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Ripassometro di Matematica

classe I

IC ARDEA UNO

IC ARDEA UNO - Ripassometro di Matematica a cura degli alunni della 2° A e del prof. SCARALLO by MATEMATICARDEA.ALTERVISTA.ORG

2017 v 1.0

1

Ripassometro di Matematica I anno

Sommario Elementi geometrici fondamentali .................................................................................................................................. 3

Assiomi : affermazioni che non devono essere provate ....................................................................................... 5

Segmenti consecutivi ..................................................................................................................................................... 7

Segmenti adiacenti ......................................................................................................................................................... 7

Spezzate ........................................................................................................................................................................... 8

Somma di due segmenti ................................................................................................................................................ 8

Differenza di due segmenti ......................................................................................................................................... 9

Multiplo di un segmento ................................................................................................................................................ 9

Sottomultiplo di un segmento .................................................................................................................................... 10

Punto medio di un segmento ...................................................................................................................................... 10

Angolo.................................................................................................................................................................................. 11

Angolo Giro .................................................................................................................................................................... 12

Angolo Piatto ................................................................................................................................................................. 12

Angolo Retto .................................................................................................................................................................. 12

Angolo Acuto .................................................................................................................................................................. 12

Angolo Ottuso ................................................................................................................................................................ 12

Angoli consecutivi ......................................................................................................................................................... 13

Angoli adiacenti............................................................................................................................................................. 13

Angoli complementari .................................................................................................................................................. 13

Angoli supplementari ................................................................................................................................................... 13

Angoli Esplementari ..................................................................................................................................................... 14

Unità di misura degli angoli ........................................................................................................................................ 14

Angoli opposti al vertice ............................................................................................................................................. 15

Posizioni reciproche delle rette.................................................................................................................................... 16

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale ........................................................................................ 18

Triangoli .............................................................................................................................................................................. 21

Altezza .................................................................................................................................................................... 21

Bisettrice ................................................................................................................................................................ 21

Mediana .................................................................................................................................................................. 21

Classificazione dei triangoli in base agli angoli .................................................................................................... 21

Classificazione dei triangoli in base ai lati ............................................................................................................. 22

Triangoli particolari ..................................................................................................................................................... 23


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Punti notevoli di un triangolo ..................................................................................................................................... 24

Criteri di congruenza dei triangoli ............................................................................................................................ 26

Quadrilateri ....................................................................................................................................................................... 27

Trapezio .......................................................................................................................................................................... 29

Parallelogramma ........................................................................................................................................................... 30

Gli Insiemi .......................................................................................................................................................................... 32

Insieme matematico .................................................................................................................................................... 32

Elementi .......................................................................................................................................................................... 32

Rappresentazione di un insieme ............................................................................................................................... 32

Sottoinsiemi ................................................................................................................................................................... 33

Intersezione di due insiemi ........................................................................................................................................ 34

Insiemi dei numeri reali ........................................................................................................................................... 35 (N)

Le quattro Operazioni ..................................................................................................................................................... 36

Addizione ........................................................................................................................................................................ 36

Sottrazione .................................................................................................................................................................... 36

Moltiplicazione .............................................................................................................................................................. 37

Divisione.......................................................................................................................................................................... 38

Espressioni ......................................................................................................................................................................... 38

Potenze ............................................................................................................................................................................... 40

Proprietà delle Potenze: una comoda scorciatoia ................................................................................................ 40

Divisori e Multipli di un numero ..................................................................................................................................... 42

Criteri di divisibilità ...................................................................................................................................................... 43

Due numeri si dicono primi ......................................................................................................................................... 44

Frazioni ............................................................................................................................................................................... 46

L’unità frazionaria: ....................................................................................................................................................... 46

Numero misto................................................................................................................................................................. 47

Ridurre ai minimi termini o semplificare una frazione ........................................................................................ 48

Una frazione si dice irriducibile ................................................................................................................................ 48

Addizione tra frazioni .................................................................................................................................................. 49

Differenza fra frazioni ............................................................................................................................................... 50

Moltiplicazione fra due frazioni ................................................................................................................................ 51

Divisione tra due frazioni ........................................................................................................................................... 52

Potenze di una frazione .............................................................................................................................................. 52


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Elementi geometrici fondamentali

I) Punto : è il primo ente geometrico fondamentale. Indica solo una

posizione sul piano e non ha dimensioni. Si indica con le lettere

dell’alfabeto latino maiuscole (A,B,C,D,E…). Per immaginare un punto,

basta prendere una matita ben appuntita e poggiarla su di un foglio, la

traccia che rimane è un punto.

II) Linea curva : un insieme di punti consecutivi, non allineati, ha una

sola dimensione la lunghezza e si indica con una lettera minuscola

dell’alfabeto latino (r,s,t,…). Per immaginare una linea, basta prendere una

matita ben appuntita e farla scorrere su di un foglio, la traccia che rimane è

una linea.

Le linee possono essere :

Aperta-chiusa intrecciata-aperta chiusa-semplice intrecciata-chiusa

III) La retta : è il secondo ente geometrico fondamentale, un insieme

infinito di punti consecutivi ed allineati, ha una sola dimensione, la

lunghezza. Si indica con le lettere dell’alfabeto latino minuscole

(r,s,t,…). Per avere un’idea di una retta basta pensare ad un filo sottilissimo

e ben teso, che non ha origine né fine; si rappresenta con dei punti

sospensivi all’inizio e alla fine.

_ _ _ __________________________ _ _ _

Retta (r)


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IV) Semiretta : è ciascuna delle due parti congruenti in cui una retta

è divisa da un suo punto. Ha una sola dimensione, la lunghezza. Si

indica con le lettere dell’alfabeto latino minuscole. (E’ la metà di

una retta, ha un inizio ma non ha una fine).

_ _ _ ____________________.___________________ _ _ _

Semiretta (s) Semiretta (t)

Retta (r)

Il punto A ha diviso la retta ( r) in due semirette (s) e (t).

V) Piano : è il terzo ente fondamentale della geometria. Ha due

dimensioni, la lunghezza e la larghezza. E’ un insieme infinto di

rette affiancate le une alle altre. Si indica con una lettera

dell’alfabeto greco minuscola ()

Per immaginare un piano puoi pensare alla lavagna, o anche ad una zattera, con tanti tronchi uniti gli uni agli altri senza lasciare spazio, o a delle matite colorate poste sul banco.


