Građevinski fakultetInž.mat I, Linearna algebra i Matematika (I-kolokvij 16.09.2013) Napomena: Studenti koji polažu Lin.algebru ne polažu zadatke 1.c) i 2. Ostali rade sve.

1. a) Odrediti svojstvene vrijednosti matrice A=(−2 1238 56870 1 23210 0 2 ) i pomoću njih

odrediti trag tr ( A−3 ) i determinantu det (A−3 ) matrice A−3.b) Koristeći Kroneker-Kapelijev teorem, odrediti p∈R za koji je sistem jednačina

x+3 y+z=−22x+6 y−3 z=−5px+3 y+ pz=−2 p

rješiv.c) Odrediti i skicirati skup tačaka S= { z∨z=x+ iy , x , y∈ R } u kompleksnoj ravni koje

ispunjavaju uslove |z−1|≤1 i π3≤arg z ≤ π

4 .

2. Izračunati b=3√3 z−3−4 i, ako je 2 z+z−3−i=0.3. Diskutovati pomoću Kramerovog stava za koje realno a sistem jednačina:

x+ y−z=a

2 x+3 y+z=1−ax+2 y+2 z=3

(i) ima beskonačno mnogo rješenja;(ii) nema rješenja. (iii) u slučaju (i) odredi sva rješenja sistema.

4. Riješiti matričnu jednačinu ABX=4 X−2C, ako je

B=[1 0 31 2 1], A=BT, C=[101 ].

Građevinski fakultetInž.mat I, Linearna algebra i Matematika (II-kolokvij 16.09.2013) Napomena: Studenti koji polažu Lin.algebru ne polažu zadatak 4. Ostali rade sve.

1. a) Na pravcu vektora a⃗=2 i⃗+ j⃗−2 k⃗ od tačke P (2 ,−1,7 ) nanesena je duž PR u smjeru vektora a⃗ dužine |⃗PR|=9. Odrediti koordinate tačke R.

b) Odrediti parametar q tako da ravni 2 x+qy+z−10=0 i 3 x−2 y+qz+1=0 budu međusobno okomite.

2. Dati su vektori a⃗ (2,1,3 ) , b⃗ (1,0 ,−1 ) , c⃗ (1 ,−1,2 ) . Provjeriti komplanarnost vektora a⃗, b⃗ i c⃗ . Razložiti vektor a⃗× b⃗ na komponente u pravcu vektora a⃗ , b⃗ , c⃗, te odrediti tačku simetričnu koordinatnom početku u odnosu na ravan A ( a⃗ )B (b⃗ )C ( c⃗ ) .

3. Odrediti jednačinu ravni α koja prolazi presjekom ravni 2 x−3 y+ z−1=0 , x− y+2 z−3=0 i tačkom A (3,1,0 ) . Zatim odrediti tačku T simetričnu koordinatnom početku u odnosu na ravan α .

4. a) Izračunati limx→−1

x+13√2+x−1

.

b) Odrediti izvode funkcija y=arctg 1+ x1−x i y=xarccosx−√1−x2.

Građevinski fakultetInž.mat I, Linearna algebra i Matematika (I-kolokvij 16.09.2013) Napomena: Studenti koji polažu Lin.algebru ne polažu zadatke 1.c) i 2. Ostali rade sve.

1. a) Odrediti svojstvene vrijednosti matrice A=(−2 1238 56870 1 23210 0 2 ) i pomoću njih

odrediti trag tr ( A−3 ) i determinantu det (A−3 ) matrice A−3.b)Koristeći Kroneker-Kapelijev teorem, odrediti p∈R za koji je sistem jednačina

x+3 y+z=−22x+6 y−3 z=−5px+3 y+ pz=−2 p

rješiv.c) Odrediti i skicirati skup tačaka S= { z∨z=x+ iy , x , y∈ R } u kompleksnoj ravni koje

ispunjavaju uslove |z−1|≤1 i π3≤arg z ≤ π

4 .

2. Izračunati b=3√3 z−3−4 i, ako je 2 z+z−3−i=0.3. Diskutovati pomoću Kramerovog stava za koje realno a sistem jednačina:

x+ y−z=a

2 x+3 y+z=1−ax+2 y+2 z=3

i) ima beskonačno mnogo rješenja;ii) nema rješenja. iii) u slučaju (i) odredi sva rješenja sistema.

4. Riješiti matričnu jednačinu ABX=4 X−2C, ako je

B=[1 0 31 2 1], A=BT, C=[101 ].

Građevinski fakultetInž.mat I, Linearna algebra i Matematika (II-kolokvij 16.09.2013) Napomena: Studenti koji polažu Lin.algebru ne polažu zadatak 4. Ostali rade sve.

1. a) Na pravcu vektora a⃗=2 i⃗+ j⃗−2 k⃗ od tačke P (2 ,−1,7 ) nanesena je duž PR u smjeru vektora a⃗ dužine |⃗PR|=9. Odrediti koordinate tačke R.

b) Odrediti parametar q tako da ravni 2 x+qy+z−10=0 i 3 x−2 y+qz+1=0 budu međusobno okomite.

2. Dati su vektori a⃗ (2,1,3 ) , b⃗ (1,0 ,−1 ) , c⃗ (1 ,−1,2 ) . Provjeriti komplanarnost vektora a⃗, b⃗ i c⃗ . Razložiti vektor a⃗× b⃗ na komponente u pravcu vektora a⃗ , b⃗ , c⃗, te odrediti tačku simetričnu koordinatnom početku u odnosu na ravan A ( a⃗ )B (b⃗ )C ( c⃗ ) .

3. Odrediti jednačinu ravni α koja prolazi presjekom ravni 2 x−3 y+ z−1=0 , x− y+2 z−3=0 i tačkom A (3,1,0 ) . Zatim odrediti tačku T simetričnu koordinatnom početku u odnosu na ravan α .

4. a) Izračunati limx→−1

x+13√2+x−1

.

b) Odrediti izvode funkcija y=arctg 1+ x1−x i y=xarccosx−√1−x2.