riepilogo della parte di programma oggetto della prova parziale 1

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Riepilogo della parte di programma

oggetto della prova parziale

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Un caso esemplificativo di tutto quello che abbiamo imparato può prendere spunto da

esperimenti del genere:

Una biglia in moto m1 colpisce una biglia ferma m2 : l’urto può essere:

• Elastico: P = costante; K = costante due incognite (v1 e v2), due equazioni (P e K)

• Anelastico: P = costante; K = diminuisce due incognite (v1 e v2), una equazione (P )

• Completamente anelastico: P = costante; K = diminuisce; v1 = v2 una incognita

una equazione (P )

?

3

Potremmo complicare il problema… per esempio nel caso elastico potremmo immaginare

una cosa del genere:

E saremmo in grado di calcolare la deformazione x della molla!

ΔK = −ΔU

ΔU = ½ kx2

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Oppure, sempre nel caso elastico potremmo immaginare


E saremmo in grado di calcolare l’altezza h raggiunta dalla biglia bersaglio!

ΔK = −ΔU

ΔU = mgh

h

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Se invece l’urto è anelastico, e ci viene indicata come dato del problema

l’altezza a cui arriva la biglia bersaglio , o di quanto comprime la molla, allora potremo

calcolare quanta energia potenziale ΔU acquisisce, ricavare l’energia cinetica acquisita

con l’urto dalla biglia bersaglio dalla relazione:

ΔKm2 = −ΔU

potremmo paragonare ΔKm2 all’energia cinetica inziale del sistema (cioè quella della

biglia incidente), calcolare di quanto è diminuita l’energia cinetica del sistema e cioè

l’entità della dissipazione termica

?

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Se poi l’urto è completamente anelastico, poiché l’incognita è una sola e cioè

la velocità finale delle due biglie attaccate, con la sola conservazione della

quantità di moto siamo in grado di determinare questa velocità e quindi l’energia

cinetica delle due biglie attaccate: K = ½ (m1 + m2) v2 e siamo pertanto di nuovo

In grado di determinare la compressione della molla o l’altezza raggiunta sul piano inclinato

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Ma le cose potrebbero essere un po’ più complicate: per esempio il piano inclinato

su cui si arrampica la biglia bersaglio potrebbe essere dotato di attrito!

In questo caso, il lavoro esercitato dalla biglia nella sua risalita, sarà in parte trasformato

in energia potenziale ΔU = mgh ma in parte sarà dissipato in lavoro fatto contro la

forza d’attrito ΔL = F d

Quindi se avevamo calcolato che l’energia cinetica acquisita dalla biglia bersaglio

nell’urto elastico era ΔK dovremo tenere in conto che quando la biglia si ferma

sul piano inclinato, ΔK si è trasformata in mgh + F d

Conservazione della quantità di moto e urti

p = mv La quantità di moto di un sistema isolato si conserva

La variazione di quantità di moto è pari all’impulso ricevuto dall’esterno

J = F (t) dt = Δp ∫t1

t2

F(t)

tt2t1

Δt

Δp

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L’applicazione della sola conservazione della quantità di moto agli urti non ci permette

in generale di prevedere l’esito dell’urto, a meno che questo non sia completamente

anelastico (una sola velocità finale in quanto i corpi rimangono attaccati).

Per esempio, in una dimensione, in un urto fra due biglie si ha:

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m1 m2

Prima dell’urto

(velocità u)

Dopo l’urto

(velocità v)

velocità = u1

velocità = v1

velocita = u2

velocità = v2 10

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In questo caso, noti i dati iniziali m1, u1 ,m2 e u2 applicando la sola

conservazione della quantità di moto possiamo scrivere una sola equazione avendo

però due incognite v1 e v2

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

cioè in base alla sola conservazione della quantità di moto l’esito dell’urto non è

univocamente determinato

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Applicando però congiuntamente anche la conservazione dell’energia cinetica

(urti elastici) si ha una soluzione univoca per le due velocità

m1 ≥ m2

Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:

a) si ferma solo se ha rigorosamente la stessa massa della biglia bersaglio

b) prosegue alla sua stessa velocità solo se è MOLTO più massiva della biglia bersaglio

c) se ha una massa intermedia manterrà una certa velocità inferiore a quella iniziale

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m1 ≤ m2

Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:

a) si ferma solo se ha la stessa massa della biglia bersaglio

b) Rimbalza indietro con la sua stessa velocità cambiata di segno solo se è MOLTO più

leggera della biglia bersaglio

c) se ha una massa intermedia avrà un lieve rimbalzo ma non sarà del tutto ferma

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Energia potenziale

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Poiché come abbiamo visto il lavoro fatto/ricevuto da una forza conservativa su/da di una

particella dipende soltanto dal punto di partenza e da punto di arrivo.

