routh kararlılık

7/25/2019 routh kararllk

1/36

26 February 2007 Otomatik Kontrol

Prof.Dr.Galip Cansever

1

Otomatik Kontrol

Kararllk (Stability)


Ders #9


2/36



2

Kararllk, geici rejim cevab ve srekli hal hatas gibi kontroltasarmcsnn temel unsusrundan en nemli olandr.

Lineer zamanla deimeyen sistemlerin doal cevab zamanla sfragidiyorsa sistem kararldr denir.

Sistem toplam cevab doal(z) ve zorlanm zmn toplamolduu iin kararl sistemlerde doal zm zamanla sfra ulaacaiin toplam cevap zorlanm cevap olur.

)()()( tctctc zzor +=

Lineer zamanla deimeyen sistemlerin doal cevab zamanlasonsuza gidiyorsa sistem kararszdr denir.

Lineer zamanla deimeyen sistemlerin doal cevab zamanlaazalmyorsa ve artmyorsa sistem marjinal kararldr denir. Sabitveya osilasyonlu cevap retiler. Parametre deiimine duyarl

olduklar iin kararsz kabul edilirler.


3/36



3

Lineer sistemlerde kararllk sistemin kendi zelliidir.

Kararl bir lineer sistemin denge noktasna bir bozucu etki tesirederse, sitem zamanla kendiliinden denge noktasna dner.

Lineer zamanla deimeyen sistemlerde, sistem kutuplar sol yardzlemde ise kararl, dier durumlarda ise kararszdr. denir.

Fiziksel olarak, doal cevab snrsz olan kararsz sistemlerkendilerine, etrafndaki ara gerelere veya insanlara zarar

verebilirler.

Kararlln bir dier tanmda;sistemin giriine uygulananbtn snrl giri iaretleri iin kta snrl kalyorsa sistemkararldr denir.(BIBO)


4/36



4

KararlBlge

Kararl

Blge

Kararsz

Blge

KararszBlge

s-dzlemi

js =


5/36



5


6/36



6

A

B C D

E

F

G

Top A ve F noktalarnda iken kk bir kuvvet uygulanrsa, A ve

F noktalarna bir daha dnemez. Bu durumda A ve F noktalarkararsz noktalardr.

Top E ve G noktalarnda iken kk bir kuvvet uygulanrsa, E veG noktalarna salnm yaparak geri dner. Bu durumda E ve Gnoktalar kararl noktalardr.

Top B ve D noktalar arasnda iken kk bir kuvvet uygulanrsa,yeni noktasnda kalr. C gibi byle noktalara ntr kararl denir.


7/36



7

rnek:

)(1

)(

)(

)(

sG

sG

sR

sC

+

=

)2)(1(31

)2)(1(

3

+++

++=

sss

sss

323

323

+++

=

ssss1=-2.672, s2,3=-0.164j1.047

KARARLI!


8/36



8

rnek:

)(1

)(

)(

)(

sG

sG

sR

sC

+

=

)2)(1(71

)2)(1(

7

+++

++=

sss

sss

723

723

+++

=

ssss1=-3.087, s2,3=0.043j1.505

KARARSIZ!


9/36



9

Sa yar dzlemdeki kutuplar ya stel artmla yada stel artansinsoidal doal cevap oluturur ki doal cevap zamanla sonsuza

kadar artar.

Ayrca, imajiner eksen zerinde katl kk varsa )cos( +tAtn

eklinde bir cevap retir ki buda zamanla sonsuza gider vesistem bu durumda yine kararszdr.

Demek ki bir sistemin kararsz olmas iin en az bir kutbunun sayar dzlemde yada imajiner eksen zerinde katl kknn olmasyeterlidir.

majiner eksen zerinde bir kk varsa sistem cevabosilasyonludur. Bu tip sistemlere marjinal kararl sistemler denir.


10/36



10

Yukardaki sistemin kararlln belirlemek zere kapal dngkutuplarna ihtiyacmz var. Kapal dng transfer fonksiyonunuoluturduumuzda;

Elde ederiz ki bu polinomun kklerini ancak bilgisayar yardm ilebulabiliriz.


11/36



11

Lineer zamanla deimeyen sistemlerin kararllklarnbelileyebileceimiz baka kriter ve teoremlere ihtiyacmz var.

Bunlardan bir tanesi Hurwitz testidir.Eer bir kapal dng transfer fonksiyonunun btn kutuplar solyar dzlemde ise, bu sistemim paydasndaki polinomunu, yanikarakteristik denklemini, (s+ai) eklinde arpanlara ayrabiliriz.

ailer pozitif yada pozitif gerel ksma sahip karmak saylardr.

Bylece buradan (s+ai)lerin arpmlarnn btn katsaylarpozitif olan polinom oluturmas gerektiini syleyebiliriz. Ayrcabtn katsaylar var olmaldr.

Buradan bir sistemin kararsz olduunu sylemek iin katsaylarn

iaretlerinden bir tanesinin negatif olmas

n

n yeterli olduunubelirtebiliriz.