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Assiomi : affermazioni che non devono essere provate

1. Per un punto passano infinite rette, che formano un fascio di rette

o anche detto stella di rette

A

2. Per due punti passa una ed una sola retta.

A B

Come si vede in figura solo la retta di colore verde passa per i punti A e B .

3. Per tre o più punti allineati passa una ed una sola retta.

A B C

4. Per tre o più punti non allineati non passa nessuna retta.

A C

B


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5. Per una retta passano infiniti piani, che formano una fascio di piani

o anche un cilindro di piani. Nota bene: per tre o più punti allineati passano infiniti piani, perché i punti allineati appartengono ad una stessa retta.

6. Per tre o più punti non allineati passa uno ed un solo piano.

A

C

B


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VI. Il segmento è una parte di una retta delimitata da due punti detti

estremi del segmento. Il segmento ha una sola dimensione e si indica con le lettere che indicano gli estremi ed un trattino sopra. Il segmento

ha un inizio ed una fine.

A B

In figura si vede il segmento che è una parte della retta ( r )

Segmenti consecutivi

Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estremo in comune.

A C

B

In figura si vede che i segmenti 𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅e 𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅hanno l’estremo B in comune.

Segmenti adiacenti

Due segmenti si dicono adiacenti quando, oltre ad avere un estremo in comune, giacciono sulla stessa retta.

Retta r

A B C

In figura si vede che i segmenti 𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅e 𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅hanno l’estremo B in comune, e giacciono

sulla stessa retta ( r ) ( cioè appartengono alla stessa retta r). Nota bene: due segmenti adiacenti sono anche consecutivi, due segmenti consecutivi non sono adiacenti.


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Spezzate

La spezzata è un insieme di due o più segmenti consecutivi. Le spezzate

possono essere:

Aperta intrecciata chiusa intrecciata chiusa

(usa il metro del muratore per costruire le diverse spezzate)

Somma di due segmenti 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ + 𝑪𝑫̅̅ ̅̅

Per sommare due segmenti li dobbiamo rendere adiacenti.

A_______________________B C___________D

A__________________________________D

B≡C

I punti B e C ora coincidono (≡) e si forma un nuovo segmento detto

somma, con estremi 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ .


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Differenza di due segmenti 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ – 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝑫𝑩̅̅̅̅̅

Per eseguire la differenza di due segmenti dobbiamo sovrapporre i due

segmenti, in modo da far coincidere gli estremi A e C (quelli a sinistra).

La parte del segmento più lungo che eccede (cioè che è in più non è

coperta) è la differenza.

A_______________________B

C___________D Il segmento 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ viene sovrapposto

sul segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ; 𝑫𝑩̅̅̅̅̅ è la differenza.

A≡C D B

Multiplo di un segmento

Per ottenere un multiplo di un segmento basta addizionare il segmento

a sé stesso, due o più volte in modo da ottenere il doppio, il triplo, il

quadruplo, il quintuplo….del segmento considerato.

A B ___ ___

C D CD = 2 AB

__ __

E __ __ __ F EF = 3 AB

CD è il doppio di AB, EF è il triplo di AB


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Sottomultiplo di un segmento

Per ottenere il sottomultiplo di un segmento basta dividerlo in due o più

parti uguali.

Se viene diviso in due parti uguali, ogni parte equivale alla metà. Se

viene diviso in tre parti uguali ogni parte equivale ad un terzo e cosi

via…

Se ho la frazione che mi indica il segmento sottomultiplo, ad esempio 1

4

vuol dire che devo dividere il segmento in quattro parti e devo

prenderne una.

A B

Il segmento AB viene diviso in quattro parti uguali

A __ __ B

Una parte di AB corrisponde al segmento sottomultiplo CD

C D

Punto medio di un segmento

E’ il punto che divide in due parti congruenti (uguali) un segmento, cioè

lo divide a metà.

A __ __ M B

Si può anche scrivere AM = MB, cioè le due parti che si ottengono sono

congruenti (uguali).


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Angolo E’ una parte di piano delimitata da due

semirette, dette lati dell’angolo, aventi la

stessa origine, detta vertice dell’angolo.

Due semirette in realtà individuano due

angoli, detti concavo e convesso. L’angolo

concavo contiene i prolungamenti dei lati,

quello convesso non li contiene.

La bisettrice di un angolo è la semiretta

che divide l’angolo in due parti congruenti.

Nella figura accanto, l’angolo è stato

diviso in due angoli congruenti, per cui

= 2 x

L’angolo è stato diviso a metà in due angoli detti


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12

Angolo Giro: un angolo si dice giro quando è

formato da due semirette (lati) sovrapposte; vale

360°. I due lati sono uno sull’altro, sembrano uno solo

ma in realtà ne sono due (pensa all’orologio quando segna le 12, le due lancette sono una sull’altra).

Angolo Piatto: un angolo si dice piatto

se i suoi lati sono semi-rette opposte,

cioè giacciono sulla stessa retta. Vale

la metà di un angolo giro, cioè 180° (pensa all’orologio quando segna le ore 6).

Angolo Retto: un angolo retto è formato da due

lati che sono perpendicolari fra loro; è la metà di

un angolo piatto e misura 90°. L’angolo retto si

disegna con un quadratino! (pensa all’orologio quando segna le ore 3)

Angolo Acuto: un angolo si dice acuto quando è

maggiore dell’angolo di 0° e minore dell’angolo

retto 0°< < 90°.

Angolo Ottuso: un angolo si dice ottuso quanto è

maggiore di un angolo retto ed è minore dell’angolo

piatto 90°< < 180°


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13

Angoli consecutivi : due angoli si dicono consecutivi

se hanno il vertice e una semiretta (lato) in comune.

Angoli adiacenti : due angoli si dicono

adiacenti se hanno il vertice e una

semiretta (lato) in comune, e le semirette

(lati) non in comune sono opposte, cioè

giacciono sulla stessa retta.

Angoli complementari: due angoli si dicono

complementari quando la loro somma è un

angolo retto. Due angoli complementari sono

anche consecutivi. ( + = 90°)

Angoli supplementari: due angoli si

dicono supplementari quando la loro

somma è un angolo piatto. Due angoli

adiacenti sono sempre anche supplementari.

( + = 180°).


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Angoli Esplementari: due angoli si dicono

esplementari quando la loro somma è un angolo

giro ( + = 360°).

Unità di misura degli angoli

L’angolo grado o più semplicemente 1° è la trecentosessantesima parte

dell’angolo giro, cioè prendi un angolo giro e lo dividi in 360 parti, una

parte è 1° .

Lo strumento per misurare gli

angoli è il goniometro. Su di un

goniometro sono riportate due

scale, una interna ed una esterna

da 0° a 360°. Al centro c’è una

croce disegnata con un piccolo

foro. Per misurare un angolo

dobbiamo:

1) Far coincidere il vertice

dell’angolo con il foro

centrale del goniometro

2) Dobbiamo far corrispondere

una semiretta (lato)

dell’angolo con lo zero di una delle due scale, cioè con una delle

righe che forma la croce centrale. In questo caso usiamo la

scala interna.

3) A questo punto leggiamo il numero indicato dalla seconda

semiretta, in questo esempio l’angolo misura 39°.


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15

Angoli opposti al vertice

Due angoli sono opposti al vertice se i lati sono i prolungamenti dei lati

dell’altro angolo. Gli angoli opposti al vertice sono congruenti.

Quindi = e =


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Posizioni reciproche delle rette

Due rette sono incidenti se hanno in

comune un solo punto.

Due rette sono coincidenti se hanno

tutti i punti in comune (cioè le rette

sono sovrapposte l’una all’altra come si

vede nella figura accanto).

Due rette sono parallele se non hanno

nessun punto in comune. (non si

incontrano mai, pensa ai binari del

treno).

Due rette sono perpendicolari o

ortogonali quando hanno un punto

in comune (sono incidenti) e

formano quattro angoli congruenti,

cioè di 90°. (pensa alla croce)


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Asse di un segmento

È la retta perpendicolare al segmento

che passa per il punto medio del

segmento stesso.

Ogni punto dell’asse è

equidistante dagli estremi del

segmento. Ad esempio i punti C e

D dell’asse sono equidistanti dagli

estremi A e B.


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Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale Due rette tagliate da una trasversale formano 8 angoli, che considerati

a coppie prendono lo stesso nome, a secondo della loro posizione.

3 e 6 4 e 5 Angoli alterni interni

1 e 8 2 e 7 Angoli alterni esterni 1 e 5 2 e 6 Angoli corrispondenti 3 e 7 4 e 8 Angoli corrispondenti 3 e 5 4 e 6 Angoli coniugati interni 1 e 7 2 e 8 Angoli coniugati esterni

Se le rette tagliate sono anche parallele, allora otteniamo coppie di

angoli congruenti e o supplementari

3 e 6 4 e 5 congruenti




3 e 5 4 e 6 supplementari 1 e 7 2 e 8 supplementari


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I poligoni

Il poligono è una figura piana

formata da una linea spezzata

chiusa. I segmenti di cui è

composta tale linea sono detti

lati.

Il perimetro è la somma di

tutti i lati di un poligono, si

ottiene sommando i lati e si

indica con (2p).

Il semiperimetro è la metà del

perimetro e si indica con la

lettera (p).

Le diagonali di un poligono sono i segmenti che uniscono due vertici non

consecutivi; il numero delle diagonali si calcola con la seguente formula:

n x (n-3) : 2 dove n = numero lati. N.B.= il triangolo non ha diagonali!

L’angolo interno è formato da due lati consecutivi. Vedi l’angolo .

La somma degli angoli interni di un poligono si calcola con la seguente

formula: (n-2) x 180° ove n è il numero dei lati

L’angolo esterno è formato da un lato e dal prolungamento del lato

consecutivo. Vedi l’angolo La somma di tutti gli angoli esterni per

qualsiasi poligono è 360°.

Ogni angolo esterno al poligono è supplementare al relativo angolo

interno. =180°


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20

Un poligono si dice equiangolo se ha tutti gli angoli uguali, vedi il

rettangolo.

Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati uguali, vedi il rombo.

Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati e gli angoli uguali (ad

esempio triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare …), in caso

diverso si dice irregolare.

Di conseguenza un poligono regolare è equilatero ed equiangolo.

I poligoni possono essere convessi o concavi.

Figura A Figura B

I poligoni convessi hanno tutti angoli interni convessi, e sono quelli a te

familiari: triangolo, quadrato, rettangolo, rombo, pentagono regolare,

esagono reglare etc…Prolungando i lati del poligono con delle rette,

queste non lo tagliano. Vedi figura A

Un poligono si dice concavo quando ha un angolo interno concavo; si

riconoscono facilmente perché prolungando tutti i lati con delle rette,

alcune di esse tagliano il poligono. Vedi figura B


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Triangoli 1. Sono poligoni di tre lati e tre angoli.

2. La somma degli angoli interni è di 180°.

3. Un lato non può essere maggiore della somma degli altri due.

4. Sono figure indeformabili

5. Non hanno diagonali

6. Sono caratterizzati da tre elementi notevoli:

Altezza, è il segmento di perpendicolare che parte da un

vertice e scende sul lato opposto

Bisettrice, è il segmento che divide un angolo in due parti

congruenti e giunge al lato opposto

Mediana, è il segmento che congiunge un vertice con il punto

medio del lato opposto

Classificazione dei triangoli in base agli angoli Triangolo

acutangolo Triangolo

ottusangolo Triangolo rettangolo

Ha tutti gli angoli

interni acuti.

Ha un angolo ottuso e due angoli acuti

Ha un angolo retto; i lati che formano l’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto è detto ipotenusa


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Classificazione dei triangoli in base ai lati Triangolo Scaleno Triangolo Isoscele Triangolo Equilatero

Ha tutti i lati e gli

angoli diversi.

Ha due lati uguali, detti obliqui, ed uno diverso detto base. Ha anche

due angoli uguali, detti alla base, perché sono

adiacenti alla base.

Ha tutti i lati e gli angoli uguali (60°), di

conseguenza è un triangolo acutangolo

ed è un poligono regolare.

Angoli alla base

Le altezze, le mediane, le bisettrici

sono diverse fra i lati.

Le altezze, le mediane e le bisettrici relative

ai lati obliqui sono uguali.

L’altezza relativa alla base è anche mediana

e bisettrice.

Le tre altezze, mediane e bisettrici

sono uguali e coincidono. Quindi

ogni altezza è anche bisettrice e mediana.

Il perimetro si

calcola sommando tutti i lati.

Il perimetro si calcola sommando alla base il

doppio del lato obliquo.

Il perimetro si calcola moltiplicando

il lato per 3.

Altezza,

mediana e

bisettrice


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23

Triangoli particolari

Triangolo rettangolo isoscele

ha un angolo retto, i due cateti sono

uguali e gli angoli alla base (ipotenusa)

sono anch’essi uguali (45°).

Pensa alla squadretta di 45°.

Triangolo ottusangolo isoscele

l’angolo disuguale è ottuso, gli

angoli alla base sono congruenti e

acuti.

Triangolo acutangolo isoscele

è un triangolo isoscele con tutti gli angoli acuti

base o ipotenusa

base

base


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24

Punti notevoli di un triangolo

Ortocentro

È il punto d’incontro delle tre altezze Triangolo acutangolo Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo

Tutte le altezze e l’ortocentro sono

interne al triangolo.

Le altezze coincidono con i cateti e

l’ortocentro coincide con il vertice

dell’angolo retto.

L’ortocentro è esterno al triangolo; solo l’altezza

relativa all’angolo ottuso è interna, le altre due sono

esterne.

Baricentro È il punto d’incontro delle tre mediane. E’ sempre interno al triangolo


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Incentro È il punto d’incontro delle tre bisettrici.

E’ sempre interna al triangolo, ed è equidistante dai lati

Circocentro È il punto d’incontro dei tre assi dei lati di un triangolo.

E’ interno nel

triangolo

acutangolo

E’ esterno nel triangolo

ottusangolo

Nel triangolo rettangolo coincide con il punto medio

dell’ipotenusa


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26

Criteri di congruenza dei triangoli

I criterio : due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo

compreso congruenti

II Criterio : due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli

ad esso adiacenti congruenti tra loro

III Criterio : due triangoli sono congruenti se hanno tutti i tre lati

congruenti


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27

Quadrilateri 1. Sono poligoni di quattro lati e quattro angoli. 2. La somma degli angoli interni è 360°. 3. Un lato non può essere maggiore della somma degli tre. 4. Hanno due diagonali 5. I quadrilateri sono figure deformabili

Classificazione dei quadrilateri

Il trapezio è un quadrilatero, perché ha quattro lati; come

caratteristica propria ha due lati paralleli, detti base maggiore

e base minore

Il parallelogramma è un quadrilatero, perché ha quattro lati; è

un trapezio, perché ha due lati paralleli; come caratteristica

propria ha i lati opposti paralleli e uguali.

Il rettangolo è un quadrilatero, perché ha quattro lati; è un

trapezio, perché ha due lati paralleli; è un parallelogramma

perchè ha i lati opposti paralleli e uguali. Come caratteristica

propria ha i quattro angoli interni uguali (90°) , quindi è

equiangolo.

Il rombo è un quadrilatero, perché ha quattro lati; è un



propria ha i quattro lati uguali, quindi è equilatero.


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28

Il quadrato è un quadrilatero, perché ha quattro lati; è un



propria ha i quattro lati e i quattro angoli interni uguali, quindi è

equilatero e equiangolo, cioè è un poligono regolare.


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29

Trapezio

- Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono

supplementari

Trapezio scaleno: ha tutti i lati e gli

angoli diversi.

Trapezio rettangolo: un lato è

perpendicolare alle due basi, per cui ha

due angoli retti. Il lato perpendicolare alle

basi è congruente all’altezza.

Trapezio isoscele:

ha i lati obliqui congruenti

gli angoli alla base maggiore congruenti

gli angoli alla base minore congruenti

le due diagonali congruenti

le proiezioni dei lati obliqui sulla base

maggiore congruenti


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Parallelogramma I lati opposti sono congruenti

Gli angoli opposti sono congruenti

Gli angoli adiacenti allo stesso lato

sono fra loro supplementari

Il perimetro si calcola :

2p = (𝐀𝐁̅̅ ̅̅ + 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ ) x 2

Rettangolo

I lati opposti sono uguali

Tutti gli angoli interni sono

retti (equiangolo)

Le diagonali sono uguali e si

dividono scambievolmente a

metà

Il perimetro si calcola :

2p = (𝐀𝐁̅̅ ̅̅ + 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ ) x 2

Rombo Tutti i lati congruenti (equilatero)

Gli angoli opposti congruenti

Le diagonali sono :

perpendicolari

si dividono scambievolmente a metà

sono bisettrici degli angoli interni

Il perimetro si calcola : 2p = lato x 4


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Quadrato Tutti i lati congruenti (equilatero)

Tutti gli angoli retti (equiangolo)

E’ un poligono regolare

Le diagonali sono:

perpendicolari fra loro

congruenti

si divisono scambievolmente a metà

sono bisettrici degli angoli interni

Il perimetro si calcola : 2p = lato x 4


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32

Gli Insiemi Insieme matematico : è un gruppo di persone, animali o oggetti con una

qualità in comune (cioè è possibile dire con certezza se appartengono a

questo raggruppamento grazie ad una precisa regola, oggettiva, non

legata al singolo soggetto).

Elementi : gli elementi sono le persone, gli animali e/o gli oggetti che

appartengono all’insieme

Il simbolo che ci dice se un elemento appartiene all’insieme è ()

Il simbolo che ci dice se un elemento non appartiene all’insieme è ()

Rappresentazione di un insieme

1. Per Elencazione : gli elementi sono semplicemente elencati, tra

parentesi graffa e in lettere minuscole

2. Per Caratteristica: si scrive la caratteristica che accomuna gli

elementi di quell’insieme

3. Con un Diagramma di Eulero-Venn, si disegna un ovale, e gli

elementi si scrivono al suo interno scrivendoli con le lettere

minuscole e mettendo un punto vicino all’elemento

Esempio, l’insieme delle lettere della parola cane nei tre modi:

per Elencazione A= {𝑐, 𝑎, 𝑛,𝑒}

per Caratteristica A={𝑥|𝑥 è 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑒}

con il diagramma di Eulero - Venn

Un insieme si dice vuoto quando non ha


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elementi e si scrive A= { } oppure A =

Un insieme si dice finito se i suoi elementi sono finiti ( possono essere tantissimi

ma non sono infiniti), si dice infinto se i suoi elementi sono infinti.

Sottoinsiemi : un insieme si dice sottoinsieme di un altro (o è contenuto

in esso) quando tutti gli elementi del primo sono contenuti nel secondo. Ad esempio: l’insieme A delle lettere della parola cane è un sottoinsime

dell’insieme B, lettere della parola canneto

In figura vediamo quiundi che tutti gli elementi di A sono contenuti in B

In insiemistica si scrive che A è un sottoinsieme di B, o anche che B è contenuto in

A con questo simbolo : B A

dove si legge, è un sottoinsieme di… o cotenuto in…

A destra vediamo la rappresentazione di

Eluero-Venn B A


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34

Intersezione di due insiemi L’intersezione fra due insiemi, A e B, è un terzo insieme costituito dagli elementi

comuni ad A e B, e si scrive che AB = C

A B

Due insiemi si dicono disgiunti, quando l’intersezione è vuota, cioè i due insiemi

non hanno elementi in comune (gli insiemi sono separati).

C = AB =

A B


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35

Insiemi dei numeri Naturali (N) 1. I numeri naturali sono quelli che servono per contare

2. Viene indicato cola la lettera N={0,1,2,3,4,5,6. . . }

3. È Infinito : infatti dato un numero grandissimo, per avere il

successivo basta aggiungere un unità e avrò un numero più grande;

questa operazione si può ripetere all’infinito, per cui i numeri sono

infiniti.

4. E’ Ordinato : dati due numeri si può sempre dire chi è il più grande

e chi il più piccolo, o se sono uguali. Infatti disponendo i numeri su

di una retta orienatata, quallo che sta più a destra è quello più

grande.

precedente numero successivo n-1 n n+1

n - 1 < n < n + 1

Un generico numero pari si scrive con P=2n, infatti un numero qualsiasi

moltiplicato per 2, dà sempre un numero pari.

Un numero dispari si indica con D=2n+1; infatti moltiplicando n x 2

ottengo un numero pari, aggiungendo un’unità ottengo il successivo di un

numero pari che è sempre un numero dispari.

Schema della somma fra numeri P e D

+ P D

P P D D D P

Schema del prodotto fra numeri P e D

X P D

P P P D P D


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36

Le quattro Operazioni

Addizione : è l’operazione aritmetica che dati due numeri, detti

addendi, consiste nell’aggiungere al primo addendo tante unità quante

ne indica il secondo addendo. Il risultato si dice somma.

L’addizione è sempre possibile eseguirla con i numeri naturali

L’elemento neutro dell’addizione è lo 0, infatti addizionando ad un

numero lo 0 otteniamo il numero di partenza.

Proprietà dell’addizione

Commutativa Cambiando l’ordine degli

addendi la somma non cambia 2 + 4 = 4 + 2

Associativa La somma non cambia se

sostituiamo due o più addendi con la loro somma

4 + 3 + 5 = 7 + 5

Dissociativa

La somma non cambia se sostituiamo un’addendo con due

o più numeri la cui somma dà l’addendo sostituito

1 + 1 + 1 + 5 = 3 + 5

Sottrazione : è l’operazione aritmetica che dati due numeri, detti

minuendo e sottraendo, ne associa un terzo detto differenza che

sommato al sottraendo dà il minuendo. Il risultato si dice differenza.

5 – 3 = X qual è quel numero che sommato a 3 ci dà 5? DUE! 5 – 3 = 2

La sottrazione non è sempre possibile eseguirla con i numeri

naturali, infatti il minuendo deve essere più grande del sottraendo

L’elemento neutro della sottrazione è lo 0, infatti sottraendo a un

numero lo 0 otteniamo il numero di partenza.

Proprietà della sottrazione

Invariantiva

Aggiungeno o sottraendo lo stesso nymero al minuendo

e al sottraendo la differenza non cambia

5 - 3 = (5+2) - (3+2) = 7-5

5 - 3 = (5-2) - (3-2) = 3 -1


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Moltiplicazione : è l’operazione aritmetica che dati due numeri,

detti fattori, consiste nell’aggiungere al primo fattore tanti addendi a

sè stessi quante volte ne indica il secondo fattore. Il risultato si dice

prodotto. E’ una somma con gli addendi uguali 5 x 3 = 5 + 5 + 5 La moltiplicazione è sempre possibile eseguirla con i numeri naturali

L’elemento neutro della moltiplicazione è 1, infatti moltiplicando un

numero per 1 otteniamo il numero di partenza.

Proprietà della Moltiplicazione

Commutativa Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia

2 X 4 = 4 X 2

Associativa Il prodotto non cambia se sostituiamo due o più fattori con il loro prodotto

4 X 3 + 5 = 12 X 5

Dissociativa

Il prodotto non cambia se sostituiamo un fattore con due o più fattori il cui prodotto dà il fattore sostituito

6 X 4 = 3 X 2 X 4

Distributiva

Per moltiplicare una somma o una differenza per un numero, si può moltiplicare ogni termine dell’addizione o della differenza per quel numero e sommare o sottrarre i risultati

(6+2)x3 = 6x3 + 2x3 (6-2)x3 = 6x3 - 2x3


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Divisione : è l’operazione aritmetica che dati due numeri, detti

dividendo e divisore, ne esiste un terzo detto quoziente che

moltiplicato col divisore dà il dividendo. Il risultato si dice quoziente.

10 : 2 = X qual è quel numero che moltiplicato per 2 ci dà 10?

Cinque! 2 x 5 = 10 quindi 10 : 2 = 5

La divisione è sempre possibile eseguirla con i numeri naturali

L’elemento neutro della divisione è 1, infatti dividendo un numero

per 1 otteniamo il numero di partenza.

Proprietà della Divisione

Invariantiva

Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero il dividendo e il divisore, il quoziente non cambia

8 : 2 = (8X3) : (2x3) = 24 : 6

10 : 2 = (10:2) : (2:2) = 5 : 1

Distributiva

Per dividere una somma o una differenza per un numero, si può dividere ogni termine dell’addizione o della differenza per quel numero e sommare o sottrarre i risultati

(6+2) : 3 = 6 : 3 + 2 : 3

(6-2) : 3 = 6 : 3 – 2 : 3


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Espressioni Un’espresione è una successione di numeri legeti fra loro dalle quattro

operazioni aritmetiche, per calcolare il valore dell’espressione

dobbiamo seguire le seguenti regole:

1. Si eseguono prima le operazioni all’interno delle parentesi tonde,

poi quelle all’interno delle parentesi quadre ed infine all’interno

delle parentesi graffe.

2. Moltiplicazioni e divisioni vanno svolte sempre prima delle

addizioni e delle sottrazioni

3. Moltiplicazioni e divisioni hanno la stessa importanza, quindi vanno

svolte le operazioni che precedono, cioè quelle che stanno più a

sinistra

4. Addizioni e sottrazioni hanno la stessa importanza, quindi vanno

svolte le operazioni che precedono, cioè quella che stanno più a

sinistra

𝟏𝟓 𝐱 𝟑 - 2 x (𝟏𝟏 − 𝟑+2) + 𝟕𝐱 𝟐 – 𝟏𝟖 ∶ 𝟑 x 2

45 – 2 x (𝟖 + 𝟐) + 14 – 𝟔 𝐱 𝟐

45 – 2 x 10 + 14 -12

𝟒𝟓 – 𝟐𝟎 + 14 – 12

𝟐𝟓 + 𝟏𝟒 -12

39 – 12 = 27


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Potenze L’elevamento a potenza è l’operazione aritmetica che associa due

numeri detti base ed esponente ad un terzo numero detto potenza che

si ottiene moltiplicando la base per sé stessa quante volte indicata

dall’esponente: 52= 5 x 5= 25 23= 2 x 2x 2 = 8 33= 3 x 3 x 3 = 27

52= 25 Proprietà delle Potenze: una comoda scorciatoia

Prodotto di due potenze con la stessa base

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la

stessa base e per esponente la somma degli esponenti 53 X 52 = 5(3+2) = 55

Divisione di due potenze con la stessa base

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la

stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

45 : 42 = 4(5-2) = 43

Prodotto di due potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che

ha per base il prodotto delle basi (moltiplica le basi) e per esponente

lo stesso esponente 23 X 33 = (2x3)3 = 63

Divisione di due potenze con lo stesso esponente

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che

ha per base il quoziente delle basi (fai la divisione fra le basi) e per

esponente stesso esponente 152 : 32 = (15 : 3)2 = 52

Potenza di potenza La potenza di potenza è una potenza che ha per

base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti (come

se facessi più volte la potenza alla stessa base). [(2)2]3 = 2(2x3) = 26


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41

Regole pratiche delle potenze, dobbiamo osservare due regole

pratiche

1. Le proprietà si applicano solo se ci sono moltiplicazioni e divisioni

tra potenze, se ci sono addizioni o sottrazioni non si può applicare

nessuna proprietà

2. Devono essere uguali o le basi o gli esponenti

3. Si lavora su ciò che è diverso, mentre ciò che è uguale non cambia

Esempio 1

53 X 52= vediamo se sono rispettate le condizioni 1 e 2

i) C’è la Moltiplicazione 53 X 52

ii) Qualcosa di uguale? Stessa base 53 X 52

Su cosa operiamo? Sugli esponenti e la base rimane sempre la stessa

Esempio 2

33 - 32 = vediamo se sono rispettate le condizioni 1 e 2

i) C’è la sottrazione 33 - 32

Mi fermo! Non posso applicare le proprietà!!!!!

Ma perché devo impararle?

Prova a fare 29: 28, escono numeri enormi.

Invece applicando le proprietà 29: 28 = 2(9-8) = 21 = 2


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42

Divisori e Multipli di un numero

I multipli di un numero sono tutti quei numeri che si ottengono

moltiplicando quel numero per tutti i numeri narturali (pensa alle

tabelline).

Ad es. i mulipili di 3 si ottengono 3x0, 3x1, 3x3, 3x4, 3x5, 3x6 e sono

0, 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21...

I multipli di un numero sono infiniti, perché i numeri naturali sono

infiniti.

Il divisore di un numero a è quel numero b per il quale la divisione a:b dà resto zero, cioè la divisione si dice esatta.

I divisori di un numero sono finiti.

Ad esempio i divisori di 12 sono D(12)=1, 12, 2. 3. 4, 6 perché se

eseguiamo la divisione il resto delle divisioni sono sempre 0.

I divisori banali di un numero sono il numero stesso e 1; quindi con 12

sono 1 e 12. Sono detti banali perché un numero è sempre divisibile per

1 e sé stesso!

Un numero primo è divisibile solo per sé stesso e per 1; di conseguenza

1 e 0 non sono numeri primi. I numeri primi sono infiniti, di seguito

abbiamo i primi numeri primi. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Un numero composto è divisibile oltre che per 1 e sè stesso, anche per

altri numeri. Ad esempio 12 è un numero composto perché divisibile per

1, 12, 2, 3, 4, 6.


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43

Criteri di divisibilità

2 Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra decimale è pari, vale a dire 0, 2, 4, 6, 8

3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3, 6 o

9. Nel caso tale somma sia un numero maggiore di 9, si può

eseguire di nuovo l'operazione.

Quindi ad esempio sommando le cifre di 493.827 ottengo 33, da

cui 3+3 = 6.

5 Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra è 5 o 0

11

Un numero è divisibile per 11 se, contando da destra verso

sinistra, la differenza (in valore assoluto) tra la somma delle sue

cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari dà

come risultato 0, 11 o un multiplo di 11. Ad esempio,

"8.291.778" è divisibile per 11 perché: (8+7+9+8)-(7+1+2) = 32-

10 = 22.

https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_pari_e_dispari


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44

Per calcolarlo,

1) Si esegue la scomposizione in fattori primi

2) Si prendono i fattori della scomposizione in fattori primi, solo comuni, una volta sola, con l’esponente più basso, e poi si moltiplicano:

12 2 18 2 12 = 22 x 3

6 2 9 3 18 = 2 x 32

3 3 3 3 MCD(12,18) = 6

1 1

Fra 2 e 22 si prende 2; fra 3 e 32 si prende 3 MCD = 2 x 3 = 6

Due numeri si dicono primi fra loro quando il loro MCD è 1. (non hanno altri divisori oltre 1)


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45

Per calcolarlo,

3) Si esegue la scomposizione in fattori primi

4) Si prendono i fattori della scomposizione in fattori primi,

comuni e non comuni, una volta sola, con l’esponente più alto, e

poi si moltiplicano:

12 2 18 2 12 = 22 x 3

6 2 9 3 18 = 2 x 32

3 3 3 3 mcm(12,18) = 36

1 1

Fra 2 e 22 si prende 22; fra 3 e 32 si prende 32 mcm = 22x32 = 4x9 =36


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46

Frazioni

La frazione è l’operatore attraverso cui

dividiamo l’intero in tante parti uguali D e ne

consideriamo N parti

Una frazione può essere considerata come il quoziente fra il suo

numeratore e denominatore; in pratica dividiamo numeratore e

denominatore, il risultato rappresenta la frazione come divisone. 𝟏

𝟐= 𝟎, 𝟓

𝟕

𝟐= 𝟑, 𝟓

𝟏𝟐

𝟓= 𝟐, 𝟒

Frazione nulla

Frazione impossibile

Frazione indeterminata

𝟎

𝟐

𝟓

𝟎

𝟎

𝟎

L’unità frazionaria: rappresenta una delle parti uguali in cui l’intero è

stato diviso; il numeratore è sempre l’unità. Ad esempio 𝟏

𝟑 𝟏

𝟔

𝟏

𝟏𝟐

𝟏

𝟏𝟐𝟐

Due frazione si dicono complementari quando la loro somma forma

l’intero: 𝟐

𝟑+𝟏

𝟑=𝟑

𝟑

Quindi una frazione complementare di un’altra si ottiene sottraendo

all’intero la seconda frazione.


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47

Frazione

propria

Il numeratore è piu piccolo del

denominatore. La frazione è

sempre più piccola dell’unità

Frazione

impropria

Il denominatore è più piccolo del

numeratore; è sempre più

grande dell’unità

Frazione

apparente

Il numeratore è un multiplo del

denominatore; rappresenta in

realtà un numero intero

Numero misto è una forma diversa per scrivere una frazione impropria;

è formato da una parte intera e da una frazione propria: 𝟕

𝟑= 𝟐 +

𝟏

𝟑

Scriviamo la linea dei numeri e dividiamo l’intero in tante parti quante

indicate dal denominatore, cioè 3; ogni trattino indica un’unità

frazionaria, cioè 1

3 , la successiva

1+1

3=

2

3 e così via… quando

arriviamo a 7

3 vediamo che contiene 2 interi e

1

3


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48

Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano la stessa

quantità ma sono scritte con numeratori e denominatori diversi.

Ad esempio 𝟐

𝟑=𝟒

𝟔

Nota che i due rettangoli sono uguali, divisi in maniera diversa ma alla

fine la parte colorata è la stessa.

Ridurre ai minimi termini o semplificare una

frazione vuol dire trasformarla in una frazione

equivalente i cui numeratori e denominatori sono

primi fra loro; in pratica dividiamo numeratore e

denominatore per i divisori comuni, fin quando

numeratore e denominatore diventano numeri primi fra

loro. In questo caso abbiamo diviso N e D per 6.

Una frazione si dice irriducibile quando numeratore e denominatore

sono primi fra loro.

Confronto fra frazioni Una frazione propria è sempre minore

1. dell’unità, 2. di qualsiasi frazione impropria. 3. di qualsiasi frazione apparente

Fra due frazioni con lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore maggiore

𝟐

𝟓<𝟑

𝟓

Fra due frazioni con lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha il denominatore minore

𝟓

𝟐>𝟓

𝟑


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49

Addizione tra frazioni La somma di due o più frazioni, che hanno lo stesso denominatore, è

una nuova frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e

per numeratore la somma dei numeratori: 𝟗

𝟓+𝟏𝟑

𝟓=

𝟗+𝟏𝟑

𝟓=

𝟐𝟐

𝟓

Per addizionare due o più frazioni che non hanno lo stesso

denominatore ad esempio 𝟑

𝟒+𝟐

𝟔, dobbiamo portarle allo stesso

denominatore, calcolando il mcd (minimo comun denominatore):

1. Calcola mcm tra i due denominatori, in questo caso mcm(4,6) = 12

2. Scrivi una linea di frazione lunga e metti sotto mcm appena

calcolato

𝟏𝟐

3. Ora devi calcolare i nuovi numeratori di 𝟑

𝟒+𝟐

𝟔 in questo modo:

dividiamo mcm per il denominatore poi moltiplichiamo il risultato

per il numeratore

quindi per la prima frazione 12: 4 x 3 = 9,

per la seconda frazione avremo 12 : 6 X 2 = 4

4. Quindi alla fine avremo 𝟗+𝟒

𝟏𝟐 , svolgendo l’operazione con i due

numeratori otteniamo 𝟗+𝟒

𝟏𝟐 =

𝟏𝟑

𝟏𝟐


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50

Differenza tra frazioni

La differenza di due o più frazioni, che hanno la stesso denominatore,

è una nuova frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore

e per numeratore la differenza dei numeratori: 𝟏𝟕

𝟓−𝟏𝟑

𝟓=

𝟏𝟕−𝟏𝟑

𝟓=

𝟒

𝟓

Per sottrarre due o più frazioni che non hanno lo stesso denominatore

ad esempio 𝟑

𝟒−𝟐

𝟔, dobbiamo portale tutte allo stesso denominatore,

calcolando il mcd (minimo comun denominatore), quindi procediamo

come visto prima con la somma: 3

4−2

6=

9−4

12 =

5

12


2017 v 1.0

51

Moltiplicazione tra due frazioni Si moltiplica fra loro i due numeratori e i due denominatori:

𝐍

𝐃 𝐱 𝐍

𝐃=𝐍 𝐱 𝐍

𝐃 𝐱 𝐃 cioè

3

4 x 2

6=3x2

4x6=6

24

Prima di moltiplicare N x N e D x D, dobbiamo eseguire, se possibile, la

semplificazione crociata, cioè andiamo a vedere se in numeratore della

prima frazione ha divisori in comune con il denominatore della seconda

frazione e li semplifichiamo fino a ridurli ai minimi termini.

9

4 X

2

6

9 e 6 sono divisibili entrambi per 3 quindi diventano

3

4 X

2

2

Ora vediamo se è possibile eseguire la semplificazione crociata tra il

denominatore della prima frazione e il numeratore della seconda

frazione 3

4 X

2

2

Il 4 e il 2 sono divisibili entrambi per due quindi avremo:

3

2 X

1

2

Ora che abbiamo semplificato in modo crociato le due frazioni possiamo eseguire

la moltiplicazione 3

2 x 1

2=

3x1

2 x 2=3

4


2017 v 1.0

52

Divisione tra due frazioni

Basta trasformare la divisone in moltiplicazione ed eseguirla come se

fosse una moltiplicazione:

1. Cambia l’operazione da (:) a (x) 2. Capovolgi solo la seconda frazione

3. Esegui ora la moltiplicazione ottenuta

9

2∶3

4=9

2 x 4

3= ⋯

Potenze di una frazione Si eseguono separatamente le potenze del numeratore e del

denominatore.

(2

3)3

=23

33= 2 𝑥 2 𝑥 2

3 𝑥 3 𝑥 3= 8

27

Per quanto riguarda le proprietà sono valide quelle studiate

precedentemente.


2017 v 1.0

53

Schema risolutivo dei problemi di Geometria

I caso

Sono problemi in cui conosco sia la somma che la differenza, basta

applicare le formule seguenti per calcolare i due lati; l’unica cosa che

devo capire è chi è il lato maggiore ma questo lo indica la differenza,

perché il lato maggiore viene prima del minore.

DATU

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 12cm (SOMMA)

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ - 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 4cm (DIFFERENZA)

𝑠𝑣𝑜𝑙𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜↔

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (il maggiore) = somma+differenza

2=

12 𝑐𝑚+4 𝑐𝑚

2=

16 𝑐𝑚

2= 8𝑐𝑚

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ (il minore) = somma−differenza

2=

12 𝑐𝑚−4 𝑐𝑚

2=

8 𝑐𝑚

2= 4𝑐𝑚

Attenzione la differenza di due segmenti può essere nascosta nella

frase un segmento supera l’altro di 3cm.

Quindi se AB = CD + 3cm allora potrò scrivere AB – CD = 3cm (Differenza)

Nei problemi con i poligoni la somma può essere nascosta all’interno del

perimetro, in particolare ciò accade nel rettangolo e nel

parallelogrammo. Infatti i lati sono uguali due a due, per cui la somma

di due lati la posso ricavare dividendo il perimetro in due, cioè il

semiperimetro.


2017 v 1.0

54

II caso Conosco la somma di due lati e un lato è un multiplo di un altro lato o c’è una frazione che lega i due lati. 1) si attribuisce il numero dei pezzi con il seguente schema

AB= 𝟑

𝟐 BC AB + BC = 10 cm

2) Disegna i segmenti con i pezzi di cui sono formati

AB

CD

3) Disegna il segmento somma e vedi da quanti pezzi è formato e segna

da quanto cm è formato

AB + CD =

10 cm

4) Quindi 10 cm contengono 5 unità, allora 1 U= 10 cm : 5 = 2 cm

Attenzione la somma può essere nascosta nel Perimetro in particolare

ciò accade quando abbiamo i lati uguali, vedi il rettangolo o il

parallelogrammo, o nel triangolo isoscele, dove i lati obliqui sono uguali.

Allora il lati uguali son formati dallo stesso numero di pezzi.

Dati

CB = CA (triangolo isoscele)

AB= 𝟐

𝟑 BC

2P = 24 cm CA = CB = 3 u AB = 2 u Quindi 2P = AB + CA + CB = 2u + 3u + 3u = 8u (vedi figura) 1u = 2p : 8 = 24 cm: 8 = 3 cm


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55

III Caso

Conosco la differenza di due lati e un lato è un multiplo di un altro lato o c’è una frazione che lega i due lati.

DATI

AB = 𝟓

𝟐 BC e AB - BC = 6 cm

1. Disegna i segmenti con i pezzi di cui sono formati (vedi schema) e

evidenzia la differenza (tratteggio)

AB

CD differenza

2. La differenza quanti pezzi contiene? TRE , allora 6 cm contengono

3 U, 6cm = 3U , da cui :

1U = 6cm : 3 = 2cm

A questo punto puoi calcolarti quanto vale 1 PEZZO, e da questo

quanto valgono i lati, moltiplicando il numero dei pezzi per la lunghezza

1 pezzo


2017 v 1.0

56

IV caso

Frazione semplice, conoscono un lato e la frazione che li lega

Sono problemi in cui conosco un lato e la frazione che lega i due lati; l’unica cosa a cui devo stare attento è se devo dividere per il numeratore o per il denominatore della frazione. Chi me lo dice? Ci sono due modi per capirlo

MODO 1

𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅= 3

2 𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅

𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅= 12 cm

𝐁𝐂̅̅ ̅̅ = ?

primo

𝐀𝐁̅̅ ̅̅ = 3

2 𝐁𝐂̅̅ ̅̅

secondo

Con l’esempio precedete conosco AB (il primo lato) quindi

𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅ = 𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅ : 3 x 2 = 12cm : 3 x 2 = 4cm x 2 = 8cm

----------------------------------MODO 2 grafico------------------------------------

𝐀𝐁̅̅ ̅̅ = 𝟑

𝟐 𝐁𝐂̅̅ ̅̅

𝐀𝐁̅̅ ̅̅ 𝐁𝐂̅̅ ̅̅

12cm

Conosco solo 𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅, non la somma o la differenza, per cui 12 cm

contengono 3 pezzi e 𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅ è formato da due pezzi.

Mi calcolo 1 pezzo dividendo per 3 e poi moltiplico per 2 per avere 𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅

𝐁𝐂 ̅̅ ̅̅̅ = 𝐀𝐁 ̅̅ ̅̅ ̅ : 3 x 2 = 12cm : 3 x 2 = 4cm x 2 = 8cm

Se conosco il primo lato, divido per il numeratore e moltiplico per il denominatore (AB è una parte mentre BC è il tutto!) Se conosco il secondo lato, divido per il denominatore e moltiplico per il numeratore.


2017 v 1.0

57

Geometrese

< Minore di – ricorda la punta indica il minore

> Maggiore di – ricorda la punta indica il minore

CONGRUENTE Uguale

DIMENSIONI DEL RETTANGOLO La base e l’altezza del rettangolo

DOPPIO Due volte più grande

EQUIVALENTE Due figure con la stessa area

ISOPERIMETRICO Due figure che hanno lo stesso perimetro

QUADRUPLO Quattro volte più grande

QUINTUPLO Cinque volte più grande

RELATIVO A Vuol dire (del) , facciamo un esempio: l’altezza

relativa al lato 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ vuol dire, l’altezza del lato 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

RISPETTIVAMENTE Il primo e il secondo

TRIPLO Tre volte più grande

NULLO Niente. Vale zero

Lettere alfabeto greco

Alfa

Beta

Gamma

delta

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