REZONANS DEVRELERİ ve

TÜMLEŞİK (ON-CHIP) ENDÜKTANSLAR

(Duran Leblebici, Ocak-2005)

Giriş “Rezonans devreleri”, en temel fiziksel sistemlerden biri olan “salınımlı sistemler”in elektrik alanında kullanılan örneklerine verilen addır. 19. yüzyıldan beri bilinmekte olan elektriksel rezonans, 20. yüzyılın ilk yarısında “radyo” alıcı ve vericilerinin gerçekleştirilmesinde sağladığı katkı nedeni ile büyük önem kazanmış ve o yıllarda etraflı olarak incelenmiştir.Telekomünikasyon sistemlerinde kullanılan çeşitli türden L-C filtreleri de rezonans olayından dolaylı olarak yararlanan yapılar olarak önem kazanmış ve bir süre, devreler teorisi disiplininin temel uğraşı alanı olmuştur.

20. yüzyılın ikinci yarısında elektroniğin etkinlik alanının olağanüstü genişlemesi ile bir yandan radyonun (ve televizyonun) toplam alan içindeki payının küçülmesi, öte yandan aktif filtrelerin telekomünikasyon sistemlerinde kullanılan L-C filtrelerinin yerini alması, endüktanslara ve rezonans devrelerine olan ilginin azalmasına yol açmış ve zamanla bu konular derslerden, ders kitaplarından ve araştırma konuları arasından çıkmıştır. Sonuçta teknoloji dünyasında bu konulara vâkıf mühendis sayısı önemli ölçüde azalmıştır. Bir rezonans devresi bir bobin (endüktans) ile bir kondansatörün (kapasitenin) seri yahut paralel bağlanması ile gerçekleştirilir ve “seri rezonans devresi” yahut “paralel rezonans devresi” olarak anılır. Rezonans devrelerinin gerçekleştirilmesinde kullanılan bobinler, sargı dirençleri nedeni ile ideal endüktanslar değildir. Bir bobinin belirli bir frekansta ideal bir endüktansa ne kadar yakın olduğunun ölçütü olarak endüktansın “o” frekanstaki reaktansı ile bobin direncinin oranından yararlanılabilir. Devrede kullanılan kondansatör –genel olarak olduğu gibi- kayıpsızsa yahut kayıpları ihmal edilebilecek kadar küçükse, bu oran rezonans devresinin –ilerde temel tanımı verilecek olan- “o” frekanstaki “iyilik katsayısı”na (Q ya ) eşit olur. Radyo uygulamalarında endüktans olarak çeşitli yapıda “bobin”ler kullanılmıştır. Endüktansın değeri yaklaşık olarak sarım sayısının karesi ile ve ayrıca ortamın bağıl magnetik geçirgenliği (µ) ile orantılıdır. Bu bobinlerle 100...1000 mertebesinde Q değerleri, gerekli özen gösterildiğinde kolayca sağlanabilir. Bu nedenle rezonans devreleri ile ilgili olarak 1930’lu, 40’lı yıllarda yapılmış olan temel yayınlarda bağıntılar hep Q>>1 kabul edilerek çıkartılmış yahut basitleştirilmiştir. Son on yıl içinde haberleşme sistemlerinde kullanılan frekansların GHz ler düzeyine yükselmiş olması ve bunun sonucu olarak gerekli olan endüktans değerlerinin nH ler mertebesine düşmesi, “mobil” sistemlerin gerektirdiği boyut sınırlamaları ve mikroelektronik teknolojisinde sağlanan gelişmeler bir arada, endüktansların tümdevre içinde gerçekleştirilmesi konusunu gündeme getirmiş, bunun sonucu olarak endüktanslar ve rezonans devreleri teknoloji gündeminde yeniden yer almıştır. Ancak endüktansların ve rezonans devrelerinin bu “ikinci baharında” birinci dönemden farklı olarak kullanılan frekanslar GHz ler mertebesindedir ve tümleşik olarak gerçekleştirilen endüktansların iyilik katsayıları Q>>1 kabul edilemeyecek kadar küçük, genellikle 5..10 mertebesindedir. Bu seminer hem rezonans devrelerinin “unutulmuş” temel özelliklerini hatırlatmak, hem de iyilik katsayısının küçük değerli olmasının getireceği etkileri vurgulamak amacı ile hazırlanmıştır.

