rezumatul tezei de doctorat doctorand, c …...1.2. introducere: ’’o istorie lungă pe...
TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA „ALEXANDRU IOAN CUZA” DIN IAȘI
FACULTATEA DE FIZICĂ
CONTRIBUȚII LA STUDIUL UNOR
EFECTE LA MICRO ŞI MACRO SCARĂ
UTILIZÂND DINAMICA NELINIARĂ
REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
Doctorand, Conducător ştiinţific,
Boicu Maria Prof.Univ.Dr.Maricel Agop
Iași 2015
Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”din Iaşi
Vă facem cunoscut că în ziua de 10.10.2015, ora 10:00, în sala L1, doamna
Maria Boicu va susţine în şedinţă publică, teza de doctorat cu titlul
”Contribuţii la studiul unor efecte la micro şi macro scară utilizând
dinamica neliniară”, în vederea obţinerii titlului ştiinţific de doctor în
domeniul fundamental Ştiinţe Exacte, domeniul Fizică.
Comisia de doctorat are următoarea componenţă:
Preşedinte: Prof. univ. dr. Diana Mardare, Director Şcoală Doctorală
Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi
Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. Maricel Agop, Universitatea
”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi
Referenţi: Prof. univ. dr. Viorel - Puiu Păun, Universitatea Politehnică din
Bucureşti
Prof. univ. dr. Dumitru Vulcanov, Universitatea de Vest din
Timişoara
Conf. univ. dr. Dan Gheorghe Dimitriu, Universitatea
”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi
Vă invităm pe această cale să participaţi la şedinţa publică de susţinere a tezei.
Mulțumiri
Această lucrare a fost finanţată din contractul
POSDRU/159/1.5/S/137750, proiect strategic ’’Programe doctorale şi
postdoctorale - suport pentru creşterea competitivităţii cercetării în
domeniul Stiinţelor exacte’’ cofinanţat din Fondul Social European,
prin Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor
Umane 2007-2013.
Cuprinsul tezei
Introducere …………………………………………………………….….. 5
Capitolul I
De la diferențiabilitate la fractalitate. Un mesaj Newtonian pentru
cuantificare
1.1. Scop ...................................................................................................... 6
1.2. Introducere ’’O Istorie lungă pe scurt’’………..................................... 7
1.3. Forţele în atomul cuantificat de Bohr .................................................... 8
1.4. Discuţia celor două forţe............................................................... ....... 13
1.5. O întrebare tipic Newtoniană............................................................. . 14
1.6. Prima sugestie: cele două forţe în Istorie............................................. 16
1.7. A doua sugestie: evoluţia ipotezelor cuantice. .....................................17
1.8. Concepte clasice suficiente: cazul orbitelor......................................... 18
1.9. Spirala şi forţa ei caracteristică......………………………….….…… 22
1.10. Un suplement referitor la sl(2, R)…....................................................23
1.11. Mesajul clasic propriu-zis …..……………………………….….… 24
1.12. Spirala ’’element’’ fundamental al tranziţiei nefractal –fractal …..…25
1.13. Perspective ……………………………….…………………….……27
1.14. Bibliografie ….………………………………………………….…..30
Capitolul II
Relativitatea de scală în dimensiune fractală arbitrară constantă pe
varietăți tridimensionale
2.1. Scop.......................................................................................................32
2.2. Consecințe ale nediferențiabilității pe o varietate spațială
tridimensională.............................................................................................. .33
2.3. Derivata covariantă...............................................................................35
2.4. Ecuaţiile geodezicelor...........................................................................38
2.5. Varianta de tip Schrödinger a ecuaţiei geodezicelor.............................39
2.6. Varianta de tip Madelung a ecuaţiei geodezicelor.
Ecuaţiile hidrodinamicii fractale………………………………………..…..40
2.7. Ruperea spontană de simetrie la scală fractală.
Topologie fractală şi elemente de logică fractală...........................................44
2.8. Efect de memorizare şi anomalii în nanostructuri.................................47
2.9. Particula liberă în hidrodinamica fractală.
Mimarea efectului Hubble..............................................................................48
2.10. Dinamici în plasme de ablaţie..............................................................50
2.11. Perspective...........................................................................................57
2.12. Bibliografie..........................................................................................58
5
Capitolul III
Relativitatea de scală în dimensiune fractală arbitrară constantă pe o
varietate spaţiu-timp
3.1. Scop ..…..………………………………………………….….……..62
3.2. Consecințe ale nediferențiabilității pe o varietate
spațiu-timp……….………………………………………………………….62
3.3. Construcția operatorului fractal de mișcare pe o varietate
spațiu-timp..................................................................................... ............... 65
3.4. Geodezicele unui spațiu-timp fractal......................................................68
3.5. Ecuația fractală de tip Klein-Gordon .....................................................69
3.6. Potențialul și forța fractală.
Legea de conservare a densității de stări........................................................71
3.7. Energia și masa proprie fluctuantă generalizată.....................................72
3.8. Perspective..............................................................................................74
3.9. Bibliografie.............................................................................................76
Capitolul IV
Tranziții de tip ordine-haos în plasme de descărcare via
nediferențiabilitate. Investigații experimentale și teoretice
4.1. Scop....................................................................................... .................78
4.2. Introducere.............................................................................................78
4.3. Rezultate experimentale.........................................................................80
4.4. Model teoretic
4.4.1. Ecuația de mișcare...........................................................................86
4.4.2. Haoticitate prin turbulență și stohasticitate via
nediferențiabilitate....................................................................................88
4.4.3. Clonare totală și fracționară a funcţiei de undă pentru o groapă
dreptunghiulară unidimensională.
Criterii de evoluție spre haos....................................................................90
4.4.4. Scale temporale.............................................................................90
4.4.5. Evoluții în timp ..............................................................................91
4.4.6. Mimarea criteriilor de evoluție spre haos.......................................91
4.5. Concordanța dintre modelul teoretic și datele experimentale.................93
4.6. Perspective............................................................................ ...............100
4.7. Bibliografie...........................................................................................101
Concluzii generale......................................................................................103
Bibliografie generală......................………………………………..……..106
Publicații ………..………………….…………………………………….113
Rezumatul tezei de doctorat păstrează numerotarea capitolelor, a paragrafelor din teză,a formulelor precum şi a figurilor.
6
Introducere
Convinşi fiind de faptul că gândirea cuantică trebuie să fie o continuare
logică a filozofiei naturale, prezenta teză de doctorat explicitează
universalitatea fractalităţii atât ca proprietate morfologică cât şi funcţională a
dinamicilor sistemelor complexe şi aceasta de la cea mai mică scală de
rezoluţie (scala Planck) la scală cosmologică.
În primul capitol se specifică tipul de fractalitate prin admisibilitatea
preceptelor mecanicii clasice în microcosmos în problema Kepler a mişcării.
Capitolul doi explicitează această fractalitate prin construcţia unei teorii a
relativităţii de scală într-o dimensiune fractală arbitrară constantă pe o varietate
tridimensională, pornind de la principii, operator de mişcare, ecuaţia
geodezicelor etc. şi sfârşind cu unele aplicaţii (elemente de logică fractală,
efectul de ’’memorizare’’ şi ’’anomalii’’ în nanostructuri, mimarea legii lui
Hubble, dinamici în plasme de ablaţie etc.). Toate rezultatele din capitolul II,
exceptând aplicaţiile, sunt extinse în capitolul III prin construcţia unei
relativităţi de scală într-o dimensiune arbitrară constantă pe o varietate spaţiu-
timp, ceea ce implică atât generalizarea Teoriei Relativităţii Restrânse a lui
Einstein cât şi a teoriei dublei soluţii a lui de Broglie.
În ultimul capitol sunt prezentate diverse criterii de evoluţie spre haos
(dublare de perioadă, cvasiperiodicitate, cascadă de bifurcaţii subarmonice,
intermitenţe) atât în aproximaţia dispersivă a mişcării cât şi în cea disipativă a
ei utilizând teoria relativităţii de scală într-o dimensiune fractală arbitrară
constantă pe o varietate tridimensională. Modelul teoretic astfel construit este
validat experimental pe baza variatelor comportamente ale unui sistem cu
plasmă în care există o’’minge’’ de foc în stare dinamică.
Capitolul I
De la diferențiabilitate la fractalitate. Un mesaj Newtonian pentru
cuantificare
1.1. Scop Ecuaţiile dinamicii Kepleriene sunt invariante de scală. Aceasta semnifică
faptul că însuşi modelul dinamic descris de către aceste ecuaţii este invariant
în raport cu scala spaţială: ar trebui să fie valid atât la nivel microscopic cât şi
la nivel macroscopic. De ce atunci este necesară prima cuantificare? Ne oferă
ea mai multe informaţii inaccesibile, de regulă, prin fizica clasică? Modelul lui
Bohr de cuantificare, care a generat prima cuantificare, este reanalizat aici ca
un exemplu Newtonian de filozofie naturală: forţa specifică implicată în model
trebuie să ţină cont de unele observaţii experimentale legate de mişcare.
7
Rezultă de aici că singurul lucru ce merită a fi luat în considerare din domeniul
’’revoluţiei cuantice’’ este inspiraţia pe care o generează, de exemplu în
probleme de astrofizică [1,2], ramură a fizicii care a contribuit de fapt la
iniţierea teoriei cuantice. Această inspiraţie a existat în istoria fizicii, dar a fost
pierdută din cauza mentalităţii noastre care tinde să vadă ’’lucrurile cuantice’’
diferit şi mai fundamental decât ’’ lucrurile clasice’’. Acest capitol îşi
propune să prezinte toate aceste lucruri într-o singură ordine clasică şi prin
urmare să explice unele dintre descoperirile teoretice cuantice din fizica
contemporană.
Practic există o simetrie fundamentală a dinamicii clasice şi anume aceea de
a fi invariantă la schimbarea scalei spaţiale şi temporale. Aceasta înseamnă că
acea dinamică determinată de forţele centrale invers proporţionale cu pătratul
distanţei este valabilă la orice scară a universului cunoscut. Aşadar dinamica
invariantă descrie, oriunde în structura materiei, mişcări de tip Kepler. Simetria
se rupe spontan, la orice scală, pentru aceste structuri bazate pe elemente
Kepleriene. Mai precis, ruperea simetriei înseamnă o structură complexă a
materiei în care mişcarea Kepler este elementul fundamental. Forţa
corespunzătoare acestei structuri este de tip central invers proporţională cu
puterea a treia a distanţei. Avem astfel un caz concret de structurare a materiei
care specifică într-un fel ’’cum este formată natura din atomi’’. Se arată astfel
că procesul de cuantificare este universal, în sensul că este invariant cu scala
spaţială a percepţiei materiei (adică prin fractalitate).
1.2. Introducere: ’’O Istorie lungă pe scurt’’ Capitolul de faţă readuce problema descrierii materiei ca un organism.
Redăm aici, dintr-un punct de vedere modern, ideea de forţă newtoniană şi pe
cea de structură a materiei corelată cu acea forţă, pe baza căreia să putem
reprezenta materia ca un organism. În definitiv, concepţia lui Kepler a fost de
fapt şi concepţia lui Newton: materia are inteligenţă!
