Rotačné plochy

1

Rotačné plochy

Obsah:

R1 Základné pojmy

R2 Typy rotačných plôch

R3 Zobrazenie rotačných plôch v Mongeovej projekcii

R4 Zobrazenie rotačných plôch v kolmej axonometrii

R5 Rovinné rezy rotačných plôch R5.1 Rovinné rezy všeobecnej rotačnej plochy

R5.2 Rovinné rezy rotačného paraboloidu a elipsoidu

R5.3 Rovinné rezy anuloidu

R6 Prienik priamky s rotačnou plochou

R7 Súhrnné cvičenia

2

Kapitola R1

Základné pojmy

Ako vznikajú rotačné plochy.

Rovnobežková kružnica, rovník,

hrdlová a kráterová kružnica, meridián.

3

o

k

Rotačná plocha vzniká rotáciou (otáčaním) čiary k okolo priamky o, pričom čiara k

neinciduje s priamkou o a neleží v rovine kolmej na priamku o.

Poznámka: Každý bod čiary k pri rotácii okolo priamky o opisuje kružnicu, ktorá leží v rovine kolmej na

priamku o, má stred na priamke o a jej polomer sa rovná vzdialenosti rotovaného bodu od priamky o. Ak

nie je uvedené inak, tak uvažujeme rotáciu o 360.

Priamka o sa nazýva os rotácie. Je to os rotačnej plochy.

Čiara k sa nazýva tvoriaca čiara rotačnej plochy.

Mészárosová, Tereňová

Tvoriaca čiara k môže byť rovinná alebo priestorová.

Môže to byť priamka, krivka, lomená čiara alebo má

ľubovoľný tvar.

4

Čo vznikne rotáciou čiary k ležiacej v rovine kolmej

na os rotácie?

Os rotácie o môže mať v priestore ľubovoľnú polohu.

Môže byť vo zvislej (1o), vodorovnej (2o) alebo všeobecnej polohe (3o).

x = 3o1

z = 1o

y = 2o

3o

Tereňová

5

DWFx

http://0.tqn.com/d/architecture/1/0/3/x/Niemeyer-Museum-of-Contemporary-Arts.jpg

Oscar Niemeyer

Múzeum súčasného umenia

Niterói, Brazília

Rotačná plocha

http://www.youtube.com/watch?v=liXFebgVDmw&feature=related 6

Každý bod tvoriacej čiary k pri rotácii okolo osi rotácie o opisuje kružnicu, ktorú nazývame

rovnobežková kružnica.

Rovnobežková kružnica leží v rovine kolmej na os rotácie, má stred na osi rotácie a leží na

rotačnej ploche.

Mészárosová, Tereňová

A rA = rB

n

B

o

Poznámka:

Na danej rotačnej ploche leží nekonečne veľa kriviek, ktoré môžu byť

tvoriacimi čiarami tejto rotačnej plochy. To znamená, že tá istá plocha

môže vzniknúť rotáciou rôznych kriviek, ktoré musia pretínať všetky

rovnobežkové kružnice danej rotačnej plochy. Napríklad krivka k

a krivka n sú tvoriace čiary tej istej rotačnej plochy. Rotáciou bodu A k

a bodu B n vznikne tá istá rovnobežková kružnica rA = rB.

o

7

PAUL ANDREU a ADP.

National Theatre

Peking, Čína 2008

Všimnite si dve krivky na rotačnej ploche

oddeľujúce časti budovy s rôznym povrchovým materiálom.

http://images.businessweek.com/ss/05/12/china_wonders/source/11.htm 8

Meridián je rovinný rez rotačnej plochy rovinou, ktorá obsahuje os rotácie.

Meridián je súmerný podľa osi rotácie, skladá sa z dvoch polmeridiánov.

Rotačná plocha má nekonečne veľa meridiánov a všetky sú navzájom zhodné.

o

Poznámka: Rotáciou krivky k a meridiánu m vzniká tá istá rotačná plocha. Mészárosová, Tereňová

o

k m

9

DWFx

Rotačná plocha a jej dva polmeridiány rôznych meridiánov

o o

Tereňová

10

DWFx

Nech bod A je krajný bod meridiánu m rotačnej plochy. Ak bod A neleží na osi rotácie, tak

sa rovnobežková kružnica bodu A nazýva hraničná kružnica.

