ricardo pérez martínez 5 mayo, 2005

Ricardo Pérez Martínez 5 Mayo, 2005

CPT

P PARIDADC CONJUGACIÓN DE CARGAT INVERSIÓN DEL TIEMPO

SIMETRÍAS DISCRETAS

TEORÍA CUÁNTICA DE CAMPOS

CONTENIDO

1 Grupo de Lorentz y simetrías discretas

2 Transformaciones del espinor y campos bajo P,T y C

2.1 Espinores 2.2 Campo escalar 2.3 Campo de Dirac 2.4 Campo de espín 1

3 Teorema CPT 3.1 Transformación de los covariantes bilineales

4 Conclusiones y comentarios finales

1

Mayo 2005Ricardo Pérez M.

SIMETRÍAS DISCRETAS EN EL GRUPO DE LORENTZ

El grupo propio de Lorentz (SO(3,1)) incorpora, además de las transformacionescontinuas, dos tipos de simetrías discretas en el espacio-tiempo.

rotacionesboost grupo NO compacto

irrep d No unitarias

1det 100

L

),()','( txtx

Si 1det y/o 100 Paridad: P

Inversión del tiempo: T

),()','( txtx No pueden ser obtenidas continuamente a partir delelemento identidad.

Mayo 2005

2

Ricardo Pérez M.

L

PLL

P

P

TT

Estructura del grupo deLorentz según el signo de

det 00y

Conjugación de carga

Otra simetría (no espacio-temporal) es la conjugación de carga (C). Bajo esta operación, partículas y antipartículas son intercambiadas.

Mayo 2005

3

Ricardo Pérez M.

TLL

PTLL

UN EJEMPLOINVERSIÓN DEL ESPACIO

Inversión es un grupo discreto

10

01

10

01

4


¿ Cual es la situación de estas operaciones de simetría en elmundo real ?

Propiedades de transformaciónde campos bajo C,P,T y TCP.

CTP. Cualquier teoría ‘razonable’ tieneque ser invariante bajo la combinaciónde las tres transformaciones.

De los experimentos se sabe quelas interacciones gravitacional, electromagnética y fuerte, sonsimétricas respecto a C,P y T.

Las interacciones débiles violan P* y C separadamente, peropreservan CP y T.

* T.D Lee y C.N. Yang, (1956)

5


Comenzamos por tratar las propiedades de transformación (Prop. Transf.) del espinor bajo bajo paridad (P), inversión del tiempo (T) y conjugación de carga (C). Después veremos las Prop. Transf. de los campos de espín 0,1/2 y 1.

La parte expuesta para los espinores corresponde a una introducción para un mejor entendimiento cuando tratemos las Prop. Transf. del campo de Dirac.

Transformación del espinor bajo P,T y C. 7


Paridad

Designemos P para la paridad. Para S=P la relación

aSS 1

se cumple ya que su deducción no depende de 1det a

Tenemos xx ' tt ',

La ecuación de Dirac es covariante, ya que A es un caso especialde la transformación general de Lorentz.

A

xax '

gdiaga )1,1,1,1(

Tenemos 1 PPa 1 PPaaa

3

0

1

PgP gPP 1

0ieP 01 ieP

),()(),(')','(' 0 txexPtxtx i

8



Teoría de hoyos nos lleva a una simetría fundamental:partícula --- antipartícula.

Un hoyo en el mar de energía negativa registrando la ausencia de un electrónde carga –|e| y energia – E, es equivalente a la presencia de un positrón decarga +|e| y energía + E.

Entonces tenemos una correspondencia 1-1 entre las solucionesde energía negativa de la ecuación de Dirac

y las eigenfunciones del positrón (carga +|e|), que son solución de energía positiva de la ecuación de Dirac.

0 mcAcei

0 cmcAcei

9


T

c CCU_

*0*

c con Buscamos un operador que conecte la solución


Ec. de Dirac para el electróncon energía negativa.

Ec. de Dirac para el positróncon energia positiva.

0 mcAcei

0 cmcAcei

AA *, xi

xi

*

0**

mcA

ce

xi

0CU 1*UUbuscamos tal que 0*1*

UmcUUA

ce

xi

0*

UmcA

ce

xi 0*

UmcA

ce

i

10


10*010*0 )( CCCC

Determinación de U

recordemos0CU 1*UUy

0

0i

ii

10

010T 0*0pero

1CC T TCC 1 TCC

02iC

Tt CCCiC 102

12, gusando

11 T 22 T 33 T00 Tsabemos , , ,

0,0 C 0,2 C 0,3 C 0,1 C

Conjugación de carga11



*2_

*00 iCCKCT

c

Por lo tanto, el estado conjugado de carga esta dado por

y C Son estados conjugados uno del otro

)()())(())(( 0202*22**22*2 xxxiixi Tccc

)()()( 00220202 xxx Por otra parte, recordando

Si describe el movimiento de una partícula de Dirac con masa m y carga en un potencial , entonces representa el movimiento de una partícula de Dirac con la misma masa m y carga opuesta en el mismo potencial.