1.3. Forţele în atomul cuantificat de Bohr
Atunci când tratăm atomul planetar ca un moment al filozofiei naturale
newtoniene, noul fapt experimental legat de efectele electrodinamice impune
nu numai existenţa forţei care a generat modelul dinamic planetar clasic, ci şi
o forţă în plus a cărei mărime depinde invers proporţional cu puterea a treia a
distanţei. Desigur, concluzia nu este chiar directă ca în prototipul clasic al
problemei, ci este cumva ‘‘defectă’’ datorită combinării faptului experimental
cu ipotezele care ulterior au fost luate ca semn al “noului mod de gândire
revoluţionară”. În ciuda acestei împrejurări, există totuşi motive clare pentru a
considera ambele forţe în modelul ca atare, indiferent de scara spaţială la care
îl folosim. Într-adevăr, primul semn al acestei universalităţi este acela că
ipotezele cuantice sunt insuficiente aşa cum au fost ele formulate la origine de
8
către Bohr şi au trebuit să fie îmbunătăţite într-un mod ce implică în mod
explicit ambele forţe într-un raţionament clasic. Am zice aşadar că, în măsura
în care ele sunt strâns legate de forma îmbunătăţită a ipotezelor cuantice, aceste
două forţe trebuie să poarte cumva un mesaj fundamental legat de ideea de
cuantificare.
1.4. Discuţia celor două forţe
Nimic nou peste rezultatele clasice până acum şi dacă n-ar fi fost cazul să ne
întrebăm asupra formei orbitei corespunzătoare atomului stabil, poate că
dinamica clasică n-ar fi fost prin nimic afectată. Într-adevăr, atâta timp cât
lumina este considerată un fenomen electromagnetic, ştim precis că atomul
planetar clasic trebuie să emită continuu energie, datorită faptului că mişcarea
de revoluţie a electronului este accelerată. Concepţia energetică asupra lumii,
ne permite să echivalăm emisia de radiaţie cu pierderea de energie şi cum
emisia trebuie să fie continuă, pierderea de energie trebuie să fie continuă.
Aceasta duce inevitabil la distrugerea structurii atomului planetar. Cum atomul
se pare că este o structura stabilă, o ultimă raţiune clasică ar fi aceea că
electronul trebuie să se mişte în structura sa pe orbite în care nu emite radiaţie
electromagnetică. S-ar pune deci problema să găsim acele orbite.
1.5. O întrebare tipic Newtoniană
Nefirescul adus de abordarea lui Bohr a interacţiei dintre atomi şi radiaţie,
este acela că radiaţia depinde de fapt numai de tranziţia între orbitele clasice.
Aşadar, din punct de vedere clasic, atâta timp cât un electron stă pe aceeaşi
orbită închisă, n-ar trebui să emită radiaţie. Pe de altă parte, datorită faptului
că în revoluţie există totdeauna o acceleraţie, electronul trebuie să emită
radiaţie, conform regulilor electrodinamicii. Teoria clasică ajunge astfel la o
contradicţie internă, ceea ce a impus, cum se ştie, apariţia mecanicii cuantice.
Ar mai rămâne o şansă: să existe într-adevăr orbite în lungul cărora electronul
să nu emită lumină – orbite “fără radiaţie” cum le numeşte Wilson. El a arătat
[3] că există asemenea orbite, însă ele nu sunt elipse, ci trebuie căutate printre
spiralele logaritmice. Într-adevăr, există o clasă de traiectorii spirale ale
electronului, în lungul cărora, dacă el se mişcă, nu emite radiaţie. Wilson le-a
dedus pe baza a ceea ce se cunoaşte astăzi ca putere radiativă a unei sarcini ce
se mişcă neuniform (pentru o prezentare modernă a conceptului a se vedea [4]).
Această putere radiativă se anulează, deci sarcina în mişcare nu emite radiaţie,
în cazurile în care derivata secundă a vectorului viteză este perpendiculară pe
vectorul viteză însuşi. Mărimea forţei responsabile pentru determinarea
traiectoriilor neradiative ale electronului este de forma:
9
𝐹(𝑟) =𝑎2𝐵(1 + 휀2)
𝑟3 (1.19)
Condiţia ne-radiativă ar conduce la ideea de a accepta o premiză diferită de
cea care a condus la modelul lui Rutherford, deoarece spirala nu este o orbită
închisă aşa cum cere modelul. Cum poate totuşi fi o spirală logaritmică parte a
unei structuri clasice stabile?
1.6. Prima sugestie: cele două forţe în Istorie
Newton a reuşit să rezolve problema dinamică a orbitelor în revoluţie printr-
o forţă centrală cu mărimea depinzând exclusiv de distanţă. Această mărime
este aici o combinaţie liniară dintre mărimea forţei de gravitaţie newtoniană
propriu-zisă şi mărimea forţei invers proporţională cu puterea a treia a
distanţei, responsabilă pentru explicaţia dinamică a orbitei spirale
𝐹′(𝒓) = 𝐹(𝒓) +𝑐
𝑟3 (1.20)
1.7. A doua sugestie: evoluţia ipotezelor cuantice
Orbita circulară este insuficientă pentru construcţia teoriei cuantice, exact la
fel cum ea a fost insuficientă pentru modelul planetar iniţial construit de
Copernic. N-a fost exprimată totuşi niciodată vreo opinie care să recunoască
faptul că ea este insuficientă pentru a respinge filozofia naturală clasică din
spaţiul microscopic.
1.8. Concepte clasice suficiente: cazul orbitelor
Cazul primei cuantificări nu este o excepţie: teoria clasică a fost – şi din
nefericire, încă este! – condamnată numai pe baza cercului, pe când ea produce
de fapt, prin dinamica pe care o promovează pentru problema în speţă, elipse.
Prin alegerea cercului se face o confuzie între un parametru fizic de natură
geometrică – raza orbitei – şi o coordonată geometrică – distanţa radială faţă
de centrul de forţă.
În realitate, în cazul elipsei avem de-a face cu cel puţin trei parametri
geometrici ce trebuie luaţi în considerare din punct de vedere fizic,
reprezentând dimensiunile şi orientarea elipsei. Deci, un salt cuantic –
menţinem ideea de salt! – între două orbite, înseamnă din punct de vedere
matematic o tranziţie între două triplete de numere reale.
Cu alte cuvinte, vom lua ecuaţia generală a unei secţiuni conice în planul
său, în forma obişnuită:
𝑓(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑎11𝑥2 + 2𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦
2 + 2𝑎13𝑥 + 2𝑎23𝑦 + 𝑎33 = 0 (1.23) Aşadar, o anumită elipsă este de fapt reprezentată printr-un set de cinci numere:
𝒂 şi |𝑎3. Fie sistemul de ecuaţii Hamilton:
10
|�̇� ≡ 𝐢 ∙ (𝒂|𝑥 + |𝑎3); 𝒊 ≡ (0 −11 0
) (1.26)
Vectorul din partea dreaptă a acestei ecuaţii este tangent la orbită, iar derivata
temporală se defineşte în raport cu un timp ales în mod adecvat. Are deci sens
să punem întrebarea simplă, pur newtoniană: care sunt orbitele coresunzătoare
aceluiaşi vector viteză? Ecuaţia (1.26) ne arată că ele sunt date de următoarea
ecuaţie diferenţială de legătură între parametrii orbitelor şi coordonatele
punctelor din plan care au aceeaşi viteză:
𝑑(𝒂|𝑥 + |𝑎3) = |0 ∴ |𝑑𝑥 + (𝒂−1𝑑𝒂)|𝑑𝑥 + 𝒂−1 |𝑑𝑎3 = |0 (1.27)
Ultima dintre aceste ecuaţii reprezintă un fel de “evoluţie geometrică” a
poziţiilor ce au acelaşi vector viteză. Rezultatul integrării ecuaţiei (1.27) ne va
da locul geometric al acelor puncte. Se poate vedea că evoluţia geometrică de-
a lungul acelui loc geometric este cantitativ dictată de variaţia coordonatelor
orbitelor. Să vedem un caz particular al acelui loc geometric
|∆t ∙ 𝑥(𝑡) = (𝑐ℎ 𝑡) (1 00 1
)|∆(0) ∙ 𝑥(0)+
+(𝑠ℎ 𝑡
𝑣0) (𝑢0 𝑢0
2 − 𝑣02
−1 −𝑢0) |∆(0) ∙ 𝑥(0) (1.36)
în condiţii iniţiale adecvate. Locul geometric al acestor puncte se poate obţine
prin eliminarea “timpului hiperbolic” 𝑡 dintre 𝑥 şi 𝑦. Evident că, dacă legea
ariilor este satisfăcută – ceea ce, de fapt constituie condiţia esenţială a
problemei Kepler caracteristice modelului – eliminarea lui 𝑡 duce la o spirală
logaritmică, definită până la o transformare proiectivă.
Punctele diferitelor orbite caracterizate de un acelaşi vector forţă urmează
un anumit loc geometric în planul mişcării. În condiţii speciale, ce includ pe
cele ale mişcărilor Kepleriene, acel loc geometric este o spirală logaritmică.
1.9. Spirala şi forţa ei caracteristică
Suntem îndreptăţiţi în a considera spirala o traiectorie legitimă a teoriei.
Totuşi, ea nu este o traiectorie dinamică veritabilă, aşa cum ne prezintă teoria
clasică acest concept, ci un loc geometric de tranziţie între orbitele dinamice,
aşa cum arată teoria cuantică. Cu alte cuvinte, chiar şi tranziţiile cuantice pot
fi descrise prin transformări clasice, însă între orbite, exact aşa cum au fost ele
concepute de către Bohr.
1.10. Un suplement referitor la sl (2, R)
Unghiul Hannay propriu-zis al problemei noastre, descoperit iniţial pentru
problema oscilatorului în planul fazelor, se dovedeşte că este totuşi un
instrument universal, în orice fel de probleme fizice legate de familii de conice
𝑑˄𝜔1 = 𝜔1˄𝜔2; 𝑑˄𝜔2 = −2𝜔3˄𝜔1 ; 𝑑˄𝜔3 = 𝜔2˄𝜔3 (1.40) Ecuaţiile (1.40) conduc la structura caracteristică pentru o algebră sl(2, R).
11
1.11. Mesajul clasic propriu-zis
Modelul planetar reprezintă deci o simetrie reprezentată dinamic, prin
invarianţa la scală spaţială şi temporală, iar cuantificarea înseamnă de fapt
ruperea acestei simetrii. Forţa corespunzătoare ruperii simetriei este forţa
centrală invers proporţională cu puterea a treia a distanţei. Ea este, din punct
de vedere clasic, forţa centrală ce generează spiralele logaritmice.
Ele sunt vizibile în cazul galaxiilor, apoi ele sunt responsabile pentru procesul
de cuantificare.
