 1
2, SE = a
EC = 2 2 5EB BC a
5 sinEH a
5 cosHC a
1.
2EHCS EH HC
5 | P a g e
2
2 2
15 sin cos
2
5 5sin 2 s in2
4 8EIH
a
a S a
31 5. sin2
3 24EHIJ EIHV S IJ a
EHIJV lớn nhất 4
Câu V 3 3
3 3
3
3 3
3
3 3
1 31
2 1 1 33 4
2 1 1 33 4
2
a b abab
a a aa b
b b bb a
a b
4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33( ) 2 3 . 3 . 2 (4 ) (4 ) 2 4( ) 8a b a b a a bb a b ab b a a b a b a b
ĐỀ 6 Câu II
2/ Đặt t = 21
x
x, -1 < x < 1.
Câu V
Cách 1: Quy đồng mẫu số, biến đổi tương đương ra điều hiển nhiên đúng điều phải
chứng minh.
Cách 2: 2 21 ( 1)
aa ab a
b
21 ( 1) ( 1)
aab a
b
Vậy
2
2
1 1
( 1)1 ( 1)
1 1
( 1)1 ( 1)
aaab
b
bbab
a
Cộng theo từng vế điều phải chứng minh.
Câu VI
2/ (C) tâm O; bán kính R = 1
Gọi PA, PB là 2 tiếp tuyến
Trường hợp 1: APB = 60o
Lúc này P nằm trên đường tròn 1( )C tâm O, 1 2R
Trường hợp 2: APB = 120o
Lúc này P nằm trên đường tròn 2( )C tâm O
6 | P a g e
Bán kính 2
2
3R
Yêu cầu bài toán 2
(0, ) 23
d d
22
2 32
232
3
m
m
m
ĐỀ 7
Câu II
1/ phương trình 1
2(sin 2 cos 2 ) sin2 cos 2 2 2 02
x x x x
Đặt t = sin2x + cos2x
2/ Đặt t = 1
x
3
3
21 20 0(1)
21 20 0(2)
t y
y t
(1) – (2):
(t – y)
2 2321 0
2 4
y yt t y
Thế vào (1) ta tìm được:
1
1
x
y
1
4
4
x
y
1
5
5
x
y
Câu III
4
0
4sin 2 cos 2
3 cos 2
x xI dx
x
. Đặt t = 3 + cos2x
Câu V
Điều kiện: 3 2x
phương trình 3 2 31 2 ( 3) 2 5x x x
2 3
2 33 32 2
2
32 2 2 33
9 27( 3)
2 51 2 1 4
3
3 3 91
( 1) 2 1 4 2 5
x xx
xx x
x
x x x
x x x
CMR (1) vô nghiệm
7 | P a g e
Vậy nghiệm phương trình đã cho là x = 3
Câu VI
1/ phương trình 4 cạnh hình vuông
1 2
3 4
: ( 2) 1; : ( 3) 5
1 1: ( 0) 1; : ( 3) 1
d y k x d y k x
d y x d y xk k
gt 1
3k hay 7k
Câu VII
Đặt W = x + yi, z = a + bi
gt 2
5
x ya
;
2 5
5
x yb
Khi đó 2 22 3 ( 2) 9z a b
2 2( 3) ( 4) 45x y
ĐỀ 8
Câu II
1/ phương trình 2(3tan 1)(tan 1 sin ) 0x x x
2/ Điều kiện: x 1
Thế (2) vào (1) ta có:
3 28 1 ( 1) 0(*)x x x
( ) (*) ông ên ên 1;
(2) 0
f x VT d bi tr
f
Nên nghiệm hệ phương trình là 2
1
x
y
Câu IV
AE 3 3 3
,2 3 6
a a aAH HE
2 2
2 2
2 2 2
3
3
2 3tan
. 3
12A ABC
b aA H
A H b a
HE a
a b aV
2 2 23
4ABCA B C
a b aV
2 2 23
6A BB CC ABCA B C A ABC
a b aV V V
Câu V
8 | P a g e
Đặt t = 2 2x
2 2( 1) 2 0t x t x x
1 2t x hay t = x
∙2 7
1 23
t x x
∙ t x vô nghiệm
ĐỀ 9
Câu I
2/ d: y = k (x – 4) – 1
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt k 0
Tiếp tuyến tại 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )M x y M x y song song khi 1 2
1( ) ( )
3f x f x k
Câu II
1/ Điều kiện: sin2x 1
phương trình 4 2sin 2 10sin 2 9 0x x
2/ Đặt t = 3 2 ;x 0t
Ta có 2 2 2( 1) ( 7)(1 )t t t
11
30 3 3
2
xt
t x
Câu III
Đặt t = 23tan 1x
Câu V
Đặt
1
2
10
a x
b y
c z
2 2 21, 2, 10
0, 0, 0
1
x a y b z c
a b c
a b c
22 2 2
2 2 2
1( ) 3
3 2 72
10 10 2( 10)
a ba b c c
Ac c c
Đặt f(c) = 2
2
2 7
2( 10)
c c
c
; c 1
Lập bất phương trình 1
( )4
A f c
9 | P a g e
Dấu = xảy ra khi
1
2
2
a b
c
5 9, , 144 4
x y z
Câu VII
Đặt z = x + iy 2 2
2 2 2 2
2 3 2z i x y xi
z x y x y
Yêu cầu bài toán 2 23 0
32 0
0
xyx y
xx
ĐỀ 10
Câu I
2/
2
1 0
2 2 0(*)
x
x mx m
y = 3 – x nên y < 3 x>0
Vậy ycbt (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1
Câu II
2/ Điều kiện: x 1 hay x = -1
∙x = -1 thỏa phương trình
∙x 1: phương trình 2( 3) 1 2 1x x x
x = 1
Câu IV
∙Chọn hệ trục như hình vẽ
∙1
, .6
SMPDV SM SP SD
∙d(AN, SD) = , .