E poiché nel caso di forze conservative il lavoro fatto dalla/sulla particella sulla/dalla forza

(a scapito o ad arricchimento della sua energia cinetica) può essere interamente restituito

o riscambiato, ne consegue che una tale forza può dipendere solo dalla posizione della

particella, e non per esempio dal tempo, o dalla velocità della particella.

Per esempio se la forza dipendesse dal tempo, adottando fra i due punti A e B un percorso

che ci fa impiegare più tempo, il lavoro risulterebbe differente rispetto a quello risultante

per un percorso che ci fa impiegare meno tempo. Il che abbiamo visto che non è il caso.

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Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa m. Il lavoro fatto dalla

risultante F delle forze applicate alla massa in questione è uguale alla variazione di

energia cinetica della massa m

L = Fdx = ½ mv2 − ½ mv02 ∫x0

x

In queste condizioni stabiliremo che ogni variazione dell’energia di movimento,

l’energia cinetica, lungo il percorso, è associata ad una variazione di segno opposto

dell’energia di posizione, l’energia potenziale.

Cioè abbiamo sintetizzato questa proprietà delle forze conservative di restituire energia

In funzione della posizione associando alla posizione una energia potenziale.

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Rappresentando con U l’energia potenziale, questo enunciato risulta espresso dalla formula

ΔK = −ΔU

In base al teorema lavoro-energia che abbiamo appena riscritto, la variazione di energia

cinetica vale:

ΔK = F(x)dx

da cui ne segue che:

ΔU = − F(x)dx

Questa quantità è funzione soltanto della posizione

∫x0

x

∫x0

x

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In sostanza, abbiamo ricavato la Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica(cinetica + potenziale):

E = U + K

di cui avevamo intuito fin dalla prima lezione l’esistenza.

Energia potenziale U Energia cinetica K Energia Meccanica E

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20

I due esempi classici di sistemi conservativi unidimensionali

Due esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e la forza di richiamo di una molla

Nel caso della forza di gravità, il moto unidimensionale è verticale. Assumendo l’asse

positivo delle y diretto verso l’alto, la forza di gravità risulta diretta secondo il verso

negativo delle y. Si ha quindi: F = −mg = costante (che rappresenta un caso particolaredi una forza dipendente dalla posizione).

Per l’energia potenziale potremo scrivere pertanto:

U(y) – U(0) = (−mg) dy = mgy

Il caso della forza di gravità

= Fdy ∫y

0

∫y

0

Adottando un energia potenziale nulla per y = 0, si ha semplicemente:

U (y) = m g y

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Il fatto che l’energia potenziale di una massa m ad una certa altezza dal suolo

cresca con l’altezza è certamente coerente con la nostra esperienza quotidiana:

Maggiore è l’altezza h dalla quale lasciamo cadere una massa m, maggiore è la

velocità (e quindi l’energia cinetica) con cui arriva al suolo.

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Il caso della forza di una molla

Consideriamo la forza esercitata da una molla elastica su di una massa m che si muove su di una superficie orizzontale (priva di attrito), e consideriamo il

punto x0 = 0 come posizione di equilibrio della molla. La forza F esercitata sulla massa mquando la deformazione è x vale

F = −k x dove k è la costante elastica della molla

L’energia potenziale è data dalla formula:

U(x) − U(0) = (−kx) dx

Se scegliamo U(0) = 0 , l’energia potenziale, come pure la forza, è nulla nella posizione

di riposo della molla e risulta:

U(x) − U(0) = (−kx) dx = ½ kx2 (metodo grafico delle aree)

∫x

0

∫x

0

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Una importante affermazione, che fino adesso non è stata mai contraddetta dai

risultati sperimentali è la seguente:

L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma

dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica

e di altre forme di energia, non cambia

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Alcune considerazioni:

Abbiamo iniziato l’approccio alla conservazione dell’energia parlando della

conservazione dell’energia meccanica K+U.

Poi abbiamo scoperto che l’energia meccanica si conserva solo nel caso di

forze conservative.

