rotismi ordinari ed epicicloidali

1 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari- Corso Serale Progetto “Sirio”

ITIS “G. MARCONI” – BARI

CORSO SERALE PROGETTO SIRIO

DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

N° 5

TRASMISSIONE DELLA POTENZA

ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI


ROTISMI ORDINARI

Premessa

Nelle dispense 3 e 4 abbiamo visto che la trasmissione della potenza con un solo

ingranaggio è consigliabile se il suo rapporto di trasmissione ha valori compresi tra 1/6≤ i ≤6

(vale a dire 1/6≤ i <1 per ingranaggi moltiplicatori e 1< i ≤6 per ingranaggi riduttori) e ciò

soprattutto per problemi d’ingombro. Per esempio, volendo realizzare un ingranaggio

riduttore con rapporto di trasmissione i=d2/d1=12, se la ruota motrice avesse un diametro di

100 mm (d1), la ruota condotta dovrebbe averne uno di 1200 mm (d2) che è un diametro

piuttosto grande (tuttavia, nella costruzione di alcune macchine, come per esempio i riduttori

per comando forno clinker, separatori, frantoi, ecc., utilizzate nei cementifici, la suddetta

difformità è vantaggiosamente utilizzata).

Per superare questa limitazione, si utilizzano i rotismi (v. fig. 1).

Il rotismo è un sistema meccanico complesso costituito da ingranaggi collegati in modo tale

che la rotazione di una ruota determina il movimento di tutte le altre. Esso si dice ordinario

se gli assi geometrici delle varie ruote dentate sono fissi rispetto al telaio. Un rotismo è

anche chiamato treno di ingranaggi.

Guardando il rotismo come due ingranaggi in serie, le ruote z1 e z3 sono considerate

moventi, z2 e z4 cedenti.

In fig. 1, le ruote 2 e 3 sono calettate sullo stesso albero e quindi hanno uguale velocità

angolare (ω2=) e sono soggette allo stesso momento torcente Mt2=Mt3.

Si definisce rapporto di trasmissione totale " it " il rapporto tra la velocità angolare della

Mt2

Albero motore Albero intermedio o di rinvio

Albero condotto

Mt4

Mt1

z

z2

z3

z4

Fig. 1- Rotismo ordinario riduttore.


prima ruota motrice e quella dell'ultima ruota condotta:

1

1

1

4

1

ti

Se it > 1 allora il rotismo è riduttore; se it = 1 il rotismo è indifferente; se it < 1 il rotismo è

moltiplicatore.

In assenza di perdite, l’equilibrio dinamico del rotismo è espresso dalla relazione seguente:

41 41 tt MM

vale a dire:

1

4

t

t

tM

Mi

Se it > 1 allora il rotismo è moltiplicatore di coppia; se it < 1 il rotismo è riduttore di

coppia.

Moltiplicando e dividendo it per ω2=abbiamo la seguente relazione:

21

4

3

2

1

24

31

24

21 iiit

cioè il rapporto di trasmissione del rotismo è dato dal prodotto dei rapporti di

trasmissione dei singoli ingranaggi.

In generale, se gli alberi intermedi portano due ruote ciascuno e se il rotismo è formato da n

ingranaggi, si ha che:

11...iiii nnt

ovvero:

2

1

1

211 ...

n

n

n

n

n

ti

Tenendo conto che il rapporto di trasmissione di un ingranaggio è uguale anche al rapporto

tra il numero di denti della ruota condotta e quello della ruota motrice, si ha che il rapporto

di trasmissione di un rotismo è anche uguale al prodotto del numero di denti delle

ruote condotte diviso il prodotto del numero di denti delle ruote motrici:


31

42

zz

zzit

e, in generale:

1

2

2

1

1

...z

z

z

z

z

zi

n

n

n

nt

Questa relazione è molto utile perché consente di ricavare subito il numero di denti delle

varie ruote, come descritto nel seguente esempio:

1) Un rotismo ordinario è composto di due ingranaggi (v. fig. 1) che devono assicurare un

rapporto di trasmissione it = 16; determinare il numero di denti delle ruote.

