rotacion dinamica cecilia

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE DEPARTAMENTO DE FISICA PROGRAMA DE PERFECCIONAMIENTO FUNDAMENTAL

Jornada Octubre 2001

CUERPO RIGIDODINAMICA DE ROTACION Analicemos el movimiento de rotacin, pero considerando las causas que lo producen. Si nos recordamos de los principios fundamentales, el movimiento de cada partcula del cuerpo que rota, est determinado por la Segunda Ley de Newton. Como la aceleracin lineal de cada partcula es diferente, la ecuacin de movimiento para cada una de ellas es diferente, lo que no resulta un tratamiento adecuado. Es ms adecuado hacer un anlisis por medio de variables rotacionales. Para analizar el movimiento del rgido desde el punto de vista dinmico, recordaremos algunas definiciones de algunos conceptos como momento de una fuerza o torque, momento de inercia o inercia rotacional, momentum angular. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE () Analicemos el efecto que produce una fuerza F que acta sobre un cuerpo, Si la fuerza se aplica de modo que su lnea de accin no pasa por O, el efecto que se produce es el de una rotacin del cuerpo alrededor de O. Lnea de accin de F La experiencia cotidiana, nos indica que la rotacin que produce F ser tanto ms efectiva mientras ms lejos del punto O se aplique la fuerza y mientras ms cercano a 90 sea el ngulo que forman los vectores posicin y fuerza. Citemos como ejemplo el hecho de que al abrir una puerta, siempre se tira o empuja lo ms lejos de las bisagras y se hace o se intenta hacerlo en direccin perpendicular a la puerta.

B b Or

F

De lo expuesto anteriormente, podemos concluir que para hacer rotar el cuerpo, no slo interesa la fuerza aplicada, sino donde se aplica. Esto nos lleva a la definicin de nuevos conceptos. Se define el TORQUE ( ) ( palabra del latn torquere, torcer) con respecto a un punto 0 como el producto vectorial o producto cruz de los vectores r y F .Tambin se le llama momento de una fuerza y viene dada por la expresin:

o = r F

con

o = r F sen

o = F bDocumento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 1


=rF

De acuerdo a la definicin de producto cruz en lgebra de vectores, Ud se debe recordar que:1.- el mdulo del vector resultante se determina como el producto entre los mdulos de los vectores participantes y el seno del ngulo que forman dichos vectores ( r. F. sen ) . 2.- el sentido lo da la regla del tirabuzon o de la mano derecha. 3.- si se tienen las componentes del vector, se puede obtener el vector torque sencillamente haciendo el determinante.

O

F

r

k i j o = x y z Fx Fy Fz

;

= yFZ zFy (xFz zFx )+ k i j

(

)

(xFy yFx )

En algunas ocasiones conviene descomponer el vector r en un vector paralelo y en otro perpendicular al vector fuerza de modo que:

rparalelo rperpend F

o = r Fperpend + r Fparalelodonde slo el producto cruz de la fuerza paralela se hace cero ya que se trata de dos vectores colineales, luego el seno es cero. Luego el resultado es:

r

O

o = r Fperpendicular

Nuestro inters es estudiar la rotacin de un cuerpo rgido, en especial el movimiento de rotacin en el cual el rgido rota respecto de un eje fijo. Al aplicar un torque a ese cuerpo, slo la componente paralela al eje produce cambios en el movimiento de rotacin. Las otras componentes, si es que existen, son anuladas por momentos ejercidos por el mismo eje sobre el cuerpo. Entonces el torque neto tendr una sola componente, ya sea en el eje x, en el eje y en el eje z, dependiendo en que plano acten las fuerzas. Adems, para el caso en que la fuerza F se aplique sobre una partcula de vector posicin r respecto de un punto fijo 0, el torque es de la misma forma dada anteriormente, es decir:

o = r FDocumento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 2


MOMENTO DE INERCIA O INERCIA ROTACIONAL Para definir este concepto analicemos un cuerpo rgido el cual para un instante " t " est rotando alrededor de un eje con velocidad angular . Cada partcula que forma el cuerpo tiene una cierta energa cintica. Tomemos una partcula de masa m situada a una distancia ''r'' del eje de rotacin, la energa cintica de esta partcula es 12mv 2 siendo v la rapidez lineal de la partcula. Recordando que v = r , entonces la energa cintica de la partcula es 12m 2 r 2 . Como el rgido puede considerarse formado por n partculas de masa m1,m2 ...., mn , las cuales estn a una distancia r1,r2 ....,rn del eje respectivamente, entonces la energa cintica total del rgido, considerado como un sistema de partculas es:

m r

r

m

1 1 1 K = m 1r1 2 + m 2 r2 2 +..... + m n rn 2 2 2 2Haciendo la sumatoria de los mi ri se tiene que la Energa Cintica de rotacin es