1.12. Spirala ’’element’’ fundamental al tranziţiei nefractal-fractal
Întrucât în contextul anterior menţionat spirala joacă un rol fundamental să
o analizăm din punctul de vedere cel mai general de aşteptat: o “teorie’’ care
matematic se bucură fie de continuitate spaţială însă nu materială, fie de
continuitate materială, dar nu spaţială. Cel mai bun candidat pare a fi o teorie
fractală, în care continuitatea nu este neapărat însoţită de diferenţiabilitate.
Figura 1.1 Spirala în coordonate polare
Spirala are doar un singur punct fractalic şi acela este originea ei. Dintr-o
asemenea perspectivă spirala devine “elementul’’ fundamental al tranziţiei
nefractal-fractal: extinderea materiei în spaţiu şi a spaţiului în materie, ceea ce
implică faptul că este imposibil de a identifica reperul fizic cu cel matematic,
are ca finalitate nediferenţiabilitatea şi în particular şi fractalitatea (pentru
detalii se pot consulta referinţele [5] şi [6]).
1.13. Perspective
Prezentul capitol reprezintă o discuţie critică a mecanicii cuantice a atomului
de hidrogen, cu concluzia că ea este, mai degrabă, o continuare armonioasă a
12
mecanicii clasice şi nu o rupere de acest mod de gândire.
Mai întâi analizăm problema mecanică, care este cât se poate de bine
definită: o problemă Kepler. În domeniul microscopic această problemă diferă
de varianta sa clasică doar prin faptul că lumina prevalează asupra fenomenului
gravitaţional, estompându-l. În varianta clasică gravitaţia este, din contra,
fenomenul exclusiv căruia trebuie să-i corespundă mişcarea descrisă de model.
Este deci logic să ne punem problema sub forma: sunt legile mecanicii valabile
ca atare şi în microcosmos? Curentul de gândire contemporană la modă – în
forma unor ramuri ale mecanicilor cuantică şi ondulatorie – are aici un răspuns
categoric negativ. Totuşi acest răspuns este cumva tautologic: el porneşte a
priori de la teza că mecanica clasică nu-i valabilă în microcosmos.
Punctul nostru de vedere este acela că, din contră, preceptele mecanicii
clasice sunt complet admisibile în microcosmos: aceasta este o teoremă
matematică – teorema lui Mariwalla – şi nu o ipoteză. Ea stipulează că modelul
clasic newtonian de descriere a mişcării este transcendent scalelor spaţială şi
temporală, cu condiţia ca forţa care domină mişcarea să fie cea de mărime
invers proporţională cu pătratul distanţei dintre punctul ce crează acea forţă şi
punctul ce se mişcă sub acţiunea ei. Cum de a fost atunci posibilă mecanica
cuantică?
Capitolul se concentrează asupra acestui punct, redând o analiză a lui Edwin
Wilson din 1924, ale cărei concluzii arată că, în ipotezele cuantice ale lui Niels
Bohr, forţa centrală responsabilă pentru mişcarea electronului în atom nu este
unică. Într-adevăr, dacă în cazul clasic, problema acestei mişcări poate fi decisă
de forţa centrală invers proporţională cu pătratul distanţei, postulatele cuantice
sunt expresia unei forţe în plus: o forţă centrală cu mărime invers proporţională
cu puterea a treia a distanţei.
Ajunşi la acest punct ne concentrăm asupra istoriei celor două forţe. Mai
întâi avem concluzia că Newton însuşi le cunoştea foarte bine. Luate separat
într-o problemă de mişcare ele conduc la rezultate esenţiale, redate de către
însuşi Newton în Principia. Anume, forţa invers proporţională cu pătratul
distanţei conduce la traiectoria eliptică a problemei Kepler clasice, în timp ce
forţa invers proporţională cu puterea a treia a distanţei conduce la spirale
logaritmice.
O analiză logică a acestei concluzii a lui Newton, din punctul de vedere al
filozofiei naturale clasice, ne duce la aceleaşi concluzii ca modelul clasic al
atomului de hidrogen: mai devreme sau mai târziu atomul se va distruge. Într-
adevăr, un electron ce se mişcă de-a lungul unei spirale logaritmice va sfârşi
inevitabil, fie prin a părăsi structura atomică, fie prin a fi înghiţit de nucleu,
concluzii în perfectă concordanţă cu epuizarea energetică a modelului planetar.
Prin urmare, în cadrul clasic, teoria fizică este în acord cu fenomenologia.
Deficienţa modelului bazat pe spirala logaritmică este însă aceea că, după
preceptele clasice, un asemenea atom nu poate fi stabil. Într-adevăr, stabilitatea
13
clasică este judecată mai ales prin aceea că mişcarea descrisă de model trebuie
să aibă o traiectorie închisă, iar spirala logaritmică este, evident, o traiectorie
deschisă.
Bazaţi pe faptul că forţa invers proporţională cu puterea a treia a distanţei
rupe “simetria Mariwalla”, adică simetria fundamentală a sistemului clasic ce
descrie atomul, dar totuşi convinşi că gândirea cuantică trebuie să fie o
continuare logică a filozofiei naturale clasice, am căutat o explicaţie. Ea ne-a
parvenit prin duplicitatea condiţiei cuantice, care se referă, pe de o parte, la
acţiune, iar pe de altă parte la momentul cinetic, mărimi fizice de aceeaşi
natură, dacă este să le judecăm prin dimensiunile lor. Considerarea
momentului cinetic în problema cuantică a atomului de hidrogen are o istorie
aparte, ce duce, în primul rând, la îmbunătăţirea postulatului cuantic, începută
de Arnold Sommerfeld în 1916. Clasic vorbind, acea îmbunătăţire ia în
consideraţie rotaţia orbitelor ca întregi, subiect care însă nu i-a fost străin nici
lui Newton. El are aici rezultatul clasic esenţial că forţa centrală de mărime
invers proporţională cu puterea a treia a distanţei poate fi considerată mai
degrabă o forţă de tranziţie între orbitele eliptice.
La acest moment, ideea de “tranziţie între orbitele electronice” ne duce cu
gândul la postulatul lui Bohr, conform căruia lumina este datorată tranziţiei
dintre orbitele electronice. Acest capitol arată că ideea de cuantificare descrie
un fenomen universal al lumii în care trăim şi că tranziţia este cu totul naturală
în cadrul clasic: ea are loc între orbite electronice, cu condiţia să le descriem
aşa cum trebuie, adică printr-o problemă Kepler clasică în toată generalitatea
ei. Scoatem în evidenţă faptul că punctele spaţiale de tranziţie între orbite se
află totdeauna pe o spirală logaritmică. Demonstrăm că, din punctul de vedere
al luminii, aceasta este traiectoria pe care electronul nu emite câmp
electromagnetic. Aşadar, atât timp cât lumina este un fenomen
electromagnetic, nu există nici o discrepanţă între filozofia naturală clasică şi
cea cuantică, întrucât spirala logaritmică nu este traiectorie, ci loc geometric al
punctelor de tranziţie între orbite determinate de forţa invers proporţională cu
pătratul distanţei.
Din punctul de vedere al tehnicii de calcul, acest capitol scoate în evidenţă
valabilitatea universală a unghiului clasic al lui Hannay, ce are aici o
semnificaţie aparte: el descrie mişcarea centrului de forţă concordant cu
tranziţia cuantică de la orbită la orbită. Concluzia ne permite să sperăm că,
descriind mişcarea centrului de forţă ca pe un fenomen stohastic, vom putea
preciza, pe de o parte, tranziţia fizică de la haos la determinism în domeniul
microscopic. Pe de altă parte, ea ne deschide o cale matematică pentru
introducerea fractalităţii – fenomen ce pare evident în lumea noastră chiar şi la
nivelul simţurilor obişnuite – în descrierea fenomenelor naturale.
14
Capitolul II
Relativitatea de scală în dimensiune fractală arbitrară constantă pe
varietăți tridimensionale
2.1. Scop
În prezentul capitol vom construi o teorie a mișcării dependentă atât de
coordonate spațiale și temporale cât și de scala de rezoluție. Ipoteza
fundamentală pe care aceasta este construită este faptul că unitățile structurale
ale ale unui sistem complex [7-10] se deplasează pe curbe continue și
nediferențiabile într-o varietate tridimensională. Atunci coordonatele spațiale
sunt fractali iar timpul nu este un fractal, fiind asimilat parametrului afin al
curbei de mișcare. Mai mult, scala de rezoluție 𝛿𝑡 se identifică prin principiul
substituției cu diferențiala temporală 𝑑𝑡, 𝛿𝑡 ≡ 𝑑𝑡 ceea ce face ca aceasta să
devină o variabilă independentă de mișcare.
Într-un asemenea cadru s-au obținut ecuațiile geodezice și de aici, în
reprezentarea prin funcție de undă, varianta Schrödinger a lor, iar în
reprezentarea Madelung varianta hidrodinamică a lor. În final am prezentat
câteva aplicații precum generarea elementelor de logică fractală, efectul de
memorizare, ”anomalii” în nanostructuri, mimarea efectului Hubble,
comportamente ale plasmei de ablație, etc.
Vom prezenta pe scurt câteva dintre aplicațiile mai sus menționate.
2.7. Ruperea spontană de simetrie la scală fractală. Topologie fractală
şi elemente de logică fractală Dacă reconsiderăm setul de ecuații al hidrodinamicii fractale și considerăm
o expresie adecvată pentru potențialul fractal, se arată că în cazul staționar
dinamicile unui sistem complex în variabile adimensionale sunt descrise de o
ecuație fractală de tip Ginzburg-Landau:
𝑑2𝑓
𝑑𝜉2= 𝑓3 − 𝑓 (2.71)
Soluţia de energie finită este o soluție kink fractală căreia i se poate asocia
o topologie specială. Astfel soluţia kink fractală poate fi obţinută ca o mapă a
unei sfere zero - dimensionale, S0, luată la infinit pe vidul fractal dublu
degenerat indus de ecuaţia (2.71). Grupul homotopic fractal corespunzător
acestui model este ∏0𝑘(𝛧0𝑘) = 𝑍2𝑘 , aşa încât modelul admite două soluţii:
soluţia constantă și soluţia kink fractală.
Sarcina topologică fractală asociată este:
𝑞 =1
2∫ 𝑗(𝜉)𝑑𝜉 =
1
2
+∞
−∞
∫𝑑𝑓
𝑑𝜉
+∞
−∞
𝑑𝜉 =1
2[𝑓(+∞) − 𝑓(−∞)] (2.81)
Soluţia de vid fractală (absența gradienţilor spaţiali) şi soluţia kink fractală
pot fi caracterizate prin sarcina topologică q = 0, respective q = 1, rezultat
15
obţinut printr-o normalizare adecvată a lui f. Se pune astfel în evidenţă un
sistem fizic fractal cu două stări posibile una corespunzătoare sarcinii
topologice q = 0 şi alta corespunzătoare sarcinii topologice q = 1.