0 mcAcei 0 cmcAc

ei

)(x)(xA )(xCe

e

12


Reversión del tiempo

Tendremos invarianza ante reversión del tiempo en la teoríade Dirac si la función de onda transformada

),('),(´),´( txtxTtx

Satisface también la ecuación de Dirac.

tt ' xx '

* Construcción de la transformación.

),(. 0 txeAmeAi

tt ' ),('),(´),´( txtxTtx Inversión del tiempo causa y junto con

),(),(),( 11 txTTtxTHtxTt

TiT

)',('),()',(''

11 txTTtxTHtxTt

TiT

),(),(),(

txtxHt

txi

A

13



Para la ec. de Dirac debe cumplirse al igual que para ),()',(' txTtx

),( tx entonces

)',(')',('),('

txtxHttx

i

B

Comparando A y B

iTiT 1 ),(),(),( 1 txHtxHTtxTH

iTiT 1 ),(),(),( 1 txHtxHTtxTH

a)

b)

a) alteraría el espectro de H. (no aceptado)

b) aceptada. Se debe cumplir lo siguiente,

14


Ya que iTiT 1 KTT 0 k operador de conjugacióncompleja

Ahora determinaremos al operador 0T


iTiT 1Con se sigue que

10

1 ),( TtxeTATmT

),( txH

Sólo si se cumple que 1TT 1TT,

11111 ),())((.),( TtxeTATTTiTTTTtxTH

),(),(. 0121 txeATTmctxeAiTT

15


De lo anterior, tenemos

100 TT 1

00 TT,

ya que es puramente imaginaria, y las otras son reales2

1

1010 TT

21

020 TT

31

030 TT

100 TT

Recordando 12 ijijji

0 ii

122 i

310 iT 131

0 iT ,

Reversión del tiempo16



Con 0 ,el operador de reversión del tiempopuede ser escrito como

KTKiKT 031

31

ii

),(),(),(),(),(),(' *31*31

*00 txitxitxTtxKTtxTtx

17


CAMPO ESCALAR (S=0)

P PARIDAD ( INVERSIÓN ESPACIAL )

)x,t((x',t')x'x'

Transformación deloperador de campo

)()'(')( xxx p

),(),( 1 txPtxP p

),(),( *1 txPtxP tp

t

1P Para preservar la normalización.

Para un campo cargado puede ser escogido arbitrariamente

Para un campo neutral 1P

P

Paridad intrínsica

En la teoría cuantizada

Pi

p e

18


PARIDAD Campo escalar

Obtenemos la transformación de los operadores decreación y de aniquilación.

PARIDAD Campo escalar

),(),( 1 txPtxP p

),(),( *3 txubtxuapd ptpppp

),(),( *113 txuPPbtxuPPapd ptPpp

La inversión del espacio de coordenadas resulta en la reversióndel momento (3dim).

Hbbaapd ptpp

tppp 32 131 PbbaaPpdPHP p

tpp

tpp

ppp aPPa 1

tpp

tp aPPa

*1

tpp

tp bPPb

1

ppp bPPb *1

),(),( txutxu pp

).( xptipp

peNu

Paridad de unestado, cantidadconservada

19

CONJUGACIÓN DE CARGA

)()( 1 xCxC tc

)()( *1 xCxC ct

1c

pcp bCCa 1

tpc

tp bCCa *1

pcp aCCb *1

SIMETRÍAS DISCRETAS Campo escalar

Los operadores de partícula y antipartícula sonIntercambiados.

1CCAdemás

Esta transformación reemplaza unapartícula por la correspondiente

antipartícula.

C unitario.

tpc

tp aCCb 1

20


INVERSIÓN DEL TIEMPO

SIMETRÍAS DISCRETAS Campo escalar

),()','('' txtxxx

Consistencia entre matemática y

física.

config. inicial config. final

),('),(' txtx tT

),(),( 1 txTtxT T ),(),( *1 txTtxT tT

t

Necesitamos un operador antiunitario V

tAVVA )('' 1

),(),(),(' * txtxKtx TT 1

2 T

21


INVERSIÓN DEL TIEMPO campo escalar

Ley de transformación para los operadores de creacióny de aniquilación.

)),(),(( 1*13 txuTTbtxuTTapNd ptpppp

)),(),(( *3 txubtxuapNd ptppppT

La acción de los operadores P y T en el espacio de Hilbert es el mismo, sin embargo T es asociado con una conjugación compleja adicional.

TT

tpT

tp aTTa *1

tpT

tp bTTb 1

pTp bTTb *1

),(),( * txutxu pp pTp aTTa

1

22


CAMPO DE DIRAC

Inversión espacial P

),(),(~

1 spbPspPb ),(),(~

1 spdPspPd

),(),(~

1 spdPspPd tt ),(),(~

1 spbPspPb tt

),(01 txPP 0

_1

_

),( txPP P

1 CTP

h = 1, h = -1

PPP 1Partículas y antipartículas

tienen paridad opuesta.

P cambia una partículacon p y s en la mismapartícula con –p y s.