Per prima cosa si deve scindere il rapporto di trasmissione totale nel prodotto di due rapporti

di trasmissione parziali corrispondenti al numero degli ingranaggi costituenti il rotismo. Per

fare ciò, si può procedere in due modi distinti:

a) Si pone:

41621 tiii

Una possibile soluzione si può ricavare moltiplicando e dividendo ciascun rapporto parziale

per il numero minimo di denti ammissibile:

1515

6060)

15

15(4)

15

15(444

ti

cioè: z1=z3=15; z2=z4=60

Nel ricavare il numero di denti delle ruote più piccole, bisogna ricordarsi che deve essere

sempre rispettata la condizione che z ≥ zmin .

Il metodo esposto però non tiene conto dell'aumento del momento torcente sulla ruota 4,

cosicché il suo diametro, se si prendesse il suo numero di denti uguale al numero di denti

della ruota 2, potrebbe essere sensibilmente più grande del diametro della ruota 2 (poiché

Mt3=Mt2=i1Mt1 m3-4 > m1-2). In definitiva conviene tenere basso il numero di denti z4 per

compensare l'aumento del momento torcente.

b) Si può scindere il rapporto di trasmissione totale nel prodotto di due rapporti

parziali non molto dissimili tra di loro per tener conto dell'aumento del momento torcente

dall'ingresso all'uscita del rotismo. Il metodo consiste nel fare i1>i2:


1516

5372)

15

15(556,3)

16

16(5,41621

iiit

cioè: z1=16; z3=15; z2=72; z4=53

Un'altra soluzione possibile è la seguente:

1516

4880)

15

15(2,3)

16

16(51621

iiit

cioè: z1=16; z3=15; z2=80; z4=48

Il rotismo ordinario più semplice è costituito da tre ruote; in tal caso la ruota intermedia è

chiamata ruota oziosa (ruota contemporaneamente motrice e condotta) perché la sua

funzione non è di cambiare il rapporto di trasmissione tra ingresso e uscita ma è d'invertire il

senso di rotazione della ruota condotta:

1

3

21

32

z

z

zz

zzit

Il rendimento di un rotismo è dato dal prodotto dei rendimenti dei singoli ingranaggi (ciò

perché gli ingranaggi sono in serie):

11... nnt

Procedura di calcolo di un rotismo.

In riferimento al rotismo di fig. 3, noti la potenza utile necessaria all'albero condotto (N4), il

Albero motore

Ruota oziosa

Albero condotto

Fig. 2 – Esempio di rotismo con ruota oziosa.


numero di giri al minuto dell'albero motore (n1) e condotto (n4); si presentano due casi:

1) Funzionamento ideale (si trascurano le resistenze passive).

In tal caso, trovato il rapporto di trasmissione totale, lo si scompone nel prodotto di due

termini si ha:

4

1

n

nit

21iiit

60

2 44

n (rad/s)

41 ti

ω2=ω1/i1

ω2= ω3

Quindi si ricavano i numeri di denti di tutte le ruote dentate:

31

42

zz

zzit

Si calcolano poi, nell’ordine:

N1=N4 (W) (potenza motrice)

Mt1=N1/ω1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero motore)

Mt2= Mt3=i1Mt1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero intermedio)

Mt4= i2Mt3= it Mt1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero condotto)

Si calcola il modulo del pignone che è la ruota più sollecitata:

3

1

1'

1

ammv

t

fz

Mcm

(mm) (modulo 1° ingranaggio)

3

3

3''

2

ammv

t

fz

Mcm

(mm) (modulo 2° ingranaggio)

Infine si verificano le ruote all’usura e si determinano le loro dimensioni, poi quelle degli

alberi e, infine, dei cuscinetti (v. le relative dispense).

Fig. 3 – Schema cinematico del rotismo di fig. 1.