1. Paralel Rezonans Devresi r , bobinin –deri olayı dahil-sargı direncini ve magnetik kuplajla gelen diğer kayıpların tümünü temsil eder. G=1/R iletkenliği i akım kaynağının İç direnci de dahil olmak üzere tüm paralel kayıpları temsil eder. Şekil-1

(1)

Ljr

CrjLCYω

ωωω+

+−=

)1()(2

)()()]()1[(222

2

ωωω

ωωω jBGLr

LjrCrjLC+=

+−+−

= (2)

222)(Lr

rGω

ω+

= (3)

222

222 )()(Lr

CLLCrBω

ωωω+

+−= (4)

Devrenin öz salınım frekansı: LC1

0 =ω (5)

Y’nin ve Z=1/Y nin gerçel olduğu frekans: 2

21Lr

LCr −=ω (6)

|Y| nin maksimum olduğu frekans d|Y|/dω=0 dan hesaplanabilir:

2

22

max 211Lr

LCr

LC−+=ω (7)

Görüldüğü gibi bu üç karakteristik frekans biribirinden farklıdır: rωωω ff 0max Bu üç frekans ancak r nin çok küçük, yani Q iyilik katsayısının çok büyük

olması halinde yaklaşık olarak biribirine eşit sayılabilir. 0≠r ve 0=r halleri için Şekil-2 (a) ve (b) de verilmiş olan Z(ω) yer eğrilerinden durum daha iyi görülebilir.

L

rCRg i

Y

sLrsCrLCs

sLrsCY

+++

=+

+=)1(1 2

Şekil-2(c) de ise iyilik katsayısı küçük olan bir paralel rezonans devresinde1 (a) empedansın modülünün maksimum olduğu frekansın, empedansın gerçel olduğu frekanstan farklı ve daha büyük olduğu, (b) rezonans bölgesine göre küçük olan frekanslarda faz dönmesinin (+π/2) değerine ulaşamadığı, Şekil-2(a) nın da öngördüğü gibi, bir maksimumdan geçtikten sonra sıfıra düştüğü görülmektedir.

(a) (b)

Frequency

0Hz 0.5GHz 1.0GHz 1.5GHz 2.0GHz1 ABS(V(1)/I(IIN)) 2 ARCTAN(IMG(V(1)/I(IIN))/R(V(1)/I(IIN)))

0

100

200

3001

-2.0

-1.0

0

1.0

2.02

>>

(c)

Şekil-2

1 L =10 nH, C =2 pF, r =20 ohm, Q =3,5

Re(Z)

Im(Z)

ω= ∞

ω0 Z(ω)

ω

Z(ω0) = R

ω= 0Re(Z)

Im(Z)

Z(0)=r ω= ∞ ω0

ωmax

Z(ω)

ω

Zmax

R

Paralel rezonans devresinin empedansının, gerçel olduğu ωr frekansındaki değeri (3) ve (5) den yararlanılarak hesaplanırsa

(8)

bulunur. Bu bağıntı, bobinin r seri direncinin rezonans frekansında (ve rezonans yakınlarında) L/rC değerinde bir paralel dirence eşdeğer olduğunu gösterir.

Bu eşdeğerlikten yararlanılarak rezonans devresine paralel bağlı bir direncin (örneğin Şekil-1 deki Rg işaret kaynağı iç direncinin) devre davranışı üzerindeki etkisi kolayca hesaplanabilir. Rg ile R nin paralel eşdeğerine Re (efektif paralel direnç) denilip buna karşı düşen efektif seri direnç hesaplanırsa

g

ge RR

RRR

+=

.

