TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS

1. La ecuaci´on hipergeom´etrica

x(1 − x)y00 + [ γ − ( α + β + 1)x]y0 − y αβ = 0 (1.1)

x ∈R y , , α β γ par´ametros reales.

Dividiendo en (1.1) por x(1 − x) obtenemos (x =6 0, x =6 1)

= 0 (1.2)

lo que demuestra que x = 0 y x = 1 son puntos singulares ya que y

no son funciones anal´ıticas en dichos puntos. Sin embargo:

p0 = lim xP(x) = γ; q0 = lim x2Q(x) = 0 x→0x→0

lo que nos indica que x = 0 es un punto singular regular, por lo que buscamos soluciones del tipo X∞

y(x) = akxk+r, siendo r ra´ız de la ecuaci´on indicial (r − 1)r + p0r + q0 = 0.k=0

r2 − r + r γ = 0 = ⇒ r2 + ( γ − 1)r = 0 = ⇒ r1 = 0 y r2 = 1 − γ

La soluci´on que se obtiene para r = 0 se conoce como funci´on hipergeom´etrica y se denota por 2F1( ,α β;γ;x) o simplemente F( ,α β;γ;x), y viene dada por:

donde hemos introducido los s´ımbolos de Pochhammer

y exigimos que γ 6= 0,−1,−2,....

1

Dado que entonces

nos dice que la funci´on hipergeom´etrica, en realidad la serie que la define, converge en el intervalo |x| < 1.

Si hub´ıesemos optado por r = 1 − γ y asumido que γ 6= 2,3,4,..., el resultado hub´ıese sido

funci´on linealmente independiente con 2F1( ,α β;γ;x). Por lo tanto si γ ∈R−Z la soluci´on general de la ecuaci´on (1.1) en las proximidades de x = 0 ser´ıa:

y(x) = C1 2F1( ,α β;γ;x) + C2x1− γ2F1(1 − γ + ,α 1 − γ + β;2 − γ;x) (|x| < 1)

2. La funci´on hipergeom´etrica

Hemos visto que la funci´on hipergeom´etrica viene dada por

Pasemos a comprobar que tambi´en admite una representaci´on integral. Asumamos que

luego

2

teniendo en cuenta que

y

podemos concluir

3. Propiedades elementales de la funci´on hipergeom´etrica

En esta secci´on mostraremos algunas propiedades, de la funci´on hipergeom´etrica, que son consecuencia inmediata de su definici´on como suma de una serie de potencias.

1. propiedad de simetr´ıa

2F1( ,α β;γ;x) = 2F1( ,β α;γ;x)

2.

3.

Para simplificar la escritura, usaremos la notaci´on

2F1( ,α β;γ;x) ≡ F 2F1( α ± 1,β;γ;x) ≡ F( α ± 1)

2F1( , α β ± 1;γ;x) ≡ F( β ± 1) 2F1( ,α β; γ ± 1;x) ≡ F( γ ± 1)4.

( γ − α − β)F + α(1 − x)F( α + 1) − ( γ − β)F( β − 1) = 0

5.

( γ − α − 1)F + Fα ( α + 1) − ( γ − 1)F( γ − 1) = 06.

γ(1 − x)F − Fγ ( α − 1) + ( γ − β)xF( γ + 1) = 0

3

7.

( γ − α − β)F + β(1 − x)F( β + 1) − ( γ − α)F( α − 1) = 0

8.

( γ − β − 1)F + Fβ ( β + 1) − ( γ − 1)F( γ − 1) = 0

9.

γ(1 − x)F − Fγ ( β − 1) + ( γ − α)xF( γ + 1) = 0

10.

( α − β)F − Fα ( α + 1) + Fβ ( β + 1) = 0

Existen relaciones similares entre la funci´on 2F1( ,α β;γ;x) y cualquier par de funciones de la forma 2F1( α ± l, β ± m; γ ± n;x) donde l,m,n ∈N, por ejemplo

11.

12.

13.

14.

Estas u´ltimas cuatro igualdades pueden ser probadas directamente usando la representaci´on como serie de 2F1( ,α β;γ;x) o bien usando repetidamente las igualdades anteriores a ellas.