Per esempio nel caso di forze d’attrito, l’energia meccanica non si conserva

ma viene dissipata in energia termica

Adesso abbiamo affermato che l’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma

dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre

forme di energia, non cambia

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Sembra quasi che si voglia rincorre assolutamente un teorema (la conservazione

dell’energia, appunto) invocando eventuali altre forme di energia, laddove

apparentemente l’energia non si sarebbe conservata.

Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema.

Forze conservative e non conservative

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Abbiamo visto che un corpo dotato di energia cinetica è in grado di effettuare lavoro(a scapito della sua energia cinetica):

27

Le forze per cui si osserva il fenomeno della «restituzione dell’energia cinetica»,

si chiamano forze conservative: lo è la forza esercitata da una molla,

come lo è la forza gravitazionale

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In un esperimento di questo tipo, l’energia cinetica viene ceduta e riacquisita periodicamente

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Le forze conservative, come la forza di una molla o come la forza gravitazionale,

sono in grado di restituire ad una massa m la sua energia cinetica.

Le forze non conservative come le forze di attrito, o di deformazione non elastica NO!!!

30Il blocco NON riacquista la sua energia cinetica !!!

Quindi: se in parallelo ad una forza conservativa (per esempio la forza gravitazionale)

è presente anche una forza non conservativa, per esempio l’attrito dell’aria, non tutta

l’energia cinetica della massa m sarà restituita:

Se per esempio il pallone nel suo viaggio di andata e ritorno in verticale è soggetto

all’attrito dell’aria, il pallone tornerà al punto di partenza con meno energia cinetica

di quanto ne possedeva alla partenza.

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A

B

Abbiamo anche visto che ciò che risulta rilevante ai fini del computo del lavoro L

effettuato da una forza conservativa F nel muovere una massa da A a B è la

sola componente del segmento A-B lungo la direzione della forza F, o le componenti

dei segmenti verticali infinitesimi Δh lungo la direzione della forza, la cui sommatoria

è sempre:

F = -mg

∑ Δh = h per il percorso in salita

∑ Δh = −h per il percorso in discesa

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Cioè il lavoro fatto da una forza conservativa NON dipende dal percorso ma solo dalle posizioni iniziale e finale

Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il

lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il

punto iniziale e il punto finale e in generale il percorso lungo un ciclo chiuso NON è nullo.

Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un

punto A ad un punto B seguendo di volta in volta percorsi differenti:

AB

33






AB

34






AB

35

In qualsiasi direzione si stia muovendo ad ogni istante il corpo in questione, la forza di

attrito si oppone sempre al suo moto, quindi effettua sempre un lavoro negativo a scapito

dell’energia cinetica del corpo.

AB

36

E quindi anche lungo un ciclo chiuso, il lavoro NON risulta nullo, ma negativo, con una

perdita netta di energia cinetica

AB

37

Possiamo adottare indifferentemente le due definizioni di forze conservative da che

sono una la conseguenza dell’altra.

Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa eseguito nello spostare un corpo

da un punto d un altro dipende solo dalla posizione dei due punti e non dal percorso seguito.

Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa eseguito nello spostare un corpo lungo

un percorso chiuso risulta nullo.

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Lavoro ed Energia

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Lavoro fatto da una forza costante

Consideriamo ancora il caso di una forza F = costante, e di un moto rettilineo lungo

la direzione di una forza. In questo caso, come sappiamo possiamo ridurre nuovamente

lo studio al caso unidimensionale (scalare) (moto lungo l’asse x) .

E sappiamo già che la particella di muoverà di moto accelerato con accelerazione costante

a = F/m

F

Definiamo Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto del modulo della forza

F per la distanza percorsa dalla particella

L = F d

x

40

Consideriamo adesso il caso in cui la forza (sempre costante) non agisce però lungo

la direzione di moto:

F

x

In questo caso definiremo il Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto

della componente Fx della forza lungo la direzione di moto, per la distanza percorsa

dalla particella

L = Fx d

L = F cos (θ) d

Se θ = 0, il Lavoro è semplicemente F d, come per il caso precedente ,

mentre se θ= 90° il lavoro fatto dalla forza F sulla particella è nullo.

Fx

41

Il Lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori F e d

L = F • d

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Unità di misura del Lavoro

L’unità di misura del lavoro è il lavoro fatto dall’unità di forza nel muovere un

corpo dell’unità di lunghezza nella direzione della forza.