CRLre

e = (9)

bulunur. 1.1. Q İyilik Katsayısının Temel Tanımı:

Salınımlı bir sistemin iyilik katsayısı:

Qe =2 π. (Sistemdeki toplam enerji) / (Bir peryotta kaybolan enerji) (10)

Bu temel tanımdan yararlanarak, self endüktansı L ve direnci r olan bir bir bobinle buna paralel bağlı kayıpsız bir kapasiteden oluşan bir paralel rezonans devresinin iyilik katsayısını hesaplayalım. Sistem uyarıldığında toplam enerjisi, kapasite kolu ile bobin kolu arasında potansiyel ve kinetik enerji olarak salınır. Bobinden akan akımın tepe değerinde enerji tümü ile kinetik enerjidir. Akımın tepe değeri, V devreye uygulanan gerilimin tepe değeri olmak üzere

22)( rL

VI L+

=ω

ve endüktansa yığılan enerji 2.21

LL ILW = dir.

r direncinde harcanan güç (1 saniyede kaybolan enerji)

2.21

Lr IrP =

ve salınımın bir peryodunda harcanan enerji

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

0

2

0

.21.

211)( LL IrIr

fTE

ωπ dir.

Bu bilgiler (10) tanım bağıntısına uygulandığında;

rCL

rCLrRZ r ≅+==)(ω

0

0 1ω

ωrCr

LQ == (11)

yahut (8) bağıntısından yararlanılarak paralel direnç cinsinden

0

0 ωω

LRRCQ == (12)

elde edilir. Bu bağıntı ve (8) den, ve rωω ≅0 olduğu göz önünde bulundurularak, QrQrR .)1( ≅+= (8-a) bulunur.

Hem endüktansa seri bir direnci, hem de paralel bir direnci bulunan bir paralel rezonans devresinin iyilik katsayısı (etkin iyilik katsayısı) ise (9) bağıntısından yararlanılarak bulunabilir:

0

00

0 1ω

ωω

ωLR

CRCrr

LQ e

eee

e ==== (13)

1.2. Iyilik Katsayısı, Bir Başka Açıdan

Bir akım impulsu ile uyarılan bir paralel rezonans devresinin uçları arasında meydana gelecek gerilim, Z=1/Y olmak üzere

))(()(1).()(

21 pp

z

ssssss

CsIZsIsV

−−−

≅= (14)

bağıntısından hesaplanabilir: V(s) nin sıfır ve kutupları (1) bağıntısı yardımı ile

Lrsz −= ,

2

2,1 21

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

Lr

LCj

Lrss pp m

bulunur. Bağıntılar

Lr

2−=σ ,

LC1

0=ω , 2200 σωϖ −= (15)

konularak

σ2=zs , ϖσ jss pp m=21 ,

yazılabilir. ІszІ<<lspl olduğu göz önünde bulundurularak (14) bağıntısı

))((1).()(

21 pp sssss

CsIZsIsV

−−≅=

şeklinde basitleştirilip buradan v(t) çözülürse

)()(

1)( ..

21

21 tsts

pp

pp eessC

Itv −−

=

).sin(.1)(2

10

.

0

.

0

00 teCIeee

jCI ttjtjt ϖ

ϖϖσϖϖσ =−≅ −

).sin(..)( 0. teVtv t ϖσ=

bulunur. Bu bağıntı (11) ve (15) den yararlanılarak ve 00 ϖω = olduğu göz önünde bulundurularak

).sin(..)( 0

.2

0

teVtvt

Q ωω

−

= (16) şeklinde yazılabilir. Buradan Q salınım sonundaki genlik hesaplanırsa π−= eVQv .)( (17) ve salınımın genliğinin başlangıç genliğinin 1/e sine düşmesi için yapılması gereken salınım sayısı

πQn = (18)

bulunur.

t Şekil-3

v(t)

V

1.3. Yüksek Q lu Paralel Rezonans Devresinin Frekans Cevabı

Bir paralel rezonans devresinin Z empedansı rezonans frekansı yakınları için ve Q>>1 koşulu ile (1) den

)(11

1)1()(

1)(2

2LC

CrjCr

LCrjLC

LjrY

Zω

ωωω

ωω

ω+

≅+−

+==

ve )( 0ωωω −=∆ , 0

2ωωβ ∆

=

konularak

Qj

ZZβ

ωω+

=1

1)()( 0 (19)

bulunur. Şekil-4 de Z nin modülünün ve açısının (βQ) ile değişimleri verilmiştir.

Şekil-4

Yorum: - ω0 frekansında empedans maksimumdan geçer ve gerçeldir.

- βQ=±1 e karşı düşen frekanslarda, yani ω0+∆ω ve ω0+∆ω için empedansın modülü rezonanstaki değerinin 1/√2 sine düşer. - Devrenin band genişliği B=2∆f dir. - Band uçlarında faz dönmesi ± π/4 dür.