K=

1 n m r 2 2 ii 2 i =1

o bien

K=

1 2 I 2

Al trmino entre parntesis se le ha designado con la letra I ; se le llama momento de inercia o inercia rotacional del sistema de partculas con respecto del eje de rotacin considerado. De este anlisis podemos entonces decir que el momento de inercia de una partcula de masa m respecto de un punto O viene dado por : Io = m. r2

O

r

y el de un sistema de partculas viene dado por:

Ieje =

mi ri2i=1

n

En el anlisis anterior se consider al rgido formado por masas puntuales, lo que en la realidad no se presenta. Lo que se da realmente es una distribucin continua de masa.

Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected]

3


Para determinar el momento de inercia del rgido se hace el anlisis con elementos infinitesimales de masa ''dm'' . La expresin para el momento de inercia de un rgido respecto de un eje toma la forma:

E

Ieje = r 2 dmHay que hacer notar que el momento de inercia es una magnitud cuyo valor depende de la distribucin de la masa respecto del eje considerado. Como el momento de inercia I depende del eje respecto del cual rota el rgido, un mismo cuerpo puede tener infinitos momentos de inercia. Volviendo a la energa cintica de rotacin podemos decir que la expresin

d

E1 2 I 2

K=

no es una nueva forma de energa sino que es una forma conveniente de expresar la energa cintica de un cuerpo en rotacin. Esta expresin es anloga a la expresin de la energa cintica de una partcula o cuerpo que slo traslada, es decir:

K=

Si se hace una comparacin entre estas ltimas dos expresiones, se observa que hay trminos anlogos; la rapidez angular es anloga a la rapidez lineal v y la inercia rotacional I es anloga a la masa del cuerpo o inercia de traslacin. A continuacin se presentan dos ejemplos de clculo de momento de inercia EJEMPLO N1 La figura muestra tres partculas de masa

1 mv 2 2

m1 = 2 kg ,

m2 = 1,6 kg y

m3 = 1 kg , ubicadas en los vrtices de

un tringulo equiltero de lado a=0,4 m. Calcular el momento de inercia del sistema de partculas respecto de un eje perpendicular al plano de la figura que pase por : a) el punto A b) el punto C c) el punto B d) el centroide del tringulo e) compare los valores obtenidos en a),b) y c). DESARROLLO

y

C m3

m1 A

G

m2 B

x


4


a) b)

IA = m2 a2 + m3 a2 IA = a2 (m2 + m3 ) I A = 0.4 2 (1.6 + 1) Ic = 0.4 2 (2 + 1,6) I A = 0,416(kgm 2 ) Ic = 0,576(kgm2 ) Ic = m1a2 + m2 a2 Ic = a2 (m1 + m2 )

c)

IB = m1a2 + m3 a2 IB = a2 (m1 + m3 )IB = 0,4 2 (2 + 1) IB = 0.48(kgm 2 )

d) El centroide del tringulo se encuentra en el punto de interseccin de las transversales de gravedad, luego:

2 2 2 I G = m 1 a +m 2 a +m 3 a 3 3 3

2

2

2

2 IG = a (m1 + m2 + m3 ) 3

2

IG = 0.327kgm2

e) De los resultados se observa que a aunque la masa total permanece constante, la inercia rotacional que presenta el sistema es diferente para cada uno de los puntos respecto del cual fue evaluado, siendo menor el que se hizo respecto del centro de masa ( se puede justificar por el Teo. de Steiner)

EJEMPLO N2 Calcule el momento de inercia de una varilla delgada homognea, de masa M y largo L, de seccin constante, respecto de un eje perpendicular a ella y que pase por uno de los extremos.

L odm

DESARROLLO Sea OA la varilla de largo L, adems sea dm un infinitesimal de masa que se encuentra a una distancia x del punto O.

x

A

x

El infinitesimal de masa dm se puede expresar, en general, como dm = dV , donde es la densidad del material. Para la varilla delgada, se tiene que dm = dx A( A sec cin) Luego en la expresin Io =

r

2

dm , se tiene5



Io =

L

o

x 2 A dx ;L3 3

I o = A x 2 dxo

L

E

Luego: I o = A

pero

AL = M VARILLA

Luego el momento de inercia pedido es:

Io =

Respecto de los momentos de inercia de ciertos cuerpos geomtricos hay tablas a las cuales se puede recurrir y generalmente se dan respecto del centro de masa. Por ejemplo el momento de inercia de la varilla delgada respecto del centro de masa es Io = M.L2/ 12 Tambin es factible conocer momento de inercia de un cuerpo , respecto de un eje que no pasa por el centro de masa, si se conoce el momento de inercia respecto del eje que pasa por el centro de masa aumentado en el producto entre la masa del cuerpo y el cuadrado de la distancia que separa los ejes, esto es a travs del Teorema de Steiner.

ML2 3

E

L2 I O = I c.m + M 4 2 L2 L M = Ic.m + M 4 3

L2 Ic.m = M 12

O L/2

c.m

TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS Este teorema proporciona una forma adecuada para determinar el momento de inercia de un rgido respecto de un eje, cuando se conoce el momento de inercia respecto a otro eje paralelo al primero y que pasa por el centro de masa. La expresin analtica de este teorema es:

cm

d d

P

I P = I CM + Md 2

Ip

corresponde al momento de inercia respecto del eje que pasa por P y que es paralelo al eje que

pasa por el centro de masa, M es la masa del rgido y d es la distancia que separa a los ejes paralelos.Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 6


Demuestre, usando el Teorema de Steiner, que el momento de inercia de una esfera maciza homognea de masa M, respecto de un eje tangente a la superficie es:

7 I = MR 2 5

DATO: Icm = 2/5 M.R2

T

Los momentos de inercia son aditivos EJEMPLO 3 Se tiene un rgido formado por dos barras homogneas de masa M= 1.8 kg y largo L= 0,6 m cada una, en los extremos de las barras hay 2 partculas de masas m= 0,5 kg cada una. Calcular el momento de inercia que tiene el rgido respecto de un eje y perpendicular al plano horizontal de la figura y que pasa por 0. DESARROLLO Cada uno de los elementos que componen el rgido contribuye con momento de inercia respecto del eje considerado.

1/3L x 0 2/3 L

I o = 2 IBARRA + 2 I PARTICULAClculo del momento de inercia de la barra respecto del eje que pasa por 0. Por Steiner, se tiene que:

IoB =

ML2 +M(2 / 3L L / 2)2 12

I oB =

1,80,6 2 ML2 + M(L / 6) 2 I oB = ML2 / 9 9 12

IoB = 0.072 (kg m2 )

Clculo del momento de inercia de una partcula respecto del eje que pasa por O, Se tiene que:

2 I op = mr 2 I op = 0.5 0.6 3

2

Iop = 0.08(kgm2 )

Luego, el momento de inercia del rgido respecto al eje dado ser:

Io = 20.072 + 20.08

Io = 0.304(kgm2 )7



EXPRESION PARA TRABAJO Y POTENCIA EN UNA ROTACION Consideremos un cuerpo rgido que rota en torno de un eje fijo, debido a la aplicacin de un torque producido por la fuerza F que muestra la figura b), la cual es coplanar con el plano perpendicular al eje de rotacin. El anlisis se har como ya hemos dicho para fuerzas que estn en planos perpendiculares al eje de rotacin.

b) a ) o dr

FtF

P

Calcularemos un elemento de trabajo dW hecho por esta fuerza F , cuando el punto P se desplaza describiendo un arco infinitesimal ds. De acuerdo a la definicin para un trabajo infinitesimal: dW = Ft ds siendo Ft la componente tangencial de la fuerza y ds = r d . La expresin para dW es:

dW = Ft r d , como o = Ft rentonces

dW = o d

por lo tanto Si el torque

W =o

21

o d

es constante, entonces:

W = o Esta expresin es anloga a la del trabajo realizado por una fuerza constante a lo largo de una recta

W = Fs .


8


La expresin para la potencia instantnea P es:

P=

d dW ; P= dt dt

P = o

Esta ltima expresin, es la equivalente rotacional de P = Fv para el movimiento de traslacin a lo largo de una recta. Si se hace el anlisis de un cuerpo sobre el cual se aplican varias fuerzas que produzcan torques de direccin paralela al eje de rotacin, el trabajo realizado por estos torques en una pequea rotacin d es:

dW = F1t r1d + r2 d + ......Fnt rn d

dW = ( 01 + 02 + ..... 0n )d dW = o neto d , integrando Wneto =

21

o neto d

ECUACION FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA DE ROTACION PURA En el anlisis del rgido en rotacin, se determin que el trabajo dW realizado sobre l, depende del torque neto aplicado. Este trabajo realizado sobre el cuerpo, produce una variacin de la energa cintica, como no hay movimiento relativo entre las partculas que forman el rgido, no hay disipacin de energa dentro de l; en consecuencia, la rapidez con que se realiza el trabajo es equivalente a la rapidez con que aumenta la energa cintica del rgido, luego:2 dW d( 12I ) = dt dt

adems

P=

dW = o dt

El eje de rotacin es fijo, entonces I constante. Luego:

o = I o

o = Io e

Esta ecuacin se puede escribir vectorialmente y son vectores colineales de igual sentido IO es una magnitud escalar positiva, luego:

o = Io Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 9


Esta ecuacin es anloga a F = ma para rotacin pura.

, corresponde a la ecuacin fundamental de la mecnica clsica

En una rotacin pura la expresin del teorema del trabajo y la energa para un desplazamiento angular es:

1 1 WNETO AB = I O B 2 I O A 2 2 2EJEMPLO 4 La figura muestra un rgido formado por un aro homogneo de masa M=4 kg y tres barras delgadas homogneas, cada una de masa m=2 kg y largo L=0.5m, el cual puede rotar respecto del eje fijo perpendicular al plano OXY que pasa por O.Y

QX Z

Ug

o

g

B

En la periferia del aro est enrollada una cuerda de masa despreciable e inextensible y de un extremo cuelga el bloque B de masa mB= 4kg. La cuerda pasa por la polea Q de masa despreciable. En t=0 el sistema est en reposo en la posicin que muestra la figura. Se suelta el sistema y el bloque comienza a descender. Calcule: a) velocidad angular del rgido en t=2s. b) torque neto respecto de O que acta sobre el rgido en t=2s. c) energa mecnica del sistema rgido bloque en t=2s. DESARROLLO El bloque B y el rgido forman un sistema, estn unidos por una cuerda de masa despreciable e inextensible. El bloque traslada y el rgido rota respecto del eje fijo que pasa por O. Las variables lineales del bloque sern las mismas que las que tienen los puntos de la periferia del rgido.( explique porqu) = k en t=2s , para responder esta pregunta ser necesario a) Se pide aceleracin angular del rgido o bien la aceleracin tangencial con que baja el bloque.

conocer la

Aplicaremos las expresiones dinmicas = I para el rgido y F = m a cinemtica at = .R

para el bloque y la relacin


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En el rgido la fuerza que produce torque respecto de O es la tensin T. ( La contribucin de la fuerza peso de las barras al torque neto es cero, queda pendiente para que usted lo desarrolle), C entonces 1) R.T = Io .

T T

En el bloque acta la fuerza peso y la tensin T , entonces se tiene: 2) mg - T = m aB 3) aC = aB= .R

m

Necesitamos conocer el momento de inercia del rgido. Este est formado por un aro y tres varillas, luego el momento de inercia de este rgido se calcular mediante la expresin:

IOrgido = 3I0barra + Io aroDe las tablas de momentos de inercia se obtiene que el momento de inercia de una barra o varilla respecto del centro de masa es ML2 /12 y el de un aro es MR2. Como las barras estn rotando respecto de un extremo, deberemos aplicar Steiner, luego para una barra se tiene

Iobarra = mL2 / 12 + m (L / 2)2 Iobarra = mL2 / 3 .Entonces:

Iorigido = 3m

L2 +MR 2 3

Io rgido = 1,5Kg m2

Conocido el momento de inercia y resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 1), 2) y 3) se obtiene que el mdulo de la aceleracin angular es de 8 rad/s2 Como ( t ) = o + t y parti del reposo, entonces

(2) = 16krad / s

b) La tensin produce un torque constante que lo calcularemos a partir de la ecuacin

=I

como

= 8krad / s 2

luego

= 158k ,

= 12k rad/ s211



c) Para este sistema, la energa mecnica permanece constante, luego se puede calcular en cualquier instante y el instante que presenta menor dificultad es en t=0, ya que el sistema est en reposo.

0

E(0) = E(2)

con

E (0) = Ko + U o

La masa del rgido se puede suponer concentrada en O, (demustrelo). Luego, E = U = (3m + M)g 0,5

E = 50J

A continuacin se dejan propuestos algunos problemas. CONCEPTOS PREVIOS: Momento de inercia de un rgido, de un sistema compuesto por varios rgidos, cinemtica de rotacin un de rgido que rueda sin deslizar. PROBLEMA 1 La figura muestra una rueda que est detenida y conformada por: Un aro exterior de 70 cm de dimetro y masa M= 1kg 6 varillas delgadas, idnticas, distribuidas uniformemente, cada una de masa 0,4kg. y largo 33cm. Un dispositivo de forma cilndrica cuyo momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por O, que es el centro del aro, es de 0,001kg.m2. I.- Calcular: a) Momento de inercia de una varilla respecto de su centro de masa b) Momento de inercia de una varilla respecto del eje que pasa por O. c) Momento de inercia del aro respecto del eje que pasa por O. d) Momento de inercia de la rueda respecto del eje que pasa por O. II.a) b) c) d) e) f) g) h)

O

La rueda que inicialmente estaba en reposo, demora 10s, rodando sin deslizar, en alcanzar una rapidez angular de 20rad/s cuando se le coloca en movimiento, Calcular: Modulo de la aceleracin angular de la rueda. Mdulo del centro de masa de la rueda. Rapidez angular del centro de masa de la rueda en t=4s. Rapidez del centro de masa de la rueda en t=6s. Distancia recorrida por la rueda entre 0 y 10s. El nmero de vueltas que da la rueda entre 0 y 10s. La rapidez lineal del punto A de la periferia de la rueda cuando sta ha dado 2 vueltas El mdulo de la aceleracin tangencial del punto A cuando ha dado dos vueltas.Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 12


APLICANDO CONCEPTOS CONCEPTOS PREVIOS: Momento de inercia de un rgido, de un sistema compuesto por varios rgidos, dinmica de rotacin un de rgido con eje fijo, trabajo realizado sobre un rgido en rotacin con eje fijo. PROBLEMA 2 La figura muestra el esquema bsico de un ventilador el cual puede rotar respecto de su eje de rotacin que pasa por O. Basicamente est formado por un aro de masa M= 4kg, R= 0.3m y 4 aspas idnticamente homogneas cada una de masa 0,2kg y momento de inercia de 0,6kg m2 respecto del eje del eje que pasa por O. Se enciende el ventilador en t=0 y deja de funcionar despus de 120s. S la rapidez angular varia de acuerdo al grfico dado: Calcule:Y (rad/s) X

20 O

0

20

90

120

t(s)

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

El momento de inercia de cada aspa respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por el centro de masa de ella. El momento de inercia del ventilador respecto del eje de rotacin de l. La aceleracin angular en t= 8s La aceleracin angular en t= 52s. La aceleracin angular en t= 96s. El nmero de vueltas que da el ventilador entre 20s y 90s. Enumero de vueltas que da entre 0 y 120s. El torque neto que acta sobre el ventilador entre 0 y 20s El torque neto que acta sobre el ventilador entre 20 y 90s El torque neto que acta sobre el ventilador entre 90 y 120s. El trabajo neto realizado sobre el ventilador entre 20s y 120s.


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CONCEPTOS PREVIOS: Momento de inercia de un rgido, de un sistema compuesto por varios rgidos, dinmica de rotacin un de rgido con eje fijo, trabajo realizado sobre un rgido en rotacin con eje fijo. Problema 3 Una polea de forma cilndrica, homognea de masa M= 5kg y radio R= 0,5m puede rotar en torno de su eje de simetra fijo que pasa por O. En su periferia se encuentra enrrollada una cuerda de masa despreciable colgando del extremo libre un bloque de masa m= 0,5kg. En t=0 el sistema estaba en reposo. I.a) b) II.a) b) c) d) e) f) g) h) Escriba la ecuacin de movimiento para el bloque. Escriba la ecuacin de movimiento para la polea.O

Calcule: Mdulo de la aceleracin con que baja el bloque Mdulo de la aceleracin angular con que rota la polea. La tensin que acta sobre el bloque El mdulo de la(s) fuerza(s) que producen torque en la polea respecto del eje de rotacin. La energa cintica del bloque en t=2s. La energa cintica de la polea en t= 2s. La energa cintica del sistema en t= 2s El nmero de vueltas que da la polea entre 0 y 2s.

RODADURA La aceleracin del centro de masa de un sistema sobre el cual acta una fuerza resultante F es:

Fneta = m a cmPor otra parte, cuando un rgido rota respecto de un eje fijo su ecuacin de movimiento es:

neto = I Si sobre un rgido actan varias fuerzas, el sistema de fuerzas puede reducirse a los siguientes casos: a) Una sola fuerza cuya lnea de accin pasa por el centro de masa, en cuyo caso el rgido slo traslada.


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b) Un par o cupla, es decir, dos fuerzas de lnea de accin paralela, de igual mdulo, igual direccin y sentido opuesto; en este caso el rgido rota respecto de un eje que pasa por el centro de masa sin ser necesario de que exista ese eje en forma real. c) d) Una fuerza nica cuya lnea de accin no pasa por el centro de masa, en este caso el rgido rota y traslada simultneamente. Las ecuaciones del movimiento son:

F = m a cm

y

CM= ICM

De los tres casos planteados, se analizar el tipo (c), que es una rototraslacin para cuerpos que presentan una simetra esfrica, es decir una RODADURA. Existen algunos cuerpos rgidos como las esferas, cilindros, aros, discos, que pueden rodar o tienen movimiento de rodadura. Esto significa que a la vez que trasladan tambin rotan respecto de un eje. Es un movimiento combinado de rotacin y traslacin. Analizaremos el caso sencillo de un cuerpo que rueda sin deslizar sobre una superficie plana rugosa. Este tipo de movimiento impone una relacin determinada entre las variables lineales y angulares de su desplazamiento, velocidad y aceleracin. Estudiaremos el movimiento de un cilindro macizo y homogneo de masa M y radio R.

c A B

c B A S=2R

c AB

El centro de masa del cilindro coincide con el centro de gravedad de l. La distancia que se desplaza al centro de masa del cilindro en un intervalo de tiempo t es:

x CM = R

(1)

Esta es la primera condicin cinemtica del movimiento de rodadura. Si se deriva sucesivamente dos veces esta expresin respecto del tiempo, se encuentran las ecuaciones:

v CM = R a CM = R

(2) (3)

De las ecuaciones (1), (2) y (3), se deduce que las variables lineales y angulares respectivas, no son independientes entre s.Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 15


En este movimiento se cumple que la velocidad del punto de contacto P es nula en todo instante. El movimiento de rodadura puede analizarse por dos mtodos que son totalmente equivalentes:

P

a) Como una rototraslacin, es decir, una traslacin del cuerpo rgido y una rotacin en torno de un eje que pasa por su centro de masa en forma simultnea. b) Como una sucesin de rotaciones puras respecto de un eje, llamado eje instantneo de rotacin. A travs del movimiento del cilindro que rueda sin deslizar, mostraremos la equivalencia de ambos mtodos, usando el concepto de energa cintica. Se le llama eje instantneo de rotacin a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por el punto de contacto P entre el cilindro y la superficie. (Para otros casos de rototraslacin, el eje instantneo puede estar en el exterior del cuerpo).

cm

PComo la velocidad del punto de contacto P es nula, podemos considerar que en cada instante t del movimiento, el cuerpo tiene una rotacin pura en torno del eje instantneo que pasa por el punto P. Supongamos que w es la rapidez angular del cilindro respecto del eje instantneo en un instante t, entonces la energa cintica total de l es:

1 K = Ip 2 2Siendo I p

(I)

el momento de inercia del cilindro respecto del eje instantneo.

De acuerdo al teorema de Steiner:

Ip = ICM + MR 2Luego:

K=

1 (ICM + MR 2 )2 2 1 1 K = ICM 2 + MR 2 2 2 2

(II)


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La ecuacin II vemos que representa la energa cintica total del cilindro que rueda sin deslizar, expresado por los efectos combinados de la traslacin del centro de masa y de una rotacin alrededor del un eje que pasa por el centro de masa.

2 El trmino 1 2I CM representara la energa cintica de rotacin de un cilindro, si slo estuviese rotando respecto de un eje que pasa por el centro de masa.

2 2 El trmino 1 2 MR representara la energa cintica de traslacin de un cilindro que solo trasladara con la velocidad del centro de masa ( vcm= R w )La velocidad angular respecto del eje instantneo y respecto de un eje que pasa por el centro de masa, en un instante t, es la misma. Resumiendo, podemos concluir que una rotacin pura en torno del eje instantneo, es equivalente a una rototraslacin. Grficamente, podemos ilustrar la equivalencia de una rototraslacin a una rotacin pura, a travs del movimiento de un cilindro que rueda sin deslizar.

A B O

vc B

A

Vcm

A BVCM

2VCM

+

O P(b)

=

O P(c)

P(a)

VCM

Vcm

En la figura (a), se han dibujado las velocidades de los puntos A, B, O y P, suponiendo que el cilindro slo traslada. En la figura (b), se han dibujado las velocidades de los mismos puntos anteriores, suponiendo que el cilindro slo rota en torno del centro de masa. En la figura (c), se han dibujado las velocidades de dichos puntos, haciendo la combinacin de rotacin y traslacin simultnea.


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Se observa que el punto P no tiene velocidad, que el punto O se mueve con la velocidad del centro de masa, que el punto A se mueve con 2 v CM y que el punto B con rapidez v B = BP . En sistemas en los cuales la nica fuerza no conservativa es la fuerza de roce esttico, la energa mecnica se conserva constante, ya que la fuerza de roce esttico no disipa energa, o no realiza trabajo. PROBLEMA N1 La figura muestra una esfera maciza y homognea de masa m= 5/7 kg y radio R= 0,2 m , la cual puede rodar sin deslizar por el plano rugoso ABC. En el tramo AB actan sobre la esfera las fuerzas F1 = 10 i N y F2 = 40 i N Si en t=0 la esfera est en reposo y en t=3s pasa por el punto B, calcule: a) Velocidad del centro de masa en t=2s. b) Trabajo neto realizado sobre la esfera entre t=1s y t=3s. c) Mdulo de la fuerza de roce esttico en el plano inclinado.

F1

C 0.3m B y 30 x

o.1m A

F2

DESARROLLO El problema puede abordarse considerando que la esfera rototraslada, o bien, slo rota con respecto al eje instantneo. Plantearemos la(s) ecuacin(es) de movimiento por ambos caminos, pero se har el clculo por eje instantneo. Usted puede comprobar que el otro camino tambin permite llegar a la solucin. Ecuaciones para rototraslacin. F1

1. F2 F1 fs = m a CM 2. R f s 0.1F2 0.1F1 = I CM 3. a CM = R

F2

fs

p

La ecuacin (1) corresponde a la de traslacin. La ecuacin (2) corresponde a la de rotacin en torno del centro de masa. La ecuacin (3) corresponde a la condicin de rodadura sin deslizamiento.Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 18


Se puede aplicar para esta situacin la ecuacin fs = s N ? No. Explique porqu. De las ecuaciones (1), (2) y (3), se puede conocer , a CM Ecuaciones para eje instantneo de rotacin. 1. 2. y

fs

0.1F2 0.3F1 = Ip a CM = R

Se debe calcular el momento de inercia de la esfera respecto del eje instantneo De las tablas de momento de inercia se tiene ICM = 2/5 MR2 , luego se aplica Steiner IP = ICM + MR2 IP = 2/5 MR2 + MR2 = 7/5 MR2 = 0,04 kg.m2 Reemplazando los datos en la ecuacin (1) se tiene que: 1.

0,1 40 0,3 10 = 0.04 Ip = ICM + MR 2

= 25rad / s2 Ip = 7 5MR 2a CM = 5m / s2 Ip = 0.04 kg m2a) La velocidad del centro de masa se calcular a partir de

v cm (t) = v 0 + a cmt

v CM (2) = 5 2 v = 10m / s i

b) El trabajo neto se puede calcular como la variacin de la energa cintica total. Si pensamos que slo rota respecto del punto P, entonces:

Wneto = K= K ( 3 ) K ( 1)

con

K = 12Ip w 2

Wneto = 12Ip ( w 32 w 12 )Clculo de (t) = o + t

(1) = 25 1 = 25rad / s (3) = 25 3 = 75rad / s

Luego: Wneto = 120.04 (752 25 2 )

Wneto = 100 JDocumento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 19


c) Para calcular el mdulo de la fuerza de roce esttico, primero determinaremos con que aceleracin sube por el plano inclinado la esfera. En este plano, la fuerza peso es la nica que realiza torque respecto del eje instantneo; luego la ecuacin de movimiento es diferente a la del plano horizontal.

1. R mg sen30 = Ip 2.

mgsen30 fs 30 mg

a CM = R

Reemplazando los valores, se tiene que:

aCM = 25 / 7m / s2Pero, se pide mdulo de la fuerza de roce esttico, luego plantearemos la ecuacin de traslacin para la esfera. El movimiento es retardado:

mgsen30 + fs = m a CMluego

fs =

1 5 25 5 10 7 7 7 2

fs = 1.02NCmo se interpreta el signo negativo? En la figura la fuerza de roce esttico est apuntando hacia abajo del plano inclinado, pero el signo negativo en el resultado nos indica que la fuerza de roce esttico apunta en sentido opuesto al dibujado, conservando su mdulo, por qu? PROBLEMA N2 Un ciclista se desplaza con una rapidez de 36 km/hora, cuando se encuentra a 50m de del lugar donde debe llegar comienza a frenar uniformemente. De acuerdo a los datos que se tiene , el dimetro de las ruedas es de 70cm. y el momento de inercia respecto del punto de 0,3 kg. m2, calcular:


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a) b) c) d) e)

Velocidad del centro de masa en el instante que empieza a frenar. Rapidez angular de la rueda en el instante que empieza a frenar. Aceleracin angular de la rueda. Velocidad de un punto superior de la rueda a los 4s de iniciar el frenado. Torque neto ejercido sobre una de las ruedas, respecto del punto de contacto.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR O MOMENTUM ANGULAR La forma general de expresar la segunda ley de Newton para el movimiento de traslacin de una partcula o de un sistema de partculas es en funcin del momentun lineal

F=

dp dt

En mecnica de rotacin el momentum angular ( l ) es una magnitud que juega un papel anlogo al que desempea la cantidad de movimiento lnea P de la mecnica de traslacin. Por medio de este concepto, se puede generalizar la ecuacin de la dinmica de rotacin y derivar un principio de conservacin que es importante.

En general, digamos que tanto el momentum angular como la conservacin de este, bajo ciertas condiciones, juega un papel de trascendencia tanto en la fsica macroscpica, en astronoma, en la descripcin de la fsica moderna, atmica y nuclear. MOMENTUM ANGULAR

(l)

lo

Definiremos el momentum angular l , con respecto a O, para una partcula de masa m que se mueve con velocidad v , como:

un punto fijo O, en un sistema de referencia inercial. El momentum angular

l o= r p cuyo mdulo es l o = m v sen donde r es el vector posicin respecto de

or

p

l o ,es un vector perpendicular al plano, determinado por r

y v . Si la partcula

se mueve en un plano, el momentum angular respecto de O permanece con su direccin invariante, para cuando O est contenido en dicho plano.


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Entre el momentum angular l y el torque

neto

que acta sobre una partcula, hay una relacin que

es semejante a la expresin en traslacin F = dp / dt la cual deduciremos a continuacin: Se sabe que

l = r p , derivemos esta expresin respecto del tiempo, entonces:

dl d( r p ) = dt dt dl dr dp , pero = p + r dt dt dt dr dp = v, =F y r F = dt dt dl = v mv + r F dt dl Luego neto = dtEsta ltima ecuacin expresa que la rapidez con que cambia el momentum angular de una partcula, al transcurrir el tiempo, es igual al torque neto que acta sobre ella.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR O MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS Consideremos un sistema de n partculas, de momentum angular l1, l2 ,...., ln respecto del punto O fijo en un sistema de referencia inercial. Designando por L el momentum angular del sistema respecto de O, se tiene que:

L o = l1 + l2 + ... + ln

m m3p1r1

mr2

L o=

li ,i =1

n

p2

l i = ri p i

o

m

Al transcurrir el tiempo, el momentum angular L , puede cambiar debido a la accin de: a) momentos ejercidos sobre las partculas del sistema por fuerzas internas entre las partculas. b) momentos ejercidos sobre las partculas del sistema por fuerzas externas.Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 22


De acuerdo al Tercer Principio de Newton, la condicin (a) no contribuye al cambio de L o , luego se puede escribir:

o

ext

=

dL o dtde un sistema de

Esta ecuacin, expresa que la rapidez de cambio en el tiempo del momentum L o

partculas con respecto a un punto fijo O de un sistema de referencia inercial, es igual al torque externo neto que acta sobre el sistema. MOMENTO ANGULAR PARA UN RIGIDO Como hemos dicho anteriormente, un cuerpo rgido es un caso especial de sistema de partculas, cuyas posiciones relativas estn fijas, luego es aplicable la expresin:

o =

dL o dt

La ecuacin de movimiento de rotacin del rgido es = I siendo I el momento de inercia respecto de un eje. Si se considera que I es constante respecto a dicho eje, entonces:

dL o dtLuego :

=

d(I ) dt

L o = Io

Expresin vlida para un cuerpo rgido.

PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTUM

ANGULAR

(L o )

Supongamos que se tiene un sistema de partculas sobre el cual la suma de los torques externos que acta sobre l, es cero, es decir:

o =

dL o =0 dt

L o = cte.

Esto implica que cuando el torque neto externo neto sea cero, el vector cantidad de momentum angular del sistema, permanece constante.Documento confeccionado por Cecilia Toledo Valencia [email protected] 23


PROBLEMA La figura muestra una esfera de masa M fija al extremo de un hilo la cual gira sobre una mesa libre de roce. El otro extremo del hilo pasa por un orificio.Inicialmente la esfera gira con una rapidez de 10m/s, describiendo una circunferencia de 30cm de radio.

m

v

Posteriormente una persona tira del hilo en forma lenta de tal forma que la esfera queda describiendo una circunfeerencia de 20cm, Determine la rapidez angular con la cual queda girando.


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rotacion dinamica cecilia

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