Vom numi un asemenea sistem bitul fractal. Cele două stări sunt folosite
pentru a reprezenta 0(dt) și 1(dt), adică un singur digit binar fractal. Singurele
operaţii posibile (porţi fractale) ale unui astfel de sistem sunt identitatea
fractală:
0(dt) → 0(dt), 1(dt) → 1(dt)
și NOT-ul fractal
0(dt) → 1(dt) , 1(dt) → 0(dt)
Atât bitul fractal cât şi porţile fractale definesc elementele fundamentale ale
logicii fractale.
2.8. Efect de memorizare şi anomalii în nanostructuri
Acum din ecuaţia (2.71) potenţialul fractal normalizat devine:
𝑄 = −1
𝑓
𝑑2𝑓
𝑑𝜉2= (1 − 𝑓2)
ceea ce specifică faptul că acesta este direct proporţional cu densitatea de stări
a fluidului fractal. Când densitatea de stări fractale este 𝑓2 ≡ 0, adică în
absenţa ruperii spontane de simetrie a stării de vid fractale, potenţialul fractal
ia valoarea 𝑄= 1 iar fluidul fractal este incoerent (stare fractală normală). Când
densitatea de stări fractale este 𝑓2 ≡ 1, adică în prezenţa ruperii spontane de
simetrie a stării de vid fractale, potenţialul fractal ia valoarea 𝑄 ≡ 0 iar fluidul
fractal se autostructurează sub formă de perechi fractale de tip Cooper. Într-un
asemenea context putem presupune că întreaga energie a fluidului fractal poate
fi stocată prin ruperea spontană de simetrie a stării de vid fractale sub forma
perechilor fractale de tip Cooper. Astfel, prin autostructurarea fluidului fractal
sub formă de perechi fractale de tip Cooper se poate induce în acesta un efect
de memorizare prin “jocul” comportamentului coerent-incoerent al fluidului
fractal.
Mai departe, prin substituirea soluţiei de energie finită în expresia
potenţialului fractal se obţine solitonul
𝑄 =1
𝑐ℎ2 [1
√2(𝜉 − 𝜉0)]
ceea ce specifică funcţionalitatea acestuia ca dilaton (cvasiparticulă ce
absoarbe “energie” până la o valoare critică după care o eliberează mediului -
pentru detalii se pot consulta referinţele [11-13]).
În opinia noastră prezenţa dilatonilor în nanostructuri pot explica
“anomaliile” în nanostructuri precum anomalia termică a nanofluidelor
(creştereaconductivităţii termice [14]) sau cea a conductivităţii electrice [15].
16
2.9. Particula liberă în hidrodinamica fractală. Mimarea efectului
Hubble
Utilizând ecuaţiile hidrodinamicii fractale am arătat că orice unitate
structurală a unui sistem complex este caracterizată de o viteză specifică şi o
densitate de stări spaţio-temporală Gaussiană.
În particular, pentru câmpul de viteze al particulei am obţinut expresia:
𝑉 =𝑉0𝛼
2 + 𝜆2(𝑑𝑡)(4/𝐷𝐹)−2(𝑡𝑥/𝛼2 )
𝛼2 + 𝜆2(𝑑𝑡)(4/𝐷𝐹)−2(𝑡/𝛼)2 (2.96)
unde mărimile ce intervin au semnificaţia dată în lucrarea extinsă.
Acum să admitem ipoteza că la scală cosmologică putem identifica materia
neagră a Universului (pentru detalii se pot consulta referinţele [16,17]) cu
mediul fractal. Un asemenea rezultat este în acord cu modelele actuale de
cosmologie fractală. Asupra consecinţelor ce le implică o asemenea ipoteză se
poate consulta si referinţa [2].
Atunci, în limita asimptotică (𝜆/𝛼)2(𝑑𝑡)(4/𝐷𝐹)−2 → ∞ situaţie fizică
realizabilă la timpi t→T, adică de ordinul vârstei Universului, ecuaţia (2.96)
induce legea de tip Hubble:
𝑉 →𝑥
𝑇 (2.99)
În opinia noastră efectul nu este real. Cel mult putem afirma că materia
neagră mimează la scală cosmologică acest efect. Un asemenea rezultat nu este
singular, el este compatibil cu cel prezentat în referinţa [2]. Mai mult, afirmăm
că prin trecerea fractal-nefractal, ceea ce ar putea corespunde limitei asiptotice
mai sus menţionate se mimează efectul Hubble.
2.11. Perspective
S-a fundamentat teoria relativităţii de scală în dimensiune fractală arbitrară
constantă atât în forma ecuaţiei de tip Schrödinger, ceea ce este specific
interpretării probabilistice, cât şi în forma ecuaţiilor hidrodinamicii fractale,
ceea ce este specific proceselor de curgere. În varianta hidrodinamică a
relativităţii de scală s-a analizat ruperea spontană de simetrie cu
specificacitatea ei, elemente de logică fractală, efectul de memorizare şi
anomalia conductivităţii electrice în nanostructuri, particula liberă cu mimarea
efectului Hubble prin intermediul materiei negre şi dinamici în plasme de
ablaţie.
17
Capitolul III
Relativitatea de scală în dimensiune fractală arbitrară constantă pe o
varietate spaţiu-timp
3.1. Scop
Analizând mișcarea unei particule pe o curbă continuă dar nediferențiabilă
(curbă fractală) pe o varietate Euclidiană tridimensională observăm o
’’discrepanță’’ între coordonatele spațiale și coordonata temporală considerată
parametru afin al curbei de mișcare. Dacă coordonatele spațiale sunt fractali,
nu același lucru se poate afirma despre coordonata timp care nu este un fractal.
Această ’’discrepanță’’ are o consecință ’’aparent anormală’’ imediată:
particula se deplasează pe o curbă de lungime infinită într-un interval finit de
timp astfel încât viteza acesteia devine infinită. Ori o asemenea situație este
fizic absurdă.
Pentru a elimina această ’’aparentă contradicție’’ vom presupune că și
coordonata temporală este un fractal (pentru detalii se pot consulta referințele
[1-2,18-21]). Atunci toate implicațiile nediferențiabilității din teoria clasică a
Relativității de Scală în dimensiune fractală arbitrară constantă rămân valabile,
cu diferența că parametrul afin al 4-curbei de mișcare este timpul propriu 𝜏. Într-un asemenea context prezentul capitol are ca scop analiza de dinamici
fractale pe varietăți spațiu-timp, ceea ce implică doar construcția unei teorii de
scală în dimensiune fractală constantă pe o varietate spațiu-timp. Nu am avut
în vedere o aplicație concretă a teoriei.
3.5. Ecuația fractală de tip Klein-Gordon
Astfel, dacă câmpul complex de 4-viteze este irotațional, prin derivarea și
integrarea ecuației geodezicelor se obține ecuația fractală de tip Klein- Gordon:
𝜕𝜇𝜕𝜇 𝛹 +
1
Λ̅2 𝛹 = 0 (3.41)
cu condiționarea
Λ̅ = Λ̅0(𝑑𝜏)(2/𝐷𝐹)−1 , Λ̅0 =
𝜆
𝜔 (3.42)
În cazul particular al mișcărilor pe curbe Peano, la scală Compton se obține
ecuația Klein-Gordon standard:
𝜕𝜇𝜕𝜇𝛹 + (
𝑚0𝑐
)
2
𝛹 = 0 (3.43)
Într-un asemenea context, existența unui factor de fază constant nenul,
printr-o alegere convenabilă a fazei lui 𝛹, specifică existența unei viteze critice
𝜔. Aceasta poate fi identificată cu viteza c a luminii numai printr-o
extrapolare, de altfel nefirească, a fenomenelor electromagnetice la celelalte
tipuri de interacțiuni. Probabil aceasta este și cauza profundă de ce în
18
explicitarea dinamicilor la nanoscală trebuie să impunem ca viteză critică
viteza Fermi 𝑣𝐹 (viteza maximă a electronilor la temperatura de 0K), adică
𝜔 ≡ 𝑣𝐹, păstrând totuși invarianța de tip Lorentz (pentru detalii se pot consulta
referințele [22-25]).
3.7. Energia și masa proprie fluctuantă generalizată
Tot din modelul nostru rezultă că expresia energiei se scrie sub forma:
𝐸 = ±𝑐[(𝑚0𝑐)2 + 𝒑𝟐 − 2𝜆𝑚0
2(𝑑𝜏)(2/𝐷𝐹)−1𝜕𝜏𝑆 + 2𝑚02𝑄]
1/2≡
≡ ±𝑐 [(𝑚0𝑐)2 + 𝒑𝟐 − 2𝜆𝑚0
2(𝑑𝜏)(2/𝐷𝐹)−1𝜕𝜏𝑆
+ (𝑚0𝜆)2 (𝑑𝜏)(4/𝐷𝐹)−2
□√𝜌
√𝜌]
1/2
(3.62)
Așadar energia este o mărime dependentă de scala de rezoluție, fie prin
potențialul fractal, fie prin 4-câmpul de viteze fractale, fie prin densitatea de
stări.
În cazul mișcărilor pe curbe de tip Peano la scală Compton, relația (3.62)
devine:
𝐸 = ±𝑐 [(𝑚0𝑐)2 + 𝒑𝟐 − 2 𝑚0𝜕𝜏𝑆 +
2 □√𝜌
√𝜌]
1/2
(3.63)
și de aici pentru 𝒑 ≡ 0, 𝐸 ≡ 𝑀0𝑐2 și 𝜕𝜏𝑆 ≡ 0 se obține ’’masa proprie
fluctuantă’’ din teoria lui de Broglie [26-28]
𝑀0 = ±[𝑚02 + (
𝑐)
2
□√𝜌
√𝜌]
1/2
(3.64)
Dacă acum acceptăm funcționalitatea unei relații de tipul (3.64) atunci prin
(3.62) pentru 𝒑 ≡ 0 se obține ’’masa proprie fluctuantă generalizată’’ 𝑀𝑔0 sub
forma:
𝑀𝑔0 = ± {𝑚02 [1 −
2𝜆
𝑐2(𝑑𝜏)(2/𝐷𝐹)−1𝜕𝜏𝑆] + 2 (
𝑚0
𝑐)2
𝑄}1/2
≡
19
≡ ±{𝑚02 [1 −
2𝜆
𝑐2 (𝑑𝜏)(2/𝐷𝐹)−1] + (
𝑚0𝜆
𝑐)2
(𝑑𝜏)(4/𝐷𝐹)−2□√𝜌
√𝜌}
1/2
(3.65)
3.8. Perspective
Considerațiile anterioare implică următoarele:
i) Pe o varietate spațiu-timp orice unitate structurală a unui sistem complex
este într-o permanentă interacție cu un mediu fractal prin intermediul
potențialului fractal specific;
ii) Pe o varietate spațiu-timp mediul fractal se identifică cu un fluid fractal
descris de legile de conservare ale 4-impulsului și cea a densității de stări;
iii) Potențialul fractal specific este indus de 4-viteza fractală. Deși 4-viteza
fractală nu definește mișcarea mecanică curentă, totuși ea contribuie la
transferul de impuls și de energie;
iv) Pe o varietate spațiu-timp orice interpretare a potențialului fractal trebuie
să evidențieze natura ’’autointeractivă’’ a transferului de 4-impuls. În timp ce
local, în 𝐸3, energia este ’’stocată’’ sub formă cinetică, potențială etc., așa cum
se întâlnește de regulă în cazul clasic, doar totalul se conservă. Așa încât,
negând orice formă de mișcare Browniană ca rezultat al interacției cu mediul
exterior, legile de conservare ale energiei și momentului specific asigură
reversibilitate și ’’ființare’’;
v) Modelul permite generalizarea relației lui Einstein de definire a energiei
atât prin existența unei viteze critice impusă de scala de rezoluție cât și prin
prezența potențialului fractal ca o măsură a haoticității unui sistem,
caracteristică specificată de nediferențiabilitatea curbelor de mișcare;
Capitolul IV
Tranziții de tip ordine-haos în plasme de descărcare via
nediferențiabilitate.