ω2

z4

ω1

z2

z1

z3

ω4


Osservazione: il rotismo di fig. 3 sarebbe potuto essere configurato come rappresentato in

fig. 4 per ridurre l'ingombro verticale; in tal caso volendo rendere gli interassi fra le ruote

uguali per consentire l'allineamento dell’albero motore con l’albero condotto, deve essere

verificata la seguente relazione geometrica:

)+z(z)=m+z(zm)+z(zm

)=+z(zm

rrrrI pppp 432211432

211

224321

2) Funzionamento reale (tenendo conto delle resistenze passive).

In questo caso, oltre ai dati visti al punto 1), si conoscono i rendimenti dei due ingranaggi η1

e η2.

Inizialmente si calcola il rendimento totale: ηt = η1 η2

e si ripete la procedura vista al punto 1) tenendo conto che:

N1=N4/ηt (W) (potenza motrice)

Mt1=N1/ω1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero motore)

Mt2= Mt3= η1i1Mt1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero intermedio)

Mt4= η2 i2Mt3= ηt it Mt1 (N·m) (momento torcente agente sull'albero condotto)

ESEMPIO DI CALCOLO DI UN ROTISMO ORDINARIO.

1) Il treno riduttore di fig. 5 trasmette una potenza motrice di 4,25 kW a 1220 giri/min con

un rapporto di trasmissione it=10,5. Sapendo che i rendimenti dei due ingranaggi sono

rispettivamente η1=0,97, η2=0,96 determinare:

a) i numeri di denti delle ruote;

b) la frequenza di rotazione dell'albero intermedio e dell’albero condotto;

c) le potenze e i momenti torcenti ai diversi alberi del treno.

Fig. 4

ωm ωr

z2

z1

z3

z4

ωi I


ωm

ωi

ωr z2

z1

z3

z4

Fig. 5 – Schema cinematico del rotismo.

Dalla formula del rapporto di trasmissione totale si ha:

a) 1817

5163)

18

18(833,2)

17

17(706,3833,2706,35,1021

iiit

cioè: z1=17; z2=63; z3=18; z4=51

b) min/8,323706,3/1200/ 11 giriinnn

ni mi

i

m

min/3,1145,10/1200/ 1 giriinnn

ni mr

r

m

t

c) Calcoliamo la coppia dell’albero motore: kWNm 25,4

sradn

/6,12560

120014,32

60

2 11

mNNMt mm 8,336,125/4250/ 1

Calcoliamo la potenza e la coppia dell’albero intermedio:

kWNN mi 12,425,497,01

sradni

i /9,3360

8,32314,32

60

2

mNNMt iii 6,1219,33/4120/

Calcoliamo la potenza e la coppia dell’albero condotto:

kWNN ir 96,31225,496,02

sradnr

r /1260

3,11414,32

60

2

mNNMt rrr 33012/3960/


Per verifica calcoliamo la coppia dell'albero condotto con la seguente formula:

Mtr= ηt it Mtm=0,97·0,96·10,5·33,8=330,5 N·m


ROTISMI EPICICLOIDALI

Premessa

I rotismi ordinari implicano sempre problemi d'ingombro quando si vogliono realizzare

rapporti di trasmissione o molto grandi o molto piccoli. Per superare tale limitazione si

usano i rotismi epicicloidali.

Si definiscono rotismi epicicloidali quei rotismi in cui alcune ruote sono mobili rispetto al

telaio (v. fig. 6). Il cinematismo di un rotismo epicicloidale è lo stesso di quello ordinario

solo che alcune ruote sono vincolate ad un telaio rotante con asse fisso. Le ruote mobili sono

dette satelliti, quelle fisse sono dette planetarie e il telaio è detto braccio portatreno.

Ruote Planetarie

Fig. 7 – Schema cinematico del rotismo di fig. 6.

ω1

ω2

ω4

z1

z2 z3

z4

ωp

ω3

Mt4

4

Albero condotto

z z

Albero motore

Ruote Satelliti Portatreno

Mt1

z z

Albero del portatreno

Fig. 6- Esempio di rotismo epicicloidale.


