Leyes y reglas lgicas

Leyes y reglas lgicasLeyes lgicasDeduccin natural o Derivaciones Mag. Alfredo MoraLos tres principios lgicos clsicosDesde Aristteles hasta nuestros das se suele hablar de las tres leyes o principios lgicos clsicos.

IdentidadNo contradiccinTercio exclusoPrincipio de IdentidadUn libro de lgica es un libro de lgicaUn lapicero es un lapiceroUd es Ud si y solo si Ud es realmente UdGeneralizando :Algo es algo determinado si y slo si es ese algo determinado.p pA APrincipio de no contradiccinNo es posible que esto sea un libro de lgica y no sea un libro de lgica.No es posible que yo sea yo y que a la vez no sea yo.Generalizando:No es posible que algo sea y no sea lo mismo al mismo tiempo y en el mismo sentido. (p p) (A A)

Principio de Tercio exclusoEste es un libro de lgica o no es un libro de lgica.El es Jaime o no es Jaime.Generalizando:Esto es aquello o no es aquello.p v pA v A

Y para qu me sirven estos 3 principios?Cualquier lenguaje y sistema de lgica clsica (donde se incluye la lgica proposicional), considera estos principios como supuestos bsicos.Equivalencias notablesReglas o leyes lgicas basadas en la equivalencia lgica, esto es, sostiene la equivalencia de una variable o una formula con otra variable proposicional o formula. Dicha equivalencia es lgicamente valida pues (el bicondicional o equivalencia) es tautolgica.

Equivalencias notables (1/2)Eliminacin de la Doble Negacin (E.D.N.):~~A A

Teorema de De Morgan (DM):~(A B) (~ A v ~ B)~(A v B) (~ A ~ B)Conmutacin (Conm):(A B) (B A)(A v B) (B v A)

Asociacin (Asoc.):[A (B C)] [(A B) C]

Distribucin (Dist.):[A (B v C)] [(A B) v (A C)][A v (B C)] [(A v B) (A v C]

Equivalencias notables (2/2)Transposicin (Transp.):(A B) (~B ~A)Definicin del Condicional (Def. Cond.):(A B) (~A v B)Definicin del Bicondicional (Def. Bicond.):(A B) (A B) (B A)(A B) (A B) v ( A B)Idempotencia (Idemp.):(A A) A

Implicancias notablesReglas o leyes lgicas basadas en la implicancia lgica, esto es; sostiene la derivacin de una variable o formula desde otra variable proposicional o formula. Dicha implicancia es lgicamente valida pues (el condicional o implicancia) es tautolgica.Implicancias notables (1/3)1.- Modus Ponens (M.P.)(A B) A B

2.- Modus Tollens (M.T.)(A B) B A

3.- Dilema constructivo (D.C.):{(A B) (C D) (A v C)} (B v D)Otra manera de representarlo es: A B AB

Otra manera de representarlo es: A B B AOtra manera de representarlo es:A BC D A v D B v DImplicancias notables (2/3)4.- Dilema destructivo (D.D):{(A B) (C D) (B v D)} (A v C)

5.- Silogismo Hipottico (S.H.):(A B) (B C) (A C)

6.- Silogismo Disyuntivo (S.D.):(A v B) A B o tambin : (A v B) B AOtra manera de representarlo es: A BC DB v D A v COtra manera de representarlo es: A BB CA COtra manera(s) de representarlo(s):A v BA(~B) B (A)Implicancias notables (3/3)7.- Adicin (Adic.):A (A v B)

8.- Conjuncin (Conj):AB A B

9.- Simplificacin (Simp):(A B) Ao tambin (A B) BOtra manera de representarlo es: A A v BOtra manera(s) de representarlo(s):A B

