rozmaito±ci toryczne - geometria, algebra,...
TRANSCRIPT
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±ci toryczne -
geometria, algebra, kombinatoryka
Mateusz Michaªek
Polska Akademia Nauk
Horizons in mathematics
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Plan
1 Rozmaito±ci
Rozmaito±¢ w geometrii
Rozmaito±ci algebraiczne
2 Rozmaito±ci toryczne
De�nicje i motywacje
Geometria dyskretna
Zwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
3 Przykªad zastosowa«
Filogenetyka
4 Podsumowanie
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci
Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.
Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.
W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...
Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.
Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci
Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.
Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.
W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...
Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.
Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci
Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.
Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.
W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...
Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.
Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci
Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.
Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.
W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...
Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.
Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci
Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.
Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.
W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...
Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.
Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci algebraiczne
Geometria algebraiczna zajmuje si¦ badaniem wªasno±ci geometrycznychzer wielomianów (czyli zwi¡zkami algebry z geometri¡).
De�nicja (A�niczna rozmaito±¢ algebraiczna)
Rozmaito±¢ a�niczna to zbiór zer (rozwi¡za«) wielomianów w pewnych
(by¢ mo»e wielu!) zmiennych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Rozmaito±ci algebraiczne
Geometria algebraiczna zajmuje si¦ badaniem wªasno±ci geometrycznychzer wielomianów (czyli zwi¡zkami algebry z geometri¡).
De�nicja (A�niczna rozmaito±¢ algebraiczna)
Rozmaito±¢ a�niczna to zbiór zer (rozwi¡za«) wielomianów w pewnych
(by¢ mo»e wielu!) zmiennych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªady rozmaito±ci algebraicznych
Rozmaito±ci zadane równaniami
Parabola
y − x2 = 0Ostrze
y3 − x2 = 0
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªady rozmaito±ci algebraicznych
Rozmaito±ci zadane równaniami
Parabola
y − x2 = 0
Ostrze
y3 − x2 = 0
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªady rozmaito±ci algebraicznych
Rozmaito±ci zadane równaniami
Parabola
y − x2 = 0Ostrze
y3 − x2 = 0Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Parametryzacja
W wielu przypadkach rozmaito±¢ mo»emy zada¢ poprzez parametryzacj¦.
Parabola
t→ (t1, t2)
Ostrze
t→ (t3, t2)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Parametryzacja
W wielu przypadkach rozmaito±¢ mo»emy zada¢ poprzez parametryzacj¦.
Parabola
t→ (t1, t2)
Ostrze
t→ (t3, t2)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Parametryzacja
W wielu przypadkach rozmaito±¢ mo»emy zada¢ poprzez parametryzacj¦.
Parabola
t→ (t1, t2)
Ostrze
t→ (t3, t2)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne
Mamy kilka sposobów
Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)
Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda
Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki
Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne
Mamy kilka sposobów
Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)
Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda
Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki
Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne
Mamy kilka sposobów
Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)
Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda
Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki
Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne
Mamy kilka sposobów
Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)
Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda
Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki
Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne
Mamy kilka sposobów
Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)
Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda
Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki
Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?
Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne
Mamy kilka sposobów
Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)
Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda
Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki
Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªad:
Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?
x0x2 = x21,
x0x3 = x1x2,
x1x3 = x22.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªad:
Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?
x0x2 = x21,
x0x3 = x1x2,
x1x3 = x22.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªad:
Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?
x0x2 = x21,
x0x3 = x1x2,
x1x3 = x22.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªad:
Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?
x0x2 = x21,
x0x3 = x1x2,
x1x3 = x22.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Przykªad:
Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?
x0x2 = x21,
x0x3 = x1x2,
x1x3 = x22.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Ideaªy
Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:
zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,
dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .
Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .
Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)
Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢
pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.
takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Ideaªy
Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:
zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,
dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .
Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .
Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)
Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢
pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.
takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Ideaªy
Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:
zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,
dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .
Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .
Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)
Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢
pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.
takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Ideaªy
Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:
zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,
dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .
Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.
Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .
Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)
Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢
pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.
takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Ideaªy
Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:
zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,
dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .
Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .
Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)
Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢
pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.
takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne
Ideaªy
Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:
zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,
dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .
Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .
Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)
Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢
pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.
takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Rozmaito±ci toryczne
Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...
Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)
Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.
(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory
przykªady byªy tej postaci.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)
Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której
dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Rozmaito±ci toryczne
Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)
Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.
(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory
przykªady byªy tej postaci.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)
Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której
dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Rozmaito±ci toryczne
Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)
Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.
(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory
przykªady byªy tej postaci.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)
Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której
dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Rozmaito±ci toryczne
Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)
Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.
(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory
przykªady byªy tej postaci.
De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)
Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której
dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od... Newtona
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od... Newtona
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od... Newtona
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od... Newtona
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od... Newtona
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od...
Newtona
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)
'The world is continuous, but the mind is discrete.'
David Mumford
Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych
reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie
wykªadniki.
Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w
reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.
Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami
wielomianów pochodzi od... NewtonaMateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡
Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych
Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)
Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡
Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych
Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)
Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡
Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych
Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)
Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡
Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych
Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)
Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?
Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡
Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych
Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)
Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z
geometri¡ dyskretn¡?
To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru) ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z
geometri¡ dyskretn¡?
To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru)
ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z
geometri¡ dyskretn¡?
To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru) ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.
′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z
geometri¡ dyskretn¡?
To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru) ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Wielo±ciany i sto»ki
De�nicja
Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni
wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡
zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do
punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢
jako przeci¦cie póªprzestrzeni.
Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych
sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).
Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.
Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.
Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Wielo±ciany i sto»ki
De�nicja
Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni
wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡
zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do
punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢
jako przeci¦cie póªprzestrzeni.
Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych
sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).
Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.
Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.
Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Wielo±ciany i sto»ki
De�nicja
Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni
wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡
zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do
punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢
jako przeci¦cie póªprzestrzeni.
Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych
sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).
Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.
Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.
Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Wielo±ciany i sto»ki
De�nicja
Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni
wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡
zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do
punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢
jako przeci¦cie póªprzestrzeni.
Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych
sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).
Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.
Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.
Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Chcemy co± fajnego, bo za±niemy
We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).
Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).
Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .
Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).
Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!
�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Chcemy co± fajnego, bo za±niemy
We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).
Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).
Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .
Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).
Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!
�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Chcemy co± fajnego, bo za±niemy
We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).
Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).
Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .
Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).
Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!
�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Chcemy co± fajnego, bo za±niemy
We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).
Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).
Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .
Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).
Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!
�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Chcemy co± fajnego, bo za±niemy
We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).
Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).
Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .
Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).
Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!
�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Chcemy co± fajnego, bo za±niemy
We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).
Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).
Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .
Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).
Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!
�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przedstawienie rozmaito±ci torycznej jako sto»ek
Caªkowite dodatnie kombinacje wykªadników jednomianówparametryzuj¡cych rozmaito±¢ toryczn¡ generuj¡
sto»ek
który mo»e mie¢ 'luki'
.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przedstawienie rozmaito±ci torycznej jako sto»ek
Caªkowite dodatnie kombinacje wykªadników jednomianówparametryzuj¡cych rozmaito±¢ toryczn¡ generuj¡ sto»ek
który mo»e mie¢ 'luki'
.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przedstawienie rozmaito±ci torycznej jako sto»ek
Caªkowite dodatnie kombinacje wykªadników jednomianówparametryzuj¡cych rozmaito±¢ toryczn¡ generuj¡ sto»ek
który mo»e mie¢ 'luki'
.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Zwi¡zki
Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:
1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci
2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka
18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej
21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Zwi¡zki
Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:
1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci
2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka
18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej
21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Zwi¡zki
Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:
1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci
2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka
18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej
21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Zwi¡zki
Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:
1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci
2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka
18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej
21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Zwi¡zki
Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:
1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci
2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka
18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej
21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad:
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Otrzymujemy cztery punkty:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad:
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Otrzymujemy cztery punkty:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad:
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Otrzymujemy cztery punkty:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad:
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Otrzymujemy cztery punkty:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).
[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad:
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
Otrzymujemy cztery punkty:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:
(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).
Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.
α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.
Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.
y1y23 = y2y4y5
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:
(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).
Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.
Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.
α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.
Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.
y1y23 = y2y4y5
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:
(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).
Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.
Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.
α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.
Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.
y1y23 = y2y4y5
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:
(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).
Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.
α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.
Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.
y1y23 = y2y4y5
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:
(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).
Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.
α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.
Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.
y1y23 = y2y4y5
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
�atwo pokaza¢, »e dwumian zeruje si¦ na rozmaito±ci wtedy i tylko wtedy,gdy odpowiadaj¡ce wykªadniki speªniaj¡ dan¡ zale»no±¢ liniow¡.
Twierdzenie (Dobre ¢wiczenie!)
Dowolne równanie zeruj¡ce si¦ na rozmaito±ci torycznej, jest kombinacj¡
liniow¡ dwumianów pochodz¡cych od zale»no±ci liniowych pomi¦dzy
punktami w kracie odpowiadaj¡cymi parametryzuj¡cym wykªadnikom.
Zamienili±my wi¦c (bardzo trudny) problem badania relacji pomi¦dzywielomianami na (prostszy) problem badania zale»no±ci liniowych pomi¦dzypunktami.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
�atwo pokaza¢, »e dwumian zeruje si¦ na rozmaito±ci wtedy i tylko wtedy,gdy odpowiadaj¡ce wykªadniki speªniaj¡ dan¡ zale»no±¢ liniow¡.
Twierdzenie (Dobre ¢wiczenie!)
Dowolne równanie zeruj¡ce si¦ na rozmaito±ci torycznej, jest kombinacj¡
liniow¡ dwumianów pochodz¡cych od zale»no±ci liniowych pomi¦dzy
punktami w kracie odpowiadaj¡cymi parametryzuj¡cym wykªadnikom.
Zamienili±my wi¦c (bardzo trudny) problem badania relacji pomi¦dzywielomianami na (prostszy) problem badania zale»no±ci liniowych pomi¦dzypunktami.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Jak interpretowa¢ równania?