Quindi nel sistema SI l’unità di lavoro è 1 Newton-metro, detto joule.

Un’altra unità di misura in uso è il kilogrammetro, definita come

1kgm = 9,8 joule

43

Lavoro fatto da una forza variabileConsideriamo il caso di una forza che varia soltanto in modulo, che agisce lungo la

direzione x, e supponiamo di conoscere come varia il modulo F in funzione di x. Ci

poniamo il quesito di calcolare il lavoro fatto da questa forza variabile quando il punto

materiale si sposta da x1 a x2. Supponiamo per esempio di sapere che la funzione

F(x) sia come in figura:

x

F(x)

x1 x2

044

x

F(x)

x1 x2

0

Dividiamo lo spostamento totale x1 x2 in tanti piccoli intervalli consecutivi Δx.

Il lavoro fatto falla forza F nello spostare il punto materiale da xi a xi + Δx,

assumendo che la forza sia costante nell’intervallo in questione , sarà dato da

ΔL = F(xi) Δx

Δx

ΔL = F(xi) Δx = area del rettangolo

45

x

F(x)

x1 x2

0

Il lavoro totale falla forza F nello spostare il punto materiale da x1 a x2,

sarà dato approssimativamente dalla somma di un numero di termini come di seguito:

L12 ≈ ∑ F(xi) Δx

Δx

46

x

F(x)

x1 x2

0

Per migliorare la nostra approssimazione, possiamo suddividere in intervalli Δx

sempre più piccoli.

L12 ≈ ∑ F(xi)Δx

Δx

47

Otterremo un risultato esatto per il lavoro fatto dalla forza F(x) nello spostare il punto

da x1 a x2, attraverso un processo al limite:

L12 = lim ∑ F(xi) Δx = F(x) dx

Δx 0

∫x1

x2

x

F(x)

x1 x2

0

Questa relazione definisce l’integrale di F rispetto a x da x1 a x2 e

numericamente è esattamente uguale all’area indicata in figura

48

Supponiamo di avere una molla attaccata ad una parete, e supponiamo

che nel suo stato di equilibrio l’estremità della molla sia posizionata alla coordinata x0

x0 x

La forza esercitata dalla molla quando è stata allungata fino ad un certo valore x dalla

sua posizione di equilibrio x0, è data dalla cosiddetta Legge di Hooke:

F = − k (x−x0)

e il suo verso è sempre opposto allo spostamento da x0

x0 x

F

k= costante elastica della molla 49

Quando la molla è allungata x > x0; quando la molla è compressa x < x0

La forza F è sempre diretta verso x0, e quindi cambia segno quando il suo estremo

passa per la posizione di riposo x0

x0 x

x0 x

Possiamo assumere x0 = 0 e la formula diviene semplicemente F = − k x

50

Per deformare la molla senza che si generino accelerazioni, è sufficiente applicare alla

molla una forza F’ esattamente eguale e contraria alla forza F esercitata dalla molla

su di noi. La forza che applicheremo sarà quindi: F’ = kx.

Il lavoro fatto da questa forza F’ per allungare la molla da 0 a x è:

L12 = F’(x)dx = kxdx = ½ kx2 ?∫x

0Come calcolare un integrale così semplice, in modo grafico: (l’integrale è l’area….)

F’(x)

x

F’(x) = kx

kx

Area = ½ kx2

51

Energia cinetica

Supponiamo il caso in cui la risultante F delle forze applicate ad una massa m sia costante

(in termini vettoriali cioè sia in modulo che in direzione e verso). Come sappiamo, una

forze costante costante imprime alla massa in questione una accelerazione costante a,

data dalla II Legge di Newton:

a = F / m

Scegliamo come sistema di riferimento l’asse delle x coincidente con la direzione comune della

forza F e dell’accelerazione a, e calcoliamo il lavoro fatto dalla forza F nello sposare la massa

m di una quantità x.

d=x x

F a

x052

Il lavoro L = F x applicando la II Legge di Newton risulta essere:

= ½ mv2 − ½ mv02

Abbiamo definito questa quantità l’Energia Cinetica (energia di movimento) della massa m

e la indichiamo col simbolo K

K= ½ mv2

In base a questa formulazione quindi:

Il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale alla sua

variazione di Energia Cinetica

53

Per quanto abbiamo ricavato questa formulazione nel semplice caso di una forza costante,

si dimostra che la formulazione è del tutto generale e vale anche nel caso di una forza

variabile. Supponiamo per esempio il caso di una forza F che varia in modulo, in funzione

della posizione, ma non in direzione.