A(B)Equivalencias eImplicancias notablesEJERCICIOSDeduccin Natural o DerivacionesEl mtodo y sus reglas- denominado Deduccin natural fue propuesto en 1934 por el lgico Gerhard Gentzen. Desde entonces se conocen diversas variantes de ellas (v. gr. las de Jaskowski, Fitch, Iseminger, etc.).El mtodo que estudiaremos no es el original de Gentzen sino una versin modificada, mas pedaggica e intuitiva pero con mayor nmero de reglas, comnmente conocido con el nombre de Derivaciones.ProcedimientoEstas reglas de derivaciones estn formadas por el conjunto de las reglas de Implicancia as como Equivalencia. Sin embargo, por su naturaleza no algortmica, la aplicacin de cada una de ellas no est establecida de antemano, sino que, depende de la habilidad del ejecutante el hallar cul es la ms adecuada para llegar a la conclusin. En ese sentido no necesariamente hay una nica solucin posible.Hay 3 tipos de procedimientos :Procedimiento / prueba directaConsiste en derivar la conclusin indicada de las premisas dadas. Dicha derivacin o deduccin se hace introduciendo premisas derivadas de algunas de las premisas ya establecidas y que se han obtenido mediante la aplicacin de alguna Regla de Implicancia o Equivalencia.Procedimiento / prueba directaEjemplito 1 :p pp q / q v r

Observar la conclusin y dnde aparecen su(s) variable(s)Buscar relaciones con reglas de equivalencia o implicanciaSolucin del ejemplito 1:p pp q / q v rpDe 1 por IdempotenciaqDe 2 y 3 por Modus Ponensq v rDe 4 por AdicinProcedimiento / prueba directaEjemplito 2 :q p r rq(p r) s / (p r) v s

Observar la conclusin y dnde aparecen su(s) variable(s)Buscar relaciones con reglas de equivalencia o implicanciaSolucin del ejemplito 2:1.q p2.~r ~r3.q4.(p ~ r) s/ (p r) v s5.pDe 1 y 3 por Modus Ponens.6.~rDe 2 por Idempotencia.7.p ~rDe 5 y 6 por Conjuncin.8.sDe 4 y 7 por Modus Ponens.9.s v (p r)De 8 por Adicin.1010. (p r) v sDe 9 por Conmutacin.21Procedimiento / prueba condicionalEsta prueba es una variante de la Prueba Directa y se aplica nicamente cuando tenemos conclusiones que presentan, como operador principal o de mayor jerarqua, el condicional. Por ejemplo:r p~p v q~q ~q / r sProcedimiento / prueba condicionalEjemplito 3 :r p~p v q~q ~q / r (r s)rPr. Ad.Solucin del ejemplito 3:(Paso 1)1.r p2.~p v q3.~ q q / r (r s)4.rPr. Ad.5.~qDe 3 por Idempotencia6.~pDe 2 y 5 por Silog. Disyuntivo7.~ rDe 1 y 6 por ModusTollens8.~ r v sDe 7 por Adicin9.r sDe 8 por Def. Condicional24Solucin del ejemplito 3:(Paso 2)1. r p2. ~p v q3. ~q ~q / r (r s)4.rPr. Adic.5.~qDe 3 por Simplificacin6.~pDe 2 y 5 por Silog. Disyuntivo7.~ rDe 1 y 6 por Modus Tollens8.~ r v sDe 7 por Adicin9.r sDe 8 por Def. Condicional

10. r (r s)De 4 - 9 por Pr. Cond.

25Procedimiento indirecto o Reduccin al absurdoConsiste en partir de la suposicin que la conclusin no se deriva de las premisas; si se demuestra que ello es contradictorio, entonces se deduce que la conclusin deriva a partir de las premisas.Procedimiento indirecto o Reduccin al absurdoEjemplito 4 :1. (p ~q) (q r)2. r p3. ~s q / s~sPr. Ad.Solucin del ejemplito 4:(Paso 1)(p ~q) (q r)r p~s q / s~ s Pr. Ad.q De 3 y 4 por Modus Ponensq r De 1 por Simplificacinq p De 6 y 2 por Silog. Hipotticop ~q De 1 por Simplificacinq ~q De 7 y 8 por Silog. Hipottico~q De 9 y 5 por Modus Ponensq ~q De 5 y 10 por Conjuncin28Solucin del ejemplito 4:(Paso 2)(p ~q) (q r)r p~s q / s~ sPr. Ad.qDe 3 y 4 por Modus Ponensq r De 1 por Simplificacinq p De 6 y 2 por Silog. Hipotticop ~q De 1 por Simplificacinq ~q De 7 y 8 por Silog. Hipottico~qDe 9 y 5 por Modus Ponensq ~q De 5 y 10 por Conjuncin

~s (q ~q)Pr. Cond. 4 11~~sDe 12 por Reduc.al AbsurdosDe 13 por Elim. Doble Negacion29Deduccin natural o DerivacionesEJERCICIOS