Eer sin kuvvetlerinden biri eksik ise sistem ya kararszdr yada

marjinal kararl

d

r.


12/36



12

Toparlayacak olursak Hurwitz testi der ki: Kararl bir sisteminkarakteristik polinomunun btn katsaylar var olmal ve pozitif

olmal

d

r. Bu test sistemin kararl

l

iin gerekli fakat yeterlideildir.

Routh-Hurwitz Kriteri

Bu yntemle kapal dng sistem kutuplarn zmeden sistemkararll hakknda bilgi sahibi oluruz.

Ayrca sistemin ka tane sol yar dzlemde, ka tane sa yardzlemde ve ka tane imajiner eksen zerinde kutbu olduunubulabiliriz. Bu methoda Routh Hurwitz kriteri ad verilir, 1905.

Bu methot iki admdan oluur:

1. Routh tablosunu oluturmak

2. Tabloyu yorumlamak


13/36



13

Routh Tablosonun Oluturulmas:

lk kolona snin en yksek derecesiden balayarak 0nc kuvvetine

kadar dereceleri yazlr. Daha sonra il satra en yksek dereceninkatsays ve birer atlayarak dier derecelerin katsaylar yazlr.kinci satra en yksek ikinci derecenin katsays ve birer atlayarakdier derecelerin katsaylar yazlr.


14/36



14


15/36



15

rnek:

Kapal dng sistemi iin Routh tablosunu oluturun.

)(1

)(

)(

)(

sG

sG

sR

sC

+=

)5)(3)(2(

10001

)5)(3)(2(

1000

++++

+++=

sss

sss

10303110

100023 +++

=sss


16/36



16

10303110

100023 +++ sss

0311

10 1030 01 103

7211031

311

=

01

01

01

=

01

01

01

=

10372

072

1031

=

072

072

01

=

072

072

01

=


17/36



17

Routh Tablosonun Yorumlanmas:

Routh-Hurwitz kriteri derki; birinci kolondaki iaret deiimsays kadar sistemin sa yar dzlemde kk vardr.

Bir nceki rnei dnecek olursak; birin kolon elemanlar:

103

72

1

1

aret deiimi

aret deiimi

2 kere iaret deitirdiine gre sistemin sa yar dzlemdeiki kk vardr. Sistemin sa yar dzlemde en az birkknn olmas kararsz olmas iin yeterli idi, bylece sistemkararszdr diyebiliriz.


18/36



18

Routh-Hurwitz Kriterinde zel Durumlar

ki zel durum olabilir:1. Satrlardan herhangi birinin ilk elamannn sfr olmas

2. Satrlardan birinin tamamen sfr olmas

1. Satrlardan herhangi birinin ilk elamannn sfr olmas:

Satrlardan birinin ilk elemannm sfr olmas durumunda birsonraki satrn elemanlarn bulunurken sfra blm problemiortaya kar.

Sfra blm nlemek iin sfr yerine yazarz.


19/36



19

rnek:35632

10)(

2345 +++++=

ssssssT

Yukardaki kapal dng transfer fonksiyonunun kararlln Routhtablosu oluturarak belirleyiniz.

0 7/2 0

0

0

00

0

3

3

76

1412

64942 2

(+) da olabilir ( ) de olabilir


20/36



20

(+) da olabilir (-) de olabilir.

+

+

+

-

+

+

+

+

-

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

-

+

+

+

Grld gibi pozitif de seilse negatifte seilse sistem kararszdrve iki defa iaret deitii iin sa yar dzlemde iki kutup vardr.


21/36



21

Bu durumda, bir nceki satra gidip yardmc polinom olutururuz.

Polinom ilgili satrn sin derecesi ile balar ve birer atlayarakdevam eder.

Sonra polinomun sye gre trevini alrz.

Bu katsaylar tamam sfr olan satrda kullanrz.

2. Satrlardan Birinin Tamamen Sfr Olmas:

10


22/36



22

rnek:5684267

10)(

2345 +++++=

ssssssT


1 6 8

7 42 561 6 8

000


23/36



23

Grld gibi nc srann tamam sfr.

Bu durumda, bir nceki satra gidip yardmc polinom olutururuz.

Polinom ilgili satrn sin derecesi ile blar ve birer atlayarakdevam eder.

86)( 24

++= sssPSonra polinomun sye gre trevini alrz.

ssds

sdP124)( 3 +=

Bu katsaylar tamam sfr olan satrda kullanrz.


24/36



24

16 8

13 0

3 8 0

1/3 0 0

8 0 0

1 6 8

00120

40

Genelletirecek olursak Routh tablosunda bir satrn tamamen sfr


25/36



25

Genelletirecek olursak Routh tablosunda bir satrn tamamen sfrolmas, polinomda tamamen tek sayl derecelerin yada ift saylderecelerin olmasndan kaynaklanr.

724 ++ssrnek:

ift say derecelerin kkleri orjine gre simetriktir. Bu simetri:

A) Reel simetrik olabilirB)majiner Simetrik olabilir

C)Drt blgeli olabilir.

