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Curso Propedéutico de Física Moderna IInstituto de Ciencias Físicas UNAM
Semana 2: Dinámica relativista
Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semanas 1 y 2
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Parte 11.1.- Sistemas de referencia.1.2.- Transformaciones de Galileo.1.3.- Constancia de la velocidad de la luz y sus consecuencias, concepto de simultaneidad.1.4 Transformaciones de Lorentz y consecuencias, espacio-tiempo.
Parte 22.1 Velocidades relativistas, efecto doppler.2.2 Invariantes relativistas: s2 = x2 + y2 + z2 – c2 t2 ; E2 – p2 c2
2.3 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.2.4 Aceleración bajo una fuerza constante.2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
2.1 Velocidades relativistas,.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
2.1 Velocidades relativistas,.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
En ésta segunda sesión continuaremos explorando las implicacionesdel postulado de la relatividad especial, concerniente a la invariancia de lasleyes físicas en sistemas inerciales.
En esta sección revisaremos cómo se modifican las fórmulas de velocidades en relatividad. La derivación será una aplicación directa de las transformadas de Lorentz vistas en la clase pasada:
2.1 transformaciónde velocidades.
Las transformadas de Lorentz
Saquemos lasdiferenciales de éstasExpresiones (2 minutos):
2.1 transformaciónde velocidades.
Definimos la velocidad medida en el sistema de referencia O´como:
Utilizando (2.1) obtengan la expresión para v´x, v´y y v´ z : (3 minutos)
¿Ya?
2.1 transformaciónde velocidades.
Lo que debieron haber obtenido:
Noten que: vx es la velocidad en el sistema O, v´x en el O´ y v es laVelocidad relativa entre O y O´.
Fórmulas de transformación de velocidades.
2.1 transformaciónde velocidades.
Problema: Probar que la velocidad de la luz es invariante respecto alMovimiento uniforme rectilíneo
2.1 Efecto doppler relativista.
2.1 Efecto doppler relativista.
Una fuente de luz se mueve con velocidad v, como se muestra en la figura:
¿cuál es la longitud de onda, en función de la frecuencia en reposo y de la velocidad de la fuente? ( 1 minuto)
Clásico
Considerando la transformación de Lorentzpara el período.
2.1 Efecto doppler relativista.
Ejercicio:
Probar que la expresión anterior se puede escribir Como:
Recordando que c=lambda x frecuencia ( 5 minutos)
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Evaluemos ahora las implicaciones que la relatividad especial tiene respecto A la invariancia de las leyes mecánicas:
Imaginemos el siguiente experimento pensado:
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
¿cuál es el cambio de momento vertical que mide O y O´ en la colisión Que se ilustra en la figura?
R.-2moVy en O
2m´Vy´ en O´
Según el principio de relatividad especial:
2moVy = 2m´Vy´
¿qué implica esto?
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Según el principio de relatividad especial:
2mVy = 2m´Vy´
¿qué implica esto?
Empleando la ecuación de transformaciones de velocidades:
2mVy = 2m´Vy g
Lo anterior implica que la masa m y la masa m´ están relacionados de la siguienteManera:
Pues Vx´=0
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Lo anterior implica que la masa m y la masa m´ están relacionados de la siguienteManera:
Ésta es la fórmula de transformación relativista de la masa.
Esta expresón es muy útil, pues nos permitirá encontrar la expresiónPara las distintas energías de un cuerpo, desde el punto de vista relativista.
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Elevando al cuadrado
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Integrando
Probar que esta expresion se reduce a la clasica a bajas velocidades v. (5 minutos)
(1-x)1/2 = (1+x/2 + …)
2.3 Momento relativista
Curso propedéutico, Física moderna 2008
La energía cinética puede considerarse como la diferencia entre la energía Total, E menos la energía en reposo:
T= E -Er
Dado que : T= mc2 –moc2 Se puede asignar E=mc2
Momento relativista: Dado que la masa varía con la velocidad, es necesario redefinir el momentoEn relatividad de la siguiente manera:
p= (mov) g
Se puede probar que E2= (pc)2 + (mo c)2 ( ver tarea 2)
2.3 Momento relativista
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Momento relativista:
Dado que la masa varía con la velocidad, es necesario redefinir el momentoEn relatividad de la siguiente manera:
p= (mov) g
Si se usa esta definición, la segunda ley de Newton es Igual, salvo por la consideración de p, definida en la Ecuación anterior. Explorarán las implicaciones de esta fórmula en su tarea ( regla de la cadena).
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Supongamos que se tiene un alambre con una densidad de carga por unidad De longitud ג de cargas positivas y negativas, respectivamente.
Dado que la carga positiva ve una corriente I, experimentará un campo Magnético B, dado por:
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Donde la corriente esta dada por la densidadPor la velocidad de las cargas.
Considerando la fuerza de Lorentz:
Se tiene:
Esta fuerza empujará a la carga lejosDel alambre ( convencerse) 2 min
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Analicemos ahora el problema considerando el sistema de referencia en el Que la carga está en reposo:
Dado que la carga q+ está en reposo no hay fuerza de Lorentz, aunque haya Corriente. Sin embargo la carga experimentará una fuerza ¿de donde vieneTal fuerza?
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
La solución de la paradoja está en que, debido a la contracción de Las longitudes, dada por la transformada de Lorentz, la densidad de cargasPositivas es distinta ahora de las negativas:
Corroborar esto 2 minutos
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Corroborar esto 2 minutos
Empleando el teorema de Gauss, podemos probar que
Donde se ha usado que:
La fuerza experimentada por la carga, en su sistema de referenicaEs la misma en magnitud que la sentida en el sistema en el que ellaAparece en movimiento.
Sin embargo, en un caso el campo era magnético y en el otro eléctrico.
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
El ejemplo anterior nos permite apreciar que, dependiendo del sistema de Referencia el campo puede ser eléctrico o magnético.
La derivación de las transformadas de Lorentz de los campos E y B Es relativamente sencilla, aunque larga. En los apéndices 1 y 2 en La sección notas, encontrarán una derivación sencilla de ellas.Aquí las tienen:
yzz
zyy
xx
Bc
vEE
Bc
vEE
EE
yzz
zyy
xx
Ec
vBB
Ec
vBB
BB
2.5 Notas finales
1.- Las soluciones de la tarea anterior están ya en la red, puden revisarlas para ver en donde fallaron.
2.- La tarea 2 ya está en la red. Bájenla, imprímanla y deberán entregarla sin falta al inicio de la próxima clase.
3.- Al inicio de la próxima clase se hace examen diagnósticoDe este tema. Asegúrense de hacer los problemas de la tarea. El Examen será a ese nivel.