rolul derivatelor de ordinul i și ii în studiul funcțiilor
DESCRIPTION
Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor. MOTTO : Mereu pe primul loc!. Clasa a XI-a A. Membrii : B ăieș Oana Brie Marius - lider Bodea Dumitru Căzănescu Mihaela Felecan Raluca Ilieș Florin - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/1.jpg)
Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor
Grupa Leader One
Membrii: Băieș Oana Brie Marius - lider Bodea Dumitru Căzănescu Mihaela Felecan Raluca Ilieș Florin Moldovan Cătălin
Clasa a XI-a A
MOTTO : Mereu pe primul
loc!
![Page 2: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/2.jpg)
Noțiuni teoretice 1. Definiții, teoretice
2. Tabel-ex
Problemă din subiect de bacalaureat – rezolvată Problemă compusă și rezolvată de grupă Aspecte din timpul desfășurării proiectului Bibliografie
Cuprins
![Page 3: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/3.jpg)
Def. Fie , I interval . Punctul a se numeşte punct de minim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât
Noțiuni teoreticeRolul derivatei de ord. I în studiul
funcțiilor
,f x f a x I V
Punctul a se numeşte punct de maxim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât
,f x f a x I V
Punctul a, care este punct de minim relativ sau punct de maxim relativ, se numeşte punct de extrem relativ (local) .
RIRIf ,:
![Page 4: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/4.jpg)
T.1. Fie un interval şi o funcţie derivabilă. Dacă funcţia f este monoton crescătoare ( respectiv monoton
descrecătoare), atunci (respectiv
Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. I în studiul funcțiilor
0,f x x I 0,f x x I
T.2. 1. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict crescătoare (respectiv monoton crescătoare).
0,f x x I 0,f x x I
2. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict descrescătoare (respectiv monoton descrescătoare).
0,f x x I 0,f x x I
RI RIf :
![Page 5: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/5.jpg)
Noţiuni teoreticeTabel – exemplu
M
f x
f x
0xx
0f x0
m
x 0x f x f x
0 0f x
![Page 6: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/6.jpg)
Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. II în studiul funcțiilor
Teoremă Fie un interval şi o funcţie de două ori derivabilă.
Atunci: este convexă pe dacă şi numai dacă ; este concavă pe dacă şi numai dacă .
Observaţie dacă derivata a doua are semne diferite de o parte şi de alta a unui
punct din şi dacă este continuă în , atunc se numeşte punct de inflexiune.
ff
II
0,f x x I
0,f x x I
f 0x I f 0x 0x
RI RIf :
![Page 7: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/7.jpg)
Problemă din subiecte de bacalaureat rezolvată de grupa LEADER ONE
Se consideră , .a) Să se calculeze .b) Să se calculeze .c) Să se arate functia este concavă pe .
RRf : xexxf 1)(
)0()0( 'ff ( ) ( )lim
x
f x f xx
f R
'
' '' '
2
'2
'
1( )
(1) 1 ( )( )( )
( ) 1( )
1( ) 1
x
x x
x
x
x
x
f x xe
e ef x xe
ef xe
f xe
2
'''
ggfgf
gf
![Page 8: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/8.jpg)
Rezolvarea)
b)
c)
121)0()0(
211)0(
110)0(
1)(
)0()0(
'
0
0
'
ffe
f
ef
exxf
ff
x
'
'
( ) ( )
1 11 1 1 11
lim
lim lim
x
x x
x x l H
f x f xx
x xe ex x
R
xxf
eeexf
exf
e
x
xx
x
0
''
2
''''
''
1)(
)()(1)1(1)(
11)(
f este concavă pe
![Page 9: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/9.jpg)
Problemă compusă și rezolvată de grupa LEADER ONE
Se consideră funcția : ,
Să se calculeze Să se arate că
Să se arate că f convexă pe
:f R R 2
12
xxxf
0'0 ff
1, ;1f x x
;3
22
2
22
2
22
22
22
2
22
22
122
122
1422
12212
1'121'2
xxxf
xx
xxxxf
xxxxxf
xxxxxxf
![Page 10: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/10.jpg)
Rezolvare
2200'0
212
010220'
010
01020
0'0
22
2
22
ff
f
f
ffa)
10' 1 xxf12 x
b)
X
f’(x) - 0 + 0 -
f(x) -1 1
1 1
min Max
![Page 11: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/11.jpg)
c)
2
22
2 22 2 2 2
222
22 2 2
2
22 2 2
42
3 3 3 2
2 3 2 3 2 3
1
2
2 2
1
2 2 ' 1 2 2 1"
1
1 2 1 1
4 (1 )
4 1 2 2 4 1"
1
4 4 8 8 4 12 4 ( 3)(1 ) (1 ) (1 )
"( ) 0 0 0
3 0
1,
xf xx
x x x xf x
x
x x x
x x
x x x x xf x
x
x x x x x x x xx x x
f x x x
x
a
0, 3b c
![Page 12: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/12.jpg)
3
32
3212
3202
12
123140
4
2
11
1
1
2
2
x
xx
x
abx
acb
- + - +
x f x
f x
3 0 3
)3(f 0f 3f
0 0 0
![Page 13: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/13.jpg)
Poze cu grupa LEADER ONE în timpul proiectului
![Page 14: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/14.jpg)
Aspecte din timpul desfășurării proiectului
![Page 15: Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061602/568162b9550346895dd3419d/html5/thumbnails/15.jpg)
Bibliografie
Grup de autori, coordonatori Marius si Georgeta Burtea: Culegere de exercitii si probleme Matematica M2, Editura Campion, 2009
Ion Necşuleu, Tatiana Saulea, Cristian Buican, Mihai Postolache (coordonator): Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M2, Editura Fair Partners, 2006
Costel Chiteş, Ioan Marinescu, Boris Singer, Gh. Stoianovici, Romeo Ilie, Gabriela Streinu – Cercel : Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M1, Editura Sigma, 2001
I. Petrică, E. Constantinescu, D. Petre : Probleme de analiză matematică, vol. I (clasa a XI-a), Editura Petrion, Bucureşti, 1993
Grup de autori : Bacalaureat 2009, Matematica MT2, Editura Campion, 2009
www.edu.ro www.didactic.ro www.mate.info.ro