Sfr satr bize kkleri orjine

gre simetrik olan it say

dereceli polinomun varln

syler.

rnek: 20


26/36



26

rnek:

20384859392212

20)(

2345678 ++++++++=

sssssssssT


-10 -20 10 20 0-1 -2 1 2

20 60 40 0 01 3 2

1 3 2 0 0

0 0 0 0 0

Polinomu oluturacak olursak: 23)( 24 ++ sssP


27/36



27

Polinomu oluturacak olursak: 23)( ++= sssP

Ve Trevi ss

ds

sdP64

)( 3 +=

-10 -20 10 20 0-1 -2 1 2

20 60 40 0 01 3 2

1 32 0

0

0 0 0 0 04 6 02 3 3

3/2 2 0 0 03 4

1/3 0 0 0 0

4 0 0 0 0

4 d 0 k d i t d i i i l d i i d l d


28/36



28

s4 den s0 a kadar iaret deiimi olmad iin sa yar dzlemdekutup yoktur.

Eer sa yar dzlemde kutup yoksa simetrisi de olamayandansol yar dzlemde yoktur.

Buradan 4 kknj ekseni zerinde olduunu anlarz.

Dier kutuplar s8 den s4 e kadar olan kutuplardr. Bu iki kuvvet

aras

nda iki iaret deiimi olmutur ki bunun manas

sa yar

dzlemde iki kk mevcuttur.

Sonu olarak transfer fonksiyonunun iki sa yar dlemde, iki sol

yar dzlemde ve 4 imajiner eksen zerinde kutbu vardr. Sayar dzlemde en az bir kutbun olmas sistemin karasz olduunusylemek iin yeterli idi, doalysyla sistem kararszdr.


29/36



29

rnek:


30/36



30

Ksss

KsT +++= 7718)( 23

Sistemi kararl, marjinal kararl ve kararsz yapacak K deerlerinibulunuz. (Knn 0dan byk olduunu varsayalm)

Kapal dng TF:

KK1386

K

Eer K


31/36



31

Eer K 1386 ise s1 deki birinci stundaki ilk eleman negatifolur. lk stunda iki defa iaret deiimi grnr ki kutuplardaniki tanesi sa yar dzlemdedir ve sistem kararszdr.

Eer K =1386 ise s1 deki tm elemanlar 0 olur.

Polinomu oluturacak olursak: 138618)( 2 += ssP

Ve Trevi sds

sdP36

)(

=s2 li terimden sonra iaretdeiimi olmad iin ift

polinomun iki kkj eksenizerindedir. s2 li terimin zerindeiaret deiimi olmad iin dierkk sol yar dzlemdedir. Sistem

marjinal kararldr.


32/36



32

The FANUC Robot M- 400 can bec configured for 4- or 5-axis of motion.

rnek:234


33/36



33

20030303 234 ++++ ssss

Polinomunu arpanlarna ayrnz.

Routh tablosunu oluturalm:

20 2001 10

0 02 0

10

10)( 2

+=ssP sds

sdP2

)(

=

10)( 2 += ssP Orjinal polinomun arpandr Dolaysyla dier


34/36



34

10)( +=ssP Orjinal polinomun arpandr. Dolaysyla dierarpan:

2032 ++ ss

20030303 234 ++++ ssss )203)(10( 22 +++= sss

)213.45.1)(213.45.1)(1623.3)(1623.3( jsjsjsjs ++++=

ZET


35/36



35

Lineer kapal dng sistemlerin kararllklar kutuplarnn sdzlemindeki konumlar ile belirlenebilir. Eer kutuplardanherhangi biri sa yar dzlemde ise geici rejim cevab monoton

olarak artar veya artan genlikle osilasyon oluturur. Bylesistemler kararsz sistemler olarak adlandrlr. Kararsz sistemler,altrldnda k zamanla art gsterir. Eer herhangi birdoyum fonksiyonu uygulanmadysa veya mekaniksel snrlandrma

getirilmediyse fiziksel sistem mekaniksel hasar grebilir.Dolaysyla kapal dng sistemlerinin kutuplarnn sa ayrdzlemde olmasndan kanlr. Eer sistemin btn kutuplari jwekseninin sol tarafnda yer alyorsa her trl geici rejim snmle

denge noktasna ular.

ZET


36/36



36

Kararllk sistemin kendi zelliidir, sistem kararl veya kararsz

olsun sistem giri fonksiyonundan bu zellii ba

ms

zd

r.Sistem girii sistemin kararl veya kararsz olmasnetkileyemez ama zmde kendini gsterir. Matematikselolarak, jw ekseni zerindeki kutuplar osilasyona sebebiyet

verirler ve bu osilasyonlarn genlikleri zamanla ne artar ne deazalr. Pratikte, yani grltl ortamda, grltnn seviyesinegre osilasyonun genlii art gsterir. Dolaysyla, kontrolsistemi jw ekseni zerinde kutup iermemelidir.

routh kararlılık

Documents