Investigații experimentale și teoretice
4.1. Scop
În acest capitol sunt prezentate rezultate experimentale care ilustrează
competiția între trei scenarii de tranziție spre haos (intermitență,
cvasiperiodicitate și cascadă de bifurcații subarmonice) într-un sistem cu
plasmă în care există ’’o minge de foc ’’ în stare dinamică. Mai mult, este
dezvoltat un model teoretic în cadrul teoriei relativității de scală, diferitele căi
de evoluție spre haos fiind obținute prin aplicarea formalismului de ’’clonare’’
totală și fracționară. Rezultatele obținute din acest model teoretic sunt în bună
concordanță cu cele experimentale.
20
4.2. Introducere
Plasma este un sistem dinamic puternic neliniar, cu multe grade de libertate,
foarte favorabil pentru dezvoltarea unor instabilități sau tranziții de la stări
ordonate spre stări haotice de dimensiune mică sau mare. Astfel, în sistemele
cu plasmă s-a observat experimental o mare varietate de scenarii de tranziție
spre haos: intermitențe [29,30], dublare de perioadă (scenariu Feigenbaum)
[31,32], cvasiperiodicitate (scenariu Ruelle-Takens) [33,34], străpungerea
torului [35] sau cascadă de bifurcații subarmonice [36,37]. Haosul a fost
identificat prin analiza seriilor temporale corespunzătoare curentului de
descărcare [29,32,33], potențialului flotant al unei sonde [31], curentului
colectat de un electrod polarizat pozitiv introdus în plasmă [30,35,37],
perturbațiilor de temperatură [34] sau intensitate luminoasă [36].
În multe cazuri experimentale, tranziția spre haos a sistemului cu plasmă a
fost asociată cu dinamica neliniară a unei structuri complexe de sarcini spațiale
ce se dezvoltă în plasmă sub forma unei ’’mingi de foc’’ [30,35,37]. ’’Mingile
de foc’’ sunt structuri aproximativ sferice, intens luminoase, ce apar în plasmă,
alcătuite dintr-un miez pozitiv (o plasmă îmbogățită în ioni), confinat de un
strat dublu electric [38-40]. Căderea de potențial pe stratul dublu este
aproximativ egală cu potențialul de ionizare al atomilor gazului.’’ Mingile de
foc’’ apar la o valoare critică a tensiunii aplicate pe electrodul de excitare. La
valori mai mari ale tensiunii aplicate, ’’mingea de foc’’ trece într-o stare
dinamică, care constă în disrupții și reagregări periodice ale stratului dublu,
dând naștere unor oscilații ale curentului colectat de către electrod [40-42].
Întrucât nediferențiabilitatea apare ca o proprietate universală a acestui tip de
sisteme, este necesar să construim o fizică nediferențiabilă [43,44]. În acest
context, considerând că nediferențiabilitatea înlocuiește complexitatea
interacțiunilor din plasmă, nu mai este necesar să utilizăm întregul ’’arsenal”
clasic de mărimi din fizica standard. Un astfel de model, care tratează
interacțiunile din plasmă în maniera descrisă mai sus, a fost dezvoltat în cadrul
teoriei relativității de scală (TRS) [37,40,45,46].
În abordarea TRS spațiul devine fractal [47-52]. Efectele induse asupra
mișcării de către structura fractală internă a geodezicelor [47-49] conduc la
transformarea mecanicii clasice într-o mecanică de tip cuantic, adică
transformă ecuația fundamentală a lui Newton într-o ecuație de tip Schrödinger
[47,48]. În acest caz, se obțin soluțiile fundamentale ale acestei ecuații de tip
cuantic macroscopic, care sunt adaptate la o categorie largă de situații fizice
[37,40,45,46].
4.3. Rezultate experimentale Experimentele au fost realizate într-o diodă cu plasmă cu catod cald,
reprezentată schematic în figura 4.1.
21
Fig.4.1 . Schița aranjamentului experimental
Plasma se obține printr-o descărcare electrică între filamentul incandescent
cu rol de catod și pereții incintei de descărcare cu rol de anod. Densitatea
plasmei poate fi modificată prin variația curentului de descărcare. Plasma este
îndepărtată de echilibru prin creșterea treptată a potențialului aplicat pe un
electrod de tantal în formă de disc, cu diametrul de 1 cm, în următoarele
condiții experimentale: presiunea argonului p = 710-3 mbar, densitatea
plasmei npl 108-109 cm-3 și temperatura electronilor kTe = 2 eV.
Crescând potențialul aplicat pe electrodul suplimentar E, la o valoare critică
a acestuia (VE = 85 V), în fața electrodului apare brusc ’’o minge de foc’’
aproximativ sferică, intens luminoasă (vezi fotografia din figura 4.2).
Fig. 4.2. Fotografie a ’’mingii de foc’’ înregistrată la valoarea tensiunii aplicate pe electrodul suplimentar VE = 85 V
Datorită condițiilor experimentale, ’’mingea de foc’’ apare direct în stare
dinamică [53] , fapt evidențiat de existența oscilațiilor curentului colectat de
către electrodul suplimentar E, cu o frecvență de aproximativ 6.7 kHz.
22
(a) (b) (c)
Fig. 4.3.1. Seriile temporale corespunzătoare oscilațiilor curentului colectat de către electrodul E, transformatele lor Fourier rapide (FFT) și respectiv, spațiul stărilor
reconstruit al dinamicii sistemului cu plasmă pentru VE = 85 V
Creșterea în continuare a potențialului aplicat pe electrod peste valoarea
critică VE = 101 V conduce la apariția de intermitențe.
(a) (b) (c)
Fig. 4.3.2. Seriile temporale corespunzătoare oscilațiilor curentului colectat de către
electrodul E, transformatele lor Fourier rapide (FFT) și respectiv, spațiul stărilor reconstruit al dinamicii sistemului cu plasmă pentru
VE = 101 V
La VE = 112 V, în dinamica sistemului cu plasmă apar bifurcații
subarmonice, acestea fiind identificate în spectrul FFT al oscilațiilor de curent,
unde se observă subarmonicele f0/3 și 2f0/3 ale frecvenței fundamentale (vezi
figurile 4.3.6 a-c).
23
0 1 2 3 4 5
-8
-4
0
4
8
Curr
ent (m
A)
Time (ms)
VE = 85 V
0 10 20 30 40 50
0
5
10
15
20
25
30
35
VE = 85 V
Frequency (kHz)
FF
T (
a.u
.)
0 1 2 3 4 5
-6
-3
0
3
6
9 VE = 101 V
Curr
ent (m
A)
Time (ms)
0 10 20 30 40 50
0
5
10
15
20
25
30 VE = 101 V
Frequency (kHz)
FF
T (
a.u
.)
(a) (b) (c)
Fig. 4.3.6. Seriile temporale corespunzătoare oscilațiilor curentului colectat de către
electrodul E, transformatele Fourier rapide (FFT) și respectiv, spațiul stărilor reconstruit al dinamicii sistemului cu plasmă pentru VE = 112 V
La valoarea VE = 113 V, începe un proces de tranziție spre haos prin
cvasiperiodicitate, identificat de asemenea în spectrul FFT al oscilațiilor de
curent, unde sunt prezente mai multe peak-uri corespunzătoare unor frecvențe
aflate în raport incomensurabil (vezi figurile 4.3.7 a-c).
(a) (b) (c)
Fig. 4.3.7. Seriile temporale corespunzătoare oscilațiilor curentului colectat de către
electrodul E, transformatele lor Fourier rapide (FFT) și respectiv, spațiul stărilor reconstruit al dinamicii sistemului cu plasmă pentru
VE = 113 V
Imediat după aceasta, la VE = 114 V, bifurcațiile subarmonice apar din nou,
putându-se observa în spectrul FFT al oscilațiilor de curent peak-uri
corespunzătoare frecvențelor kf0 /7, unde k = 1-6 (vezi figurile 4.3.8 a-c).
24
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
-2
-1
0
1
2 VE = 112 V
Cu
rre
nt
(mA
)
Time (ms)
0 20 40 60 80 100
0
2
4
6
8
2f0/3
f0/3
VE = 112 V
Frequency (kHz)
FF
T (
a.u
.)
f0
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4V
E = 113 V
Frequency (kHz)
FF
T (
a.u
.)
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
-1
0
1
VE = 113 V
Cu
rre
nt
(mA
)
Time (ms)
(a) (b) (c)
Fig. 4.3.8. Seriile temporale corespunzătoare oscilațiilor curentului colectat de către
electrodul E, transformatele lor Fourier rapide (FFT) și respectiv, spațiul stărilor reconstruit al dinamicii sistemului cu plasmă pentru
VE = 114 V
4.4. Model teoretic
4.4.1. Ecuația de mișcare
Dinamica plasmei de descărcare poate fi simplificată presupunând că
particulele plasmei se deplasează pe curbe continue dar nediferențiabile, adică
curbe fractale (de exemplu: curba Koch, curba Peano sau curba Weierstrass
[55,56]).
Odată acceptată această ipoteză, sunt evidente unele consecințe ale
nediferențiabilității prin intermediul TRS [47,48,50-52]:
i)Mărimile fizice care descriu dinamica plasmei de descărcare sunt funcții
fractale, adică funcții care depind atât de cooronatele spațiale și temporală, cât
și de rezoluția de scală, δt/τ (identificată aici cu dt/τ prin principiul substituției
[47,48]).
ii)Dinamica plasmei de descărcare este dată de către operatorul fractal [50-52]
�̂�
𝑑𝑡=𝜕
𝜕𝑡+ �̂� ∙ ∇ − 𝑖
𝜆2
2(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
∆ (4.1)
Aplicând operatorul fractal vitezei complexe și acceptând o generalizare a
principiului lui Newton sub forma:
�̂��̂�
𝑑𝑡= −∇𝑈 (4.3)
unde U este un potențial scalar extern, se obține ecuația geodezicelor:
�̂��̂�
𝑑𝑡=𝜕�̂�
𝜕𝑡+ (�̂�∇)�̂� − 𝑖
𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
∆�̂� + ∆𝑈 = 0 (4.4)
Ecuația (4.4) este o ecuație de tip Navier – Stokes. Plasma de descărcare este
asimilată unui fluid “reologic”, a cărui dinamică este descrisă de câmpul
complex de viteze și de coeficientul de vâscozitate imaginar. “Reologia”
fluidului oferă plasmei proprietăți histeretice (plasma prezintă ciclu de
histerezis, memorie, etc. [30,35,45]).