),(),('),( 0 txtxtx

)( ,0

~

ppp

),(),(~

0 spuspu

),(),(~

0 spvspv

))),(),(),().(( .1.13 xiptxipP espvPspPdespuPspPbpNd

)),(),(),(),(( .0

.0

3~~xpitxpi

p espvspdespuspbpNd

23


)()(_

1 xCCxCT

tT CxCxC )()( 1_

TCC 1

02iC

),(),( 1 spdCspCb ),(),( 1 spbCspCd

),(),( 1 spbCspCd tt ),(),( 1 spdCspCb tt

Los operadores de partícula y antipartícula son intercambiados.

),(),(

),(),(_

_

spuspvC

spvspuCT

s

xiptxipp espvCspCdespuCspCbpNd )),(),(),(),(( .1.13

s

xipT

xipT

tp espvCspdespuCspbpNd )),(),(),(),(( .

_.

_3

CAMPO DE DIRAC


)()()()()( *00 xCxCxKCxx

T

c

24


Inversión del tiempo

),(),( 01 txTTtxT

tTtxTtxT 0

_1

_

),(),(

),(),(),(),('),( *00 txTtxKTtxTtxtx

T~~

*2/10 ),()1(),( spuispuT s )( ,0

~sss

),()1(),(~~

2/11 spdiTspTd s

),()1(),(~~

2/11 spbiTspTb tst ),()1(),(~~

2/11 spdiTspTd tst

),()1(),(~~

2/11 spbiTspTb s

Inversión del tiempo hace el cambio en el vectorde momento y en la dirección de espín.

PTTP 1

CAMPO DE DIRAC

25


Campo electromagnético

),(),( 1 txAPtxPA

),(),( 1 txATtxTA

Notamos que ),(),( txAtxj

),(),( 1 txACtxCA

es invariante ante laaplicación sucesiva de T,P y C.

26


EL TEOREMA CPT

)()( 1 xLxL

TCP es un invariante de la naturaleza.

Para cualquier teoría cuántica de campo local quepueda ser descrita por una densidad lagrangianainvariante de Lorentz, hermiteana y cuyos operadoresde campo satisfacen el teorema espín-estadística, lasiguiente relación se cumple

• La acción integral, las ecuaciones de campo y las relaciones de conmutación son invariantes ante PTC

Constituye una de las predicciones mas fundamentalesde la teoría cuántica de campos.

CPT Descubierto por Schwinger y G. Luders, (1954).

27


• Consecuencia. Las masas y tiempos de vidade partículas y sus antipartículas son exactamenteiguales

Campo escalar

)()( 1 xx t

Campo espín 1/2

)()(_

051 xixT

Campo electromagnético

)()( 1 xAxA

051_

)()( ixx T

Ricardo Pérez M.

Transformación de los campos bajo PTC

28

Mayo 2005

Propiedades de transformación de los covariantes bilinealesbajo C, P, T y PTC.

)(xabS )(~xSba )(

~xSba )( xSab

)(xPab )(~xPba )( xPab

)(xVab )(

~xV ba )(

~xV ba )(xVab

)(xPab )( xPab

)(xTab )(

~xT ba )(

~xT ba )( xTab

)(xTba

)(xPba

)(xVba

)(xPba

)(xSba

C P T PCT

),( txx ),(~

txx ),(~

txx ),( txx

)(~xPba

escalar

pseudoescalar

vector

vector axial

tensor

)(~xPba

),(),(),(),( 5_

5_

txtxtxtx abab

51

0*5

0 )( TT

),(),(),(),( 5_

5_

txtxtxtx baab

)(~xPba

),(),(),(),( 5_

5_

txtxtxtx abab 5050 i

515 CCi

29

Bjorken J.D. y S.D. Drell. Relativistic quantum fields. New York:McGraw-Hill, 1964.

Peskin M. y Schroeder. An introduction to quantum field theory.Perseus Books Group,1995.

Greiner W. Field quantization. Springer-Verlag, Berlin,1986.

Lee T.D. y C.N. Yang, Phys Rev, 104, 254 (1956).

Mori T. y C.S Lim, The physics of the standard model and beyond.World Scientific Publishing, 2004.

Ricardo Pérez M.

REFERENCIAS30

Mayo 2005

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES

GRACIAS.

• Esquemas de gravedad cuántica han sugerido un ligero rompimiento en la simetría de Lorentz o de CTP.

• Diversas observaciones astrofísicas y experimentos de alta precisión están siendo investigados actualmente.

Simetrías discretas pueden emplearse para relacionar el comportamiento de diferentes sistemas físicos, por ejemplo, aquellos que difieren por un intercambio de partículas y antipartículas.

Todas las teorías de campo no interactuantes son invariantes bajo P,T y C pero puede cambiar si interacciones presentes rompen la simetría.

Cualquier teoría de campo relativista debe ser invariante bajo el grupo propio de Lorentz, pero no necesita serlo bajo P,C y T. Sin embargo la operación conjunta TPC (en cualquier orden) es un invariante de la naturaleza.

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ricardo pérez martínez 5 mayo, 2005

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