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MURCIA / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS

CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO

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OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder sólo a una solade las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestionesde cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque.

BLOQUE 1 (3 puntos)

CUESTIÓN 1.El precio de la pensión completa de una residencia es de 30 euros por persona y día.A los niños menores de 10 años se les cobra el 50 % y a las personas mayores de 65el 70 % del precio.Determine el número de niños de menos de 10 años y de personas mayores de 65que había cierto día en la residencia, si se sabe que: había 200 personas, el númerode mayores de 65 era igual al 25 % del número de niños y se recaudaron 4620 eurospor las pensiones completas de todas ellas.

CUESTIÓN 2.Para que un gato lleve una dieta correcta, el veterinario ha indicado que necesitaingerir al día al menos 23 unidades de hidratos de carbono (HC), 12 de proteínas (P) y8 de grasas (G).En el mercado existen bolsas de dos marcas A y B, cuyo contenido en unidades deestos nutrientes y precio en euros se indica en la siguiente tabla:

Marca G HC P PrecioA 4 3 1 0,4 eurosB 1 5 6 0,4 euros

¿Cuántas bolsas de cada una de las dos marcas debe dar a su gato al día paraconseguir cubrir sus necesidades dietéticas al mínimo costo?

BLOQUE 2 (1,5 puntos)

CUESTIÓN 1.La fabricación de cierto tipo de objetos se hace en dos fases. La probabilidad de undefecto en la primera fase es de 0,04 y la probabilidad de un defecto en la segunda esde 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto así fabricado, elegido al a zar, nosea defectuoso?

CUESTIÓN 2.Las probabilidades de que tres tiradores den en el blanco son, respectivamente, de1/6, 1/4 y 1/3. Cada tirador efectúa un solo disparo. Encuentre la probabilidad de que

solamente un tirador dé en el blanco.

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CUESTIÓN 1.Calcule el área comprendida entre las gráficas de las funciones:

f (x) = 4 −− x 2, g (x) = 2 + x

CUESTIÓN 2.

Dada la curva:

2

1

−

+=

x

x y , se pide:

a) Dominio y asíntotas. (0,3 puntos) b) Simetrías y corte con los ejes. (0,2 puntos)c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,3 puntos)d) Máximos y mínimos, si los hay. (0,2 puntos)e) Una representación aproximada de la misma. (0,5 puntos)


CUESTIÓN 1.Se ha hecho un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que el númerode unidades y que se pueden vender de cierto artículo está relacionado con el preciox , al que se venda cada unidad, mediante la expresión: y = 2400 −− 3x.Determine a qué precio debe ponerse cada unidad para alcanzar el máximo ingresopor las ventas. Cuántas unidades se venderían a ese precio y cuál será el ingresomáximo.

CUESTIÓN 2.Un Banco ha lanado dos nuevos productos: la Cuenta Azul y la Cuenta Viva.

Los intereses que el Banco ofrece en ambas varían en función del saldo de lasiguiente forma:En la Cuenta Azul ofrece un 1 % sobre el saldo, sin gasto ninguno, para saldosinferiores a 6000 euros y un 3 %, menos 120 euros de gastos, para saldos superioresa esa cantidad.En la Cuenta Viva ofrece un 2,5 % sobre el saldo, menos 60 euros de gastos,independientemente del saldo que se tenga.Determine para qué valores del saldo es preferible la Cuenta Azul a la Cuenta Viva.

BLOQUE 5 (2 puntos)

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CUESTIÓN 1.De una muestra de 400 jóvenes españoles de 25 años, elegidos al zar, sólo 60 novivían con sus padres. Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianzadel 95 %, para el porcentaje de los jóvenes españoles que no viven con sus padres alos 25 años..