Per questi meccanismi non si può parlare di rapporto di trasmissione perché i suoi organi

non sono tutti fissi nello spazio. Si fa uso allora di una formula che permette di studiare il

rotismo epicicloidale come se fosse ordinario. Infatti, se imprimiamo all'intero meccanismo

una rotazione contraria a quella del portatreno (vale a dire –ωp), il portatreno resta fermo e

il rotismo epicicloidale si comporta come se fosse ordinario, e ciò ci consente di scrivere:

p

pi

4

1

0 (rapporto del rotismo epicicloidale reso ordinario)

La suddetta formula prende il nome di formula di Willis. Tale formula esprime non un vero

e proprio rapporto di trasmissione bensì solo una relazione tra le grandezze cinematiche dei

tre membri principali (prima ruota, ultima ruota e braccio portatreno).

Adesso è possibile porre il rapporto di trasmissione in funzione del numero di denti:

31

42

4

1

0zz

zzi

p

p

Nell'applicare quest'ultima relazione, è importante valutare, di ogni ingranaggio, il segno del

rapporto di trasmissione che deve essere assunto negativo per ruote esterne (perché le ruote

hanno un verso di rotazione discorde) e positivo per ruote interne (perché le ruote hanno un

verso di rotazione concorde):

Dal punto di vista cinematico, il funzionamento del rotismo di fig. 8 sarebbe garantito anche

con una sola ruota satellite, tuttavia se ne mettono tre per impedire la flessione dell’albero

della ruota planetaria.

Fig. 8 – Esempio di rotismo epicicloidale con ruote interne.

Ruota Satellite

Albero motore

Portatreno

Albero condotto

Ruota Planetaria

Corona dentata interna


Nella fig. 8 si vede la ruota centrale motrice (planetaria) trasmettere il moto alle ruote

satelliti che, rotolando sulla corona dentata (ferma), muovono la forcella porta satelliti

calettata sull’albero condotto.

I rotismi epicicloidali si possono raggruppare nelle seguenti tre tipologie:

a) Rotismi riduttori/moltiplicatori quando è fatto funzionare con un movente e un

cedente; in tal caso una delle due ruote d'estremità è fissa (solidale al telaio). Per

esempio, con riferimento alla fig. 7, se è fissa la ruota 4 (ω4=0) la formula di Willis

ci dà:

0

31

421

31

42111 i

zz

zz

zz

zz

pp

p

Il rotismo è riduttore quando è movente la ruota 1 ed è moltiplicatore quando è

movente il portatreno.

Se si fissa la ruota 1 (ω1=0) si ha:

0

0

0

31

42

4

31

42

4

111

11

i

i

i

zz

zzzz

zz

pp

p

Anche in questo caso il rotismo è riduttore quando è movente la ruota 4 ed è

moltiplicatore quando è movente il portatreno.

b) Rotismi sommatori (o combinatori) quando è fatto funzionare con due moventi e

un cedente:

Fig. 9 – Schema cinematico del rotismo di fig. 8 con

evidenziata soltanto una ruota satellite.

ω1

ω2

z1

z2

z3

ωp

ω3


c) Rotismi differenziali (o compensatori) quando è fatto funzionare con un movente e

due cedenti (è questo il caso del differenziale degli autoveicoli):

Il differenziale (v. figg. 11-12) è costituito da una coppia di ruote dentate (pignone-

corona) cilindriche o coniche a seconda di come è disposto il cambio rispetto al

differenziale, da una scatola che racchiude l'ingranaggio differenziale (e che funge da

portatreno), e da un gruppo di quattro ruote coniche (vale a dire l’ingranaggio differenziale

vero e proprio) due delle quali z1 e z3 (dette ruote planetarie) sono collegate sui semiassi

delle ruote del veicolo e le altre due z2 e z4 (dette ruote satelliti) sono collegate alla scatola

del differenziale (v. fig. 13).

Fig. 10 – Rotismo combinatore:

moventi: ruota 1 e porta satellite;

cedente: ruota 4.

ω1

ω2

ω4 z1

z2

z3

z4

ωp

ω3

Fig. 11 – Gruppo cambio-differenziale di autoveicolo con corona dentata cilindrica.