,
AN SD AD
AN SD
Câu V
3
3
3
2 32
2 32
2 32
a b ca
b c
b c ab
c a
c a bc
a b
cộng theo từng vế điều phải chứng minh.
10 | P a g e
ĐỀ 11
Câu II
1/ phương trình 2cosx + 2cos3x + 2cos5x = 1
∙sinx = 0 không thỏa phương trình
∙sinx 0 nhân 2 vế cho sinx
2/ t =
Bất phương trình 2 (3 2) 9 2 0(*)t t t
Ta có 2 (3 2) 9 2 0t t t
9 22 2 0
3 2
t tt t
t
Câu IV
gt là trung diem
là trung diem
M SC
N SD
. .
. .
1
4
S ABMN S AMN
S ABCD S ACD
V V
V V
Câu VII
phương trình ( 1)( 3)( 2) 10z z z z
2 2( 2 3)( 2 ) 10z z z z
Đặt t = 2 2z z .
ĐỀ 12
Câu II
1/ phương trình (cos 1)(1 2sin )(1 2cos ) 0x x x
2/ hệ phương trình
2
2 2
1 [4 ( )](1)
2( 1) [( ) 7](2)
x y x y
x y x y
(2) 2(1) 2( ) 2( ) 15 0x y x y
x + y = 3 hay x + y = - 5
Câu III
Đặt t = 2
x ta chứng minh được
2 2
3 30 0
3sin 2cos 2sin 3cos
(sin cos ) (sin cos )
x x x xI dx dx J
x x x x
2
20
1cot 1
4(sin cos ) 2
1
2
dxI J x
x x
I
Câu IV
3 21sin cos
6V a
11 | P a g e
3 21sin (1 sin )
6a
Đặt t = sin , 0 < t < 1
KSHS 3 31( )
6V a t t
Ta suy ra maxV khi t = 1
sin3
Câu V
cos3 2cos [1 cos( )] cos3 1S A A B C A
min 1S khi ABC đều
ĐỀ 13
Câu III
ln5
ln 2 (10 ). 1
x
x x
e dxI
e e
Đặt t = 1xe 2
2
221
1 32. ln
9 3 3
1 5ln
3 2
dt tI
t t
I
Câu IV
A A A B A C Hình chiếu của A trên (ABCD) là tâm H của ABD
1/ .ABCDV S A H
ABD đều , AO = a
2 2
,3 3
a aAH DB
2 2
2
3
4 2
3
2
3
8 6
9
ABCD
aA H AA AH
aS
xV
2/ Kẻ AK ( , )OO d A BDD B AK
.cos .cos .A H
AK AO OAK AO AA H AOAA
4 2
2 23
2 3
aa
aa
12 | P a g e
Câu V
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 4 1 1 4 42 (1)
a b a b a b a b ab
mà 2 2
4
4 32( )(2)
( )
a b
ab a b
4( ) 0a b nên (2) đúng
(1) & (2) điều phải chứng minh.
ĐỀ 14
Câu IV 2 1
1 4
a ba
b
Tương tự cho 2 21 1
;1 4 1 4
b c c a
c a
Cộng theo từng vế ta có 2 2 2
33 3 3 3 3( ) .3
1 1 1 4 4 4 4 2
a b ca b c abc
b c a
.