25
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6 VE = 114 V
Cu
rre
nt
(mA
)
Time (ms)
0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
5f0/7
2f0/7
f0/7
f0 V
E = 114 V
Frequency (kHz)
FF
T (
a.u
.)
4.4.2. Haoticitate prin turbulență și stohasticitate via
nediferențiabilitate
Pentru mișcări irotaționale ale particulelor plasmei
�̂� = − 𝑖𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
∇ ln𝛹 (4.6)
Prin derivarea și integrarea acestei relații obținem o ecuație de tip Schrödinger
𝜆4
𝜏2(𝑑𝑡
𝜏)
(4/𝐷𝐹)−2
∆𝛹 + 𝑖𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1 𝜕𝛹
𝜕𝑡−𝑈
2 𝛹 = 0 (4.8)
Ecuațiile
𝜕𝑽
𝜕𝑡+ (𝑽𝐷 ∙ ∇)𝑽𝐷 = −∇(𝑄 + 𝑈) (4.12)
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ ∇ ∙ (𝜌𝑽𝐷) = 0 (4.13)
reprezintă legea de conservare a impulsului, respectiv legea de conservare a
densității, unde 𝑄 este potențialul fractal specific
𝑄 = −2𝜆4
𝜏2(𝑑𝑡
𝜏)
(4/𝐷𝐹)−2 ∆√𝜌
√𝜌= −
𝑽𝐹2
2−𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
∇ ∙ 𝑽𝐹 (4.14)
El este o măsură a nediferențiabilității traiectoriilor particulelor plasmei, adică
a haoticității lor.
Ecuațiile (4.12) - (4.14) definesc hidrodinamica fractală. În acest context,
plasma este asimilată unui fluid fractal.
Formalismul hidrodinamicii fractale și cel al ecuației de tip Schrödinger sunt
echivalente. Mai mult, haoticitatea este generată doar de nediferențiabilitatea
traiectoriei de mișcare într-un spațiu fractal, fie prin turbulență din perspectiva
hidrodinamicii fractale, fie prin stohasticitate în abordarea de tip Schrödinger.
4.4.3. Clonare totală și fracționară a funcţiei de undă pentru o groapă
dreptunghiulară unidimensională. Criterii de evoluție spre haos
Groapă dreptunghiulară unidimensională
Să considerăm că potențialul aplicat pe un electrod introdus în plasmă
simulează un sistem de tip groapă dreptunghiulară unidimensională.
Prin rezolvarea ecuației de tip Schrödinger independentă de timp, se obțin
valorile proprii fractale discrete
𝐸𝑛 = 2𝑚0𝐷2 (𝑛𝜋
𝑎)2
(4.15. a)
𝐷 =𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
(4.15. b)
26
și funcțiile proprii fractale
𝑛=
{
(2
𝑎)
12sin (
𝑛𝜋𝑥
𝑎) , 𝑛 𝑝𝑎𝑟
(2
𝑎)
12cos (
𝑛𝜋𝑥
𝑎) , 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
(4.16)
4.4.4. Scale temporale
Scale temporale ale evoluției potențialului vitezei
𝑇𝛼 =2𝜋𝑚0𝐷
�̅�𝐸1 (4.19)
și
𝑇𝛽 =4𝜋𝑚0𝐷
𝐸1 (4.20)
Trebuie remarcat faptul că scala temporală 𝑇𝛽 nu depinde de nivelul
energetic mediu �̅�. Aceasta va furniza o scală de timp “ niversală” pentru
descrierea evoluției potențialului vitezei, care nu depinde de energia medie a
particulei.
4.4.5. Evoluții în timp
Funcţia de undă 𝛹 a unei particule la t = 0, într-o groapă dreptunghiulară
infinită poate fi scrisă sub forma
𝛹(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝛹𝑖(𝑥) (4.21) Folosind scala temporală 𝑇𝛽 , evoluția în timp 𝛹(𝑥, 𝑡) utilizând ca bază
funcţiile proprii fractale se determină din ecuația de tip Schrödinger, găsindu-
se:
𝛹(𝑥, 𝑡) =∑𝑒𝑥𝑝 [−2𝜋𝑖 (𝑡
𝑇𝛽)𝑛2]
𝑛
𝑐𝑛𝑛(𝑥) (4.24)
4.4.6. Mimarea criteriilor de evoluție spre haos
Aplicăm formalismul de ’’clonare’’ totală și fracționară. Astfel, ’’clonarea’’
totală și fracționară a lui 𝛹 pentru o particulă situată într-o groapă
dreptunghiulară infinită implică fie
𝛹(𝑥, 𝑡 = 𝑡0 + 2𝑘𝑇𝛽) = 𝛹(𝑥, 𝑡 = 𝑡0) (4.25)
pentru ’’clonarea’’ totală, fie
𝛹 (𝑥, 𝑡0 +𝑝
𝑞𝑇𝛽)= 𝛹(𝑥, 𝑡 = 𝑡0) (4.26)
pentru ’’clonarea’’ fracţionară. În fiecare dintre situațiile de mai sus, se pot
introduce criteriile de tip Reynolds
𝑅𝑒𝐹 =𝑉𝐹𝐿𝐹𝑣𝐹
= 2𝑘 (4.27)
27
și
𝑅𝑒𝑆𝐴 =𝑉𝑆𝐴𝐿𝑆𝐴𝑣𝑆𝐴
=𝑝
𝑞 (4.28)
unde mărimile
𝐸1 ≡ 𝐸𝐹/𝑆𝐴 =1
2𝑚0𝑉𝐹/𝑆𝐴
2 (4.29. a)
𝐿𝐹/𝑆𝐴 = 𝑉𝐹/𝑆𝐴𝑇𝐹/𝑆𝐴 (4.29. b)
𝑣𝐹/𝑆𝐴 = 8𝜋𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
(4.29. c)
au semnificațiile obișnuite din mecanica fluidelor. Plasma de descărcare
devine turbulentă peste o valoare critică 𝑅𝑒𝐹/𝑆𝐴𝑐 . În acest caz, prin 𝑇𝐹/𝑇𝛽 = 2
𝑘
și 𝑅𝑒𝐹 = 𝑉𝐹𝐿𝐹/𝑣𝐹 = 2 este simulat formal criteriul de evoluție spre haos prin
scenariul Feigenbaum (cascadă de bifurcații cu dublare de perioadă), în timp
ce prin 𝑇𝛽/𝑇𝑆𝐴 = 𝜔𝑆𝐴/𝜔𝛽 = 𝑞/𝑝 cu 𝑝 > 𝑞 și 𝑅𝑒𝑆𝐴 = 𝑉𝑆𝐴𝐿𝑆𝐴/𝑣𝑆𝐴 = 𝑝/𝑞 este
simulat criteriul de evoluție spre haos prin cascadă de bifurcații subarmonice.
’’Clonarea’’ fracționară a funcţiei de undă poate fi extinsă și pentru
potențialul de tip groapă dreptunghiulară infinită utilizând o ecuație de tip
Schrödinger fracționară. În acest caz, pentru 𝑡 = 𝑇𝑅𝑇 = (𝑝/𝑞)𝛼𝑇𝛽 de forma
(𝜔𝑅𝑇/𝜔𝛽) = (𝑝/𝑞)𝛼 cu 1 < 𝛼 < 2, 𝑝 > 𝑞 şi 𝑝, 𝑞 valori întregi, numărul
Reynolds poate fi introdus de forma
𝑅𝑒𝑅𝑇 =𝑉𝑅𝑇𝐿𝑅𝑇𝑣𝑅𝑇
= (𝑝
𝑞)𝛼
(4.30)
unde
𝐸1 ≡ 𝐸𝑅𝑇 =1
2𝑚0𝑉𝑅𝑇
2 (4.31. a)
𝐿𝑅𝑇 = 𝑉𝑅𝑇𝑇𝑅𝑇 (4.31. b)
𝑣𝑅𝑇 = 8𝜋𝜆2
𝜏(𝑑𝑡
𝜏)
(2/𝐷𝐹)−1
(4.31. c)
Dacă valorile de mai sus sunt mai mari decât o valoare critică, sistemul devine
turbulent, simulând scenariul de evoluție spre haos Ruelle-Takens.
4.5. Concordanța dintre modelul teoretic și datele experimentale
Există diferențe fundamentale între fluidul standard și fluidul fractal (descris
de TRS):
i)Dinamica fluidului standard este descrisă prin funcții continue și
diferențiabile. Aceste funcții depind numai de coordonatele spațiale și de timp.
Deoarece particulele fluidului fractal se deplasează pe curbe fractale, dinamica
fluidului fractal este descrisă de funcții continue și nediferențiabile (funcții
fractale). Aceste funcții depind atât de coordonatele spațiale și timp cât și de
rezoluția de scală.
ii)Funcția fractală 𝛹(𝑟, 𝑡, 𝑑𝑡/𝜏) este invariantă în raport cu modificare fazei
28
printr-un multiplu întreg de 2π.
iii)Ecuația de difuzie fractală se obține din legea de conservare a densității
admițând “coerența” mișcărilor la diferite scale de rezoluție.
iv)Ecuația de difuzie standard se obține din relația de mai sus pentru mișcări
pe curbe Peano cu DF = 2 și scale de rezoluție temporală de ordinul timpului
caracteristic de difuzie.
v)Corespondența dintre hidrodinamica standard și cea fractală se obține prin
relația [37]:
∇𝑖𝜎𝑖𝑙 = −𝜌∇𝑙𝑄 (4.35) Tranziția ”mingii de foc’’ între stările statică și dinamică depinde atât de
potențialul aplicat pe electrodul suplimentar, cât și de parametrii plasmei.
Așa cum rezultă din paragraful 4.4, potențialul fractal este o măsură a
haoticității traiectoriilor particulelor plasmei de descărcare, prin
nediferențiabilitatea lor. Deoarece potențialul fractal depinde de viteza
fractală, rezultă că toate funcționalitățile sale pot fi transferate acesteia.
Conform observațiilor făcute la sfârșitul paragrafului 4.1, dacă dinamica
plasmei de descărcare este descrisă de o ecuație de tip KdV pentru curentul
normalizat, atunci, aplicând metoda descrisă în [50,58] , se obține soluția de
forma:
𝑖(𝜉, 𝑠) = 2𝑎 [𝐸(𝑠)
𝐾(𝑠)− 1] + 2𝑎 𝑐𝑛2 [
√𝑎
𝑠𝜉; 𝑠] (4.38)
Astfel, evoluția plasmei de descărcare este descrisă prin modurile cnoidale
de oscilație ale curentului normalizat. Modulul funcției eliptice s, ia valori în
intervalul [0,1] și joacă rolul de parametru de control al neliniarității . Într-
adevăr, pentru s = 0 modurile cnoidale de oscilație degenerează într-o secvență
de tip armonic, în timp ce pentru s→0 acestea se reduc la o secvență de tip
pachet armonic [56]. Conform cu [57], aceste degenerări vor defini regimul de
lucru necuasiautonom al plasmei. Pentru s =1 modurile cnoidale de oscilație
degenerează într-o secvență de tip soliton, în timp ce pentru s →1 acestea se
reduc la o secvență de tip pachet de solitoni. Conform cu [57], aceste
degenerări vor defini regimul de lucru cuasiautonom al plasmei . Deoarece în
mod obișnuit [48-51] solitonul este asociat stratului dublu, pachetul de
solitoni este asociat straturilor multiple iar tranziția de la regimul
necuasiautonom la cel cuasiautonom are loc pentru s = 0.7 [46], rezultă că
declanșarea succesiunii de tranziții spre haos trebuie căutată pentru valori s >
0.7, așa cum vom arăta în continuare.