54

∫x0

x

L = F(x) dx = ½ mv2 − ½ mv02

Si dimostra che anche nel caso in cui la forza non solo varia in modulo, ma varia anche

in direzione, in ogni caso risulta sempre che il lavoro fatto dalla risultante delle forze su

una particella è eguale alla sua variazione di energia cinetica :

L (lavoro della forza risultante) = K –K0 = ΔK

(Teorema Lavoro-Energia)

55

Sul significato di lavoro negativo

Supponiamo che l’energia cinetica K di una particella diminuisca. Allora

il lavoro L fatto su di essa dalla risultante F delle forze applicate risulta negativo

L = K − K0 < 0 se K < K0

• Questa equazione può essere interpretata affermando che l’energia cinetica di una

particella diminuisce di una quantità eguale al lavoro da essa prodotto per contrastare

Una forza (così come aumenta di una quantità uguale al lavoro ricevuto da una forza)

• In sostanza: una particella in moto possiede una certa quantità di energia, sotto forma

di energia cinetica (energia di movimento). Non appena produce lavoro, perde

energia cinetica (cioè velocità).

• Quindi: l’energia cinetica di un corpo in movimento è pari è eguale al lavoro che produce

nel fermarsi. 56

57

Le forze d’attrito

58

F = F1 a = 0

F = F2 a = 0

F = F3 a = 0

F = F4 a ≠ 0

Supponiamo di applicare una forza F1 ad un corpo posizionato su di una superficie non perfettamente liscia:

Non succede niente !



Aumentiamo la forza: F2 > F1



59

F = F1 a = 0

F = F2 a = 0

F = F3 a = 0

In base alle Leggi di Newton possiamo affermare che esiste una forza eguale a –F1

applicata al corpo cosicché essendo la risultante delle forze F1 – F1 = 0, risulta a = 0.

Chiameremo questa forza fs (Forza di attrito Statico)

60

F = F4 a ≠ 0

Se osserviamo in dettaglio il moto nel caso F4 scopriamo che se manteniamo applicata la forza, il corpo si muove di moto accelerato

Tuttavia, se facciamo delle misure scopriamo che a < F4 / m

Evidentemente, esiste una forza contraria tale che la risultante Fr obbedisce alla relazione

F r = m a

Fr = F4 – fk = m a

Chiameremo questa forza fk (Forza di attrito Dinamico)

61

Va da sé che una volta «sbloccato» il corpo dalla posizione di quiete, se vogliamo

semplicemente che mantenga uno stato di moto uniforme (a = 0), dobbiamo smorzare

la forza F4 fino a eguagliare in modulo fk

F4 = - fk fk

62

Quindi, in sostanza, se misuriamo in funzione del tempo la forza F necessaria per

sbloccare il corpo dalla sua posizione di quiete e poi mantenerlo in uno stato di moto

uniforme (a = 0), otteniamo un grafico di questo tipo:

Tempo (s)

Forz

a F

app

licat

a

2 4 6 8 10 12 14

F > fs

fk

63

Si osserva che la forza di attrito f è proporzionale alla forza normale N che mantiene acontatto la massa in questione con la superficie su cui si trova.

Di norma l’attrito è quantificato attraverso l’introduzione del cosiddetto coefficiente

d’attrito μ

Definiremo pertanto il coefficiente d’attrito statico in base alla formula:

fs ≤ μs N

E definiremo il coefficiente d’attrito dinamico (o cinetico) in base alla formula

fc = μs N

64

Per pervenire alla formulazioni di queste Leggi e di questo approccio metodologico

che ci consentono di prevedere l’esito di esperimenti, siamo partiti dallo

studio di:

Cinematica e Dinamica che ci hanno anche indirizzato verso applicazioni del

calcolo differenziale (derivate e integrali)

e ci siamo dovuti anche impratichire con altri strumenti di lavoro:

• Algebra vettoriale

65

Per pervenire in modo formalmente corretto a queste formulazioni:

• ci siamo dotati di adeguati strumenti di lavoro

• Abbiamo definito le grandezze fisiche fondamentali

• Abbiamo enunciato le leggi fondamentali della dinamica

66

GRANDEZZE SCALARI E GRANDEZZE VETTORIALI

Ripensando agli esperimenti che abbiamo immaginato a proposito della quantità di

moto, ci rendiamo conto che in Fisica esistono sia:

grandezze scalari o più semplicemente uno scalare

che

grandezze vettoriali o più semplicemente un vettore

Per grandezza scalare intendiamo una grandezza fisica identificata semplicemente

da un valore numerico: per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri

esperimenti, la massa. Diremo quindi la massa è uno scalare.

