RICHIAMI DI MECCANICA RAZIONALE

SISTEMA DI PUNTI MATERIALI Si consideri un sistema di punti materiali { (P1 , m1), (P2 , m2) ............ (Pn , mn) } . Si definisce centro di massa il punto Po che soddisfa la seguente condizione:

( Po - O ) = ∑ ( 𝑷𝑷𝒊𝒊 − 𝑶𝑶 )𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏𝟏𝟏

∑ 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏𝟏𝟏

m * ( Po - O ) = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛1

con O punto arbitrariamente scelto nello spazio. Se consideriamo il sistema di vettori applicati { (P1 , m1g), (P2 , m2 g ) ............ (Pn , mn g ) } essendo vettori paralleli ammetteranno un risultante P = m*g applicato in un punto G detto baricentro coincidente con il centro di massa Po . Sempre per il sistema di punti materiali possiamo ad esso associare un sistema di vettori applicati { (P1 , m1*V1), (P2 , m2 *V2 ) ............ (Pn , mn *Vn ) } dove Vi rappresenta la velocità del punto materiale Pi. Si definiscono quantità di moto e momento della quantità di moto per il sistema di punti materiali in esame le espressioni: Q = ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 Ko = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

T = ∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖=1

12 mi Vi2

Teorema del centro di massa Q = ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 = m VPo Infatti essendo ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 = ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) = ∑ 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑚𝑚𝑖𝑖( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚( 𝑃𝑃𝑃𝑃 − 𝑂𝑂 ) = m VPo .

Risultante del sistema di forze applicate Torniamo ora al sistema di punti materiali { (P1 , m1), (P2 , m2) ............ (Pn , mn) } e consideriamo un sistema di forze applicate {F1, F2 ............ Fn }. Per la generica massa mi possiamo scrivere Fi = mi ai e quindi il risultante del sistema di forze applicato è pari a:

F = ∑ 𝑭𝑭𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 = ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ai = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∑ 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 mi Vi = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(Q) = m aPo ;

Momento risultante del sistema di forze applicate

Mo = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑭𝑭𝒊𝒊𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 mi ai

Ma 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(Ko) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

( ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ) = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ai + ∑ ( 𝑽𝑽𝒊𝒊 − 𝑽𝑽𝑽𝑽 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛𝑖𝑖=1

= ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ai - 𝑽𝑽𝑽𝑽 ∧ ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ai - 𝑽𝑽𝑽𝑽 ∧ Q

Mo = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 (Ko) + 𝑽𝑽𝑽𝑽 ∧ Q

Trasposizione dei momenti delle quantità di moto Ko = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 Ks = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑆𝑆 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ma ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑆𝑆 ) = ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) + ( 𝑂𝑂 − 𝑆𝑆 ) per cui Ks = ∑ ( 𝑃𝑃𝑖𝑖 − 𝑂𝑂 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 + ∑ ( 𝑂𝑂 − 𝑆𝑆 ) ∧ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑽𝑽𝒊𝒊𝑛𝑛𝑖𝑖=1 e quindi:

Ks = Ko + ( 𝑂𝑂 − 𝑆𝑆) ∧ Q Ks = KPo + ( 𝑃𝑃𝑃𝑃 − 𝑆𝑆) ∧ Q

Momenti del secondo ordine Momento polare Io = ∑ 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ( Pi - O )2 mi

Momento rispetto ad una retta r di versore e con O ∈ad r. Ir = ∑ 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 [( Pi - O ) ∧ 𝒆𝒆 ]2 mi

Momento rispetto ad un piano Π con O ∈a Π ed n versore ⊥ a Π . IΠ = ∑ 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 [( Pi - O ) 𝒏𝒏 ]2 mi

Momento centrifugo rispetto a due piani Π e Π' con O ∈ a Π e Π'. IΠ,Π' = ∑ 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 [( Pi - O ) 𝒏𝒏 ] [( Pi - O ) 𝒏𝒏′ ] mi

Teorema di Huygens Io = IPo + m ( Po - O )2

Ir = Iro + m [( Po - O ) ∧ 𝒆𝒆 ]2

IΠ = IΠo + m [( Po - O ) 𝒏𝒏 ]2 IΠ,Π' = IΠo,Πo' - m [( Po - O ) 𝒏𝒏 ] [( Po - O ) 𝒏𝒏′ ]

con Πo, Π'o, ro paralleli rispettivamente a Π, Π' ed r e contenenti il centro di massa Po . SISTEMI CONTINUI Centro di massa ( Po - O ) = 1

𝑚𝑚 ∭ 𝑐𝑐 ( P - O ) dm

Momento di inerzia Io = ∭ 𝑐𝑐 ( P - O )2 dm Quantità di moto dQ = Vp dm Q = ∭ 𝑐𝑐 Vp dm Momento della quantità di moto dKo = ( P - O ) ∧ Vp dm Ko = ∭ 𝑐𝑐 ( P - O ) ∧ Vp dm

Tenendo presente che Vp = Vo + ω ∧ ( P - O ) si ottiene: Ko = ∭ 𝑐𝑐 ( P - O ) ∧ (Vo + ω ∧ ( P - O )) dm = ∭ 𝑐𝑐 ( P - O ) ∧ Vo dm + ∭ 𝑐𝑐 ( P - O ) ∧ ( ω ∧ ( P - O )) dm =

= ∭ 𝑐𝑐 ( P - O ) 𝑑𝑑𝑚𝑚 ∧ Vo + ∭ 𝑐𝑐 ( P - O )2 ω dm = m ( P0 - O ) ∧ Vo + ω∭ 𝑐𝑐 ( P - O )2 dm

Ko = ( P0 - O ) ∧ m Vo + Ioω

Energia cinetica T = ∭ 𝑐𝑐

12 dm Vp2

Tenendo presente ancora una volta che Vp = Vo + ω ∧ ( P - O ) si ottiene: Vp2 = Vo2 + ω 2 ( P - O )2 + 2 Vo ω ∧ ( P - O ) e quindi: T = 1

2 m Vo2 + 1

2 Io ω 2 + m Vo ω ∧ ( P0 - O ) e se O

coincide con G si ottiene :

T = 𝟏𝟏𝟐𝟐 m Vg2 + 𝟏𝟏

𝟐𝟐 Ig ω2