Poznámka: Zobrazená rotačná plocha s meridiánom m má dve hraničné kružnice, sú to rovnobežkové

kružnice bodov A a B.

o

m

A

B

o

Mészárosová, Tereňová

11

Poznámka: Dotyčnica t sa dotýka meridiánu m zvonka. Rotáciou dotyčnice t okolo osi rotácie o vznikne

rotačná valcová plocha, ktorá sa dotýka rotačnej plochy pozdĺž rovníka zvonka.

rovník

Mészárosová, Tereňová

Nech bod R je regulárny bod meridiánu m rotačnej plochy, ktorý nie je krajný bod meridiánu m

a neleží na osi rotácie.

Rovnobežková kružnica bodu R sa nazýva rovník (rovníková kružnica), ak

– má pre svoje okolie maximálny polomer a

– v bode R existuje dotyčnica t meridiánu m, ktorá je rovnobežná s osou rotácie.

o o

m

R

t

12

hrdlová kružnica

Mészárosová, Tereňová

Poznámka: Dotyčnica t sa dotýka meridiánu m zvnútra. Rotáciou dotyčnice t okolo osi rotácie o vznikne

rotačná valcová plocha, ktorá sa dotýka rotačnej plochy pozdĺž hrdlovej kružnice zvnútra.

Nech bod H je regulárny bod meridiánu m rotačnej plochy, ktorý nie je krajný bod meridiánu m

a neleží na osi rotácie.

Rovnobežková kružnica bodu H sa nazýva hrdlová kružnica, ak

– má pre svoje okolie minimálny polomer a

– v bode H existuje dotyčnica t meridiánu m, ktorá je rovnobežná s osou rotácie.

o o

m

H

t

13

Poznámka: Rotačná plocha môže mať viac rovníkov alebo hrdlových kružníc. Ich počet závisí od tvaru

tvoriacej čiary.

x y

z = o

m m

o

Tereňová

14

DWFx

kráterová kružnica

Mészárosová, Tereňová

Poznámka: Rotáciou dotyčnice t okolo osi rotácie o vznikne rovina, ktorá sa dotýka rotačnej plochy

pozdĺž kráterovej kružnice, t. j. kráterová kružnica leží v tejto dotykovej rovine rotačnej plochy.

Nech bod K je regulárny bod meridiánu m rotačnej plochy, ktorý nie je krajný bod meridiánu m

a neleží na osi rotácie.

Rovnobežková kružnica bodu K sa nazýva kráterová kružnica, ak

– v bode K existuje dotyčnica t meridiánu m, ktorá je kolmá na os rotácie.

o o

m

K t

15

http://design.spotcoolstuff.com/architecture/rotating-dome-house

Aplikácia častí rotačných plôch

16

?

1) Existuje rotačná plocha, ktorá má hrdlovú kružnicu a nemá rovník ani kráterovú kružnicu?

2) Existuje rotačná plocha, ktorá má len rovník a nemá ani hrdlovú, ani kráterovú kružnicu?

3) Existuje rotačná plocha, ktorá nemá rovník, kráterovú ani hrdlovú kružnicu?

4) Navrhnite rotačnú plochu, ktorá má aspoň tri kráterové kružnice a nemá rovník ani hrdlovú kružnicu.

Načrtnite si svoje odpovede.

Odpovede:

1) Napríklad jednodielny rotačný hyperboloid.

Hyperboloid pozri v kapitole R2.

2) Napríklad guľová plocha.

3) Napríklad dvojdielny rotačný hyperboloid.

Hyperboloid pozri v kapitole R2.

4) Napríklad rovinná krivka k vytvorí rotáciou okolo

osi rotácie o rotačnú plochu, ktorá má štyri

kráterové kružnice, nemá hrdlovú kružnicu ani

rovník.

Nájdite ďalšie rotačné plochy vyhovujúce daným podmienkam.

Cvičenie:

o

k

17

Časť rotačnej plochy použitá v dizajne

18

www.houzz.com/photos/sofas/

Práca študentov odboru Dizajn

Blanka Votavová a Pavel Janáček

19