Per grandezza vettoriale intendiamo invece una grandezza fisica che oltre ad un valore

numerico, necessita anche della individuazione di una direzione e un verso, per esempio

fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la velocità. Diremo quindi che

la velocità è un vettore

67

Proprietà dei vettori

Le proprietà dei vettori possono essere facilmente descritte ricorrendo alla loro

rappresentazione grafica. Prendiamo in considerazione il vettore «spostamento»

Supponiamo di muoverci verso Est per 3km a partire da una posizione iniziale «0».

Possiamo indicare questo spostamento nel grafico di seguito come segue:N

S

W EO

1 km

6868

N

S

W EO

1 km

Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova

direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto

«0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che

abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ?

30°

6969

N

S

W EO

1 km

Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova

direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto

«0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che

abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ?

Ok, graficamente è semplice ma come ricavare la lunghezza (modulo) e l’angolo del

vettore risultante ? (che sono poi le grandezze da comunicare ai nostri corrispondenti!)

30°

70

Componenti dei vettori

Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzionee il verso:

y

xO

φa

71

Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzionee il verso:

y

xO

φa

Le componenti lungo l’asse x e l’asse y saranno rispettivamente:

ax = a cos ( )

ay = a sin ( )

φ

φ

ax

ay

72

72

Quindi, conoscendo a e possiamo determinare ax e ay

ax = a cos ( )

ay = a sin ( )

Viceversa, conoscendo ax e ay possiamo determinare a e

φ

φ

φ

a = ax 2 + ay

2

tan = ay / ax

73

Vettori unitari (versori)I versori sono vettori unitari (modulo = 1 ) che hanno direzione e verso di ciascuno

degli assi cartesiani e vengono indicati con i simboli i e j rispettivamente:

y

xO i

j

Adottando questo formalismo, possiamo scrive il vettore a come:

a = ax i + ay j

747474

N

S

W EO

1 km

30°

E torniamo adesso al quesito da cui eravamo partiti: la somma vettoriale

Vogliamo definire il vettore s = a + b

E’ intuitivo rendersi conto che, posto s = sx i + s y j

Risulta: sx = ax + bx sy = ay + by

75

s = sx 2 + sy

2

tan = sy / sx

Ecco i dati da comunicare ai nostri corrispondenti fermi al punto «0»

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Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

y

xO

φa

Moltiplicare un vettore per uno scalare, significa semplicemente variarne il modulo

y

xO

φa

77

Prodotto scalare di due vettori

Dati due vettori A e B:

A

B

Definito θ l’angolo fra i due vettori, di definisce prodotto scalare di A e B

A • B = A x B cos (θ)

Cioè il prodotto del modulo di A per il modulo di B per la proiezione di A su B

θ

78

Prodotto vettoriale di due vettori

Lo vedremo più avanti quando ne troveremo un’applicazione in Fisica

79

Cinematica

80

Abbiamo iniziato definendo le grandezze fisiche

fondamentali per trattare il moto

Posizione

Spostamento: cambiamento di posizione

Velocità: rapidità con cui cambia la posizione

Accelerazione: rapidità con cui cambia la velocità

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Abbiamo visto che si tratta di grandezze vettoriali, anche se nel caso di moto in

una dimensione possiamo trattare il problema adottando il formalismo scalare.

Abbiamo preso dimestichezza con il problema della risoluzione temporale di un

dato fenomeno fisico:

Per esempio: poiché lo spostamento è definito some la variazione di posizione

in un dato intervallo di tempo, la variazione di posizione durante l’intervallo Δt

di un punto materiale che si muove di un moto «bizzarro» può non essere esaustiva.

xO

Tempo t

Δr

Δt

82

v = Δr / Δt

Ci siamo resi conto che «campionando» il nostro fenomeno fisico (in questo caso il moto rettilineo di un punto materiale) con un intervallo di tempo relativamentelungo, perdiamo dettagli che potrebbero essere importanti.

