ZSM - Gospodarska matematika 1

Racun mjenica.

Osnovne formule

C - nominalna vrijednost mjenice, V - vrijednost po kojoj se mjenica prodaje, d - broj dana od/do dana dospijecamjenice, p - godisnji kamatnjak (diskont).

Ako se mjenica prodaje prije datuma dospijeca tada su gornje velicine povezane formulom (pretpostavljamoenglesku metodu)

V = C ·(

1− d · p36500

), (1)

a za V se jos koristi izraz diskontirana vrijednost. Ukoliko se mjenica prodaje nakon datuma dospijeca tada sugornje velicine povezane formulom

V = C ·(

1 +d · p

36500

). (2)

Eventualnu provizije obracunavamo na diskontiranu vrijednost i to prije odbijanja (eventualnih) troskova.

Zadaci

1. Datum dospijeca mjenice je 15.07., a tvrtka je prodaje 10.03., stoga cemo korisiti formulu (1). Zadano namje C = 60000, p = 9 i d = 21 + 30 + 31 + 30 + 15 = 127 dana (mjenica se prodaje 127 dana prije datumadospijeca). Uvrstimo li to u formulu (1) dobijamo

V = 60000 ·(

1− 127 · 936500

)= 60000 · 0,96868 = 58121,10.

Sada od diskontirane vrijednosti uzimamo 0,2% provizije

58121,10− 02% od 58121,10 = 58121,10− 58121,10 · 0,2100

= 58004,86

i to je vrijednost koju je tvrtka zaradila prodajom mjenice.

2. U sva tri slucaja imamo istu formulu samo nam se mijenjaju velicine C, i d. Kamatnjak p = 5, provizija je0,1%, a trosak 150 kn. Datum kupnje mjenice je 05.04.

(a) Nominalna vrijednost C = 20000, a datum dospijeca je 15.05., pa je d = 25 + 15 = 40. Diskontiranavrijednost je

V = 20000 ·(

1− 40 · 536500

)= 19890,41.

Kada od nje odbijemo proviziju dobijemo

19890,41− 19890,41 · 0,1100

= 19870,52

i taj iznos umanjimo za 150 kn troskova. Tvrtka je na prodaji mjenice zaradila 19720,52 kn.(b) Nominalna vrijednost C = 30000, a datum dospijeca je 20.06., pa je d = 25+31+20 = 76. Diskontirana

vrijednost je

V = 30000 ·(

1− 76 · 536500

)= 29687,67.

Kada od nje odbijemo proviziju dobijemo

29687,67− 29687,67 · 0,1100

= 29657,98

i taj iznos umanjimo za 150 kn troskova. Tvrtka je na prodaji mjenice zaradila 29507,98 kn.(c) Nominalna vrijednost C = 15000, a datum dospijeca je 18.07., pa je d = 25 + 31 + 30 + 18 = 104.

Diskontirana vrijednost je

V = 15000 ·(

1− 104 · 536500

)= 14786,30.

Kada od nje odbijemo proviziju dobijemo

14786,30− 14786,30 · 0,1100

= 14771,51

i taj iznos umanjimo za 150 kn troskova. Tvrtka je na prodaji mjenice zaradila 14621,51 kn.

Vjezba 7 - Racun mjenica. Potrosacki kredit.

ZSM - Gospodarska matematika 2

3. Trazi se C, zadani su nam diskontirana vrijednost umanjena za proviziju od 0,1% (iz cega odredimo V ),datum dospijeca i datum prodaje mjenice (iz kojih odredimo d) i diskont p = 10. Odredimo V .

V − V · 0,1100

= 25352,12

V − 0,001 · V = 25352,120,999 · V = 25352,12

V = 25377,50.

Odredimo sada i d = 8 + 30 + 15 = 53. Uvrstimo sada V , d i p u formulu (1) i dobijemo

25377,50 = C ·(

1− 53 · 1036500

)= C · 0,985479.

Sada se lako odredi da je C =25377,500,985479

= 25751,42 kn.

4. Ovdje su nam zadani V = 24526,33, C = 25000,00 i p = 9, a treba odrediti d, da bi mogli naci datumdospijeca. Uvrstimo poznate velicine u (1) i dobijemo

24526,33 = 25000 ·(

1− d · 936500

)

24526,33 = 25000− 6,16438 · d6,16438 · d = 25000− 24526,33 = 473,67

d = 76,83 ≈ 77.

Mjenica je prodana 77 dana prije datuma dospijeca. Datum dospijeca je 17.05.

5. Ovdje su nam zadani V = 12391,25 (dug), d = 60 i p = 15, a treba odrediti C. Kada uvrstimo poznatevelicine u (1) dobijemo

12391,25 = C ·(

1− 60 · 1536500

)

12391,25 = C · 0,97534,

pa je C =12391,250,97534

= 12704, 51 kn.

6. Trazi se datum dospijeca nove mjenice, ali tako da njena diskontirana vrijednost 06.04. bude 20000 kn.Imamo V = 20000, C = 22000, p = 6 i treba odrediti d i iz njega datum dospijeca. Uvrstimo sve u (1) idobijemo

20000 = 22000 ·(

1− d · 636500

)

20000 = 22000− 3,616438 · d3,616438 · d = 22000− 20000 = 2000

d = 553, 03 ≈ 553.

Nova mjenica ce dospijeti 553 dana od datuma dospijeca prve mjenice.

7. Podatak o godisnjem diskontu prve mjenice je ovdje u principu nebitan, bitni su samo datum dospijecai nominalna vrijednost, tako da je ovaj zadatak identican prethodnome. Trazi se datum dospijeca novemjenice nominalne vrijednosti 26000, tako da njena diskontirana vrijednost 13.04. bude 25000 kn. ImamoV = 25000, C = 26000, p = 7, a treba odrediti d i iz njega datum dospijeca.

25000 = 26000 ·(

1− d · 736500

)

25000 = 26000− 4,9863 · d4,9863 · d = 26000− 25000 = 1000

d = 200, 54 ≈ 201.

Nova mjenica ce dospijeti 201 dan od datuma dospijeca prve mjenice, tj 31.10.

Vjezba 7 - Racun mjenica. Potrosacki kredit.

ZSM - Gospodarska matematika 3

8. Odredimo da je nulti datum datum dospijeca prve mjenice, tj. 04.02. Nova mjenica ima nominalnuvrijednost 45000 kn i dospijeva d dana od datuma dospijeca prve mjenice. Dakle, treba odrediti d tako dazbroj vrijednosti sve tri mjenice u tom danu bude 45000.

• Vrijednost prve mjenice d dana nakon dospijeca prve mjenice je

V1 = 20000 ·(

1 +d · 1236500

).

• Vrijednost druge mjenice d dana nakon dospijeca prve mjenice je

V2 = 15000 ·(

1 +(d− 40) · 10

36500

).

Broj d− 40 se pojavljuje zbog toga jer druga mjenica dospijeva 40 dana nakon prve.

• Vrijednost trece mjenice d dana nakon dospijeca prve mjenice je

V3 = 10000 ·(

1 +(d− 64) · 9

36500

).

Broj d− 64 se pojavljuje zbog toga jer treca mjenica dospijeva 64 dana nakon prve.

Iz uvjeta V1 + V2 + V3 = 45000 slijedi

45000 = 20000 ·(

1 +d · 1236500

)+ 15000 ·

(1 +

(d− 40) · 1036500

)+ 10000 ·

(1 +

(d− 64) · 936500

)

45000 = 20000 + 6,5753 · d + 15000 + 4,1096 · (d− 40) + 10000 + 2,4657 · (d− 64)45000 = 45000 + 6,5753 · d + 4,1096 · d− 164,384 + 2,4657 · d− 157,8048

0 = 13,1506 · d− 322,188813,1506 · d = 322,1888

d =322,188813,1506

= 24, 5 ≈ 25.

Datum dospijeca zamjenske mjenice je 25 dana od datuma dospijeca prve mjenice, dakle 01.03.

9. Dvije zamjenske mjenice cemo odrediti na slijedeci nacin: zbroj njihovih diskontiranih vrijednosti 23.05.mora biti jednak 40000 kn. Za prvu zamjensku mjenicu znamo da ima nominalnu vrijednost X, diskontp = 12 i da dospijeva 01.07., sto je 39 dana od 23.05. (d = 8 + 30 + 1 = 39). Njena diskontirana vrijednost23.05. je

V1 = X ·(

1− 39 · 1236500

)= 0,98718 ·X.

Za drugu zamjensku mjenicu znamo da ima nominalnu vrijednost takoder X, diskont p = 12 i da dospijeva01.08., sto je 70 dana od 23.05. (d = 8 + 30 + 31 + 1 = 70). Njena diskontirana vrijednost 23.05. je

V2 = X ·(

1− 70 · 1236500

)= 0,97699 ·X.

Jer je V1 + V2 = 40000, imamo

40000 = 0,98718 ·X + 0,97699 ·X40000 = 1,96417 ·X

X =40000

1,96417= 20364,84.

Obje zamjenske mjenice moraju biti nominalne vrijednosti 20364,84 kn.

Vjezba 7 - Racun mjenica. Potrosacki kredit.

ZSM - Gospodarska matematika 4

Potrosacki kredit.

Osnovne formule

C - iznos potrosackog kredita, p - postotak udjela u gotovini, P - udjel u gotovini, C1 - stvarni iznos kredita, k -kamatni koeficijent, K - ukupne kamate, C2 - ukupno dugovanje, m - broj mjeseci na koje je kredit odobren, R- mjesecna rata, q - godisnji anticipativni kamatnjak.

Formule koje povezuju gore spomenute velicine:

P = C · p

100, (3)

C1 = C − P, (4)

k =(m + 1) · q

24, (5)

K = C1 · k

100, (6)

C2 = C1 + K, (7)

R =C2

m(8)

C2 = C ·(1− p

100

)·(

1 +k

100

). (9)

Zadaci

1. Iz uvjeta zadatka je poznato da je q = 9, p = 10, m = 6 te C = 5499. Ono sto treba odrediti je P (kolikonovaca Ivica mora imati kod sebe da bi kupio televizor) i R (mjesecna rata). Udjel u gotovini P izracunamokoristeci formulu (3),

P = 5499 · 10100

= 549,90 kn.

Da bi nasli mjesecnu ratu, prema formuli za izracun mjesecne rate (8) trebamo znati broj mjeseci m (stoznamo) i ukupna dugovanja C2, koja ne znamo pa ih treba odrediti.

Za odrediti C2 mozemo korisiti ili formulu (7) ili (9), a mi cemo koristiti (9) jer njom, barem u ovom slucaju,brze stizemo do rezultata. Za primjenu te formule trebamo izracunati kamatni koeficijent k,

k =(6 + 1) · 9

24=

6324

= 2,625,

dok su nam ostale velicine (C i p) zadane. Izracunamo C2,

C2 = 5499 ·(

1− 10100

)·(

1 +2, 625100

)= 5079,01.

Mjesecna rata je R =5079,01

6= 846,50.

2. Iz uvjeta zadatka je poznato q = 6, p = 0, m <= 12 i C = 3400. Treba ispitati kolika je mjesecna rata iako je manja od 300, tada Ivica moze kupiti hladnjak. Kako je rata veca sto je rok otplate kraci, odreditcemo ratu za m = 12 i vidjeti da li ona zadovoljava Ivicine uvjete. Kao i uvijek, za odrediti mjesecnu ratu,trebaju nam ukupna dugovanja C2, a za njih odrediti treba znati kamatni koeficijent k. Lako izracunamoda je

k =(12 + 1) · 6

24=

7824

= 3,25,

pa je C2, prema formuli (9),

C2 = 3400 ·(

1− 0100

)·(

1 +3,25100

)= 3510,50.

Mjesecna rata je R =3510,50

12= 292,54 kn, sto je manje od 300 kn, pa Ivica moze kupiti frizider.

Vjezba 7 - Racun mjenica. Potrosacki kredit.

ZSM - Gospodarska matematika 5

3. Iz uvjeta zadatka je poznato q = 6, p = 0, m = 6 i R = 677, 50. Treba odrediti C (cijenu perilice) i razlikuizmedu novca koji bi Ivica platio ako bi kupio perilicu na potrosacki kredit (a to je C2) i novca koji bi platiokada bi kupio perilicu za gotovinu (a to je C umanjena za 10%).

Za odrediti C koristit cemo ponovo formulu (9), ali da bi nju mogli primjeniti treba odrediti kamatnikoeficijent:

k =(6 + 1) · 6

24=

4224

= 1,75.

Ukupna dugovanja cemo odrediti iz formule za izracun mjesecne rate:

677, 50 =C2

6⇒ C2 = 6 · 677, 50 = 4065.

Kada to uvrstimo u formulu (9) imamo

4065 = C ·(

1− 0100

)·(

1 +1,75100

)= C · 1,0175,

iz cega slijedi C =4065

1,0175= 3995,09 kn. Ako Ivica placa gotovinom, platit ce 10% manje od osnovne

cijene,

3995,09− 10% od 3995,09 = 3995,09− 3995,0910100

= 3595,58 kn.

Eventualnom kupovinom za gotovinu, Ivica bi ustedio 4065− 3595,58 = 469,42 kn.

4. Iz uvjeta zadataka je poznato q = 4, m = 8 i p = 10. Nadalje, kako je maksimalni iznos rate trecina place, uovom slucaju je maksimalni iznos rate R = 1400 kn. Treba odrediti C. Postupak je isti kao u prethodnomzadatku:

• odredimo kamatni koeficijent k =(8 + 1) · 4

24= 1,5,

• iz formule za mjesecnu ratu izracunamo ukupna dugovanja: C2 = 1400 · 8 = 11200 kn,

• koristeci formulu koja povezuje iznos kredita i ukupna dugovanja, dobijemo da je

11200 = C ·(

1− 10100

)·(

1 +1,5100

)= 0,9135 · C,

iz cega slijedi C =112000,9135

= 12260,54 kn.

U slucaju da je rok otplate 20 mjeseci C iznosi 30059,04.

Vjezba 7 - Racun mjenica. Potrosacki kredit.