4. Evaluacio´n del lim− 2F1( ,α β;γ;x) para γ −

α − > β 0 x→1

Supongamos γ − α − > β 0 y que > > γ β 0

4

Nota: La justificaci´on de la introducci´on del l´ımite dentro de la integral es que la integral

es uniformemente convergente para 0 ≤ x ≤ 1, para demostrarlonotemos que 1 − t ≤|1 − xt|≤ 1, para 0 ≤ x ≤ 1 y por tanto |tβ−1(1 − t)γ−β−1(1 − xt)−α|≤

tβ−1(1 − t)λ−1, donde y como quedar´ıa demostrada la convergencia uniforme para 0 ≤ x ≤ 1.

En realidad la condici´on de que > > γ β 0 podr´ıa debilitarse. Supongamos γ − α − > β 0 , γ − >β −1, > β −1

Haciendo uso de la relaci´on γ( γ +1)2F1( ,α β;γ;x) = γ( γ −α+1) 2F1( , α β +1; γ +2;x)+α[ γ −( γ −β)x]

2F1(α+1, β +1; γ +2;x) podemos obtener que

Repitiendo este proceso, puede demostrarse por inducci´on que

siempre que γ − α − > β 0

5. La funci´on hipergeom´etrica confluente

Adem´as de la funci´on 2F1( ,α β;γ;x), otra funci´on, denominada funci´on hipergeom´etrica confluente, juega un papel importante en la teor´ıa de funciones especiales:

Veamos que el radio de convergencia de la serie es infinito

No es complicado comprobar que

5

Propiedades:

1.

2.

3.

( γ − α − 1) 1F1 + α 1F1( α + 1) − ( γ − 1) 1F1( γ − 1) = 0

4.

γ 1F1 − γ 1F1( α − 1) − x 1F1( γ + 1) = 0

5.

( α − 1 + x) 1F1 + ( γ − α) 1F1( α − 1) − ( γ − 1) 1F1( γ − 1) = 0

6.

γ( α + x) 1F1 − αγ 1F1( α + 1) − ( γ − α)x 1F1( γ + 1) = 0

7.

( γ − α) 1F1( α − 1) + (2 α − γ + x) 1F1 − α 1F1( α + 1) = 0

8.

γ( γ − 1) 1F1( γ − 1) − γ( γ − 1 + x) 1F1 + ( γ − α)x 1F1( γ + 1) = 0

9.

10.

6. Representacio´n de varias funciones en t´erminos de funciones hipergeom´etricas

1. La funci´on hipergeom´etrica 2F1( ,α β;γ;x) se reduce a un polinomio si α = 0,−1,−2,... ´o β = 0,−1,−2,..., por ejemplo:

2F1( ,α 0;γ;x) = 1 ;

6

2. Haciendo uso de los desarrollos en serie de algunas funciones podemos expresar ´estas en t´erminos de 2F1( ,α β;γ;x), por ejemplo:

luego

ln(1 − x) = −x 2F1(1,1;2;x)

3. En cuanto a la funci´on hipergeom´etrica confluente:

7. Funciones hipergeom´etricas generalizadas

Consideremos la serie de potencias

(p,q = 0,1,2,3,...) con p ≤ q + 1, x ∈R; αr,γs ∈R; (γs 6= 0,−1 − 2,....)

La suma de la serie se denomina funci´on hipergeom´etrica generalizada y se denota por

!

o de forma m´as abreviada

La funci´on q+1Fq(αr;γs;x) est´a definida para |x| < 1 y las pFq(αr;γs;x) con p ≤ q en todo R.

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Ejemplos:

La funci´on pFq(αr;γs;x) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial

" Y q Yp #

δ ( δ + γs − 1) − x ( δ + αr) y = 0s=1 r=1

ddonde δ denota al operador diferencial x dx Nota:

• Si p = q = 1

• Si p = 2, q = 1

x(1 − x)y00 + [γ1 − (α1 + α2 + 1)x]y0 − α1α2y = 0

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