ĐỀ 15
Câu II
1/ phương trình 2cosx + 2cos3x + 2cos5x = 1
sinx = 0 không là nghiệm phương trình trên
phương trình sin (2cos 2cos3 2cos5 ) sinx x x x x
2/ Đặt t = 2
( 1)1
xx
x
; Điều kiện: 2 1x x
Câu III
8 8
8 8
cos 8 cos7
1 2cos5 1 2cos5
x x cos x xI dx dx
x x
0 +8
8
8 cos7
1 2cos5
cos x xdx
x
= 8
8
2 2 2(cos3 cos 2 )
3 2x x dx
Câu IV
Chọn hệ trục như hình vẽ
∙ ( , , )MN a a x x (0 )x a
( , , )
. 0
AC a a a
MN AC MN AC
∙ 2 2 22 2 2MN x ax a
Nên MN nhỏ nhất x = a
Câu V
13 | P a g e
Đặt 5 4 1
( )5 4 2 1 6
t tf t
t t
51
4t
( ) 0,f t Vậy 1
min ( ) ( 1)3
f t f
ĐỀ 16
Câu II
2/ Điều kiện: 0, 0x y
∙y = 0 không thỏa hệ phương trình
∙y 0 đặt x t y
3
2
38 9
24( 1) 5
4
t y t y xt
yy ty
Câu V 3 3 3
2 23 ( )( )
a a a
b b ab bc ca b c b a
mà 3 3
( )( ) 8 8 4
a b c a b a
b c b a
nên3
3
3 2 5 2 2
3 4 8 8
a a a b c a b c
b
Làm tương tự cho 3 3
2 2;
3 3
b c
c a
Cộng theo từng vế ta có: 3 3 3
2 2 2
3( ) 3
3 3 3 4 4 4
ab bc caa b c a b c
b c a
Câu VI
x = abcd
Trường hợp 1: a 2,4,6,8
4 cách chọn a
4 cách chọn d a
2
8A cách chọn bc
Có 16 2
8A số
Trường hợp 2: a 3,5,7,9
4 cách chọn a
5 cách chọn d
2
8A cách chọn bc
Có 20 2
8A số
Vậy tất cả có 36 2
8A số.
14 | P a g e
ĐỀ 17
Câu II
1/ phương trình 23(1 sin2 ) 2(cos 1) 0x x
1 sin 2 0
cos 1 0
x
x
phương trình vô nghiệm
Câu III
1 2
2 2
0 1
17( ) (2 )
6V x dx x dx
Câu V
7a + 5b + 12ab – 9
2 21 17 5 12 9
4 4a b ab
2 2
2 2 2 2
2
7 5 12 6
(9 8 7 6) 2( 2 )
2( ) 0 7 5 12 9
a b ab
a ab b a ab b
a b a b ab
Câu VI
1/ Gọi C(O,O,C) là giao điểm của ( ) và trục Oz
Kẻ OHAB, ta có OH = 2
5
6tan
5
OC
OH
12 12
5 5
5( ) : 1
1 2 12
C C
x y z
ĐỀ 18
Câu II
2/ Điều kiện: 1x
phương trình2 25 (1 )(1 2( 1)x x x x
Đặt u = 1 + x, v = 1 – x + 2x
Ta có 2 24 17 4 0u uv v
4u v hay 1
4u v
Câu V
Đặt a = 2
2
3(1 )
x
x
1
; cos ,13 3 2
a t a
15 | P a g e
2( ) 2 1,y f t t t 1
,12
t
Câu VI
1/ , 0n n
( ) cắt ( )
Gọi d là giao tuyến của ( ),( )
(P) là mặt phẳng cần tìm
∙ (0,0,1) ( )A d A P
2 2
( ) : 0
( , , ); ( , , )
. 0,
d p
d p
P Ax By Cz C
a m m m m n A B C
a n m A B C
Vậy d mặt phẳng cố định (P): x + y – z – 1 =0
2/ (C): 2 2 2( ) ( )x a y b R
gt
23
3
2êu
ab
R a b
RIBCd
Vậy (C): 22
2 3 4x y
ĐỀ 19
Câu I
2/ 3
,1
oo
o
xM x
x
4 3 22
2
2 2 6 9( )
( 1)
o o o oo
o
x x x xf x OM
x
Câu II
2/ Hệ phương trình 2
2
16
15
yy
x x
yx
Đặt
1a
x
b y
Câu III
1
0
(1 )
1
x
x
x eI dx
xe
Đặt 1xt xe
16 | P a g e
Câu IV
phương trình 2 2 2 22( 1) ( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x
2 2
2 2
1 12 1
1 1
x x x x
x x x x
Đặt t = 2
2
1
1
x x
x x
(t > 0)
Câu VII
1
3
( ) 24( )! 24 1 124
( 3)! ( 2)( 3) 2 3K
K
K KH KH
C K K K K K
Lần lượt thay K = 1, 2, …, n vào 2 vế và cộng lại ta có:
0 1 1
4 5 3
1.2 2.3 ( 1) 8...
3n
n
n n n
C C C n
Vậy yêu cầu bài toán 8 64
83 11
nn
n
.
ĐỀ 20
Câu II
1/ phương trình 22sin .cos6 2sin 04 4
x x x
2/ phương trình 2 2log 8(2 4) log 2 .(2 12)x x x
Câu IV
SI = cot ,2 2
a OI =
3
6
a
22 2
32
.
2
3cot 112 2
3cot 124 2
3cot
12 2
S ABC
xq
aSO
aV
aS
Câu V
Đặt 2 22 ,a x y xy 1a
∙y = 0: M = 2 1
2x
∙y 0: Đặt t = x
y. Khi đó:
2
2
1 6 2 2 1( )
2 1 7 2
M tf t
a t t
Vậy min M là 6 2
7
17 | P a g e
Câu VI
1/ d
2 1 0
( ) 1 0
0
Kx y z
d ozy x Ky z
x
có vô số nghiệm.
1K .