1.4. Paralel Rezonansta Kol Akımları eo RiZiv .)(.)( 0 == ωω Kapasite üzerinden akan akım eeC QijCjRiCjvi ....)).(()( 0000 === ωωωω (20) (Yorum: Kapasite üzerinden akan akım ana kol akımından 90° ilerde ve giriş akımının Qe katı ! ) Bobin kolundan akan akım (QS=Lω0/r >>1 varsayımı ile):

(21)

(Yorum: Bobin üzerinden akan akım ana kol akımından - yaklaşık- 90° geride ve giriş akımının Qe katı ! Bu durum bobin iletkeni üzerinde “electro-migration” riski bakımından önemli ! )

LRij

Ljv

Ljrvi e

L00

00

00 .1)()(

1).()(ωω

ωω

ωω −=≅+

=

1.5. Tümleşik (on-chip) Endüktanslar Silisyum tümdevreler içindeki endüktanslar genellikle birinci (en üstte bulunan ve en kalın) metal katmanda, metale litografi ile aşındırılarak öngörülmüş olan biçimin verilmesi ile gerçekleştirilir. Metal genellikle aluminyumdur2 ve kalınlığı 0,5 ...1 µm mertebesindedir. En yaygın olarak kullanılan yapılar dörtgen, altıgen ve sekizgen spiral yapılardır. Şekil-5 de iki sarımlı keresel bir endüktans görülmektedir. İçerde kalan uç bir alt katmana dalınıp çıkılarak üst katman düzeyine getirilmiştir. Bobinin direnci metal yolun direnci ile dalıp çıkmada yararlanılan saplamaların (“via” ların) direncinin toplamıdır ve deri olayı, akım yığılması gibi nedenlerle frekansla artar. Bobinden akan akımın, alt taraftaki iletken (yahut yarıiletken) malzemede endüklediği akımların sebep olduğu kayıplar da bobinin toplam kayıplarını arttıran (dolayısı ile iyilik katsayısını küçülten) bir etkendir. Bu endüksiyon kayıplarının küçültülmesi amacı ile alt katmanlardan birinde, endüksiyonla oluşan akımların yolunu kesecek şekilde biçimlendirilmiş bir “ekran” oluşturulması genellikle uygulanan bir yoldur. Bobin metalinin bu ekranla yahut taban yarıiletkeni ile olan “dağılmış” kapasitesi de, mutlaka hesaba katılması gereken parazitik bir etkendir.

Şekil-5 Endüktans değeri bobinin biçimine ve boyutlarına bağlıdır. Tümleştirilmiş

endüktansların tasarımı için literatürde verilmiş olan bağıntıların tümü yaklaşıktır ve verdikleri sonuçlar hatalıdır. Bu amaçla yazılmış ve pazarlanmakta olan yazılımların doğruluk dereceleri de tartışma konusudur3. Bu tartışmaların nedenlerinden biri, tümleştirilmiş endüktansların modellenmeleri ve ölçülmeleri ile ilgili sorunlardır.

2 Bazı yeni süreçlerde ara bağlantılar ve endüktanslar için bakır da kullanılmaktadır. 3 Bu yazılımların en başarılı olanları arasında “OEA International, Sunnyvale, CA.(USA)” ve bu firmanın Türkiye uzantısı olan “Akçasu Yazılım Sistemleri Ltd Şti.”nde geliştirilmiş olan

Rsub(m)

Tümleştirilmiş bir endüktans genellikle Şekil-6.a daki gibi, bir iki-kapılı

olarak modellenir4. Burada r endüktans iletkeninin direnci, Cox, Csub ve Rsub endüktansın altındaki dağılmış admitansın iki uçta toplanmış yaklaşık eşdeğeri, Rsub(m) bobin akımının tabanda endüklediği akımın sebep olduğu kayıpları temsil eden direnç ve CF bobinin iki ucu arasındaki parazitik kapasitedir. Deri olayı, akım yığılması, alan düzensizliği gibi ikincil olaylar nedeni ile bu parametrelerin çoğu frekansla –az veya çok- değişir.