E infatti, applicando a questo caso la definizione di velocità, abbiamo stabilito che la formula:

deve essere intesa come velocità media, grandezza fisica a volte utile, ma a voltemeno utile. Per esempio nel caso seguente:

xO

Tempo t

Δr = 0

Δt

Risulterebbe:

v = Δr / Δt = 0

83

Ci siamo quindi resi conto della opportunità di campionare il fenomeno con una maggiore

risoluzione temporale, cioè con intervallo di tempo Δt sempre più piccoli, fino a pervenire a

una rappresentazione grafica «continua» della posizione x(t) in funzione del tempo:

Tempo t

x

Tempo t

x

Δt→0

84

Per ogni istante t abbiamo definito la velocità istantanea v(t) come il valor limite a cui

tende il rapporto Δr / Δt quando Δt tende a zero:

v = lim ( Δr/Δt ) m / sΔt→0

Tempo t

x

Tempo t

x

Δt→0

x = v t

In ogni punto, la velocità istantanea v(t) è il coefficiente angolare della retta tangente la curva x(t)

85

Essendo in grado di ricavare una serie «fitta» di punti per la velocità istantanea v(t), siamo

stati in grado di farne una interpolazione grafica, e ci siamo resi conto che a questo punto

eravamo in grado di applicare le stesso processo a limite (Δt 0) per ricavare

l’accelerazione istantanea, che in ogni punto è il coefficiente angolare della retta tangente

alla funzione velocità v(t) così come la velocità istantanea era il coefficiente angolare della

retta tangente alla funzione spostamento x(t).

A questo proposito abbiamo visto un esempio abbastanza semplice: una particella che

parte da un punto P localizzato a 1m dall’origine e si sposta verso il punto Q localizzato a 5

m dall’origine e quindi torna indietro al punto R a 2 m dall’origine.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

P R Q

86

Abbiamo definito un sistema di assi cartesiani per x e t. Lo spostamento in questo sistema di assi sarà descritto da una curva così.

1 2 3 4 sec

1

2

3

4

5

6

m

x

tP

Q

R

87

Abbiamo calcolato la velocità istantanea vi (ti) in numero di punti sufficientemente elevato di punti

1 2 3 4 sec

x

tP

Q

R

88

A questo punto abbiamo definito un sistema di assi cartesiani per vx e t, e abbiamo Riportato i valori delle velocità istantanee calcolate nei vari punti e abbiamo operato una interpolazione grafica

1 2 3 4 sec

-8

-4

0

4

m

/s vx

t

Q

R

P

S

W

89

La linea curva che abbiamo individuato nel piano (vx , t) altro non è che la rappresentazione

grafica della velocita del punto materiale in funzione del tempo vx (t).

1 2 3 4 sec

-8

-4

0

4

m

/s vx

t

90

Di questa funzione vx(t) potremo calcolare l’accelerazione istantanea punto

ricordando che a = dv /dt è la pendenza della retta tangente in ogni punto

1 2 3 4 sec

-8

-4

0

4

m

/s vx

t

91

Abbiamo anche visto che nel caso unidimensionale, l’equazione del moto di un punto

materiale che si muove a partire da un punto inziale x0, con una velocità iniziale pari

a v0 e con una accelerazione a costante è la seguente:

x(t) = x0 + v0 t + ½ at2

E abbiamo visto alcuni esempi in cui a = g = −9,8 m/s2

92

Poi siamo passati dal caso unidimensionale al caso bidimensionale (moto in un piano)

e ci siamo resi conto che in questo caso l’uso del formalismo vettoriale non è opzionale

ma risulta obbligatorio. Questo in quanto non esiste una direzione unica, e la direzione

del moto va quindi definita dalle stesse grandezze in gioco. Infatti, in un piano x-y ,

un punto materiale può manifestare il suo moto in una qualunque direzione.

In particolare, un punto che si muova lungo una linea curva, cambia continuamente direzione.

Tuttavia, ci siamo resi conto che il moto delle proiezioni del punto lungo le componenti

x-y è ovviamente sempre un moto unidimensionale.