CUESTIÓN 2.El contenido de leche en las botellas llenadas por cierta máquina envasadora, antesde averiarse, se distribuía según una variable aleatoria normal de media 1000 cm3 ydesviación típica 20 cm3.Tras la reparación de la avería, la distribución de los contenidos de las botellasenvasadas por la máquina sigue siendo normal con desviación típica de 20 cm3, peroal tomar una muestra de 25 botellas llenadas por la máquina reparada se obtiene unamedia de sus contenidos de 1010 cm3.Determine si se debe aceptar la hipótesis de que la media de los volúmenesenvasados por la máquina tras la reparación sigue siendo de 1000 cm3, o rechazarla afavor de que la media ha aumentado, con un nivel de significación del 5 %.

Soluciones de la cuestión 1 de cada bloque

B1−−C1

Si:

x = número de adultos, y = número de niños, z = número de mayores de 65

entones, se tiene:

x + y + z = 200

30x + 30 · 0,50y + 30 · 0,70z = 4620z = 0,25

Esto es, el sistema:

==++

=++

y z

z y x

z y x

25,0

4620211530

200

⇒

==+

=+

y z

y x

y x

25,0

462025,2030

20025,1

⇒

=

=+

=+

y z

y x

y x

25,0

462025,2030

60005,3730

→ Restando E1 − E2 → 17,25y = 1380 ⇒

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⇒ y = 80; z = 20; x = 100

Ese día había 80 niños y 20 mayores.

B2−−C1

Sean los sucesos: DF1 = “defecto en primera fase”, DF2 = “defecto en segunda fase”.

Sus probabilidades son:

P(DF1) = 0,04 P(DF2) = 0,01

Luego: P(No DF1) = 0,96 P(No DF2) = 0,99

Si suponemos que la probabilidad de defecto en ambas fases son sucesos independientes, se

tendrá:

P(No DF1 y No DF2) = 0,96 · 0,99 = 0,9504

De otro modo:

P(DF1 ∪ DF2) = P(DF1) + P(DF2) − P(DF1 ∩ FD2) == 0,04 + 0,01 − 0,04 · 0,01 = 0,0496

y

P(No defectuoso en F1 ni en F2) = 1 − P(DF1 ∪ DF2) = 1 − 0,0496 = 0,9504

B3−−C1

La situación es la que se muestra en la siguiente figura:

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Las gráficas se cortan en x = −2 y en x = 1 (solución de la ecuación 4 − x2 = 2 + x)

El área pedida vale:

∫ ∫ −− −−=+−−=1

2

21

2

2

)2())2(4( dx x xdx x x A = 2

9

322

1

2

32

=

−− −

x x

x

B4−−C1

Unidades vendidas = y = 2400 − 3x.Precio = x

Ingresos = Precio × Unidades vendidas = x · (2400 − 3x)

I(x) = 2400x − 3x2

Los ingresos máximos se obtienen cuando I´(x) = 0 e I´´(x) < 0:

I´(x) = 2400 − 6x = 0 ⇒ x = 400I´´(x) = −6 → Efectivamente, para x = 400 se dará el máximo de I(x).

Unidades vendidas = 2400 − 3 · 400 = 1200.Precio = 400

Ingresos = 1200 · 400 = 480000 euros.

B5−−C1

La proporción muestral de jóvenes que no vivían con sus padres era de 60/400 = 0,15

El intervalo de confianza para la proporción de la población es:

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+−

n

pq Z p

n

pq Z p 2/2/ , αα

siendo p la proporción de la muestra, q = 1 − p; n, el tamaño muestral y 2/α Z el valorcorrespondiente en la tabla normal para una confianza de 1 − α.

En nuestro caso:

p = 0,15; q = 0,85; n = 400; 2/α Z = 1,96

Luego, el intervalo de confianza será:

+−

40085,0·15,01,960,15 ,

40085,0·15,096,115,0 =

= (0,15 − 0,035, 0,15 + 0,035) = (0,115, 0,185)

EL porcentaje de la población de jóvenes de 25 años que no vive con sus padres, está entre

el 11,5 % y el 18,5 %.

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