Endüktansın karakterize edilebilmesi için bu parametrelerin herbirinin (hiç

değilse L ve Qe nin ölçme yolu ile belirlenmesi gerekir. Yaygın olarak kullanılan yöntem, GHz ve yukarısı frekanslarda, en kolay yol olarak, endüktansın S parametrelerinin ölçülmesi, bunlardan yararlanılarak y parametrelerinin hesaplanması ve –yapılabiliyorsa- bunlardan yararlanılarak da devre parametrelerinin hesaplanmasıdır. Bir ucu referansa bağlı olan bir endüktansın karakterizasyonunda y11 parametresinden , simetrik bir endüktansın karakterizasyonu için ise y12 parametresinden yararlanmak uygundur.

Şekil-6.a daki iki kapılının y11 parametresine ilişkin eşdeğer devre Şekil-6.b

de verilmiştir. Literatürde bu tek kapılının belirli bir frekansta Şekil-6.c deki gibi bir eşdeğerinin olduğundan hareketle

Şekil-6

4 R.L. Bunch,D.I. Sanderson, S. Raman, “Quality Factor and Inductance in Differential IC Implementations, IEEE Microwave Magazine, June 2002

Zi

L

Re

CFCo

Rsub

Csu

Zi

r

L

Zi

C p L

Rsub(m

r L CoxCox

Csub Csub Rsub Rsub

r

(a) (b)

(c) (d)

Rp

)/1Re()/1Im(

1Re

)/1(Im

1

11

11

11

11

11

yyQ

yr

yL

jXry

Zin

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+==

ω (19)

yazılmakta ve yaygın olarak kullanılmakta, L ve Q değerleri bu bağıntılardan yararlanılarak bulunmaktadır. Ancak; a) (19-2) bağıntısı ile hesaplanan endüktans gerçekte bobinin L endüktansı değil, Şekil-6.b deki devrenin giriş empedansının ölçmenin yapıldığı frekanstaki sanal kısmına karşı düşen ve devredeki tüm reaktif bileşenlerin bir kombinasyonu olan bir eşdeğer endüktanstır ve değeri frekansa bağlıdır. b) Giriş empedansı devredeki L nin parazitik kapasiteleri ile bir frekansta paralel rezonansa gelir. Bobinin öz frekansı (ω0) diyeceğimiz bu frekansta empedans gerçel (yani sanal kısmı sıfır) ve modülü maksimumdur. ω0 dan daha küçük frekanslarda empedans endüktif (sanal kısmı pozitif), daha büyük frekanslarda kapasitif (sanal kısmı negatif)tir. Dolayısı ile öz frekans ve yukarısında bir eşdeğer endüktanstan söz edilemez. c) Öz rezonans frekansında giriş empedansının sanal kısmına karşı düşürülen eşdeğer endüktansın değerinin sıfır olması nedeni ile (19) dan hesaplanan Q değeri sıfır çıkar. d) Ayrıca (19-4) bağıntısı ile verilmiş olan Q değeri de tartışmaya açıktır. Bu devrenin giriş empedansının gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir. Devrenin Şekil-6.d de verilmiş olan basitleştirilmiş halinden hesaplanan Re ve Le değerleri

2222

22

)()1(

)()1(

pppp

pppp

e rCLGLCrG

rCLGrLLCrG

rR++−+

+−−+=

ωω

ωω (20)

2222

22

)()1(

)1(

pppp

pp

e rCLGLCrG

LCL

Cr

LL++−+

−−=

ωω

ω (21)

endüktansın kendi seri direnci ile iyilik katsayısı

ωω

rCrLQs

1==

ve genellikle Qs2>>1 olduğundan,

2222

2

)()1(1

pppp

pe rCLGLCrG

LCLL

++−+

−≅

ωωω

(21-a)

dir. Görüldüğü gibi her iki bileşen de frekansın fonksiyonudur ve ancak rezonans frekansına göre küçük frekanslarda Le, L ye ve Re, r ye eşit olmaktadır. Le bir eşdeğer endüktans olarak tanımı gereği uçları arasındaki gerilimle içinden akan akım arasında 90º lik bir faz farkı oluşturmakla beraber içeriğindeki r ve Gp elemanları nedeni ile enerji harcayan bir iki uçludur. Dolayısı ile (19-4) bağıntısından hesaplanan Q, iyilik katsayısının temel tanımı ile de uyumsuzdur. Şekil-7 da tipik bir tümleştirilmiş endüktans için yukarda eleştirilen yöntemle elde edilmiş olan tipik deneysel L ve Q eğrileri, Şekil-8 de ise ideal bir L endüktansı, buna seri bağlı ideal bir r direnci ve bunlara paralel bağlı ideal bir kapasiteden oluşan bir rezonans devresinin5 pSpice simülasyonu ile, (19-1) ve (19-4) bağıntılarına göre hesaplanmış L ve Q eğrileri verilmiştir.

Görüldüğü gibi yöntem L ve Q değerlerini ancak rezonans frekansına göre

hayli küçük frekanlar için gerçeğe uygun olarak vermektedir. Rezonans frekansı yakınlarında bu yöntemle elde edilen değerler, kabul edilemiyecek düzeyde hatalıdır.

.

Şekil-7 5 Eleman değerleri: L= 5 nH, r = 30 ohm ve C = 200 fF dır.

Frequency

1.0GHz 2.0GHz 3.0GHz 4.0GHz 5.0GHz 6.0GHz0.1GHz(IMG(V(1)/ I(IIN)))/(6.28*frequency)

-20n

-10n

0

10n

20n

Frequency

1.0GHz 2.0GHz 3.0GHz 4.0GHz 5.0GHz 6.0GHz0.1GHz(IMG(V(1)/I(IIN)))/(R(V(1)/I(IIN)))

0

1.0

2.0

3.0

4.0

A: r

LQ ω= B:

)Re()Im(

in

in

ZZ

Q =

Şekil-8

Bütün bu nedenlerle, tümleşik endüktansların öz frekans yakınlarında da geçerli olacak şekilde karakterize edilebilmesi için başka yöntemler aranması gerekir. Şekil-9 da önerilen yöntemde karakterize edilmek istenen endüktans, girişi geniş bantta 50 Ω olan bir kaskod kuvvetlendiricinin yükünü oluşturan rezonans devresinin bir elemanıdır. Kuvvetlendiricinin çıkış gerilimini ölçmek için giriş empedansı rezonans devresini yüklemeyecek kadar büyük olan ve 50Ω luk

A

B

Q

L ?

bir yük (ölçü düzeni) ile yüklenebilen bir “on-chip” prob devresi kullanılacaktır (Şekil-9). Bir örnek olarak 0.6u AMS teknolojisi için yapılan bir tasarımla sağlanan özellikler: M1 ve M3 W/L=6µ/.6µ , M2 W/L=60µ/.6µ için rin=1.47 Mohm @ 3GHz, 0.44 Mohm @ 10GHz Cin= 7.25fF @ 3GHz, 7.29fF@ 10GHz Gerilim kazancı=-38.7 dB, 3dB frequency > 10GHz P=0.286 mW (VDD=3V)

Şekil-9 Şekil-10

Önerilen ölçü süreci: - Şekil –9 daki düzenin girişine 50Ω iç dirençli bir osilatör, yahut bir devre analizörünün işaret çıkışını uygula. - Çıkışa 50Ω giriş dirençli bir geniş bantlı osiloskop, yahut yahut bir devre analizörünün işaret girişini bağla.

- Osilatör frekansını L nin ölçüleceği (f0) değere ayarla. C ile devreyi çıkış genliği maksimum olacak şekilde akord et6 . C0 değerini not et.

6 Akord işini kırmık üzerinde güvenilir biçimde yapabilmek için C nin yeterli sayıda paralel bağlanmış eş varaktorlardan oluşturulması, kaba akordun uygun sayıda varaktorun seçilmesi, ince akordun giriş frekansı ile yapılması uygun olur. Parazitik etkileri minimuma indirmek için –geri dönüşsüz bir yöntem olmakla beraber- varaktorların laser kesici ile ayrılarak devre dışı bırakılması önerilir.

50Ω50Ω

L,r

+V

Cascode amplifier On-chip

probe

C

vout

50Ω

M2M3

+Vbias

M1vin

+V

CC2 C1 C0 C3

1/ω02

1/ω2

- Frekansı f0 ın iki yanına doğru değiştirerek –3dB frekanslarını bul ve 2∆f bant genişliğini belirle. - Qe=f0/2∆f iyilik katsayısını hesapla7. - C nin başka değerleri (dolayısı ile başka frekanslar) için işlemleri tekrarla. - y=1/ω2 yi C nin fonksiyonu olarak işaretle (Şekil-10). Ölçüm noktalarını birleştiren (ortalayan) doğruyu çiz. - Çizilen doğrunun eğimi L değerini verir. - Bu doğrunun düşey ekseni kestiği noktaya karşı düşen ω değeri, bobinin kendi parazitikleri ile rezonansa geldiği öz frekanstır. - Bu doğrunun yatay ekseni kestiği noktaya karşı düşen C değeri bobinin toplam parazitik kapasitesine eşittir. Bu kapasiteye dahil olan kaskod devrenin çıkış kapasitesi ayrıca ölçülerek yahut hesaplanarak bu değerden düşülebilir. Bu durumda öz frekans üzerinde de gerekli düzeltme yapılmalıdır. 2. Seri Rezonans Devresi Şekil-11 deki seri rezonans devresinde r işaret kaynağının iç direnci de dahil olmak üzere toplam seri direnci temsil eder. Kapasitenin kayıpsız olduğu varsayılmıştır. Buradan, Şekil-11

)1(sC

sLrZ ++=

LCLrss

sL

sCsLr

Y1

11

12 ++

=++

= (2.1)

7 Yalnızca kaskod devrenin çıkış direncinden ileri gelen (hesaplanan) Qk iyilik katsayısı belirlenen Qe den yeterince büyükse, kaskod devrenin etkisi ihmal edilebilir. Değilse bobinin gerçek etkin iyilik katsayısı (Qee) , (1/Qe)=(1/Qk)+(1/Qee) bağıntısından yararlanılarak hesaplanabilir.

r

L

C

+v i

))((1

21 pp sssss

LY

−−=

(2.2)

ve LC12

0 =ω , eQL

r22

0ωσ =−= ,

rL

Qe00

2ω

σω

== olmak üzere

2202,1 σωσ −= js pp m (2.2-a)

bulunur. Bu bağıntılardan yararlanılarak admitansın ve empedansın modülü ve açısı hesaplanabilir ve frekansla (yahut βQe ile) değişimleri çizilebilir (Şekil-12)

2)(1)( eQrZ βω +=

rZ =)( 0ω (2.3)

Φ(ω) = arctan (βQe)

Yorum: - ω0 frekansında empedans minimumdan geçer ve gerçeldir. Değeri r ye eşittir.

- βQ=±1 e karşı düşen frekanslarda, yani ω0+∆ω ve ω0+∆ω için empedansın modülü rezonanstaki değerinin √2 katına yükselir . - Devrenin band genişliği B=2∆f dir. - Band uçlarında faz dönmesi ± π/4 dür.

2.1. Seri Rezonansta Eleman Gerilimleri

Bir seri rezonans devresinde L ve C elemanlarının uçları arasındaki gerilimin değeri, (2.1) bağıntısı ω domeninde yazılarak kolayca hesaplanabilir:

20

2 21)(

ωσωωωω

+−−=

jj

LY

2

2,1 21

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

Lr

LCj

Lrs pp m

rj

jL

Y 12

1)(0

00 =−=

σωω

ω

Şekil-12

Kapasite kolunun uçları arasındaki gerilim

eC QjvCrj

vCj

iv ).(1)(1).()( 00

00

00 ωω

ωω

ωω −=== (2.4)

(Yorum: Kapasite kolunun uçları arasındaki gerilim, girişe uygulanan gerilimden 90º geridedir ve onun Qe katıdır. Bu durum seri rezonans devrelerindeki kapasitelerin dielektriğinin delinmesi bakımından bir risk oluşturur ve göz önünde bulundurulması gerekir.)

rvi 1).()( 00 ωω =

Endüktans kolunun uçları arasındaki gerilim

r

rLjvrLjiv o

L+

=+=ω

ωωωω )())(()( 0000

ee QjvQjv ).()1.).(( 00 ωω ≅+= (2.5) (Yorum: Endüktans kolunun uçları arasındaki gerilim, yaklaşık olarak ,girişe uygulanan gerilimden 90º ilerdedir ve onun Qe katıdır.)