93

Mentre il punto materiale si muove lungo la traiettoria curva, le sue proiezioni sugli assi x e y si muovono di moto rettilineo (ma non necessariamente uniforme).

y

x

P

Q

xP xQ

yP

yQQuindi: tutto ciò che abbiamo imparato sulle

equazioni del moto in una dimensione può essere

tranquillamente applicato alle componenti lungo

gli assi x e y delle varie grandezze fisiche:

x y

vx vy

ax ay

94

Dinamica:

Abbiamo introdotto la dinamica dicendo che in sostanza, il problema della dinamica

di un corpo (per semplicità un punto materiale) è determinare come si muove

la particella, note le cause che agiscono su di essa. Quindi per esempio nel caso di

un moto unidimensionale lungo l’asse x, determinare la funzione x(t) in funzione delle

cause che agiscono sulla particella. Adesso abbiamo definito queste cause: le forze

che agiscono sulla particella, o più in generale la risultante F delle forze Fi che agiscono

sulla particella. E abbiamo definito tre importanti Leggi: le Leggi di Newton

95

La I Legge di Newton:

Ogni corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché forze

esterne ad esso non lo costringano a mutare questo stato.

La II Legge di Newton:

L'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale e nella stessa direzione

della forza agente su di esso, ed è inversamente proporzionale alla sua massa:

F = m a

La III Legge di Newton:

Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita su A una forza

uguale e contraria.

96

Abbiamo visto che una interessante formulazione della II Legge è la seguente:

a = F/m

E’ interessante in questa forma in quanto ci permette di ricavare informazioni sul motodi un corpo una volta note le forze che agiscono su di esso. Rivediamo quali sono le implicazioni pratiche di questa Legge, nella risoluzione del

problema della determinazione di x(t) in funzione di F

97

Le implicazioni sono molto interessanti: e si perché già in cinematica abbiamo imparato

a determinare x(t) in funzione dell’accelerazione a e quindi se possiamo scrivere

a = F/m

siamo immediatamente in grado di determinare x(t) in funzione di F

Quindi per esempio nel caso di un moto unidimensionale, dalle equazioni della cinematica

che già conosciamo:

x(t) = v0t + ½ at2

v(t) = v0 + at

Ponendo: a = F/m

Scriveremo:

x(t) = v0t + ½ (F/m)t2

v(t) = v0 + (F/m)t

98

Ovviamente, non dimentichiamo che le equazioni che abbiamo appena scritto erano state

derivate per il caso a = costante, e quindi valgono solo nel caso F = costante.

99

Quindi per esempio, nel caso di a = costante, si osserva in funzione del tempo


t

t

a(t)

v(t)

100

Quindi: la formula che abbiamo scritto in cinematica per il caso semplice a = costante,

è soltanto il caso particolare di una relazione più generale in cui la velocità è (istante per

Istante) l’area (l’integrale) definita dalla curva nel piano a(t)-t.

Nel caso particolare di un moto uniformemente accelerato, cioè a = costante,

la velocità cresce linearmente, ma è sempre data (istante per istante) dall’area

in questione che nel caso specifico è l’area del seguente rettangolo:

v = a t (+ ovviamente un termine iniziale v0)

a

t

Area = a x t

101

Quindi velocità istantanea e accelerazione istantanea, cioè le funzioni v(t) e a(t)

sono connesse dalle relazioni inverse:

a(t) = dv(t) / dt v(t) = a(t) dt∫

Questo ci dice che quando avremo a che fare con forze variabili (e di conseguenza

accelerazioni variabili) dovremo inevitabilmente ricorrere a derivate e integrali,

anche se in molti casi vedremo che le soluzioni sono semplici e spesso posso essere

ricavate in base a dei grafici.

La «ricetta» per risolvere un problema generico (l’esito di un esperimento):

Ci sono corpi in moto ? In caso affermativo, i dati del problema sono sufficienti

a calcolarne l’energia cinetica e la quantità di moto ? In caso affermativo, calcoliamo

queste grandezze! Poi vedremo bene cosa farne!

Ci sono urti ? In caso affermativo sono elastici ?anelastici? o completamente anelastici ?

Siamo quindi in condizione di prevedere l’esito di questi urti ? Se si, passiamo ai numeri!

Ci sono fasi dell’esperimento in cui un dato corpo perde la sua energia cinetica in modo

conservativo ? per esempio risalendo una rampa senza attrito o comprimendo una molla ?

In caso affermativo, passiamo ai numeri, ci sarà utile!

Ci sono invece fenomeni in cui l’energia cinetica viene persa attraverso l’intervento di

forze non conservative ? In questo caso, il problema ci fornisce sufficienti informazioni

per calcolarla ? 102

riepilogo della parte di programma oggetto della prova parziale 1

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