29
Fig. 4.4. Curentul normalizat i în funcție de coordonata temporală normalizată ξ și
parametrul de control s, precum și secvențe ale acestei dependențe în planurile π1 – π4
Figurile 4.5 a-c ilustrează comparativ secvențele obținute din modelul teoretic
pentru diferite valori ale parametrului de control și rezultatele experimentale.
Sunt evidențiate diferite mecanisme de evoluție spre haos (prin
cvasiperiodicitate, pentru s = 0.74 – vezi figura 4.5 a, bifurcații subarmonice,
pentru s = 0.75 – vezi figura 4.5 b și intermitențe, pentru s = 0.82 – vezi figura
4.5 c).
30
s
i
1 2
4
3
Fig.4. 5. Secvențe comparative obținute din modelul teoretic (linie continuă), respectiv din experiment (linia întreruptă) pentru semnale cvasiperiodice (s = 0.74) (a),
comportări subarmonice (s = 0.75) (b) și respectiv, intermitență (s = 0.82) (c)
Caracteristica statică curent-tensiune experimentală arată că, după tranziția
’’mingii de foc’’ într-un regim dinamic, se stabilește un regim ohmic între
curentul mediu și tensiunea aplicată [30,39,59].
Fig.4. 6. Potențialul normalizat v în funcție de timpul de integrare normalizat η și
parametrul de control s
Valorile teoretice pentru potențialul de declanșare a diferitelor tranziții spre
haos sunt obținute ca momente ale dependenței (4.39) pentru valori ale
timpului de ordinul milisecundelor și valori ale parametrului de control s > 0.7.
31
Din figura 4.7 sunt obținute următoarele valori pentru potențialele de
declanșare ale intermitenței V = 101.2 V pentru s = 0.82, bifurcațiilor
subarmonice V = 111.9 V pentru s = 0.75 și respectiv, cvasiperiodicității V =
113.3 V pentru s = 0.74.
Fig. 4.7. Dependența potențialului pe electrod de parametrul de control s
Aceste valori teoretice sunt apropiate de cele înregistrate experimental –
vezi figurile 4.3.
4.6. Perspective
A fost evidențiată experimental o competiție a trei scenarii de tranziție spre
haos (prin intermitențe, prin cascadă de bifurcații subarmonice și respectiv,
prin cuasiperiodicitate) prin analiza de dinamică neliniară a seriilor temporale
corespunzătoare oscilațiilor curentului colectat de către un electrod, în fața
căruia este creată ’’o minge de foc’’ în stare dinamică. Utilizând tensiunea
aplicată pe electrodul de excitare ca parametru de control, tranzițiile spre haos
au fost observate succesiv, împreună cu ferestre de oscilații regulate.
A fost dezvoltat un model teoretic în cadrul teoriei relativității de scală. În
acest model am considerat că, datorită ciocnirilor, particulele plasmei
(electroni, ioni și neutri) se deplasează pe curbe continue și nediferențiabile,
adică pe curbe fractale. A fost stabilită echivalența dintre formalismul
hidrodinamicii fractale și cel al ecuației de tip Schrödinger. Potențialul aplicat
pe electrod a fost modelat ca groapă de potențial dreptunghiulară
unidimensională. Criteriile de evoluție spre haos au fost obținute prin aplicarea
formalismului de clonare total și fracționar.
Rezultatele obținute din acest modelul teoretic sunt în bună concordanță cu
cele experimentale.
32
Concluzii generale
Principalele concluzii ale prezentei lucrări sunt următoarele:
i) Se specifică în capitolul I o nouă cale a tranziţiei diferenţiabilitate-fractalitate
prin admisibilitatea preceptelor mecanicii clasice în microcosmos prin
problema Kepler (teoremele lui Mariwala). Într-adevăr, dacă în cazul clasic
problema acestei mişcări este decisă de o forţă centrală invers proporţională cu
pătratul distanţei, admiterea postulatelor cuantice ale lui Niels Bohr (electronul
în atom există doar pe orbite staţionare, ceea ce este echivalent cu cuantificarea
momentului cinetic orbital, iar tranziţia de la o orbită staţionară la alta se
realizează cu absorbţie sau emisie de radiaţie luminoasă, ceea ce este
echivalent cu ℎ𝑚𝑛
= |𝐸𝑛 − 𝐸𝑚|) sunt expresia unei forţe centrale cu mărime
invers proportională cu puterea a treia a distanţei. Forţa invers proporţională
cu pătratul distanţei conduce la traiectorie eliptică a problemei Kepler clasice,
în timp ce forţa invers proporţională cu puterea a treia conduce la spirale
logaritmice. Se ajunge astfel la o aparentă contradicţie: dacă în cazul
macroscopic stabilitatea sistemului există datorită faptului că traiectoria este
închisă, în cazul atomului ea se pierde întrucât spirala logaritmică este evident
o traiectorie deschisă (’’epuizarea energetică a modelului planetar’’). Convinşi
totuşi că gândirea cuantică trebuie să fie o continuare logică a filozofiei
naturale clasice am găsit o explicaţie: rezultatul clasic esenţial este că, forţa
centrală invers proporţională cu puterea a treia a distanţei poate fi considerată
mai degrabă o forţă de tranziţie între orbitele eliptice (punctele spaţiale de
tranziţie între orbitele electronice se află totdeauna pe o spirală logaritmică; ea
nu este o traiectorie, ci loc geometric al punctelor de tranziţie între orbitele
determinate de forţa invers proporţională cu pătratul distanţei). Ori spirala
logaritmică este continuă şi diferenţiabilă peste tot ,în toate punctele spaţiale
de tranziţie dar fractală în origine.
ii) Admiţând că introducerea fractalităţii este un fenomen evident în universul
nostru, chiar şi la nivelul simţurilor obişnuite, pentru a putea descrie
fenomenele naturii, în capitolul II construim o teorie a mişcării într-o
dimensiune fractală arbitrară constantă pe o varietate tridimensională
dependentă atât de coordonatele spaţiale şi timp cât şi de rezoluţia de scală. O
asemenea tratare este diferită de teoriile uzuale de tip relativitate de scală (vezi
lucrările lui Nottale şi colaboratorii) prin faptul că sunt explicitate şi nu
acceptate tacit unele principii (principiul substituţiei, principiul mediei etc),
unele implicaţii ale nediferenţiabilităţii (recuperarea invarianţei infinitezimale
temporale prin prelungirea în complex prin diferenţiabilitate etc.) etc. Într-o
asemenea conjunctură se construieşte ecuaţia geodezicelor pentru un câmp
complex de viteze şi de aici varianta Schrödinger a ei în reprezentarea prin
funcţie de undă respectiv varianta hidrodinamică a ei prin reprezentarea
Madelung sub forma legii de conservare a impulsului şi a densităţii de stări
33
(hidrodinamica fractală). Mai mult, în varianta hidrodinamică a ecuaţiei
geodezicelor sunt analizate diverse dinamici: la scală fractală soluţia de energie
finită generează elemente de logică fractală (estul fractal, părţile fractale), în
timp ce tot ea implică pe baza dilatonului asociat potenţialului fractal efectul
de ’’ memorizare’’ şi ’’anomaliile’’ în nanostructuri. La scală diferenţială,
soluţia sistemului de ecuaţii al hidrodinamicii fractale pentru ’’particula’’
liberă ’’mimează’’ la scală cosmologică prin materia neagră efectul Hubble,
în timp ce soluţiile numerice ale aceluiaşi sistem de ecuaţii în absenţa sau
prezenţa ecuaţiei energiei, simulează dinamici în plasme de ablaţie.
Decuplarea câmpurilor de viteze (diferenţială de cea fractală) prin neglijarea
efectelor convective induce oscilaţii de curent ale plasmei de ablaţie.
iii) În capitolul III se dezvoltă o teorie a relativităţii de scală într-o dimensiune
fractală constantă arbitrară pe o varietate spaţiu-timp. După expunerea
consecinţelor nediferenţiabilităţii 4-curbelor de mişcare pe o varietate spaţiu–
timp, se construieşte ecuaţia geodezicelor pentru un câmp complex de 4-viteze
pe baza unui principiu al covarianţei de scală generalizat. Această ecuaţie se
reduce la una fractală de tip Klein-Gordon în reprezentarea prin funcţie de undă
sau la setul de ecuaţii al hidrodinamicii fractale (legea de conservare a 4-
impulsului şi legea de conservare a 4-densităţii de stări) în reprezentarea
Madelung. Modelul permite atât existenţa unei viteze limită arbitrare
dependentă de scala de rezoluţie, cât şi prin 4-potenţialul fractal, a unei mase
proprii fluctuante. În cazul particular al mişcării pe 4-curbe Peano la scală
Compton se reobţin rezultatele teoriei dublei soluţii a lui de Broglie.
iv) În capitolul IV se arată că diversele criterii de tranziţie spre haos (dublarea
de perioadă, cvasiperiodicitate, cascadă de bifurcaţii subarmonice, intermitenţe
etc. ) pot fi ’’mimate’’ în aproximaţia dispersivă a mişcării utilizând simultan
atât reprezentările de tip Schrödinger (cea întreagă şi cea fracţionară) cât şi
reprezentarea hidrodinamică a ecuaţiei geodezicelor. Pentru realizarea unui
asemenea deziderat în prima din reprezentări se utilizează proprietatea de
’’clonare ’’ totală şi fracţionară a funcţiei de undă pentru o groapă de potential
unidimensională dreptunghiulară, iar în cea de-a doua reprezentare
posibilitatea de a defini diferite numere Reynolds a căror valori critice
’’induc’’ turbulenţa. Practic discutăm de o haoticizare prin stohasticizare în
reprezentările Schrödinger dublată de una prin turbulenţă în reprezentarea
hidrodinamică.
În aproximaţia disipativă a mişcării diversele criterii de evoluţie spre haos
(cvasiperiodicitate, cascadă de bifurcaţii subarmonice, intermitenţe) sunt
’’mimate’’ ca mixturi ale unor moduri de oscilaţie cnoidale de curent pentru
diverse grade de neliniaritate.
Modelul teoretic este validat experimental prin competiţia între trei scenarii
de tranziţie spre haos într-un sistem cu plasmă în care există o ’’minge de
foc’’în stare dinamică.