�atwo pokaza¢, »e dwumian zeruje si¦ na rozmaito±ci wtedy i tylko wtedy,gdy odpowiadaj¡ce wykªadniki speªniaj¡ dan¡ zale»no±¢ liniow¡.
Twierdzenie (Dobre ¢wiczenie!)
Dowolne równanie zeruj¡ce si¦ na rozmaito±ci torycznej, jest kombinacj¡
liniow¡ dwumianów pochodz¡cych od zale»no±ci liniowych pomi¦dzy
punktami w kracie odpowiadaj¡cymi parametryzuj¡cym wykªadnikom.
Zamienili±my wi¦c (bardzo trudny) problem badania relacji pomi¦dzywielomianami na (prostszy) problem badania zale»no±ci liniowych pomi¦dzypunktami.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?
(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21
(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22
(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
A co np. z równaniem x21x3 − x1x22 + 2x1x2x3 − 2x32?Jest ono równe (x3(x0x2 − x21))− x2(x0x3 − x1x2) + 2x2(x1x3 − x22).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
A co np. z równaniem x21x3 − x1x22 + 2x1x2x3 − 2x32?
Jest ono równe (x3(x0x2 − x21))− x2(x0x3 − x1x2) + 2x2(x1x3 − x22).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami
Przykªad
Wró¢my do przykªadu Veronese:
(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)
i odpowiadaj¡cych czterech punktów:
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)
A co np. z równaniem x21x3 − x1x22 + 2x1x2x3 − 2x32?Jest ono równe (x3(x0x2 − x21))− x2(x0x3 − x1x2) + 2x2(x1x3 − x22).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Filogenetyka
T � drzewo ↔ model ewolucji
Wierzchoªki ↔ gatunki
Kraw¦dzie ↔ mutacje
T◦
+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )
Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji
Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Filogenetyka
T � drzewo ↔ model ewolucji
Wierzchoªki ↔ gatunki
Kraw¦dzie ↔ mutacje
T◦
+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )
Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji
Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Filogenetyka
T � drzewo ↔ model ewolucji
Wierzchoªki ↔ gatunki
Kraw¦dzie ↔ mutacje
T◦
+ W model
→ rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )
Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji
Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Filogenetyka
T � drzewo ↔ model ewolucji
Wierzchoªki ↔ gatunki
Kraw¦dzie ↔ mutacje
T◦
+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )
Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji
Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Filogenetyka
T � drzewo ↔ model ewolucji
Wierzchoªki ↔ gatunki
Kraw¦dzie ↔ mutacje
T◦
+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )
Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji
Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Filogenetyka
T � drzewo ↔ model ewolucji
Wierzchoªki ↔ gatunki
Kraw¦dzie ↔ mutacje
T◦
+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )
Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji
Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaka rozmaito±¢ algebraiczna?
◦[a1 a2a2 a1
]��
[b1 b2b2 b1
]��· ·
ψ : (λ0, λ1, a1, a2, b1, b2)→
(λ0a1b1 + λ1a2b2, λ0a1b2 + λ1a2b1, λ0a2b1 + λ1a1b2, λ0a2b2 + λ1a1b1).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Modele �logenetyczne
Model Jukes-Cantor (Cavender-Farris-Neyman) (matematycznieodpowiadaj¡cy grupie S2 = Z2):[
a bb a
].
Model 3-Kimura model (matematycznie odpowiadaj¡cy grupieZ2 × Z2):
a b c db a d cc d a bd c b a
.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Modele �logenetyczne
Model Jukes-Cantor (Cavender-Farris-Neyman) (matematycznieodpowiadaj¡cy grupie S2 = Z2):[
a bb a
].
Model 3-Kimura model (matematycznie odpowiadaj¡cy grupieZ2 × Z2):
a b c db a d cc d a bd c b a
.
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Model Jukes-Cantor
◦[a1 a2a2 a1
]��
[b1 b2b2 b1
]��· ·
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)
Przecie» to nie s¡ jednomiany!
Czy»by?Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.Automor�zm przeciwdziedziny:
(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)
Nowa parametryzacja to:
(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)
A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)
Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?
Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.Automor�zm przeciwdziedziny:
(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)
Nowa parametryzacja to:
(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)
A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)
Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.
Automor�zm przeciwdziedziny:
(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)
Nowa parametryzacja to:
(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)
A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)
Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?
Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.
Automor�zm przeciwdziedziny:
(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)
Nowa parametryzacja to:
(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)
A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)
Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?
Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.
Automor�zm przeciwdziedziny:
(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)
Nowa parametryzacja to:
(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)
A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Filogenetyka
Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?
ψ : (a1, a2, b1, b2)→
(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)
Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?
Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.
Automor�zm przeciwdziedziny:
(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)
Nowa parametryzacja to:
(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)
A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Ogólne rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.
Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych
Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)
(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Ogólne rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.
Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych
Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)
(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Ogólne rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.
Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych
Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)
(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Ogólne rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.
Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych
Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)
(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne
Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«
Podsumowanie
Dzi¦kuj¦!
Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne