rotação de eixos z x direção de propagação ee
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Rotação de Eixos
z
x
direção depropagação
kj
zxyy
kjyy
euuEuE
euEuEE
senˆcosˆˆ
ˆˆ
E
Rotação de Eixos
z
x
x sen
z cos
sencossenˆcosˆˆ
ˆˆxzkj
zxyy
kjyy
euuEuE
euEuEE
Incidência sobre condutor perfeitoE no plano de incidência (TM)
z
E+E-
H+ H- ’
x
’
kjkj eEeEE
Incidência sobre condutor perfeitoE no plano de incidência (TM)
kjkj eEeEE
cossencossen coscos, zxkjzxkjx eEeEzxE
cossencossen sensen, zxkjzxkjz eEeEzxE
cossencossen, zxkjzxkj
y eEeEzxH
Em z = 0, Ex deve se anular, portanto:
0
sensen
e
0coscos0,
y
xkjxkjx
HEE
eEeExE
sen0 cossencos2, xkj
yx ezkHjzxE
sen0 coscossen2, xkj
yz ezkHzxE
sen0 coscos2, xkj
yy ezkHzxH
Incidência sobre condutor perfeitoH no plano de incidência (TE)
z
H+H-
E+ E-
’
x
’
kjkj eEeEE
Incidência sobre condutor perfeitoH no plano de incidência (TE)
kjkj eEeEE
cossencossen coscos, zxkjzxkjx eEeEzxH
cossencossen sensen, zxkjzxkjz eEeEzxH
cossencossen, zxkjzxkjy eEeEzxE
Em z = 0, Ey deve se anular, portanto:
0
sensen
e
00,
y
xkjxkjy
EEE
eEeExE
sen0 cossen2, xkj
yy ezkEjzxE
sen0 coscoscos2, xkj
yx ezkEzxH
sen0 cossensen2, xkj
yz ezkEjzxH
Conclusões• Componentes de E paralelas à interface se
anulam em z = n d e o mesmo ocorre para Hz.
• Componentes de H paralelas à interface se anulam em z = d/2 n d e o mesmo ocorre para Ez.
cos2
d
Incidência a 45 graus:
Componente Ey
Incidência a 80 graus:
Componente Ey
Incidência a 10 graus:
Componente Ey
Velocidade de fase
cos;
sen
cos;sen, cossen
vvvv
kkeEeEzxE
zfz
xfx
zx
zxjzxkj zx
Impedância característica da onda
• Modo TM • Modo TE
cosy
x
y
xz H
EHEZ
secx
y
x
yz H
EHE
Z
z
E+
H+
x
E+cos z
E+
H+
x
H+cos
Incidência oblíqua sobre dielétrico
z
H+ H-
E+ E-
’
x
”
1, 1
2, 2
zxj
zxjzxj
zx
zxzx
eEE
eEEeEE22
1111
202
101101 ;
Incidência oblíqua sobre dielétrico
2121
11
211
sensensensen
sensen:
vv
xxx
Para meios sem perdas e não magnéticos (=0):
2
1
2
1
1
2
sensen
nn
vv
Para satisfazer condições de contorno em z = 0 para todo x:
zxj
zxjzxj
zx
zxzx
eEE
eEEeEE22
1111
202
101101 ;
Reflexão e Transmissão• Impedância de onda em z = 0: Z(0)=ZZ2
• Zz2=2 (cos 2)1; Zz1=1 (cos 1)1
• Coeficiente de reflexão em z =0:
12
2
,1
,2
12
12
1
1
,1
,11
200
00
00
0
zz
z
yx
yx
zz
zz
z
z
yx
yx
ZZZ
zEzE
ZZZZ
ZZZZ
zEzE
Ângulo de Brewster• Se Zz1 =Zz2 não teremos reflexão no meio 1:
1
21
21
21
021
2112
12121
22
1
221
21
tansen
:
sen
sen1cos
coscos
p
p
vv
solução temnão:
sen
sen1sec
secsec
21
2112
12121
22
1
221
21
p
vv
• TM • TE
Reflexão Total• Para onda vindo de um meio mais refringente para
um menos refringente, existe um ângulo a partir do qual Zz2 torna-se imaginário:
100
sensen1
21
2
21
2
11
11
221
21221222
z
z
z
z
z
z
ZXZX
ZXjZXj
XjZvvvvZ
• Esse ângulo é denominado ângulo crítico:
1221sen vvc
1=0; 1= 4 0; 2= 0
incidência TMcampo magnético
1=20; 1= 4 0; 2= 0
incidência TMcampo magnético
1=26,6; 1= 4 0; 2= 0
incidência TM - ângulo de Brewstercampo magnético
1=32; 1= 4 0; 2= 0
incidência TM – reflexão total (c=30 ) campo magnético