1.Cuscinetto reggi spinta 2. Ingranaggio contachilometri 3. Planetari 4. Cuscinetto a rulli conici 5. Satelliti 6. Corona dentata 7. Cuscinetto a rulli conici 8. Anello di registro cuscinetti scatola differenziale 9. Albero secondario 10. Albero primario

Differenziale


Funzionamento del rotismo differenziale per autoveicoli (v. fig. 14): l'albero motore, per

mezzo della coppia conica (pignone-corona) trascina in rotazione il portatreno del rotismo

(la scatola del differenziale). La scatola trascina in rotazione le ruote satelliti e queste, a loro

volta, mettono in rotazione le ruote planetarie. L’unico movente è il portatreno e ciò

permette alle ruote motrici di poter avere velocità angolari differenti.

Vediamone la ragione.

Fig. 12 – Differenziale di autoveicolo con corona dentata conica.

ωb z1

z3

z4

ωp

z2

ωa

Fig. 13 – Schema di differenziale di autoveicolo con corona dentata conica.


Il rotismo viene realizzato con z1=z3 e, considerandolo ordinario, ci permette di scrivere che

i0 = -1 essendo le ruote 1 e 3 contro-rotanti (ciò avviene perché, contrariamente ai rotismi

ordinari piani con ruota oziosa in cui le velocità angolari della movente e della cedente

concordano sempre, nei rotismi con ruote coniche gli assi dei coni, passando da una ruota

alla successiva, subiscono una rotazione e ciò fa si che le velocità angolari della movente e

della cedente siano fra loro discordanti).

Sostituendo questa relazione nella formula di Willis si ottiene:

210

bap

pb

pai

vale a dire che la velocità angolare del portatreno è sempre la media aritmetica tra le

velocità angolari dei semiassi e ciò permette di avere differenti velocità di rotazione delle

ruote motrici nel moto curvilineo.

Quando l’autoveicolo è in marcia su strada rettilinea le ruote motrici hanno la stessa velocità

di rotazione e, pertanto, risulta ωa=ωb=ωp (in questo stato le ruote satelliti sono trascinate

in rotazione dal portatreno ma non ruotano intorno al proprio asse).

In curva, la ruota interna, rispetto a quella esterna, deve percorrere un tratto di strada più

breve e, pertanto, deve ruotare con minore velocità; la differenza tra le velocità delle due

ruote è compensata dalla rotazione delle ruote satelliti intorno ai propri assi (v. fig. 14).

Il funzionamento del differenziale non è influenzato dalla carreggiata dell’autoveicolo.

Studiamo ora il meccanismo dal punto di vista dinamico. Se indichiamo con Ma, Mb, Mp, i

momenti agenti sul semiasse interno, sul semiasse esterno e sul portatreno, valgono le

seguenti equazioni di equilibrio:

Fig. 14 – Funzionamento del differenziale per autoveicoli.


Fig. 15 – Esempio di rotismi

epicicloidali collegati in serie.

0 ppbbaa MMM (equilibrio delle potenze)

0 pba MMM (equilibrio dei momenti)

In assenza di perdite, le seguenti tre equazioni devono essere tutte verificate:

0

0

2

pba

ppbbaa

bap

MMM

MMM

Risolvendo il sistema otteniamo:

0))(( baba MM

che vale qualunque sia la traiettoria di marcia del veicolo.

In definitiva, da essa si deduce che, quando il veicolo è in marcia rettilinea (ωa=ωb), il

meccanismo è in equilibrio anche se i momenti resistenti applicate alle ruote non sono

uguali tra di loro (vale a dire MaMb); invece quando il veicolo è in curva (ωaωb), il

meccanismo è in equilibrio solo se i momenti applicati sono uguali tra di loro (Ma=Mb).

ESERCIZI

Vediamo adesso alcuni esempi numerici (tratti dal libro "Esercizi e temi d’esame di

meccanica" di G. Vianello, ed. Sansoni (FI) – 1972).

