1

Objetos de aprendizaje:

-Sumas de Riemann

MOMENTO II. BLOQUE 3. Calculas e interpretas el área bajo la curva en

el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas.

LECTURA 3. Comparando resultados de áreas de

Riemann con resultados de la integral definida

La continuidad en una función determina que sea integrable en un intervalo [a,b]. Es

decir, si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f es integrable en

el intervalo [a,b].

Δxi =

INTEGRAL DEFINIDA:

Para calcular una integral definida se realizan los siguientes pasos:

1.- Se integra el diferencial dado (función presentada).

2.- se debe sustituir el valor de la variable independiente en el resultado obtenido.

Primero con el valor extremo superior de la integral y, a este valor se le resta el segundo

resultado obtenido con el valor inferior.

Nota: el valor de la constante de integración no se considera. Ejemplos:

1.- La integral definida de la siguiente función es:

2 =X2

41[x

2 = 42-12 = 16 – 1 = 15u2

2.- El valor de la siguiente función (diferencial) es

= sen x

2

Sen x ]0π/2 = sen – sen 0 = sen 900 – sen 00 = 1-0 = 1u2

Como puedes ver se realiza primero la integración atendiendo el procedimiento que ya

conoces en la integral indefinida. Normalmente estas integrales definidas se aplican a

funciones o diferenciales de una manera directa como en los ejemplos; cuando el

diferencial no está completo se necesita aplicar primero alguno de los métodos de

integración ya conocidos por ti (cambio de variable, sustitución trigonométrica, etc.) y

enseguida sustituir los valores superior e inferior en el resultado.

Comparando la Suma de Riemann con la integral definida

A continuación vamos a comparar los resultados que se obtienen de cálculo de áreas bajo

la curva mediante la sumatoria de Riemann y la aplicación de la integral definida.

Usaremos los mismos ejercicios que se resolvieron con la suma de Riemann en la lectura

anterior (se te presenta el procedimiento que ya se hizo así como el resultado) ahora se

resolverán con integral definida para comparar resultados entre Riemann e Integral

definida:

EJEMPLOS:

1.- Calcular la suma de Riemann de la función f(x)= 10-x2 donde la partición p es de

( ) dividido este intervalo a valorar en cuatro subintervalos determinados por:

X0= , x1= 1, x2= , x3= , x4= Los valores de w son: w1= , w2= , w3= , w4=2

Rp= Δxi

Sustituimos los valores de(x,w) quedando entonces:

Rp=f( (Ec.1)

f( =10-( )2= f( =10-( )2= f( =10-( )2= f(2 =10-(2)2= 6

Rp= = 16.26 u2

Ahora mediante la integral definida:

3

f(x)= 10-x2 dx = dx= 10 dx - dx 2.25 0.25

= 10x - =1/49/4 [10(2.25)- ] – [10(0.25)-

= [22.5-3.7968] – [2.5- .0052] = (18.70)-(2.4948) = 16.21 U2

Por la suma de Riemann = 16.26u2

por la integral definida=16.21U2

2.-Evaluar con la suma de Riemann en cuatro subintervalos la siguiente función:

, en el intervalo o límites Rp= Δxi

Se tiene entonces X0= , x1=0.5, x2=1, x3= 1.5, x4=2

w1=0.25, w2= , w3=1.25 , w4=1.75

el planteamiento del área quedará así Rp= Δxi = f(w1)Δx1+ f(w2)Δx2+ f(w3)Δx3+

f(w4)Δx4

Rp= Δxi = f (0.25)0.5+ f(0.75)0.5+ f(1.25)0.5+ f(1.75)0.5

f(0.25 =2-(0.25)2= 1.9375 f(0.75 =2-(0.75)2=1.4375 f(1.25 =2-( )2= 0.4375

f(1.75 =2-(1.75)2=-1.0625

Rp= = 1.37 u2

Ahora mediante la integral definida:

dx= = 2 - dx =

=02 [2x- = [2(2)- ]-[2(0)- ] = (4- = 1.33 u2

4

Por la suma de Riemann= 1.37u2

Por integral definida= 1.33u2

3.- Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la

izquierda de la siguiente función: f(x)= lnx-1 límites intervalo

Rp= Δxi se tienen los valores X0=1, x1=1.5, x2=2, x3=2.5, x4=3, x5=3.5

w1=1.25, w2=1 , w3=2.25, w4=2.75 W5=3.25

Rp= Δxi = f(w1)Δx1+ f(w2)Δx2+ f(w3)Δx3+ f(w4)Δx4+f(w5)Δx5

Rp= Δxi = f(1.25)0.5+ f(1.75)0.5+ f(2.25)0.5+ f(2.75)0.5+f(3.25)0.5

f(1.25 =Ln 1+1= 1 f(1.75=Ln 1.5+1=1.4054 f(2.25 =Ln 2+1=1.6931

f(2.75)= Ln 2.5+1=1.9162 f(3.25)=Ln 3.25+1=2.1786

Rp= (1)0.5+ (1.4054)0.5+ (1.6931)0.5+ (1.9162)0.5+ (2.1786)0.5 = 4.1 u2

Ahora mediante la integral definida:

f(x)= lnx-1dx = = - =

=41 [ = ( = 3.7u2

Con la suma de Riemann =4.1u2 con la integral definida = 3.7 u2

Nota: Se recomienda ampliamente utilizar el software graficador GeoGebra para que

puedas visualizar el comparativo entre la sumas de Riemann y la integral definida.

1.- Con el uso del software Geogebra, representar la función f (x) = , con x en el

intervalo [0,1.5]. Insertar los parámetros: a=0; b=1.5; n= 4. Con ellos, definir el valor

sumin=sumainferior [f, a, b, n].

Figura 5. Función sumainferior[sqrt(x),a,b,n] para n=4 visualizada en Geogebra.

5

Una forma de hacer este trabajo en Geogebra es: introducir en la pantalla GeoGebra

(parte inferior): sumainferior[sqrt(x),0,1.5,4] aparece en pantalla los rectángulos y el

valor del área. En un segundo momento se debe anotar en el mismo espacio inferior la

función sqrt(x), pedir la gráfica y dar Enter. Entonces se pude ver la figura 5 arriba

mostrada.

Existen otros procedimientos para realizar este mismo ejercicio de sumas de Riemann en

GeoGebra –coméntalo con tu profesor y/o investiguen en los diversos recursos de apoyo

que puedas encontrar a tu alcance.

Bibliografía de consulta

Fuenlabrada. (1996). Matemáticas V Calculo Integral. México: Mc Graw Hill.

Rivera, G. F. (2012). Cálculo Integral. México: Nueva Imagen, S.A.de C.V.