34
Bibliografie selectivă
[1]. Nottale L. (1993), Fractal space-time and Microphysics: Towords a theory of scale
relativity, World Scientific, Singapore [2]. Nottale L. (2011), Scale relativity and fractal space-time. A new approach to
unifying relativity and quantum mechanics, Imperial College Press, London
[3]. Wilson E.B. (1919), Radiationless Orbits, Proceedings of th e National Academy of the United States, 5, pp. 588-591
[4]. Jackson J. D. (1998), Classical Electrodynamics, New York: John Wiley &Sons,
Inc.
[5]. Agop M., Mazilu N., Fundamente ale fizicii moderne, Editura Junimea, Iaşi, 1989
[6]. Mazilu N., Agop M., Skyrmions: A great finishing touch to classical Newtonian
Phylosophy, Word Phylosophy Series, Nova, New York, 2012 [7]. Luis G. (1993), Complex Fluids, Springer, Volume 415
[8]. Mitchell M. (2009), Complexity: A guided tour, Oxford University Press, Oxford [9]. Thomas Y. Hou. (2009), Multi-scale phenomena in complex fluids: modeling,
analysis and numerical simulations, Word Scientific Publishing Company, Singapore
[10]. Mitchell O. D., Thomas B. G. (2012), Mathematical modeling for complex fluids and flows, Springer, Berlin
[11]. Cristescu P.C., Dinamici neliniare şi haos. Fundamente teoretice şi aplicaţii,
Editura Academiei, Bucureşti, 2008 [12]. Jackson A., Perspectives in nonlinear dynamics vol. I and II, Cambridge,
Cambridge University Press, 1993
[13]. Poole C. P., Farach K. A., Creswick R., Superconductivity, San Diego, Academic Press, 1995
[14]. Zhang Z., Nano/Microscale Heat Transfer, Mc Graw-Hill, New York, 2007
[15]. Ferry D. K., Goodnick S.M., Transport in nanostructures, Cambridge University Press, Cambridge, 1997
[16]. Floerchinger S., Tetradis N., Wiedemann U. A., Accelerating cosmological
expansion from shear and bulk viscosity, Phys. Rev. Lett, 114, 091301, 2015, 1-5 [17]. Fabris J.C., Gonçalves S.V.B., de Sá Ribeiro R., Bulk viscosity driving the
acceleration of the Universe, Gen. Relativ. Gravit., 2006, 38 (3), 495-506
[18]. Nottale L., Célérier M. N. and Lehner T. (2006), J. Math. Phys. 47, 032303 [19]. Nottale L. and Timar P., (2008), Simultaneity:Temporal Structures and Observer
Perspectives,Susie Vrobel, Otto Rösler, Terry Marks-Tarlow, (Eds.), Word Scientific,
Singapore, Chap. 14, p. 229 [20]. Nottale L. (1994), Relativity in General, (Spanish Relativity Meeting 1993), J.
Diaz Alonso and M. Lorente Paramo (Eds.), Editions Frontières, Paris, p. 121
[21]. Nottale L. (1998), La relativité dans tous ses états, Hachette, Paris 37 [22]. Castro Neto A.H. et al., The electronic properties of graphene, Rev. Mrd. Phys, 81,
2009, 109-162
[23]. Buhuceanu O., Dariescu M.A., Dariescu C., Relativistic bosons on time-harmonic electric fields,International Journal of Theoretical Physics 51(2), 2012, 526-535
[24]. Novoselov K. S. et al, Two-dimensionl gas of massless Dirac fermions in
graphene, Nature, 438, (2005),197-199 [25]. Novoselov K. S., Graphene: The magic of flat carbon E C S Transactions,19,5,
2009, 3-7
35
[26]. de Broglie L. (1923), Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 177, 507-548
[27]. de Broglie L. (1925), Annales de Physique 10è série,Tome III (ph.D.Thesis,
Recherches sur la théorie des quanta, Masson) [28]. de Broglie L. (1926), Compt. Rend. 183, 447
[29]. Cheung P. Y., Donovan S., Wong A. Y. , Phys. Rev. Lett. 61 (1988) 1360
[30]. Chiriac S., Dimitriu D. G., Sanduloviciu M., Phys. Plasmas 14 (2007) 072309 [31]. Qin J., Wang L., Yuan D. P., Gao P., Zhang B. Z., Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 163
[32]. Ding W., Huang W., Wang X., Yu C. X., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 170
[33]. Igochine V., Dumbrajs O., Zohm H., the ASDEX Upgrade Team: Nucl. Fusion 48 (2008) 062001
[34]. Chiriac S., Aflori M., Dimitriu D. G., J. Optoelectron. Adv. Mater. 8 (2006) 135
[35]. Atipo A., Bonhomme G., Pierre T., Eur. Phys. J. D 19 (2002) 79 [36]. Agop M., Dimitriu D. G., Niculescu O., Poll E., Radu V., Phys. Scripta 87 (2013)
045501
[37]. Charles C., Plasma Source Sci. Technol. 16 (2007) R1 [38]. Baalrud S. D., Longmier B., Hershkowitz N., Plasma Source Sci. Technol. 18
(2009) 035002
[39]. Niculescu O., Dimitriu D. G., Paun V. P., Matasaru P. D., Scurtu D., Agop M., Phys. Plasmas 17 (2010) 042305
[40]. Stenzel R. L., Ionita C., Schrittwieser R., Plasma Source Sci. Technol. 17 (2008)
035006 [41]. Stenzel R. L., Ionita C., Schrittwieser R., J. Appl. Phys. 109 (2011) 113305
[42]. Ord G. N., Ann. Phys. 250 (1996) 51
[43]. Stauffer D., Stanley H. E., From Newton to Mandelbrot – A Primer in Theoretical Physics with Fractals for the Personal Computer, 2nd ed. (Springer-Verlag, Berlin, 1996)
[44]. Agop M., Nica P., Niculescu O., Dimitriu D. G., J. Phys. Soc. Japan 81 (2012)
064502 [45]. Dimitriu D. G., Aflori M., Ivan L. M., Radu V., Poll E., Agop M., Plasma Sources
Sci. Technol. 22 (2013)
[46]. Argyris J., Marin C., Ciubotariu C., Physics of Gravitation and Universe (Tehnica-INFO, Chisinau, 2002)
[47]. Agop M., Nica P. E., Ioannou P. D., Antici A., Paun V. P., Eur. Phys. J. D 49
(2008) 239 [48]. Agop M., Nica P. E., Gurlui S., Focsa C., Paun V. P., Colotin M., Eur. Phys. J. D
56 (2010) 405
[49]. Agop M., Niculescu O., Timofte A., Bibire L., Ghenadi A. S., Nicuta A., Nejneru C., Munceleanu G. V., Int. J. Theor. Phys. 49 (2010) 1489
[50]. Dimitriu D. G., Czech. J. Phys. 54 (2004) C468
[51]. Mandelbrot B., Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Flammarion, Paris, 1975)
[52]. Mandelbrot B., The Fractal Geometry of Nature (Freeman, San Francisco, 1983) [53]. Jackson E. A., Perspectives in Nonlinear Dynamics (Cambridge University Press,
Cambridge, London, 1991), vol. 1 38
[54]. Bacaita E. S., Bejinariu C., Zoltan B., Peptu C., Andrei G., Popa M., Magop D., Agop M., J. Appl. Math. 2
[55]. Agop M., Strat M., Strat G., Nica P., Chaos Solitons & Fractals 13 (2002) 1541
[56]. Bulgakova N. M., Bulgakov A. V., Bobrenok O. F., Phys. Rev. E 62 (2000) 5624
36
[57]. Gurlui S., Agop M., Strat M., Strat G., Bacaita S., Cerepaniuc A., Phys. Plasmas
13 (2006) 063503
[58]. Radu M. A., Phys. Rep. 178 (1989) 25 [59]. Dimitriu D. G., Gaman C., Mihai-Plugaru M., Amarandei G., Ionita C., Lozneanu
E., Sanduloviciu M., Schrittwieser R., Acta Phys. Slovaca 54 (2004) 89012 (2012)
653720
Publicații
Lista lucrărilor științifice publicate în reviste indexate ISI în domeniul
tezei [1]. Agop M., Dimitriu D.G., Vrajitoriu L., Boicu M., Order to Chaos
Transition in Plasma via Non-Differentiability: Experimental and Theoretical
Investigations, Journal of the Physical Society of Japan 83, 054501(2014) 1-
11
[2]. Agop M., Casian-Botez I., Boicu M., Mihăileanu D., Dimensionality in
nanostructures by means of non-differentiability, Journal of Computational
and Theoretical Nanoscience, vol. 12, nr. 12, 1-10, 2015
[3]. Vasilescu D., Corabieru P., Corabieru A., Boicu M., Mihaileanu D., Agop
M., On a constitutive material law at nanoscale, Journal of Computational and
Theoretical Nanoscience (acceptat spre publicare)
Lista lucrărilor științifice publicate în reviste din străinătate indexate în
bazele de date internaționale [1]. Mazilu N., Agop M., Axinte C.I., Radu E., Jarcău M., Gârţu M., Răuţ M.,
Pricop M., Boicu M., Mihăileanu D., Vrăjitoriu L., A newtonian message for
quantization, Physics Essays 27, 2 204 -214, 2014
[2]. Mazilu N., Agop M., Boicu M., Mihăileanu D, Pricop M., Gaţu I.,
Dezideriu D., Ghizdovăţ V.,The Geometry of Heavenly matter formations,
Physics Essays 28, 1 (2015)
Lista lucrărilor științifice publicate în reviste BDI în domeniul tezei
[1]. Timofte D., Boicu M., Vasincu D., Memorization type effect in biological
fluids.Dinamics equations(I),Buletinul Institutului Politehnic Iaşi, Secţia
Matematică, Mecanică Teoretică, Fizică LX (LXIV) Fasc. 2, 2014,60-65
[2]. Stoica C., Duceac L.D., Lupu D., Boicu M., Mihaileanu D., On the fractal
bit in biological systems,Buletinul Institutului Politehnic Iaşi, Secţia
Matematică, Mecanică Teoretică, Fizică LXI (LXV) Fasc. 1, 2015, 1-15
[3]. Boicu M., Dezideriu Iacob D., On the Hubble effect by means of the
fractal medium, Buletinul Institutului Politehnic, Iaşi, Secţia Matematică,
Mecanică Teoretică, Fizică, 2015 (acceptată spre publicare)
37
Conferințe internaționale
[1]. Irimiciuc S.A., Boicu M., Agop M., Laser produced plasma dynamics: A
non-differentiable approach, International Conference of Physics of Advanced
Materials (ICPAM-10) Iasi 2014, 22.09-28.09.2014, pag. 33/P-6
[2]. Mihaileanu D., Boicu M., The increase of the electrical conductance in
nanostructures. A theoretical approach, Simpozionul Internațional Universul
Științelor, Editia a V- a, 7 septembrie 2014
Cărți publicate în țară
[1]. Boicu M., Agop M., Haos şi autoorganizare în sistemele dependente de
scală, Ars Longa, Iaşi, 2015
38