Prima di svolgerli, premettiamo la seguente

definizione generale:

<<Due rotismi epicicloidali si diranno collegati in

serie se due elementi qualsiasi del primo rotismo

(prima ruota, ultima ruota, portatreno) sono

rigidamente collegati a due elementi qualsiasi del

secondo e se un elemento qualsiasi di uno di essi

(libero o collegato che sia) abbia una velocità

angolare assegnata (per es. nulla)>>.


1) Il cambio Borg-Warner per automobile è formato da due treni planetari aventi uguale

schema, disposti in serie (fig. 16). Dall'albero A del motore si ottiene così una prima

riduzione i1 = 1,60 all'albero B; da questo una seconda riduzione i2 = 1,44 all'albero di

uscita C. In complesso: i=i1i2= 2,304 (prima marcia). Da notare che le ruote z3 e z6 sono

tenute immobili. Rendendo invece solidale z3 con l'albero B, quest'ultimo ruota assieme ad

A e il rapporto di trasmissione è i = i2 (seconda marcia). Se anche z6 è reso solidale

all'albero C, gli alberi A e C ruotano insieme (i = 1) (presa diretta). Eseguire la scelta dei

numeri di denti delle ruote per ottenere i prescritti rapporti di trasmissione.

Dati: 6,11 B

Ai

; 44,12

C

Bi

; 063

Incognite: z1; z2; z3; z4; z5; z6

Svolgimento

Calcoliamo il rapporto del primo rotismo epicicloidale reso ordinario:

1

3

2

3

1

2

3

10 )(

z

z

z

z

z

zi

B

B

posto: ω1= ωA e ω3=0 si ottiene:

111

3

1

3

1

30

B

A

B

A

B

BA

z

z

z

z

z

zi

da cui si ricava:

6,016,111

1

3 iz

z

Fig. 16 – Schema cinematico del cambio Borg-Warner.


da cui, se assumiamo z3=54, si ottiene:

906,0

54

6,0

31

zz

Per ricavare i denti della ruota 2, utilizziamo la seguente relazione geometrica fra i raggi

primitivi (v. fig. 16):

231 2rrr

che può essere riscritta in funzione del numero di denti (perché le ruote hanno tutte lo stesso

modulo) ricavandone la seguente relazione:

231 2zzz da cui:

182

5490

2

312

zzz

Analogamente si procede per il secondo rotismo epicicloidale.

Calcoliamo il rapporto del secondo rotismo epicicloidale reso ordinario:

4

6

5

6

4

5

6

40 )(

z

z

z

z

z

zi

C

C

Posto: ω4= ωB ; ω6=0 si ricava:

114

6

4

6

4

60

C

B

C

B

C

CB

z

z

z

z

z

zi

da cui:

44,0144,112

4

6 iz

z

se assumiamo z6=33, dalla precedente relazione si ricava:

7544,0

33

44,0

64

zz

Per ricavare i denti della ruota 5, sfruttiamo la seguente relazione geometrica fra i raggi


564 2rrr

che può essere riscritta in funzione del numero di denti (perché le ruote hanno tutte lo stesso

modulo) ricavandone la seguente relazione:

564 2zzz da cui:


212

3375

2

645

zzz

2) Data la velocità angolare = 50 rad/s dell'albero A, trovare la velocità angolare del

portatreno B del rotismo di figura 17. Le ruote di estremità l e 3 del treno planetario hanno

uguale numero di denti. Le ruote a, b, c, d della quaterna con la quale il moto è trasmesso

dalla prima alla seconda ruota d'estremità, hanno i seguenti numeri di denti: za = 30; zb =

18; zc = 22; zd = 26.

Dati: sradA /50 26;22;18;30 dcba zzzz 31 zz

Incognita: B

Svolgimento

Il rotismo abcd è un rotismo ordinario e ciò ci permette di risalire alla velocità angolare

della ruota conica 3 collegata rigidamente alla ruota d:

sradz

z

z

zi a

d

c

d

a

b

d

at /51,70

709,0709,0

22

26

30

18

Il rapporto di trasmissione (negativo perché le ruote 1 e 3 sono controrotanti) del rotismo

epicicloidale a ruote coniche reso ordinario è:

11

3

2

3

1

2

3

10

z

z

z

z

z

zi

B

B

che, tenendo presente che ω3= ωd , permette di ricavare l'incognita ωB:

sradB /26,602

51,7050

2

31

Fig. 17 – Schema cinematico del rotismo epicicloidale.


3) La surmoltiplica per automobile (overdrive Laycock-De Normanville) è formata dal

treno epicicloidale di figura 18. L'albero A del motore conduce in rotazione il portatreno

delle ruote planetarie z2, z3, la prima delle quali imbocca con la ruota zl, la seconda con la

corona a dentatura interna z4, la quale dà il moto all'albero di trasmissione B. Un innesto

(non disegnato) può tenere immobile la ruota z1 (e in tal modo l'albero B ruota più veloce di

A), oppure può rendere solidali zl e z4 (e in tal caso l'albero B ha la velocità uguale ad A).

Calcolare il rapporto di trasmissione, nel primo caso, sapendo che zl = 27; z2 = 26; z3 =

14; z4 = 67 denti.

Dati: 67;14;26;27 4321 zzzz srad /01

Incognita: B

Ai

Svolgimento

Calcoliamo il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario:

609,414

67

27

26

3

4

1

210

z

z

z

zi

AB

A

AB

A

che permette di ricavare l'incognita i=ωA/ωB:

8217,01609,4

609,4

10

0

i

ii

B

A

Fig. 18 – Schema cinematico del rotismo di Laycock-De Normanville.


4) Un motore elettrico porta all'estremità dell'albero A rotante a ≈ 286 rad/s, un pignone

con zl = 14 denti. Per mezzo del treno planetario di figura 18 si vuol ottenere la velocità

angolare di 50 rad/s dell'albero B di uscita. Trovare i numeri di denti z3 della corona a

dentatura interna e z2 delle ruote planetarie.

Dati: sradA /286 sradB /50 141 z

Incognite: 32; zz

Svolgimento

Calcoliamo il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario:

1

3

2

3

1

2

3

10

z

z

z

z

z

zi

B

B

posto: ω3=0 (corona fissa) e ω1=ωA=286 rad/s, dalla formula di Willis si ricava la

seguente relazione:

1

30

z

zi

B

BA

che permette di ricavare l'incognita z3:

6650

502861413

B

BAzz

Per ricavare i denti della ruota 2, sfruttiamo la seguente relazione geometrica fra i raggi


213 2rrr



che, riscritta in funzione del numero di denti (perché le ruote hanno tutte lo stesso modulo),

permette di ricavare la seguente relazione:

213 2zzz da cui otteniamo:

262

1466

2

132

zzz

5) Data la velocità angolare = 50 rad/s dell'albero A, trovare la velocità angolare del

portatreno B del rotismo di figura 19. Le ruote di estremità l e 3 del treno planetario hanno

uguale numero di denti. Le ruote a, b, c, d della quaterna con la quale il moto è trasmesso

dalla ruota d'estremità 3 al portatreno B, hanno i seguenti numeri di denti: za = 30; zb =

18; zc = 22; zd = 26.

Dati: sradA /50 26;22;18;30 dcba zzzz 31 zz

Incognita: B

Svolgimento

Il rotismo abcd è un rotismo ordinario e ciò ci permette di determinarne il rapporto di

trasmissione:

709,022

26

30

18

c

d

a

b

d

at

z

z

z

zi

Osservando la fig. 19 si deduce che ωd=ωB e ω3=ωa , pertanto possiamo esprimere it nel

modo seguente:



709,03 B

ti

Adesso consideriamo il rotismo epicicloidale a ruote coniche; il rapporto di trasmissione

(negativo perché le ruote 1 e 3 sono contro-rotanti) di tale rotismo reso ordinario è:

11

3

2

3

1

2

3

10

z

z

z

z

z

zi

B

B

questa relazione, per essere ω1= ωA e ω3= ωBit , si può riscrivere nel modo seguente:

10

BtB

BA

ii

che ci permette di ricavare l'incognita ωB:

sradit

AB /73,38

709,02

50

2

rotismi ordinari ed epicicloidali

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